3.5. Інтегрування раціональних і
ірраціональних дробів із квадратним
тричленом у знаменнику
1.Нехай треба знайти ∫𝑅(𝑥)𝑑𝑥, де 𝑅(𝑥) =𝑃(𝑥)
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, причому 𝑃(𝑥)–многочленn-
гостепеня (𝑎 ≠ 0),тобто𝑅(𝑥) =
𝑎0𝑥𝑛+𝑎1𝑥
𝑛−1+⋯𝑎𝑛−1𝑥 +𝑎𝑛
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.
Здійснивши ділення многочленів з остачею
(виділивши цілу частину), дістанемо:
𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥) +𝑝𝑥+𝑞
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, де 𝑄(𝑥)- многочлен,
що має меншу степінь, ніж многочлен 𝑃(𝑥).
Інтегрування 𝑄(𝑥) не викликає труднощів.
Отже, залишається ∫𝑝𝑥+𝑞
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑑𝑥.
Знаходження інтеграла такого виду зводиться
до відшукання одного чи двох з указаних
нижче стандартних інтегралів:
∫𝑑𝑥
𝑥 ± 𝑎; ∫
𝑑𝑥
𝑥2 ± 𝑎2; ∫
𝑑𝑥
(𝑥 ± 𝑎)2; ∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 ± 𝑎2 ,
які є табличними. Для цього в знаменнику
підінтегральної функції слід виділити повний
квадрат і здійснити очевидну заміну змінної.
Пр-д 3.5
∫𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 + 10=1
√6𝑎𝑟𝑐 tg
𝑥 + 2
√6+ 𝑐.
Пр-д 3.6
∫𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 − 10=
1
2√14ln |𝑥 + 2 − √14
𝑥 + 2 + √14| + 𝑐
Пр-д 3.7
∫3𝑥 − 2
𝑥2 − 2𝑥 + 5𝑑𝑥 =
3
2ln(𝑥2 − 2𝑥 + 5) +
+1
2𝑎𝑟𝑐 tg
𝑥 − 1
2+ 𝑐.
2.До найпростіших ірраціональних дробів із
квадратним тричленом у знаменнику
належать дроби вигляду 𝑞
√𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠ 0).
Зауважимо, що їх інтегрування виконується
також, як правило, після виділення повного
квадрата у знаменнику й зведення таких
інтегралів до стандартних:
∫𝑑𝑥
√𝑎2−𝑥2; ∫
𝑑𝑥
√𝑥2±𝑎2.
Пр-д 3.8
∫𝑑𝑥
√−𝑥2 − 2𝑥 + 3= 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥 + 1
2+ 𝑐.
Пр-д 3.9
∫3𝑥 − 2
√𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =3√𝑥2 + 2𝑥 − 3
− 5 ln |𝑥 + 1 + √𝑥2 + 2𝑥 + 3| + 𝑐.
3.6.Інтегрування дробово-раціональних
функцій
Означення3.5. Дробово-раціональною функцією
(або раціональним дробом) називається функція, яка
дорівняє відношенню двох многочленів 𝑓(𝑥) =𝑃𝑚(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥), де 𝑃𝑚(𝑥)- многочлен степені 𝑚, а 𝑄𝑛(𝑥)-
многочлен степені 𝑛.
Раціональний дріб називається правильним,
якщостепінь чисельника менше степеня знаменника,
тобто m<n, у протилежному випадку – дріб
неправильний.
3.7. Розкладання раціональних дробів на
найпростіші
Розглянемо дробово-раціональну функцію
,
01...1
1
01...1
1
bxbmxm
bmxmb
axanxn
anxna
xmQ
xnP
де
коефіцієнти mbbbnaaa ,...,1
,0
,,...,1
,0
дійсні числа.
Нехай дріб неправильний, тоді діленням
чисельника на знаменник виділяємо цілу частину,
тобто
xmQ
xnP=
xmQ
xk
RxmnP ( k < m ), xmnP - ціла
частина.
Дріб
xmQ
xk
R - дріб правильний. Розкладемо
знаменник на множники й подамо цей правильний
дріб у вигляді суми найпростіших з невизначеними
коефіцієнтами. Визначимо числові значення
коефіцієнтів.
Приклад.
23
232632
xx
xxxдріб неправильний.
Тоді ціла частина – 2, залишок - 2324 xx .
Тобто
122324
223
23242
23232632
xx
xx
xx
xx
xx
xxx.
122324
xx
xx=
12
x
C
x
B
x
A (корінь х=0 кратності 2).
Тоді
23
232632
xx
xxx
1
3221
2
xxx
.
3.8. Інтегрування найпростіших
раціональних дробів
1) CaxAdxax
A
ln , тут А, а -const;
2)
C
naxn
AC
n
naxA
ndxnax
A
1
11
11
)(
3)
pxqpxx
Ddx
qpxx
CBx
22
0
2
qpxxB
2ln2
CD
pxarctg
D
BpC
2
21)
2( ;
4)
0
1
)2( D
ndx
nqpxx
CBx
=
1
12
2 n
nqpxx
B
n
ay
dyBpC
222, де
,2
pxy 2aD .
Таким чином
,21
212)2(
nIBp
Cn
qpxxn
Bdx
nqpxx
CBx
де nI визначається за допомогою формули (*).
3.9. Схема інтегрування раціональних дробів
1. У неправильному раціональному дробі за
допомогою ділення „кутом” виділяємо цілу частину.
2. У правильному раціональному дробі
знаменник розкладаємо на множники.
3. За допомогою методу невизначених
коефіцієнтів розписуємо правильний нескоротний
раціональний дріб на суму найпростіших.
4. Цілу частину і найпростіші дроби
інтегруємо.
Приклад.
∫(𝑥3 − 3)𝑑𝑥
𝑥4 + 10𝑥2 + 25
Розкладемо підінтегральний дріб на елементарні
доданки:
а) 𝑥4 + 10𝑥2 + 25 = (𝑥2 + 5)2
б) 𝑥3−3
(𝑥2+5)2=
𝐴𝑥+𝐵
𝑥2+5+
𝐶𝑥+𝐷
(𝑥2+5)2
в) 𝑥3 − 3 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 5) + 𝐶𝑥 + 𝐷 =
𝐴𝑥3 + 5𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 5𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥3 𝐴 = 1; 𝐴 = 1,
𝑥2 𝐵 = 0; 𝐶 = −5,
𝑥1 5𝐴 = 𝐶 = 0; 𝐷 = −3,
𝑥0 5𝐵 + 𝐷 = −3; 𝐵 = 0
Отже, 𝑥3−3
(𝑥2+5)2=
𝑥
𝑥2+5−
5𝑥+3
(𝑥2+5)2
Інтегрування ірраціональних виразів
Основна ідея: за допомогою підстановки звести
підінтегральну функцію до дробово-раціональної
або до раціональної функції від тригонометричних
аргументів.
1. В інтегралі вигляду cbxaxqpx
dx
2)(, де
, , , ,p q a b c - дійсні числа, зробимо підстановку
1px qt
, потім під коренем виділимо повний
квадрат і скористаємося табличним інтегралом.
Прилад 1.
11
411
1
1
1
142
2
2
2
ttt
dtt
dtt
dx
tx
xxx
dx
414414
411
1
22
2
2
2
tt
dt
tt
dt
ttt
dtt
.1421
ln321
21
ln
3)2()2(ln3)2(
2
2
2
2
Cxxx
xC
xx
Cttt
dt
2. В інтегралі вигляду , ,q pn sm rR x x x dx
зробимо підстановку ,kx t k Н.С.К. найменше
спільне кратне чисел , ,n q s і перейдемо до
розв’язання інтегралу від раціональної функції.
Приклад 2.
(2,3) 6
36 1 15 36 6 653 3 2 1 16
6
3 21 1 11 16 6
1 1 1 1
126 11
НСК
tx tdx t dt t dt dtt tdx t dt t tx x
t t
t t t tdt dt dt dt
t t t t
t t dt dtt
3 26 ln 1
3 2
3 6 62 3 6 6ln 1
t t t t C
x x x x C
3. В інтегралі вигляду
, ,m p rqn sR ax b ax b ax b dx
зробимо
підстановку ,kax b t k Н.С.К. - найменше
спільне кратне знаменників чисел , ,n q s і
перейдемо до розв’язання інтегралу від
раціональної функції.
Приклад 3.
(2,3) 6
6 36 6 11 11 56
53 261
61
10 7 49 6 36 6710 4
6 6 66 6610 7 4(1 ) (1 ) (1 )710 4
3 6 333 65 7 2(1 ) (1 ) (1 )5 7 2
НСК
t tx t x tx x dx t dt
dx t dt tx
t x
t t tt t t dt C
x x x C
x x x C
4. В інтегралі вигляду
dx
Sr
dcx
baxnm
dcx
baxxR ,...,, зробимо
підстановку ),...,.(.. SnKCH
tdcx
bax
.
Н.С.К.- найменше спільне кратне знаменників n,
..., s.
Приклад 4.
Cxx
xx
x
x
C
x
x
x
x
x
x
Ct
ttdt
tdt
t
dtt
dtt
dtt
dttt
dtt
dttt
dtt
dttt
t
dtt
t
t
tt
dtt
tdx
t
tx
tx
x
x
dx
x
x
11
11ln
2
1
1
1arctg2
11
1
11
1
ln2
1
1
1arctg2
1
1ln
2
1arctg2
1
1
1
12
1
12
1
12
1
14
1
1
1
1
2
1
1
14
11
1
1
14
114
1
4
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
22
2
22222
22222
2
222
2
22
2
2
2
(використовуючи метод невизначених коефіцієнтів,
знайдемо останній інтеграл)
5. В інтегралі вигляду
dx
pq
pxxRdxqpxxxR
4
22
2;())
2(;(
після виділення повного квадрата робимо
підстановку ,2
yp
x .4
2
2
ap
q
Приходимо до інтеграла .)(;2
22
dyay
pyR
Для кореня 22 ay робимо підстановку
.atgy
Для кореня 22 ay робимо підстановку
.sin
ay
Для кореня 22 ya робимо підстановку
.sinay
Інтеграл з коренем 22 ay в області дійсних
чисел не існує.
Приклад 5.
1)1()1(22)1( 2222 xx
dx
xxx
dx
2222
2sin
cos
1coscos
1
1d
tgtg
d
ddx
tgx
.1
)1(1
1
sin
11
cos
sin
2
2
2
cx
x
ctg
tgcc
tt
dt
dtd
t
Інтеграли від диференціальних біномів
.)( dxpnbxamx
П.Л. Чебишев довів, що якщо хоча б одне із
чисел pn
m
n
mp
1,
1, є цілим, то інтеграл від
диференціального бінома виражається через
елементарні функції. В інших випадках інтеграл не
виражається через елементарні функції.
За теоремою Чебишева:
1) якщо p- ціле, k
ln
s
rm , , ( nm, нескоротні
дроби), то робимо підстановку ),.(.. KSKCHtx .
Приклад 6.
102
3
3
4
4
104 )1(
4
4
10,4
1,
2
1
1 tt
dtt
dttdx
xt
tx
pnm
xx
dx
C
xx
Ctt
t
dt
t
dt
t
dtt
t
tdt
948
4
98
1091010
)1(9
1
12
1
)1(9
1
18
14
)1()1()1(
)11(4
)1(4
2) якщо
n
m
s
rp
1, ціле, то робимо підстановку
Sn tbxa .
Приклад 7
Cx
Ct
dttt
tdtxdx
xt
tx
n
m
pnm
dxxx
3
3)12(
3
3
12
212
11
2
1,2,1
21
3) якщо
pn
m
s
rp
1, ціле, то робимо
підстановку S
n
n
tx
bxa
.
Приклад 8
14, 2,2
1 4 1 1 22 2
212 21 ,24 21
1 ,2 31 2 1
1 12 3( 1) 12 2 2( 1) 1
2( 1)212 2( 1) ( 1)
2 2 2( 1) 1
213 13 3
m n p
m pn
dx xx t txx x
tdtx dxt
t
tdt
tt t
tdt t dttt t
t t
xt t C
3
216 2
32 21 1
13 3
x Cx x
x xC
xx
Підстановки Ейлера
Розглянемо інтеграл dxcbxaxxR );( 2 .
1. Якщо ,0,0 Da то
cbxaxaxt 2 перша підстановка
Ейлера Тоді .2
2
bat
ctx
2. Якщо 0,0 Dс то cbxaxcxt 2
друга підстановка Ейлера Тоді .2
2
bat
ctx
3.Якщо 0D , (якщо підкореневий вираз має два
дійсних кореня), то 1
2
xx
cbxaxt
(
1x - один із
коренів рівняння )02 cbxax третя
підстановка Ейлера. Тоді at
axxtx
2
21
2
.
Приклад 9
dtt
ttdx
t
tx
xxxt
dxxx
xxx
2)1(
322
2
1;
22
32
322
322
3221
dt
t
tt
t
tt
t
2)1(
322
2
1
22
32
1=
.322 cxxxctdt
Інтегрування тригонометричних функцій
),( vuR – раціональна функція своїх аргументів,
xu sin , xv cos .
Розглянемо інтеграл від суперпозиції функцій
dxxxR cos;sin (*).
За допомогою деяких тригонометричних
підстановок інтеграл (*) зводиться до інтеграла від
дробово-раціональної функції.
1. Універсальна тригонометрична підстановка
Обчислення невизначених інтегралів виду
∫𝑅(𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 зводиться до обчислення
інтегралів від раціональної функції підстановкою
𝑡𝑔𝑥
2 = 𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
2𝑡𝑔𝑥
2
1+𝑡𝑔2𝑥
2
=2𝑡
1+𝑡2 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1−𝑡𝑔2𝑥
2
1+𝑡𝑔2𝑥
2
=1−𝑡2
1+𝑡2;
x=2arctgt, dx=2
1+𝑡2𝑑𝑡.
Тому:∫𝑅(𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑅(2𝑡
1+𝑡2; 1−𝑡2
1+𝑡2) ∗
2
1+𝑡2𝑑𝑡 = ∫ 𝑅1(𝑡)𝑑𝑡, де 𝑅1(𝑡)- раціональна функція
від t.
Приклад 10.
∫𝑑𝑡
3+𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=
{
𝑡𝑔
𝑥
2= 𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑥 =2𝑡
1+𝑡2
𝑐𝑜𝑠𝑥 =1−𝑡2
1+𝑡2
𝑑𝑥 =2𝑑𝑡
1+𝑡2 =
2 ∫
𝑑𝑡
1+𝑡2
3+2𝑡
1+𝑡2+1−𝑡2
1+𝑡2
=
= 2∫𝑑𝑡
3 + 3𝑡2 + 2𝑡 + 1 − 𝑡2= 2∫
𝑑𝑡
2𝑡2 + 2𝑡 + 4
= ∫𝑑𝑡
𝑡2 + 𝑡 + 4= ∫
𝑑𝑡
(𝑡 +1
2)2 +
7
4
=2
√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2(𝑡 +1
2)
√7=2
√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2𝑡 + 1
√7
=2
√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2𝑡𝑔𝑥
2+ 1
√7+ 𝐶
2. Якщо ),(),( vuRvuR , то можна
використовувати підстановку
2121sin
t
t
xtg
tgxxtxtg
,
21
1
21
1cos
txtgx
, x = arctg t і
21 t
dtdx
,
.2121
1;
21)cos;(sin
t
dt
tt
tRdxxxR
Приклад 11
∫𝑑𝑥
1+𝑠𝑖𝑛2𝑥= {
𝑡 = 𝑡𝑔𝑥; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡
𝑠𝑖𝑛2𝑥 =𝑡2
1+𝑡2; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
1+𝑡2
=
R(-sinx; -cosx)=R(sinx; cosx)
∫
𝑑𝑡
1+𝑡2
1 +𝑡2
1+𝑡2
= ∫𝑑𝑡
1 + 2𝑡2=1
2∫
𝑑𝑡
𝑡2 +1
2
=√2
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡1
√2
=1
√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√2𝑡 =
1
√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√2𝑡𝑔𝑥) + 𝐶
3. При обчисленні xdxmxn cossin зручно, якщо
12 kn , зробити підстановку cos x= t, а якщо
12 km то sin x = t.
Наприклад:
dtxdx
txxdxxkxnxdxkxn
cos
sincos2cossin12cossin
dtk
tnt 21 . Далі розкриваємо дужки й
кожний доданок інтегруємо.
Якщо nm – парне, то за допомогою формул
,2
2cos1cos2
xx
2
2cos1sin 2
xx
,
2
2sincossin
xxx - знижуємо степінь.
Приклад 12.
dxxxx
dxxx
xdxx
)23cos22cos2cos1(8
1
2
2
2cos1
2
2cos14sin2cos
;6
23sin
8
4sin
28
1
6
23sin
2
2sin
8
4sin
2
1
2
2sin
8
1
2cos22sin12
4cos1
2
2sin
8
1
Cxxx
Cxxx
xx
x
xdxxdxxx
x
Використання тригонометричних перетворень
4. Інтеграли вигляду ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 ∗
𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥 обчислюються за
допомогою відомих формул тригонометрії:
𝑠𝑖𝑛𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =1
2(sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽))
𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =1
2(cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽))
𝑠𝑖𝑛𝛼 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =1
2(cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽))
Приклад 13
∫𝑠𝑖𝑛8𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =1
2∫(𝑠𝑖𝑛6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛10𝑥)𝑑𝑥
=1
2(−𝑐𝑜𝑠6𝑥
6−𝑐𝑜𝑠10𝑥
10)
= −𝑐𝑜𝑠6𝑥
12−𝑐𝑜𝑠10𝑥
20+ 𝐶
5. Інтеграли вигляду: ∫ 𝑡𝑔𝑚𝑥 𝑑𝑥 і ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑚 𝑥 𝑑𝑥
При знаходженні таких інтегралів, де m- ціле
додатне число використовуються формули 𝑡𝑔2𝑥 =1
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1 і 𝑐𝑡𝑔2𝑥 =
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥− 1
За допомогою яких поступово знижують степінь
тангенса або котангенса
Приклад 14.
∫𝑡𝑔7𝑥 𝑑𝑥
= ∫𝑡𝑔5𝑥 (1
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥
= ∫𝑡𝑔5𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 −∫𝑡𝑔3𝑥(
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥
=𝑡𝑔6𝑥
6−𝑡𝑔4𝑥
4+ ∫𝑡𝑔3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔6𝑥
6−tg4x
4
+ ∫𝑡𝑔𝑥 (1
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔6𝑥
6−𝑡𝑔4𝑥
4
+𝑡𝑔2𝑥
2+ 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝐶
.
Приклади інтегралів, що не виражаються
через елементарні функції :
,2
dxe x
dxnx
xe ( 1n ),
dxnx
xsin ( 1n ), dx
x
xn
cos ( 1n ),
dxxPxRn
))(;( ( 3n ), xk
dx22 sin1
( 1;0k ),
dxxk 22 sin1 ( 1;0k )