Download - 3.1.3《 空间向量及其运算 -- 数量积 》
教学目标• ⒈ 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;• ⒉ 掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法
及运算律;• ⒊ 掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决
立体几何中的一些简单问题.• 教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应
用.• 教学难点:两个向量数量积的几何意义.• 授课类型:新授课 .• 课时安排: 1 课时 .
一、几个概念1 ) 两个向量的夹角的定义
abba
ba
,,
,0
=被唯一确定了,并且
量的夹角就在这个规定下,两个向范围:
bababa 互相垂直,并记作:与则称如果 ,2
,
O
A
Ba
a
b b
2 )两个向量的数量积
注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量 . ②零向量与任意向量的数量积等于零。
bababa
ba
babababa
aaOAaOA
,cos
,
,,cos,
,,
即记作:
的数量积,叫做向量,则已知空间两个向量
记作:的长度或模的长度叫做向量则有向线段设
3) 空间向量的数量积性质
aaa
baba
eaaea
2
)3
0)2
,cos)1
对于非零向量 ,有:对于非零向量 ,有:,a b
是证明两向量垂直的依据
是求向量的长度(模)的依据
4) | || |;a b a b a b 当 与 同向时,
|;||| bababa
反向时,与当
特别地 2|| aaa
aaa
||或 2a
为单位向量e
6) | | | || |a b a b
共线时取等号与ba
用来求两个向量的夹角
空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质 .
4) 空间向量的数量积满足的运算律
分配律))
交换律)
()(3
()2
)()()1
cabacba
abba
baba
注意:数量积不满足结合律即 ) ( )a b c a b c (
另外 ¿a b a c b c
及 0 0 0¿a b a b
或
二、 课堂练习
.________,
2,2
2,22.1
所夹的角为则
已知
ba
baba
)()4
)()()3
)()()()2
)(0,0,01
.2
22
222
qpqpqp
qpqp
cbacba
baba
则若)
判断真假:
0135
×
×
×
×
不一定为锐角
不一定为钝角
A
D
F
C
B
E
3.
1
1 (2)
(3) (4)
ABCD
E F AB AD
EF BA EF BD
EF DC EF AC
��������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
如图:已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于,点 、 分别是 、 的中点。
计算:()
已知空间向量 a , b 满足 |a|=4 , |b|=8 , a 与 b 的夹角是 150° ,计算: (1)(a+2b)·(2a-b) ; (2)|4a 一 2b| .
三、典型例题例 1 :已知 m,n 是平面内的两条相交直线,直线 l 与的交点为 B ,且 l m⊥ , l n⊥ ,求证: l⊥分析:由定义可知,只需证 l 与平面内任意直线 g 垂直。
n
mg gm n
l
l
要证 l 与 g 垂直,只需证 l·g= 0 而 m , n 不平行,由共面向量定
理知,存在唯一的有序实数对 (x,y) 使得 g=xm+yn
要证 l·g = 0, 只需 l· g= xl·m+yl·n=0而 l·m = 0 , l·n = 0故 l·g = 0
例 2 :已知:在空间四边形 OABC 中 OA BC⊥ ,
OB AC⊥ ,求证: OC AB⊥ACOBCBOA ,证明:由已知
A
B
C
O
0)(
0)(
0,0
OAOCOB
OBOCOA
ACOBBCOA所以
OAOBOCOB
OBOAOCOA
所以
0
0)(
0
OCBA
OCOBOA
OCOBOCOA所以
ABOC 所以
巩固练习:利用向量知识证明三垂线定理
lAO
P
, 0
, 0
0
, .
l a
PO l PO l PO a
OA l OA a
PA a PO a OA a
a PA l PA
������������������������������������������
����������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
������������� �
证明:取的方向向量
而
又
即
,
,
PO PA OA PA
l l OA
l PA
已知: 分别是平面 的垂线,斜线, 是在 内的射影, 且求证:
a
例 3 如图,已知线段 在平面 内,线段
,线段 ,线段 , ,如
果 ,求 、 之间的距离。
例 3 如图,已知线段 在平面 内,线段
,线段 ,线段 , ,如
果 ,求 、 之间的距离。
AC
BD AB DD 30DBD
,AB a AC BD b C D
AB
解:由 ,可知 .
由 知 .
AC AC AB
30DBD , 120CA BD
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
| | ( )
| | | | | | 2
2 2
2 cos120
CD CD CD CA AB BD
CA AB BD CA AB
CA BD AB BD
b a b b
a b
2 2CD a b
b
a
b
C
A B
D'
D
例 4 已知在平行六面体 中, ,
,
求对角线 的长。
例 4 已知在平行六面体 中, ,
,
求对角线 的长。
ABCD A B C D 4AB
3 , 5 , 90 , 60AD AA BAD BAA DAA
AC
D' C'
B'
D
A B
C
A'
解: AC AB AD AA
2 2
2 2 2
2 2 2
| | ( )
| | | | | |
2( )
4 3 5 2(0 10 7.5)
85
AC AB AD AA
AB AD AA
AB AD AB AA AD AA
| | 85AC
1. 已知线段 、 在平面 内, ,线段
,如果 ,求 、 之间的距离 .AB BD BD AB AC
, ,AB a BD b AC c C D
c
a b
C
A B
D
解:∵2 2
2 2 2
2 2 2
| | ( )
| | | | | |
CD CA AB BD
CA AB BD
a b c
2 2 2CD a b c
2. 已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于
,点 分别是边 的中点。
求证: 。
2. 已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于
,点 分别是边 的中点。
求证: 。
ABCD
a M N、 AB CD、
,MN AB MN CD
N
M
A
BD
C
证明:因为 MN MA AD DN
所以
2 2 2
( )
1 1 10
2 4 4
AB MN AB MA AD DN
AB MA AB AD AB DN
a a a
MN AB
同理,MN CD
3. 已知空间四边形
,求证: 。
3. 已知空间四边形
,求证: 。
, ,OABC OB OC AOB AOC
OA BC
O
A C
B
证明:∵( )
| | | | cos | | | | cos
| | | | cos | | | | cos
0
OA BC OA OC OB
OA OC OA OB
OA OC OA OB
OA OB OA OB
OA BC
4. 如图,已知正方体 , 和 相交于
点 ,连结 ,求证: 。4. 如图,已知正方体 , 和 相交于
点 ,连结 ,求证: 。
ABCD A B C D CD DC
O AO AO CD
O
D'
C'B'
A'
DA
B C
已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,
点 分别是 的中点,求下列向量的
数量积:
已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,
点 分别是 的中点,求下列向量的
数量积:
ABCD a
E F G、 、 AB AD DC、 、
(1) (2) (3) AB AC AD DB GF AC
; ; ;
(4) (5) (6) .EF BC FG BA GE GF
; ;
G
F
E
A
B
C
D
作业讲评
作业讲评
如图,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a ,点 E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 DC 的中点。求下列向量的数量积:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
AB AC AD BD
GF AC EF BC
��������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
练习 1
A
B
C
D
EF
G
在平行四边形 ABCD 中, AB=AC=1 ,∠ ACD=90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60° 角,求 B , D 间的距离.
练习 2
已知空间四边形 OABC 中, M , N , P , Q 分别为 BC , AC ,OA , OB 的中点,若 AB=OC ,求证: PM⊥QN .
证明:
练习 4
练习 5
如图,在正三棱柱 中,若 ,
则 与 所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
1 1 1ABC ABC
1AB 1C B
12AB BB
060 090 0105 075
6.如图,在空间四边形ABCD中,2AB,3BC,23BD,3CD,30ABD,60ABC,求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆
解: CD BD BC
, ∴ AB CD AB BD AB BC
| | | | cos ,AB BD AB BD
| | | | cos ,AB BC AB BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ 3 1cos ,
2 3 2| | | |
AB CDAB CD
AB CD
,
∴ AB与CD的夹角的余弦值为1
2.
说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 , 150AB BD
易错写成 , 30AB BD
,注意推敲!
3 )射影
eaeaABBA
e
lABBABlBAl
AllelaAB
,cos
,
11
1111
射影。方向上的正射影,简称或在
上的在轴叫做向量,则上的射影在作点上的射影
在点同方向的单位向量。作上与是,和轴=已知向量
B
A
l
eA1
B1
注意: 在轴 l 上的正射影 A1B1 是一个可正可负的实数,
它的符号代表向量 与 l 的方向的相对关系,大小代表
在 l 上射影的长度。
注意: 在轴 l 上的正射影 A1B1 是一个可正可负的实数,
它的符号代表向量 与 l 的方向的相对关系,大小代表
在 l 上射影的长度。
AB��������������AB��������������
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