Download - 中学2年生 数学 問題集 - 教科書tv 中学版 オフィシャルサイト...塾TV(2015年4月版) 02 【一問一答i-03】式の計算 項と次数 22 【一問一答i-04】式の計算
中学2年生 数学 問題集
L 平行と合同 【L-01】多角形の内角の和/外角の和 P.1 【L-02/03】正多角形の 1 つの内角/外角 P.1 【L-04】1つの内角→正多角形 P.2 【L-05】対頂角 P.3 【L-06/07】平行線の同位角/錯角 P.4 【L-08】平行線の間の角 P.4 【L-09】二等分線と角 P.5 【L-10】ブーメラン型 P.5 【L-11】三角形の合同条件 P.6~7 【L-12】三角形の合同証明 1 P.8~9 【L-13】三角形の合同証明 2 P.10 【L-14】三角形の合同証明 3 P.11
L 平行と合同 【L-01】多角形の内角の和/外角の和 P.1 【L-02/03】正多角形の 1 つの内角/外角 P.1 【L-04】1つの内角→正多角形 P.2 【L-05】対頂角 P.3 【L-06/07】平行線の同位角/錯角 P.4 【L-08】平行線の間の角 P.4 【L-09】二等分線と角 P.5 【L-10】ブーメラン型 P.5 【L-11】三角形の合同条件 P.6~7 【L-12】三角形の合同証明 1 P.8~9 【L-13】三角形の合同証明 2 P.10 【L-14】三角形の合同証明 3 P.11
c 文字式(24) 【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14~16 【c-15】繰り返す規則性 P.17~18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27
c 文字式(24) 【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14~16 【c-15】繰り返す規則性 P.17~18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27
c 文字式(24) 【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14~16 【c-15】繰り返す規則性 P.17~18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27
c 文字式(24) 【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14~16 【c-15】繰り返す規則性 P.17~18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27
c 文字式(24) 【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14~16 【c-15】繰り返す規則性 P.17~18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27
i~n 一問一答(78) 【i】式の計算(12) P.1~5 【j】連立方程式(17) P.6~11 【k】1次関数 (25) P.12~25 【l】平行と合同(13) P.26~30 【m】三角形と四角形 (7) P.31~34 【n】確率(4) P.35~36
塾 TV(2015 年 4 月版)
01
【一問一答 i-01】式の計算 単項式の乗除
【一問一答 i-02】式の計算 多項式の加減(整数)
□1 次の計算をしなさい。 (1)
212xy⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
(2) ( )3 2ab a b× − (3) ( )2 3 3 23 4x y x y− × −
2 214x y= 3 4a b= − 5 512x y=
(4) 4 3a a÷ (5) 6 6xy xy÷ (6) ( )3 2 23a b a b÷ −
4
3
a aaaaaaaa
a
= =
=
6xy=6xy
1= 3 3aaabb abaab
= − = −
(7) 2 123
a a÷ (8) 2 3 243xy
x y ÷ (9) 21 12 4ab ab⎛ ⎞÷ −⎜ ⎟⎝ ⎠
2 316
aaa
a
×=×
=��
2
4 31 2
3
xxyyyxy
xy
×=
×
=
�� �� 4
22
abbab
b
×= −×
= −� �
�
�
�
�
(1) 2 214x y
(2) 3 4a b−
(3) 5 512x y
(4) a
(5) 1
(6) 3ab−
(7) 6a
(8) 26xy
(9) 2b−
□1 次の計算をしなさい。 (1) ( ) ( )4 5 2 6a b a b+ + − (2) ( ) ( )2 4 5 3x y y x− + −
(3) ( ) ( )6 4 4 3a b a b− − + (4) ( ) ( )5 2 3x y y x− − −
6 4 4 3a b a b= − − − 5 2 3x y y x= − − +
(5) ( ) ( )2 26 5 2 3 7x x x x+ − − − + (6) ( ) ( )2 23 1 2 6 7x x x x− − + − − +
2 26 5 2 3 7x x x x= + − − + − 2 23 1 2 6 7x x x x= − − + − + −
(7) )5 33 4a ba b+
− +���
� �� (8) )
2 3x y
x y
+− −��
� ��
(1) 6a b−
(2) x y− +
(3) 2 7a b−
(4) 4 7x y−
(5) 27 2 9x x+ −
(6) 25 10 1x x− −
(7) 2a b−
(8) 4x y+
塾 TV(2015 年 4 月版)
02
【一問一答 i-03】式の計算 項と次数
【一問一答 i-04】式の計算 多項式の加減(分数)
【一問一答 i-05】式の計算 式の計算と式の値
□1 次の多項式の項と次数を答えなさい。 (1)
22 26
2x
xy y+ −
(1)項 2
2 2,6 ,2x
xy y−
次数 3
1 次の計算をしなさい。
(1) 53 2a b a b− +− (2)
2 5 23 4x y x y− −−
( ) ( )2 5 3
6a b a b− − +
= 4(2 5 ) 3( 2 )
12x y x y− − −=
10 2 3 3
6a b a b− − −= 8 20 3 6
12x y x y− − +=
7 56a b−=
5 1412x y−=
(3) 2
2 4a b a b− +− (4)
2 54 6
a b a b− −−
(5) 54 32x y
x y−− − (6)
3 6x x y− ++
8 6 (5 )
2x y x y− − −= 2
6x x y− +=
8 6 5
2x y x y− − +=
6x y+=
3 52x y−=
(1) 7 56a b−
(2) 5 1412x y−
(3) 34b−
(4) 4
12a b+
(5) 3 52x y−
(6) 6x y+
1 a=-2,b=-3のとき,次の式の値を求めなさい。
(1) 3 5a b− (2) ( ) ( )7 2a b a b− −+ +
(3) ( ) ( )2 3 2a b a b− − −+3 + (4) 2 3a b a− ÷
(1) 9
(2) −12
(3) 35
(4) −2
塾 TV(2015 年 4 月版)
03
【一問一答 i-06】式の計算 等式変形 1(移項)
【一問一答 i-07】式の計算 等式変形 2(分数)
【一問一答 i-08】式の計算 等式変形 3(分子が複数)
1 次の等式を〔 〕の中の文字について解きなさい。 (1) ������ yyx 32 =− (2) ����� yyx 735 =+ 2 3y x− = − +
2 3y x= −
�
(1) 2 3y x= −
(2) 5 73 3
y x= − +
□2 次の等式を〔 〕の中の文字について解きなさい。 (1) 1
2s ah= [ ]h (2) 1
3v sh= [ ]s
2ah s=
2ah s=
2sha
=
(1) 2sha
=
(2) 3vsh
=
1 次の等式を〔 〕の中の文字について解きなさい。
(1) ����� abac3
2 += (2) 22cba += 〔 c〕
23a b c+ = ・・・各項に3
2 3a b c+ =
2 3a c b= −
32 2
ba c= − あるいは 32c ba −=
�
(1) 32 2
ba c= −
(2) 12
c a b= −
塾 TV(2015 年 4 月版)
04
【一問一答 i-09】式の計算 式の説明 1(連続する整数)
【一問一答 i-10】式の計算 式の説明 2(偶数と奇数) �
�
�
�
�
【一問一答 i-11】式の計算 式の説明 3(2 けたの整数)��
� �
① n
② 1n +
③ 2n +
④ ( 1) ( 2)n n n+ + + +
⑤ 3 3n +
⑥ 3( 1)n +
⑦ ( 1)n +
⑧ 3( 1)n +
�1 連続する3つの整数の和は3の倍数になることを説明しなさい。 連続する3つの整数のうち、最も小さい数を nとすると、 連続する3つの整数は、 ① 、 ② 、 ③ とあらわせる。 ④ = ⑤ = ⑥ nは整数なので、 ⑦ は整数といえる。
よって、 ⑧ は3の倍数であるといえる。 したがって、連続する3つの整数の和は3の倍数であるといえる。
2 奇数と偶数の和は奇数になることを説明しなさい。 m、 nを整数とすると、
奇数と偶数はそれぞれ、 ① 、 ② とあらわせる。 ③ = ④
= ⑤ m、 nは整数なので、 ⑥ は整数といえる。
よって、 ⑦ は奇数であるといえる。 したがって、奇数と偶数の和は奇数になるといえる。 �
① 2 1m +
② 2n
③ (2 1) 2m n+ +
④ 2 2 1m n+ +
⑤ 2( ) 1m n+ +
⑥ ( )m n+
⑦ 2( ) 1m n+ +
① 10a b+
② 10b a+
③ ( ) ( )10 10a b b a+ + +
④ 11 11a b+
⑤ ( )11 a b+
⑥ ( )a b+
⑦ ( )11 a b+
�1 2けたの整数 X がある。この数の十の位と一の位を入れ替えてできる数をYとすると、XとYの和が 11 の倍数になることを説明しなさい。
Xの十の位の数を a 、一の位の数をbとすると、 2けたの整数X、Yはそれぞれ、 ① 、 ② とあらわせる。 ③ = ④ = ⑤
a、bは整数なので、 ⑥ は整数といえる。 よって、 ⑦ は11の倍数であるといえる。 従って、Xと Y の和は 11 の倍数といえる。
塾 TV(2015 年 4 月版)
05
【一問一答 i-12】式の計算 図形への応用
□2 縦、横、高さがそれぞれ 、 、 の直方体がある。この とき、次の問いに答えなさい。
(1) この直方体の体積 を 、 、 を使ってあらわしなさい。 (2) この直方体の表面積 を 、 、 を使ってあらわしなさ
い。 底面積… …① 側面積… …② 表面積…①+② ※ をつけ忘れない。 (3) 横の長さを 2 倍にしたとき、もとの直方体との表面積の差
はいくらになるか。 底面積… …① 側面積… …② 表面積…
c
b a
(1) V abc=
(2) S = 2 2 2ab ac bc+ +
(3) 2 2ab bc+
3 底面の半径が r、高さが hの円柱の体積をV とする。こ
のとき、次の問いに答えなさい。 (1) 円柱の体積V を r、 hを使ってあらわしなさい。 V r r hπ= × × × 2V r hπ= (2) 高さを変えないで、底面の半径を 2倍にすると、体積は
何倍になりますか。 2 2r r hπ× × ×
24 r hπ= 24 r hπ hπ ���� � 4 :1
(3) 底面の半径を 12倍すると、体積は何倍になりますか。
1 12 2r r hπ× × ×
214r hπ= 21
4r hπ hπ ���� � 1����
(1) 2V r hπ=
(2) 4倍
(3) 14倍
h
r
2 縦、横、高さがそれぞれ a、b、 cの直方体がある。この とき、次の問いに答えなさい。
(1) この直方体の体積V を a、b、cを使ってあらわしなさい。 (2) この直方体の表面積 Sを a、b、 cを使ってあらわしなさ
い。 底面積… 2 2a b ab× × = …① 側面積… ( )a a b b c+ + + × ( )2 2c a b= + 2 2ac bc= + …② 表面積…①+② ※ S =をつけ忘れない。 (3) 横の長さを 2 倍にしたとき、もとの直方体との表面積の差
はいくらになるか。 底面積… 2 2 4b a ab× × = …① 側面積… ( ) ( )2 2 2 4a a b b c c a b+ + + × = + 2 4ac bc= + …② 表面積… 4 2 4ab ac bc+ +
塾 TV(2015 年 4 月版)
06
【一問一答 j-01】連立方程式 加減法 1
【一問一答 j-02】連立方程式 加減法 2(係数をそろえる)
【一問一答 j-03】連立方程式 加減法 3(係数をそろえる)
【一問一答 j-04】連立方程式 加減法 4(小数)
【一問一答 j-05】連立方程式 加減法 5(分数)
1 次の連立方程式を解きなさい。
(1) 0.2 0.5 10.3 0.1 3.2x yx y− =⎧
⎨ + =⎩ (2) 0.3 1.4 0.1
0.02 0.03 0.13x yx y+ =⎧
⎨ − =⎩
�
(1) 10, 2x y= =
(2) 5, 1x y= = −
1 次の連立方程式を解きなさい。
(1) 1
3 25 4 1
x y
x y
⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩
(2)
2 1 13 41 2 52 3
x y
x y
⎧ − = −⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
(1) 3, 4x y= − =
(2) 6, 12x y= − = −
□1 次の連立方程式を解きなさい。 (1) 3 7
2 3 4x yx y− =⎧
⎨ + = −⎩
� (2) 3 113 2 5x yx y+ =⎧
⎨ − =⎩
�
(1) 1, 2x y= = −
(2) 3, 2x y= =
1 次の連立方程式を解きなさい。
(1) 3 4 104 3 5x yx y
− + = −⎧⎨ + =⎩ ��
(2) 8 3 256 5 3x yx y+ = −⎧
⎨ − =⎩ ��
(1) 2, 1x y= = −
(2) 2, 3x y= − = −
□1 次の連立方程式を解きなさい。
(1) 3 52 3 7x yx y+ =⎧
⎨ − =⎩ (2)
2 3 105 6 2x yx y− = −⎧
⎨ + =⎩
(1) 2, 1x y= = −
(2) 2, 2x y= − =
塾 TV(2015 年 4 月版)
07
【一問一答 j-06】連立方程式 加減法 6(分配法則)
【一問一答 j-07】連立方程式 代入法
【一問一答 j-08】連立方程式 連立方程式と式の値
【一問一答 j-09】連立方程式 A=B=C型
□1 次の問いに答えよ。 (1) 連立方程式 9
2 6ax bybx ay+ =⎧
⎨ − = −⎩の解が 1
2xy=⎧
⎨ =⎩であるとき、
定数 ,a bの値を求めよ。
(1) 5, 2a b= =
3 次の連立方程式を解け。 (1) 4 7 2 1x y x y+ = + = − (1) 1, 3x y= − =��
□4 次の連立方程式を、代入法を使って解きなさい。 (1) 1
2 3 5y xx y= +⎧
⎨ − = −⎩ (2) 4
2 1y xy x= −⎧
⎨ = −⎩
�
(1) 2, 3x y= =
(2) 3, 7x y= − = −
1 次の連立方程式を解きなさい。
(1) ( )
3 65 2 10x y
x x y
− =⎧⎪⎨ − = − −⎪⎩
(2) ( )
( )3 3
2 3 1
x y
x y
⎧ − − = −⎪⎨
+ − = −⎪⎩
�
(1) 1, 9x y= − = −��
(2) 1, 5x y= − =
塾 TV(2015 年 4 月版)
08
【一問一答 j-10】連立方程式 金額
【一問一答 j-11】連立方程式 整数(商と余り)
【一問一答 j-12】連立方程式 2 けたの整数
1 1本50円の鉛筆と1本 120円のボールペンを合わせて20本買ったところ、代金が 1560 円であった。鉛筆を x本,ボールペンを y本買ったとき,次の問いに答えよ。
(1) 連立方程式をつくれ。 (2) 鉛筆とボールペンはそれぞれ何本買ったか。 12,8x =
□2 大小2つの整数がある。その和は 54 で、大きいほうの整数を小さいほうの整数で割ると、商が 5、余りが 6である。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 大小 2 つの整数をそれぞれ x、 yとして連立方程式をつくれ。 大きいほうの整数を x ,小さいほうの整数を yとすると、
545 6
x yx y+ =⎧
⎨ = +⎩
(2) 大小 2 つの整数をそれぞれ求めよ。 46, 8x y= =
(1) 54
5 6x yx y+ =⎧
⎨ = +⎩
(2) 大…46 小…8
1 2 けたの整数があり、十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの整数より 18 大きい。また、もとの整数と入れかえた数との和は 110 である。このとき、次の問いに答えよ。
(1) もとの 2 けたの整数の十の位の数を x、一の位の数を yとして連立方程式をつくれ。 10 10 1810 10 110y x x yx y x y+ = + +⎧
⎨ + + + =⎩
(2) もとの整数を求めよ。 4, 6x y= =
(1) 20
50 120 1560x y
x y
⎧ + =⎨
+ =⎩
��
��
(2) 鉛筆…12(本) ボールペン…8(本)
(1) 10 10 1810 10 110y x x yx y x y+ = + +⎧
⎨ + + + =⎩
(2) 46
塾 TV(2015 年 4 月版)
09
【一問一答 j-13】連立方程式 速さ
【一問一答 j-14】連立方程式 生徒数の増減(割合)
□1 家から 1800m離れた中学校まで 20 分で行きたい。歩く速さを毎分 75m、走る速さを毎分 100mとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 歩く距離と走る距離をそれぞれ xm、 ymとして連立方程式をつくれ。 1800
2075 100
x yx y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩
��
��
(2) 歩く距離と走る距離はそれぞれ何mにすればよいか。 600, 1200x y= =
(1) 1800
2075 100
x yx y
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩
��
��
(2) 歩く距離…600 (m) 走る距離…1200 (m)
□1 ある中学校の昨年度の生徒数は 470 人であったが、今年度は男子が昨年より 6%減少し、女子が昨年より 5%増加して、全体では4人減少したという。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 昨年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ、 x人、 y人として、連立方程式をつくりなさい。
47094 105 466100 100
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
�� �� ��
(2) 今年度の男子、女子の生徒数を求めよ。 250, 220x y= = ただし、これは昨年度の人数なので、
今年度の男子→ 94 250 235100
× =
今年度の女子→ 105 220 231100
× =
(1) 470
94 105 466100 100
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
�� �� ��
(2) 男子…235(人) 女子…231(人)
塾 TV(2015 年 4 月版)
010
【一問一答 j-15】連立方程式 食塩水(割合)
【一問一答 j-16】連立方程式 列車(速さ)
1 6%の食塩水と3%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を 300gつくりたい。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 連立方程式をつくりなさい。 (2) 6%の食塩水と3%の食塩水をそれぞれ何g混ぜればよいか。
(1) 300
6 3 5300100 100 100
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ + = ×⎪⎩
(2) 6%… 200(g) 3%… 100(g)
□1 ある電車が一定の速さで走っている。この電車が 730mの鉄橋を渡り始めてからわたり終わるまでに 38 秒かかった。また、620mのトンネルに入り終わってから、出始めるまでに 16 秒かかった。このとき,次の問いに答えよ。
(1) この電車の長さを xm,速さを /ym �として連立方程式をつくれ。
38 73016 620y x
y x
⎧ = +⎨
= −⎩
��
��
(2) この電車の長さと速さを求めなさい。 220, 25x y= =
(1) 38 73016 620y xy x= +⎧
⎨ = −⎩
(2) 長さ…220 (m) 速さ…25 (m/秒)
塾 TV(2015 年 4 月版)
011
【一問一答 j-17】連立方程式 湖(速さ)
□1 周囲が 2100mの池がある。花子と太郎が、この池の周囲を同じ地点から出発して自転車で進むことにした。一回目は、2 人が反対の方向に回ることにし、同時に出発したところ、7 分後に始めて出会った。二回目は同じ方向に回ることにし、同時に出発したところ、42 分後にちょうど太郎が花子に一周差をつけた。このとき,次の問いに答えよ。
(1) 太郎と花子の分速の速さをそれぞれ xm/秒, /ym �として連立方程式をつくれ。
(2) 太郎と花子の分速の速さを求めなさい。
(1) 7 7 210042 42 2100x y
x y
⎧ + =⎨
− =⎩
��
��
(2) 太郎…175 (m/分) 花子…125 (m/分)
塾 TV(2015 年 4 月版)
012
【一問一答 k-01】1次関数 1次関数の式→グラフ
【一問一答 k-02】1次関数 1次関数のグラフ→式
1 次の 1次関数のグラフを図にかけ。 (1) 3 4y x= − (2) 3y x= − +
(3) 3 12
y x= −
(4) 1 34
y x= − +
�
2 次のグラフの直線の式を求めよ。
(1) 2y x= +
(2) 2 3y x= − +
(3) 2 43
y x= − −
(4) 2y x= −
(4)
塾 TV(2015 年 4 月版)
013
【一問一答 k-03】1 次関数 1 次関数の基礎知識
【一問一答 k-04】1次関数 1次関数の式(文章) □1 次の直線の式を求めなさい。 (1) 傾きが3で,点(1,2)を通る直線。
y ax b= + 2=3×1+b
b=-1 (2) 変化の割合が-2で, 4x = のとき, 4y = − となる。 y ax b= + -4=-2×4+b b=4 (3) 直線 3 2y x= − に平行で,点(4,2)を通る直線。 y ax b= + 2=3×4+b b=-10 (4) 点(3,7)を通り, xの増加量が 2のとき, y の増加量が 8になる直線の式。 y ax b= + 7=4×3+b a= 8
2=4
b=-5 (5) 切片が 1 で,(2,5)を通る直線。 y ax b= + 5=2×a+1 a=2
(1) 3 1y x= −
(2) 2 4y x= − +
(3) 3 10y x= −
(4) 4 5y x= −
(5) 2 1y x= +
1 次の文章は、y=ax+bの中のある文字の情報を述べたものである。 それぞれ、どの文字がいくらであるかを答えなさい。 (1) 変化の割合が-2である。 (2) 切片が 3 である。 (3) x=2 のとき、y=-5 である。 (4) xの増加量が 3のとき、yの増加量が 12 である。
a = 12
3= 4
(1) a = −2
(2) b = 3
(3) x = 2, y = −5
(4) a = 4
塾 TV(2015 年 4 月版)
014
【一問一答 k-04】1次関数 1次関数の式(図)
【一問一答 k-05】1次関数 2点を通る直線(文章)
【一問一答 k-05】1次関数 2点を通る直線(図)
(1) 2 1y x= − −
(2) 2y x= −
□1 次の 2点を通る直線の式を求めなさい。 (1) )3,1(),3,2( −− ★2 点を通る直線は→連立方程式! y ax b= + に代入する。
3 23
a ba b
= − +⎧⎨− = +⎩
��
� 2, 1a b= − = −
(2) )2,4(),3,1( −−
32 4
a ba b
− = − +⎧⎨ = +⎩��
1, 2a b= = −
□1 右の図のような直線 ℓがある。直線ℓの傾きは 2で、点A(-4,-3)を通っている。直線 ℓの式を求めよ。
y = ax + bに、 a = 2、 x = −4,y = −3を代入して bを求める。
(1) y = 2x +5
□1 右の図のように、点 A(-4,-3)、点 B(-1,6)の2点を通る直線 ℓの式を求めよ。
★2 点を通る直線は→連立方程式!
−3= −4a + b6 = −a + b⎧⎨⎩
a = 3,b = 9
(1) y = 3x + 9
塾 TV(2015 年 4 月版)
015
【一問一答 k-06】1次関数 1次関数のグラフ上の座標
【一問一答 k-07】1次関数 1次関数の変域
� � � � � � � � y � m 8y x= − + � ℓ � 52 += xy � � �(1,7)
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� �
� �� � � � � � � � � �(8,0) � x �
� � � � �
□1 右の図のように、点 A、点 B があり、直線 ℓの式は
52 += xy 、直線mは傾きが-1の直線である。直線 ℓ、mの交点 Cの x座標が 1であるとき、次の問いに答えよ。
(1) 点 C の y座標を求めよ。
点Cは 2 5y x= + 上にあるので、 2 5y x= + に 1x = を代入
する。 2 5y = + 7y =
(2) 直線mの式を求めよ。
【k-04】の内容
y ax b= + →傾きがー1なので y x b= − +
これに、点C(1,7)を代入。 7 1 b= − + 8b =
(3) 点 A、点 B の座標を求めよ。
点Aは(?,0)なので、 2 5y x= + に 0y = を代入。
0 2 5x= + 52
x = −
点Bは(?,0)なので、 8y x= − + に 0y = を代入。
0 8x= − + 8x =
(1) 7
(2) 8y x= − +
(3)
A 5 ,02
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
B (8 , 0)
5 ,02
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
□1 次の問いに答えなさい。 (1) 2 1y x= − において、 xの変域が1 6x� � であるとき、 yの変域を求めよ。 (2) 3 2y x= − において、xの変域が 3 2x− � � であるとき、yの変域を求めよ。 (3) 2 4y x= − + において、 xの変域が 2 5x− � � であるとき、 yの変域を求め
よ。 8 6y −� � としないように注意。
(1) 1 11y� �
(2) 11 4y− � �
(3) 6 8y− � �
塾 TV(2015 年 4 月版)
016
【一問一答 k-08】1次関数 1次関数と変化の割合
【一問一答 k-09】1次関数 2元1次方程式
� �
�
� � � � �【一問一答 k-10】1次関数 x=●、y=●の直線
1 次の方程式を 1次関数の形に直しなさい。 (1) 3 3 9x y− = − y =の形に等式変形する。 3 3 9y x− = − − 3y x= +
2 次の1次関数で,xの値が-2から 1まで増加したときの yの増加量を求めなさい。
(1) 2 3y x= − − yx����
���������
に当てはめて解くとよい。
-2 -1 0 1 2 3 → xの増加量は3
yの増加量を kとおくと
23k− = � ��
�� �� 6k = −
(2) 3 2y x= +
(1) 6−
(2) 9
(1) 3y x= +
2 図の(1)~(3)の直線の式を求めよ。
(1) x = 4
(2) y = 2
(3) y = −6
塾 TV(2015 年 4 月版)
017
【一問一答 k-11】1次関数 文章→関数の式 1(ろうそく)
【一問一答 k-12】1次関数 文章→関数の式 2(水そう)
(1) 0.8 6y x= − +
(2) 7.5時間後
(3)
0 7.5x� �
0 6y� �
□2 長さ 6cmのろうそく A に火をつけると 1 時間に 0.8 ㎝ずつ短くなっていく。ろうそく Aに火をつけてから x時間
後のろうそく A の長さを ycmとするとき、次の問いに答えよ。
(1) yを xの式で表せ。
(2) ろうそくAが燃え尽きるのは火をつけてから何時間後
か。
(3) x、 yの変域をそれぞれ不等号を用いて表せ。
(1) 2 18y x= − +
(2)① 16
② 14
③ 12
④ 10
⑤ 5
(3) 0 9x� �
0 18y� �
□4 水槽に 18ℓの水が入っている。いま、この水槽から毎分2ℓずつ排水していく。排水しはじめてから x分後の水槽
の水の量を yℓとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) yを xの式で表せ。
(2) 右の x、 yの対応表を完成せよ。
(3) x、 yの変域をそれぞれ不等号を用いて表せ。
x � 0 1 2 3 4 ⑤
y � 18 ① ② ③ ④ 8
塾 TV(2015 年 4 月版)
018
【一問一答 k-13】1次関数 1次関数と交点の座標
【一問一答 k-14】1次関数 グラフ上の三角形の面積 1
� � � � � � � � y � y = −x +8 � 52 += xy � � �(1,7)
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � �(8,0) � x
�� − 52,0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟� � �
� � � � �
□1 (1) 三角形 ABC の面積を求めよ。 底辺AB・・・ 5 5 16 218
2 2 2 2+ = + =
21 1 14772 2 4× × =
(1) 1474
□1 右の図で、 ℓは2点 A(-4、0)、B(0,4)を通る直線であり、直線mの式は 9
23 +−= xy である。2直線 ℓ、
mの交点を C、直線mと x軸との交点 D の座標を(6,0)とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線ℓの式を求めよ。 直線 l は(0,4)を通る直線なので 4y ax= +
これに点A(-4,0)を代入して aを求めると 1a =
(2) 点 C の座標を求めよ。 ★交点の座標は、=で結ぶ!
4x + =3 92x− + この方程式を解くと、 2x =
これが x座標になり、 2x = を 4y x= + 、3 92
y x= − + の
どちらかに代入すると、 6y = となる。
(1) 4y x= +
(2) (2,6)
� � � � � � � � y �
m 923 +−= xy
� � � � � ℓ 4+= xy � � � � � � � � � � � � �(2,6) � � � � � � � � � � B(0,4)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A(-4,0) � � � � � � D(6,0)
� x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
塾 TV(2015 年 4 月版)
019
【一問一答 k-15】1次関数 グラフ上の三角形の面積 2
□1 右の図で、直線 1 22
y x= − + と放物線 y = −xが点 A
で交わっており、 1 22
y x= − + と直線ℓとの交点 B
の x座標は2である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 点 B の座標を求めよ。 【k-06】の内容
y = − 1
2x + 2に x=2 を代入。
(2) 点 A の座標を求めよ。 【k-13】の内容 ★交点の座標は、=で結ぶ!
− 1
2x + 2 = −xの方程式を解く。
(3) △ABOの面積を求めよ。 △CBO △CAO △CBO+△CAO
= 2× 4× 12
= 4
= 2× 2× 12
= 2
(1) (2,1)
(2) (−4,4)
(3) 6
塾 TV(2015 年 4 月版)
020
� 【一問一答 k-16/k-17】1次関数 1次関数と動点(変域/式) (2) 点 P が辺 CD 上にある場合 すでに 3 秒間歩いてきている点 Pが C から Dまでの 4cmをたどり着くのに 2秒かかるので,xの変域は 3<x <5となる。また,点 Pが,B からスタート して歩いた道のり,つまり BP の長さはやはり 2xcmとなる。 また,△ABP の面積は,点 Pが CD 上のどこに あっても,底辺が 4cm,高さが 6cmで変わらないので,
△ABP の面積=12 ×底辺 AB×高さ 6cm
y = 12 × 4 × 6
(3) 点 P が辺 DA 上にいる場合 スタート地点の Bからすでに 5秒間歩いてきている 点 P が,ゴール地点の Aにたどりつくには,あと 3 秒かかるので, xの変域は 5< x<8 となる。 また,①,②と同様に△ABP の面積を求めると,
△ABP の面積=12×底辺 AB×高さ AP
となるのだが,この高さ AP を、 xを使ってあらわすと, AP=(BC+CD+DA)-BP と考えることが出来るので, =( 6 +4 +6 )― 2x =(16- 2x)
よって, △ABPの面積= 12×底辺AB×高さAP
y = 12 × 4 ×(16- 2x)
変域 0 3x� �
式 4y x=
変域 3 5x� �
式 12y =
変域 5 8x� � 式 4 32y x= − +
□1 AB=4cm,BC=6cmの長方形 ABCD がある。点 Pは B を出発し,長方形の辺上を毎秒 2cmの速さで,C,
D を通り,A まで進むものとする。点 P が B を出発してから x 秒後の△ABP の面積を ycm2とするとき,点 P
が次の辺上にある場合の xと yの関係を式にあらわせ。また,xの変域も書け。 (1) 点 P が辺 BC 上にある場合 点 P が B から C までの 6 cmをたどり着くのに 3秒かかるので xの変域は0< x<3となる。また,点 Pが,B から歩いた 道のり(BP の長さ)は, 速さ×時間=2 cm /秒× x秒間 =2 x cm
よって△ABP の面積= 12 × 底辺 AB×高さ BP
= × 4 × 2
塾 TV(2015 年 4 月版)
021
【一問一答 k-18】1次関数 ダイヤグラム 1
(1) 毎分80m
(2) 60y x=
(3) 150 4500y x= −
(4) 50分後
□1 A さんは,家から m3600 離れたおばさんの家まで,途中
の公園での休みを入れて合計 60 分で行った。右の図は,
A さんが歩いた様子をグラフにあらわしたものである。
このとき,次の問いに答えなさい。
(1) 家から公園までの Aさんの歩く速さは毎分何mか。
)(my �������3600 �
② 2400=y � � � ③ xy 60= � � � � � � � � ��2400 � � � � � � � � �� ① xy 80= �� � � � � � � � � � � � � � � � � �④ 150 4500y x= − ��� ��
� �� � � � � � 30 � � � 40 � � � � 60 � � �)(�x � � �
��� � � � � � � � � � �
関数の応用問題は,とにかくグラフを最大限に利用しよう。
原点を通る直線なので, y ax= 。点 ( )30,2400 を通っているので,
代入して, 80a = 。ちなみにグラフの傾き aは,速さにあたる。
【一問一答 k-19】1次関数 ダイヤグラム 2
(2) xの変域が ������ 6040 x xy� の式であらわせ。
★2点を通る直線の式は、連立方程式。 点 ( )40,2400 ,( )60,3600 を通る直線なので,それぞれ y ax b= + に代入する。
2400 40a b= + …①
3600 60a b= + …②
連立方程式で解くと, 60a = , 0b = となる。
【一問一答 k-20】1次関数 ダイヤグラム 3 (3) A さんが家を出てから 30分後に,姉が毎分 m150 の速さの自転車で Aさんのあとを追いかけた。姉が家を出ておばさんの家に着くまでの xと yの関係を式で表せ。
姉の直線をグラフに書き込むとすると,点 ( )30,0 を通り,傾き150の直
線となる。
よって, 150y x b= + に ( )30,0 を代入すると, 4500b = − となり,
150 4500y x= − …図の④
(4) 姉が A さんに追いつくのは,Aさんが家を出てから何分後か。
姉がAさんに追いつく地点というのは,2つの直線の交点を指しているの
で,「交点の座標は=で結んで」出すと,150 4500 60x x− =
90 4500x = 50x =
塾 TV(2015 年 4 月版)
022
【一問一答 k-21】1次関数 1次関数と方程式 1
【一問一答 k-22】1次関数 1次関数と方程式 2(差)
� � � � � � � �� ℓ m A � � � � � � � � � � � � � � � � � B � � � � � � � � � � x O� � � � � � � � � � � �
2 右の図のように、2直線 ℓ・・・ 43 −= xy 、 223 +=… xym
があり、その交点を P とする。直線 ℓ上の P より右側に点 Aをとり、Aを通って y軸に平行な直線と、mとの交点を B とする。点 A の x座標を kとして、次の問いに答えよ。
(1) AB=3 のとき、次の①、②に答えよ。 ① kの値を求めよ。 AB の長さ=3という方程式を立てればよい。
3 6 32k − =
② 点 Aの座標を求めよ。
(1)① 6k =
②
A(6、14)
1 右の図のように、直線 ℓ・・・ 122 +−= xy があり、ℓとx軸、 y軸との交点をそれぞれ P、Qとする。線分 PQ上に点 A をとり、A を通って x軸に平行な直線と y軸との交点を B、Aを通って y軸に平行な直線と x軸との交点を Cとして長方形OBAC をつくる。点 Aの x座標を kとして、次の問いに答えよ。
(1) 四角形 OBAC が正方形となるとき、次の①、②に答えよ。 ① kの値を求めよ。 正方形なので、AB=AC という方程式を立てればよい。 2 12k k= − + 3 12k = 4k = ② 点 Aの座標を求めよ。
(1)① 4k =
② A(4,4)
� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � ℓ �� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � �� � � � � � � ������ � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � ���
塾 TV(2015 年 4 月版)
023
【一問一答 k-23】1次関数 1次関数と回転体
� � � � � � � � y m 8+−= xy � ℓ 52 += xy � �(1,7)
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� �
� �� � � � � � � � �(8,0) � x �
� � � � �
□2 右の図のように、点 A ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛− 0,25
、点 Bがあり、直線 ℓの
傾きは 2、直線mの式は 8+−= xy である。直線 ℓ、mの交点を Cとするとき、次の問いに答えよ。
(1) 点 B の座標を求めよ。 【k-06】の内容 点B( ?,0 )は直線m 上にあるので、 0y = を 8y x= − + に代入する。
そうすると, 8x = となる。
(2) 直線ℓの式を求めよ。 【k-04】の内容
直線 l は傾きが2,A 5 ,02
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠を通る直線なので,
↓ ↓
2a = 5 , 02
x y= − =�� を y ax b= + に代入。
(3) 交点 Cの座標を求めよ。 【k-13】の内容 ★交点の座標は、=で結ぶ!
2 5 8x x+ = − + 方程式を解くと、
1x = これが x座標になり、 1x = を
2 5y x= + 、 8y x= − + のどちらかに代入すると、
7y = となる。
(4) △ABC の面積を求めよ。 【k-14】の内容 底辺↓ 面積↓
5 825 162 2212
+
= +
=
��
21 172 21474
× ×
=
��
(5) △ABC を x軸で回転させたときにできる立体の体積を求めよ。
21 17 72 3
3432
π
π
× × × ×
=
(1) (8,0)
(2) 2 5y x= +
(3) (1,7)
(4) 1474
(5) 3432
π
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛− 0,25
塾 TV(2015 年 4 月版)
024
【一問一答 k-24】1次関数 三角形の面積二等分線
□1 右の図のように、点 A ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛− 0,25
、点 B(8,0)があり、
直線 ℓ、mの式はそれぞれ、 52 += xy 、 8+−= xy で
ある。直線 ℓ、mの交点を C とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 交点 C の座標を求めよ。 【k-13】の内容 ★交点の座標は、=で結ぶ!
2 5 8x x+ = − + 方程式を解くと、
1x = これが x座標になり、 1x = を
2 5y x= + 、 8y x= − + のどちらかに代入すると、
7y = となる。
答えが出たらグラフでチェック!→位置的におかしくない。
(2) B,Cの中点の座標を求めよ。 ★中点の座標は、足して2で割る! B(8,0) C(1,7)
x座標→ 8+1=9 1 992 2
× =
y座標→0+7=7 1 772 2
× =
中点の座標をMとすると、M 9 7,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(3) 点 A を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求めよ。 ★三角形の面積二等分線は、中点と頂点を通ればよい!
★2点を通る直線は、連立方程式! よって、A、Mを通る直線の式を求めればよい。
y ax b= + にそれぞれ、
A5 ,02
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠を代入 M
9 7,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
を代入
502a b= − + ・・・①
7 92 2
a b= + …②
①、②を連立で解くと、1 5,2 4
a b= =
�
�
(1) C(1,7)
(2) 9 7,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(3) 1 52 4
y x= +
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛− 0,25
� � � � � � � � y m 8+−= xy � ℓ 52 += xy � �(1,7)
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
27,
29
� �
� �� � � � � � � � �(8,0) � x �
� � � � �
塾 TV(2015 年 4 月版)
025
【一問一答 k-25】1次関数 平行四辺形の面積二等分線
� � � � � � � � y �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � (0,7) � � � � � � � � � � � � � � � � � A(2,6) B(8,6)
M(4,3) � x �
� � � � � � � � � � � � � � C(6,0)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
□4 右の図のように、3 点 A(2,6),B,C(6,0)があり、四角形 OABC は平行四辺形である。これについて、次の問いに答えよ。
(1) OA を通る直線の式を求めよ。【e-04】の内容 原点を通る直線なので y ax=
これに点 A(2,6)を代入して aを求めると 3a =
★答えが出たらグラフでチェック!→傾き具合がちょうど
よい。
(2) 点 B の座標を求めよ。 点 O から点 Aまで→横に 2、縦に 6なので 点 C から点 Bまでも同様に考える。
(3) A,Cの中点の座標を求めよ。 ★中点の座標は、足して 2で割る! A(2,6) C(6,0)
x座標→ 2+6=8 18 42
× =
y座標→6+0=6 16 32
× =
中点の座標をMとすると、M(4,3)
(4) 点 E(0,7)を通り、平行四辺形 OABC の面積を二等分する直線の式を求めよ。 ★平行四辺形の面積二等分線は、
対角線の交点を通ればよい! 点(0,7)を通るので、 7y ax= +
また M(4,3)を通ればよいので、 7y ax= + に代入
1a = −
(1) 3y x=
(2) 点B・・・(8,6)
(3) (4,3)
(4) 7y x= − +
塾 TV(2015 年 4 月版)
026
【一問一答 l-01】平行と合同 多角形の内角の和・外角の和
【一問一答 l-02】平行と合同 正多角形の 1つの内角・1つの外角
【一問一答 l-03】平行と合同 1 つの内角→正多角形
1 次の問いに答えなさい。 (1) 十一角形の内角の和を求めよ。
( )180 2n − に当てはめる ( )180 11 2−
=1620 (2) 九角形の外角の和を求めよ。
(1) 1620 °
(2) 360°
□2 次の問いに答えなさい。 (1) 内角の和が 720°である多角形は何角形か。 n角形の nが問われている。
( )180 2 720n− = の方程式を解けばよい。
(2) 1 つの内角の大きさが 144°であるのは,正何角形か。 正 n角形の nが問われている。 ( )180 2 144n n− = の方程式を解けばよい。 あるいは 180-144 360÷36=10 =36 (3) 1 つの外角の大きさが 72°であるのは,正何角形か。 正 n角形の nが問われている。 外角の和は,何角形でも 360°なので
360÷72 =5
(1) 六角形
(2) 正十角形
(3) 正五角形
1 次の問いに答えなさい。 (1) 正八角形の 1 つの内角の大きさを求めよ。 ( )180 2n − 180(8-2) 1080÷8=135 =180×6 =1080 (2) 正六角形の 1 つの外角の大きさを求めよ。 360÷6=60
(1) 135°
(2) 60°
塾 TV(2015 年 4 月版)
027
【一問一答 l-04】平行と合同 対頂角
【一問一答 l-05】平行と合同 平行線の同位角/錯角
【一問一答 l-06】平行と合同 平行線の間の角
1 次の図で, ∠xの値を求めなさい。 (1) (2)
(1) 45°x∠ =
(2) 60°x∠ =
2 次の図で, ℓ //mのとき、 ,x y∠ ∠ の値を求めなさい。
(1) (2)
2 次の図で, ℓ //mのとき、 ,x y∠ ∠ の値を求めなさい。
(1) (2)
(1)
58°x∠ =
122°y∠ =
(2)
104°x∠ =
85°y∠ =
(1) 86°x∠ =
(2) 70°x∠ =
塾 TV(2015 年 4 月版)
028
【一問一答 l-07】平行と合同 二等分線と角
【一問一答 l-08】平行と合同 ブーメラン型
【一問一答 l-09】平行と合同 三角形の合同条件
□2 次の図で、∠ xの大きさを求めなさい。 (1) (2) (3) 15° 18°
□1 次の図で、∠ xの大きさを求めなさい。 (1) (2)
(1) 80°
(2) 124°
x
30°
x
x
25° 40°
(1) 138°
(2) 106°
(3) 82°
□1 三角形の合同条件を3つ答えよ。
(1) 3組の辺がそれぞれ等しい
(2) 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(3) 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
塾 TV(2015 年 4 月版)
029
【一問一答 l-10】平行と合同 三角形の合同証明 1
【一問一答 l-11】平行と合同 三角形の合同証明 2
Α C O D B
□3 AO=BO、AC //DB のとき、△AOC≡△BOD を証明せよ。
�
�
(証明) �� AOC と△BOD において AO=BO(仮定)・・・① ∠AOC=∠BOD(対頂角)・・・② ∠CAO=∠DBO(平行線の錯角)・・・③ ①、②、③より 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 �� AOC≡△BOD となる よって、対応する辺は等しいので、 AC=BD となる
�
�
1 ∠ABC の二等分線上に点 Dをとり、AB=CB とするとき、△ABD≡△CBD となることを証明せよ。
�
(証明) �� ABD と△CBD において AB=CB(仮定)・・・① ∠ABD=∠CBD(仮定)・・・② BD=BD(共通)・・・③ ①、②、③より 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ABD≡△CBD となる
�
�
Α D B C
塾 TV(2015 年 4 月版)
030
【一問一答 l-12】平行と合同 三角形の合同証明 3
【一問一答 l-13】平行と合同 図形の折り曲げ(基礎)
2 図のように、点 Aを共有する2つの正三角形 ABC と正三角形 ADE があるとき、BD=CE となることを証明せよ。
�(証明) △ABD と△ACE において AB=AC(仮定)・・・① AD=AE(仮定)・・・② ∠BAD=∠CAE(=60°―∠DAC)・・・③ ①、②、③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ABD≡△ACE となる
よって、合同な図形の対応する辺は等しいので、 BD=CE �
1 図は、長方形 ABCD を線分 EF を折り目にして、頂点 C がAB 上の点 C’ にくるように折り返したもので、折り返した
CD が AE と交わる点を Gとする。BC=18cm BF=8cm、
∠CFB=38°のとき、次の問いに答えよ。
(1) C’ F の長さを求めよ。
(2) ∠CFE の大きさを求めよ。
(3) ∠FEG の大きさを求めよ。
(4) ∠AGC’ の大きさを求めよ。
(1) 10cm
(2) 71°
(3) 71°
(4) 53°
塾 TV(2015 年 4 月版)
031
【一問一答m-01】三角形と四角形 二等辺三角形と正三角形
【一問一答m-02】三角形と四角形 直角三角形の合同証明
□2 次の図形の ,x yの値を求めよ。 (1) (2) ℓ//m
(3) ℓ//m
�
�
(1) ∠ 50x = °�
(2) ∠ 50x = °�
(3) ∠ 22x = °�
1 右の図のように,△ABC の2辺 AC,AB に B,C から垂線を引き,その交点をそれぞれ D,E とする。このとき,CD=BE であれば,△BDC≡△CEB となることを証明しなさい。
(証明)
△BDC と △CEB において
∠BDC =∠CEB(=90°)・・・①
BC=CB ( 共通 )・・・②
CD= BE ( 仮定 )・・・③
直角三角形で,
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので,
△BDC≡△CEB
塾 TV(2015 年 4 月版)
032
【一問一答m-03】三角形と四角形 平行四辺形になるための条件
【一問一答m-04】三角形と四角形 平行四辺形の証明 1(対角線)
(1) 2組の対辺がそれぞれ平行である。
(2) 2組の対辺がそれぞれ等しい。
(3) 2組の対角がそれぞれ等しい。
(4) 1組の対辺が平行で、その長さが等しい。
(5) 対角線がそれぞれの中点で交わる。
1 四角形が平行四辺形となるための5つの条件を答えよ。
□1 右の図のように、垂直でない2直線�、µが点 Oで交わっている。直線ℓ上に 0A=OB となる異なる 2点A、B をとり、A、B から直線mにそれぞれ垂線を引き、交点を C、D として、四角形 ADBC をつくる。このとき、四角形 ADBC は平行四辺形であることを証明せよ。
�
�
�
(証明)
�� AOC と△BOD において
∠ACO=∠BDO(=90°)・・・①
AO=BO(仮定)・・・②
∠AOC=∠BOD(対頂角)・・・③
①、②、③より
直角三角形で、斜辺とひとつの鋭角がそれぞれ等しいので、
△AOC≡△BOD となる よって、合同な図形の対応する辺は等しいので、 CO=DO・・・④
②、④より 対角線がそれぞれの中点で交わるので 四角形 ADBC は平行四辺形である
塾 TV(2015 年 4 月版)
033
【一問一答m-05】三角形と四角形 平行四辺形の証明 2(1 組の対辺)
【一問一答m-06】三角形と四角形 面積の等しい三角形
□4 図のように、平行四辺形 ABCD の対角線の交点を Oとし、BO 上に点 E、DO 上に点 F を、AE//CFとなるようにとるとき、四角形 AECF は平行四辺形となることを証明せよ。
(証明)
△AOE と△COF において AO=CO(仮定)・・・①
∠AOE=∠COF(対頂角)・・・②
∠EAO=∠FCO(平行線の錯角)・・・③
①、②、③より 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △AOE≡△COF よって、AE=CF・・・④
また、AE//CF(仮定)・・・⑤
④、⑤より 1 組の対辺が平行でその長さが等しいので 四角形 AECF は平行四辺形である
�
□1 右の図において、四角形 ABCD は平行四辺形で、EF // BD とする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) △ABEと面積の等しい三角形をひとつあげよ。 AD//BC に着目する。 (2) △DBE と面積の等しい三角形をひとつあげよ。 EF//BD に着目する。 (3) △DBF と面積の等しい三角形をひとつあげよ。 AB//CD に着目する。 �
(1) △DBE
(2) △DBF
(3) △ADF
塾 TV(2015 年 4 月版)
034
【一問一答m-07】三角形と四角形 五角形 → 三角形の等積変形
□1 四角形 ABCD があり、辺 BC を C の方向に延長した直線上に点 Pをとる。四角形 ABCD と面積の等しい△ABP をつくれ。
D A B C P 2 五角形 ABCD があり、辺 CD をそれぞれ C、D の方向に延長した直線上に点 P、点 Q をとる。五角形 ABCDE と面積の等しい△APQ をつくれ。
A B E P C D Q
塾 TV(2015 年 4 月版)
035
【一問一答 n-01】確率 サイコロの確率
【一問一答 n-02】確率 カードの確率 1
(1) 16
(2) 536
(3) 536
(4) 518
(5) 736
□1 大、小 2 個のサイコロを同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。 (1) 2つの目の数が同じ数になる確率。 (2) 出る目の数の和が6になる確率。 (3) 出る目の数の和が8である確率。 (4) 出る目の差が1である確率。 (1,2) (2,1) (2,3) (3,2) (3,4) (4,3) (4,5) (5,4) (5,6) (6,5) (5) 出る目の和が 5の倍数である確率。 和の最小は(1,1)の 2、和の最大は(6,6)の 12。よって、あり得る 5の倍数は 5、10 の 2 つのみ。 和が 5・・・(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 和が 10・・・(4,6) (5,5) (6,4)
(1) 12通り
(2) 12
(3) 12
(4) 13
1 1 から 4 までの 4 つの数字が1つずつ書かれた 4枚のカードから2 枚のカードを続けて抜き出し、左から順に並べて 2 けたの自然数をつくるとき、次の問いに答えよ。
(1) 2 けたの整数は全部で何通り考えられるか。 (2) 2 けたの整数が 30 以上である確率を求めよ。 (3) 2 けたの整数が偶数である確率を求めよ。 (4) 2 けたの整数が 3の倍数である確率を求めよ。
塾 TV(2015 年 4 月版)
036
【一問一答 n-03】確率 カードの確率 2
【一問一答 n-04】確率 色球の確率
(1) 12通り
(2) 60通り
(3) 15
(4) 25
2 1 から 5 までの 5 つの数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードから 3枚のカードを続けて抜き出し、左から順に並べて 3けたの整数をつくるとき、次の問いに答えよ。
(1) 百の位が 1 である 3 けたの整数は全部で何通りできるか。 (2) 3 けたの整数は全部で何通り考えられるか。 (3) 3 けたの整数が 200 以下の確率を求めよ。 (4) 3 けたの整数が偶数である確率を求めよ。
(1) 35
(2) 715
□1 次の確率を求めなさい。 (1) 赤玉2個と白玉 3 個の入った袋の中から、玉を同時に 2 個取り出すとき、赤玉と白
玉が 1個ずつである確率。 あ2 × あ1 あ1 あ1 あ1 し1 ○ し1 ○ あ2 あ2 あ2 あ1 し2 ○ あ2 し2 ○ し1 し2 × し2 し1 し3 し1 し3 ○ し3 ○ し3 × し3× し2 (2) 赤玉 2 個と白玉 4 個の入った袋の中から、玉を同時に 2 個取り出すとき、2 個とも
同じ色である確率。 �
□2 赤玉 3個と白玉 2個の入った袋の中から、玉を同時に 2個取り出すとき、次の確率を求めなさい。
(1) 2個とも白玉である確率。 (2) 2 個とも赤玉である確率。 (3) 赤玉が 1 個以上である確率。
(1) 110
(2) 310
(3) 910