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3B08P4 課堂討論
圖中直立五角棱錐的高是 12 cm ,而斜棱的長度是 15 cm ,N 點是由頂點 V 至底的垂直線與底的交點,即 VNA = VNB = VNC = VND = VNE = 90º 。求 NA 、 NB 、NC 、 ND 和 NE 。
V
A
B C
D
E
N
NA = cm
NB = cm
NC = cm
ND = cm
NE = cm
9
9
9
9
9
除了用幾何的方法,先證明 ΔVNA , ΔVNB ,ΔVNC , ΔVND , ΔVNE 全等外,我們亦可用代數的方法 ( 畢氏定理 ) ,得出直立棱錐從頂點至底的垂直線與底相交於一點,而該點與底部的多邊形各頂點等距。
除了用幾何的方法,先證明 ΔVNA , ΔVNB ,ΔVNC , ΔVND , ΔVNE 全等外,我們亦可用代數的方法 ( 畢氏定理 ) ,得出直立棱錐從頂點至底的垂直線與底相交於一點,而該點與底部的多邊形各頂點等距。
3B08P10 課堂練習
圖中所示為某牌子的巧克力。它的形狀是個三棱錐,其中BDC = ADB = ADC = 90 ,而且 AD = 6 cm , BD = DC = 3 cm 。求(a) 巧克力的體積;
(b) 巧克力的總表面積。
3cm 9巧克力的體積
2cm 36巧克力的總表面積
3 cm3 cm
6 cm
A
B C
D
3B08P19 課堂練習
一塊等腰三角形的路牌三邊長度為 25 cm 、 25 cm 及 34 cm 。若它繞著對稱軸來旋轉,試寫出所形成的立體名稱,然後求該立體的總表面積和體積,答案準確至最接近的整數。
體積 = 5 547 cm3
立體:圓錐總表面積 = 2 243 cm2
3B08P23a 課堂活動
通過以下的方法,我們嘗試驗證 。334
rV 球體的體積
利用兩塊木塊及間尺量度球體的半徑 r 。
V1 = 400 cm3V1 = 400 cm3 V2 = 433.5 cm3
(準確至一位小數 )
V2 = 433.5 cm3
(準確至一位小數 )
cm 2
cm 2
)37(
r
cm 2
cm 2
)37(
r
先讀出有刻度量筒中水的體積,然後將球體完全浸入量筒的水中, 再讀出量筒中水的體積 。
上升的水的體積 V= V2 V1
= (433.5 400) cm3
= 33.5 cm3
)( cm 5.33)2(3
4
3
4 333 準確至一位小數 ππr
3B08P23b 課堂活動
根據 (1) 的結果,代入想驗證的式子:
3
34
rV 3
34
rV
再試用不同大小的球體重複以上的步驟,我們便可驗證到球體的體積 。
根據 (2) 的結果,
33.5 cm333.5 cm3
因此,球體的體積便是 V 。
V1 = 400 cm3V1 = 400 cm3
V2 = 433.5 cm3V2 = 433.5 cm3
r = 2 cmr = 2 cm
可見球體的體積 V 等於以上式子求得的答案。
3B08P28 課堂練習
明輝有一個用鉛造的球,它的體積是 3 600 cm3 。( 所有答案須準確至最接近的整數。 )
1. 求鉛球的表面面積。
2. 明輝把這個鉛球熔掉,然後再鑄造出兩個相同的鉛球。(a) 求這兩個鉛球的總表面積。
(b) 問總表面積增加的百分數?
1 136 cm2
1 431 cm2
26%
3B08P34 課堂練習
代數式 線性量度 二次量度 三次量度 維數
a 2r
a3 r2a
2ra
a2 r2
6a2 + 2ra 2r2
圖中是一個邊長為 a 的正方體,內有一個半徑為 r 及高度為 a 的圓柱形的洞。試在下表適當位置內加「」來表示該代數式所屬的量度,並填上代數式的維數。
1
3
2
2
2
a
r
用長度計算放大的比例因子 = 用長度計算放大的比例因子 =
用闊度計算放大的比例因子 = 用闊度計算放大的比例因子 =
3B08P36 課堂探討
3 cm3 cm 6 cm6 cm
2
2
4 cm4 cm 8 cm8 cm
圖 (b) 是放大後的圖 (a) 。圖 (b) 是放大後的圖 (a) 。
圖 (b) 圖 (b)圖 (a)
比例因子 = 2比例因子 = 2
圖 (d) 是縮小後的圖 (c) 。圖 (d) 是縮小後的圖 (c) 。
圖 (c) 圖 (d)
6 cm6 cm 4 cm4 cm
用闊度計算縮小的比例因子 = 用闊度計算縮小的比例因子 =
用長度計算縮小的比例因子 = 用長度計算縮小的比例因子 = 3
2
32
比例因子 = 比例因子 = 32
9 cm9 cm 6 cm6 cm在兩個相似平面圖形中,某兩個對應線性量度的比等於其他任何兩個對應線性量度的比。
3B08P37 課堂探討
相似圖形相似圖形
線段長度的比線段長度的比
面積的比面積的比
‧ ‧1.4 cm 3 cm
AB
A 的邊長B 的邊長 = ( )
( )
線段長度的比線段長度的比
面積的比面積的比
A 的半徑B 的半徑 = ( )
( )
2 cmB
2 cm
3
2
2
21
21
的面積的面積
B
A
2
2
2
的面積的面積
B
A
1.4
3
3 3
2 2
3
2
1.4
3
1.4
3
等腰直角三角形
3 cm
3 cm
A
圓形兩個相似平面圖形面積的比,等於該兩個圖形中任何兩個對應線性量度的比的平方。
3B08P42 課堂探討相似立體相似立體
線段長度的比線段長度的比
體積的比體積的比
P 的長度Q 的長度= ( )
( )
線段長度的比線段長度的比
體積的比體積的比
P 的半徑Q 的半徑= ( )
( )
PQ
Q
5 cm
25 cm
3
31
31
的體積的體積
Q
P
3
2
2
的體積的體積
Q
P
4
3
42 8
32 6
4
3
2
5
2 10
5 25
2
5
‧
4 cm
8 cm
3 cm
6 cm
正方棱錐
圓柱體
P
2 cm
10 cm
‧
兩個相似立體體積的比,等於它們之中任何兩個對應線性量度的比的立方。
3B08P44a 課堂練習
在圖中,一個直立圓錐 M 被分割成為三部分,分別是一個與它相似的直立圓錐 X ,一個立體 Y 和一個立體 Z ,而且它們的高度都是 2 。如果 M 的底半徑是 12 ,求
2
2
2
12
X
Y
Z
1 : 7 : 19
(b) X 的體積: Y 的體積: Z 的體積。
(a) X 的曲面面積: Y 的曲面面積: Z 的曲面面積;1 : 3 : 5
M
(c) 如果沒有提供所有長度的數值,只知道 X 、 Y 和 Z 的高度一樣 ,以上兩部的結 果是否會維持不變? 是
3B08P44b 課堂練習
圖中是一個正四面體,高為 10 cm 。它被分割成一個較小的正四面體 A 及一個立體 B 。設 A 的高為 h cm 。
(a) 求 A 的體積: B 的體積。
(b) 若 A 的體積 = B 的體積,求 h 的值, 準確至一位小數。
h3 : 1 000 – h3
)( 7.9 5003
準確至一位小數h
10 cm
h cm
A
B