Bagian 5Integrasi
Dalam bagian 5 Integrasi, kita akan mempelajari konsep dasar integrasi, teknik-teknik dasar integrasi, dan integral tertentu. Ada delapan teknik dasar yang akan dipelajari, yaitu metode u-substitusi, integral bagian, integral sin dan cos berpangkat, integral sec dan tan berpangkat, integral fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, integral fungsi hiperbolis, dan integral dengan berbagai macam substitusi. Penguasaan teknik integrasi yang sempurna akan membantu Anda dalam mengikuti mata kuliah lain, yaitu Matematika II, Matematika III, Matematika IV, Analisa Struktur, dan Hidrolika. Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 5 Integrasi adalah Anda akan mampu : 1. Menjelaskan kembali prinsip anti turunan 2. Menyelesaikan soal integral tak tentu dengan menggunakan delapan
teknik dasar integrasi. 3. Menghitung integral tertentu.
5.1 Konsep Anti Turunan
Isaac Newton (1669) mengemukakan permasalahan integrasi dalam De Analysi per Aequetiones Numero Terminorum Infinitas yang dipublikasikan tahun 1711. Leibniz menemukan tahun 1673 dan dipublikasikan 11 November 1675. Seperti telah dikemukan pada bagian sebelummnya, konsep integral dibangun dari permasalahan menghitung luas.
Kita pandang suatu masalah:
A’(x) = h
xAhxAh
)()(0
lim −+
→
Matematika Teknik 1\Integrasi 70
Secara sederhana, pandang kasus dimana h > 0. Pembilang pada sisi kanan persamaan dibedakan atas dua luasan. Luasan antara a dan (x + h) dikurangi luasan antara a dan x. Jika dimisalkan c adalah titik tengah antara x dan (x + h) maka perbedaan luasan ini dapat diperkirakan dengan luasan segiempat dengan dasar h dan tinggi f(c). Jadi
=−+
hxAhxA )()(
hhcf ).(
Hal ini kelihatannya masuk akal, bahwa kesalahan dalam memprkirakan persamaan tersebut akan mendekati nol sebagaimana h→0 .
Al’(x) = h
xAhxAh
)()(0
lim −+
→
hcf
h
)(lim
0→=
Karena c adalah titik tengah antara x dan (x + h), hal tersebut menyatakan bahwa c→0 sebagaiman h→0. Tapi kita mempunyai asumsi f akan menjadi sebuah fungsi yang kontinu, jadi f(c)→f(x) sebagaimana c→x. Oleh karena itu:
0hlim(x)A1'→
= f(x)h
f(c)=
Sebuah fungsi dinamakan anti turunan dari fungsi f dalam selang yang diberikan jika F’(x) = f(x) untuk semua nilai x pada interval tersebut. Contoh 5.1 Carilah antiturunan fungsi x2 Penyelesaian Fungsi-fungsi x3/2 + 1, x3/3 – π, x3/3 – C adalah anti turunan pada interval (-≈, +≈) untuk fungsi f(x) = x2. Contoh-contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah fungsi dapat mempunyai banyak anti turunan. Dalam kenyataannya, jika F(x) adalah sembarang anti turunan f(x) dan C adalah sembarang konstanta, maka: F(x) + C adalah juga anti turunan fungsi f(x). Dengan kata lain setiap anti turunan f(x) pada suatu interval dinyatakan dalam bentuk seperti di atas dengan C adalah konstanta. Proses untuk mendapatkan anti turunan ini dinamakan antidifferensiasi atau integrasi yang biasanya ditulis sebagai berikut:
∫ += CxFxf )()(
Matematika Teknik 1\Integrasi 71
∫ adalah lambang integrasi, f(x) dinamakan integran, dan C konstanta
Pernyataan di atas dibaca: Integrasi tak tentu f(x) sama dengan F(x) + C.
Rumus-rumus Integral Tak Tentu
Rumus Differensiasi Rumus Integrasi
[ ] 1=xdxd ∫ += Cxdx
rxr
rxdxd
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
1
1 ∫ +
+
+= C
r
rxdxrx1
1
[ ] xxdxd cos)sin( = ∫ += Cxdxx )sin()cos(
[ ] )sin()cos( xxdxd
=− ∫ += Cxdxx )sin()sin(
[ ] )(2sec)tan( xxdxd
= ∫ += Cxdxx )tan()(2sec
[ ] )(2cos)(cot xecxgdxd
=− ∫ +−= Cxgdxxec )(cot)(2cos
[ ] )tan().sec()sec( xxxdxd
= Cxdxxx +=∫ )sec()tan().sec(
[ ] )(cot).(cos)(cos xgxecxecdxd
=− ∫ +−= Cxecdxxgxec )(cos)(cot).(cos
Integrasi tak tentu mempunyai sifat-sifat:
∫ ∫= dxxfCdxxfC ).()(.
[ ]∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )().()()(
Contoh 5.2 Evaluasi dan ∫ dxx .3 ∫ dx. Penyelesaian:
Cxdxx +=∫ 43
41.
Cxdx +=∫ . Bentuk lain integrasi dapat dinyatakan sebagai berikut.
∫ += CtFdttf )().(
Matematika Teknik 1\Integrasi 72
Contoh 5.3
Evaluasi ∫ dxx
.13
Penyelesaian:
∫ dxx
.13 C
xCxCxdxx +−=+
−=+
+−=
−+−−∫ 2
2133
21
213.
Contoh 5.4 Evaluasi ∫ ++ dxxx ).1( 23
Penyelesaian:
∫ ++ dxxx ).15( 23 ∫∫∫ ++= dxdxxdxx .1.5. 23
( )CxCxCx ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += 34
31.5
41
Cxxx +++= 34
35
41
Latihan Soal 5.1
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integrasi di bawah ini.
1. 2. ∫ dxx .6 dxx
.17∫
3. 4. dxx .9/5∫ dxxx ..3∫
5. 6. duuu .)73( 3∫ +− dxxxx .)tan(secsec∫ +
7. dxxx.
cos2sin
∫ 8. dtt
t .213
3
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
5.2 Integrasi U-substitusi
Integrasi u-substitusi merupakan teknik yang paling mudah dalam menyelesaikan persoalan integral. Kita memilih fungsi permisalan u dari sebuah integran. Jika fungsi u sudah dipilih, selanjutnya semua unsur yang mengandung nilai x kita gantikan dengan nilai u. Langkah-langkah penyelesaian teknik integrasi u-substitusi adalah: a. Pilih fungsi yang diganti, misalkan u = g(x) b. Hitung du/dx = g’(x) c. Buat substitusi u = g(x) dan du = g’(x)dx
Matematika Teknik 1\Integrasi 73
d. Evaluasi proses integrasi e. Gantikan u oleh g(x) untuk jawaban akhir dalam x.
Contoh 5.5
Evaluasi ∫ + xdxx 250)12( Penyelesaian :
∫ + xdxx 250)12( misal : u = x2 + 1 du = 2x dx
( )∫ + 2xdx1x 502 = u.du50
∫
= C51u15
+
= ( ) C
511x 512
++
Contoh 5.6 ( )∫ + .dx9xSin Evaluasi
Penyelesaian :
( )∫ + .dx9xSin misalkan : u = x + 9 du = dx
( )∫ + .dx9xSin = ∫Sin(u).du = - Cos (u) + C = - Cos (x + 9) + C Contoh 5.7
.dxx
xCos∫Evaluasi
Penyelesaian :
.dxx
xCos∫ misalkan : u = √x
2du = dxx
1
∫ .dxx
xCos = ∫Cos(u).2du
= 2Sin(u) + C = 2Sin √x + C
Matematika Teknik 1\Integrasi 74
Latihan Soal 5.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Selesaikan soal integral di bawah ini dengan menggunakan teknik integral u-substitusi.
1. ∫ dxxx
.sin1 2. ∫
+dx
xx .
543
2
2. 4. ∫ +++ dxxxx .)57)(72( 5/42 ∫ + dxxx .12
3. ∫ + dxxx .21 2 6. ∫ −dx
x.
)31(1
2
5.3 Integrasi Bagian Teknik integrasi bagian umumnya dilakukan jika kita menjumpai integran terdiri dari dua fungsi yang berbeda. Untuk integran yang terdiri dari dua buah fungsi, ada bagian integran yang dimisalkan sebagai fungsi u=g(x) dan unsur yang lain dimisalkan sebagai dv. Rumus umum untuk menyelesaikan soal integrasi bagian adalah:
∫ ∫−= duvvudvu ... Dalam hal ini kita harus hati-hati menentukan mana fungsi permisalan u dan mana bagian yang merupakan dv. Contoh 5.8 Evaluasi ∫ .Cos(x).dxex
Penyelesaian:
∫ .Cos(x).dxex misal u = ex du = ex dx dv = Cos (x) dx v = Sin (x)
∫ .Cos(x).dxex ∫= dvu.
= ∫− du.vv.u
( ) ∫−= dxexSinxSine xx .).(. misal u = du = ex dx dv = Sin (x).dx v = -Cos (x) [ ]∫ −−−−= dxexCosxexe xxx .).(cos.sin.
Matematika Teknik 1\Integrasi 75
∫ .Cos(x).dxex = 0,5ex.Sin (x) + 0,5ex.Cos (x) + C Contoh 5.9 Evaluasi ∫ .dxx.ex
Penyelesaian:
∫ .dxx.ex misal: u = x du = dx dv = ex.dx v = ex
∫ .dxx.ex ∫= u.dv
∫−= v.du.vu
∫−= dxeex xx ..
Ceex xx +−= . Berdasarkan dua contoh di atas, dapat dibuat kesimpulan, bahwa penyelesaian soal integral dengan menggunakan teknik integrasi bagian akan menjumpai 3 (tiga) kemungkinan jawaban, yaitu: 1. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) lebih sederhana dari integral soal ( ∫ dvu. ),
maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir.
2. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) setara dengan integral soal ( ∫ dvu. ), maka permisalan fungsi u dan dv sudah betul. Penyelesaian dapat diteruskan untuk mendapatkan jawaban akhir. Pada langkah selanjutnya akan ada hasil integrasi yang digabungkan dengan soal.
3. Jika integral hasil ( ∫ duv. ) lebih rumit dari integral soal ( ∫ dvu. ), maka permisalan fungsi u dan dv salah. Gantilah permisalan fungsi u dan dv untuk mendapatkan penyelesaian yang benar.
Untuk bentuk soal seperti contoh 5.9 dengan xn, dapat digunakan rumus reduksi:
∫∫ −−= dxexnexdxex xnxnxn .. 1
Latihan Soal 5.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral bagian. 1. 2. ∫ − dxxe x . ∫ − dxex x .22
3. ∫ dxxx .ln 4. ∫ dxxx .sin
Matematika Teknik 1\Integrasi 76
5. 6. ∫ dxxx .4sin ∫ + dxx ).32ln(
7. 8. ∫ dxxx .sin2 ∫ dxx).sin(ln
5.4 Integrasi Sin dan Cos Berpangkat Teknik integrasi sin dan cos berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi sinus dan cosinus berpangkat banyak yang mempunyai bentuk ∫ dxxn .sin , ∫ dxxn .cos , dan ∫ dxxx nm .cos.sin . Dalam hal membuat penyelesaian, kita kadang-kadang memerlukan bantuan persamaan identitas trigonometri.
))2cos(1(21)(sin 2 xx −= ))2cos(1(
21)(cos2 xx +=
Contoh 5.10 Evaluasi ∫ dx.xSin4
Penyelesaian:
∫ dx.xSin4 [ ]∫= dxxSin .22
∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= dxxCos .))(1(21 2
( )∫ +−= dxxCosxCos .)2()2(2141 2
dxxCosxCos .)4(21
21)2(21
41∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
CxSinxSinx ++−= )4(321)2(
41
83
Untuk fungsi sinus dan cosinus yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untuk memudahkan dalam mencari jawaban, kita menggunakan formula reduksi.
∫∫ −− −+−= dxx
nnxx
ndxx nnn .sin1cos.sin1.sin 21
∫∫ −− −+= dxx
nnxx
ndxx nnn .cos1sin.cos1.cos 21
Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk , prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel di bawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.
∫ dxxx nm .cos.sin
Matematika Teknik 1\Integrasi 77
ian Persamaan identitas Kondisi Langkah penyelesa
Jika n gan
= sin x
xx 22 sin1cos −=
jil • Pisahkan faktor cos x • Gunakan persamaan
identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u
Jika m ganjil
cos x
xx 22 cos1sin −=
• Pisahkan faktor sin x • Gunakan persamaan
identitas yang sesuai • Buatlah permisalan u =
Jika n dangenap
urangi pangkat sin dan
n akan
formula reduksi
m • Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk mengcos.
• Sederhanakan persoaladengan menggun
( ))2cos(1sin 212 xx −=
( ))2cos(1cos 212 xx +=
Contoh 5.11
valuasi ∫ dxxx .cossin 54
Penyelesaian: n bernilai 5 (ganjil), jadi penyelesaian menggunakan
alternatif satu.
E
∫ dxx .cossin 54 x
∫ dxxx .cossin 54 ∫ −= dxxxx .cos)sin1(sin 224
∫ −= duuu .)1( 224
∫ +−= duuuu ).2( 864
Cuuu ++−= 975
91
72
51
Cxxx ++−= 975 sin91sin
72sin
51
Latihan Soal 5.4
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!
gral berikut dengan menggunakan teknik integral sin dan cos pangkat.
Evaluasi inteber1. 2. ∫ dxxx .sincos5 ∫ dxx.3cos2
3. 4. ∫ dxxx .sincos 22 ∫ dxxx .cossin 34
5. 6∫ dxaxax .cossin . ∫ dxxx .2cossin
Matematika Teknik 1\Integrasi 78
5.5 Integrasi Tan dan Sec Berpangkat Teknik integrasi tan dan sec berpangkat digunakan untuk menyelesaian persoalan integrasi fungsi tangen dan secant berpangkat banyak yang mempunyai bentuk ∫ dxxn .tan , ∫ dxxn .sec , dan ∫ dxxx nm .sec.tan . Dalam membuat penyelesaian, kita kad
)(tan 2 =xa
entitas trigonometri
k memudahkan dalam mencari jawaban, ita menggunakan formula reduksi.
ng-kadang me1)(2 −x .
merlukan bantuan persamaan secid
Untuk fungsi tangen dan secant yang berpangkat lebih banyak, penyelesaian tidak menjadi sederhana lagi. Untuk
∫∫ −−
−−
+−
= dxxnn
nxxdxx n
nn .sec
12
1tan.sec.sec 2
2
∫ −−
−−
= dxxn
xdxx nn
n .tan1
tan.tan 21
12
∫ Contoh 5.
valuasi ∫ dxx.sec3
Penyelesaian: n bernilai 3
E
∫ dxx.sec3
∫ dxx.sec3 ∫+= dxxxx .sec21
2tansec
Cxxxx +++= tansecln21tansec
21
Contoh 5.13
valuasi ∫ dxx.tan5
Penyelesaian:
E
∫ dxx.tan5 ∫−= dxxx .tan4
tan 34
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= ∫ dxxxx .tan
22tan
4tan 4
Cxxx++−= secln
2tan
4tan 24
Untuk persoalan integral yang dinyatakan dalam bentuk ∫ dxxx nm .sec.tan , prosedur penyelesaian sangat bergantung kepada nilai m dan nilai n. Tabel di
Matematika Teknik 1\Integrasi 79
bawah ini memperlihatkan kepada Anda tentang langkah-langkah penyelesaian.
Kondisi Langkah penyelesaian Persamaan identitas
Jika n genap • Pisahkan faktor sec2 x • Gunakan persamaan identitas
yang sesuai • Buatlah permisalan u = tan x
1tansec 22 += xx
Jika m ganjil • Pisahkan faktor sec x tan x • Gunakan persamaan identitas
yang sesuai • Buatlah permisalan u = sec x
1sectan 22 −= xx
Jika m genap dan n ganjil
• Gunakan persamaan identitas yang sesuai untuk mengurangi pangkat sec x
• Sederhanakan persoalan dengan menggunakan formula reduksi
1sectan 22 −= xx
Contoh 5.14 Evaluasi ∫ dxxx ).(sec).(tan 42
Penyelesaian :
∫ dxxx ).(sec).(tan 42 ∫= dxxxx ).(sec).(sec).(tan 222
( )∫ += dxxxx ).(sec1)(tan).(tan 222 misalkan : u = tan (x) du = sec2 (x) dx
∫ += duuu ).1( 22
Cuu ++= 35
31
51
CxTanxTan ++= )(31)(
51 35
Latihan Soal 5.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral berikut dengan menggunakan teknik integral tangen dan secant berpangkat. 1. 2. ∫ + dxx ).13(sec2 ∫ dxxx .sectan 22
2. 4. ∫ dxxx .sectan 45 ∫ dxxx .tansec 35
Matematika Teknik 1\Integrasi 80
5. 6 ∫ dxxx .sectan5 . ∫ dxx.sectan 4
5.6 Integr
aimana mengevaluasi integral akan dalam bentuk:
asi Substitusi Trigonometri
ada bagian ini kita akan memperlihatkan bagPyang integrannya dinyat
( )22 ( )22 ( )22xa − xa + ax − dengan membuat substitusi dari fungsi trigonometri. Tabel di ba membantu Anda dalam mempelajari bagian ini.
Ungkapan Integral P
wah ini akan
Substitusi embatasan θ Identitas Trigonometri
( )22 xa − x = a Sin θ -π/2 < θ < π/2 a2 – a2 Sin2θ = a2Cos2θ
( )22 xa + x = a Tan θ -π/2 < θ < π/2 a2 + a2 Tan2θ = a2Sec2θ
( )22 ax − x = a Sec θ 0 < θ /2 if x > a π < θ < 3π/2 if x <-a a2 Sec2θ - a2 = a2Tan2θ < π
Contoh 5.15
∫ − )x4(xdx
22 Evaluasi integrasi
Penyelesaian:
∫ − )x4(xdx
22 misalkan : x = 2 Sin θ dx = 2 Cos θ dθ
∫ − )x4(xdx
22
( ) ( )∫−
=)(4Sin4)2Sin(
.d2cosθ θ22 θθ
)( ) (∫= )(2)(2)(2 θ θ
2 θθ CosSindCos
∫= θ.dθCsc2
( )C
xx
+−
=4
4 2
Contoh 5.16
( )∫ + 22 axdx
Evaluasi integral
Penyelesaian:
Matematika Teknik 1\Integrasi 81
( )∫ + 22 axdx
misalkan : x = a Tan θ …. dx = a Sec2 θ dθ
( )∫ + 22 axdx
( )∫
+=
22
2
)(
).(
aaTan
daSec
θ
θθ
( )∫+
=1)(
.d22
2
θ
θθ
TanaaSec
∫= Se θθ dc ).(
= ln | )(Tan)(Sec θ+θ | + C’
( ) xax 2 ++= ln | | + C
Latihan Soa
l 5.6
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih
ban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!
knik in grasi substitusi trigonometri.
diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawa
Evaluasi integral di bawah ini dengan menggunakan te te
1. ∫ − dxx 24 2. ∫−
dxx
x
2
2
39
∫− 22 16 xx
dx 4. ∫
+ 2522 xxdx
3.
5. ∫− 22 16 xx
dx 6. ∫
+ 2522 xxdx
5.7 Integr
da dua macam bentuk persamaan rasional yang harus diperhatikan dalam persamaan fungsi rasional dengan
aktor Linier, bentuk : (ax + b)m Untuk fungsi rasional yang faktor-faktornya linier, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:
asi Fungsi Rasional
Amenyelesaikan persoalan integrasi, yaitu faktor linier dan persamaan fungsi rasional dengan faktor kuadrat. F
( ) mm
33
221
)bax(A......
)bax(A
)bax(A
baxA
+++
++
++
+
Matematika Teknik 1\Integrasi 82
Contoh 5.17
Evaluasi ∫ −+ 2xx
enyelesaian:
dx2
P
∫ −+ 2xxdx
2
tegran dapat juga ditulis dalam bentuk berikut : In
)2x(B
)1x(A11
==x )1x)(2x(2x +−−+−+2 +
1 = (x + 2)A 1)B ………….. A = 1/3 dan B = -1/3
lis menjadi :
Bilangan A dan B yang kita cari :
+ (x –
Sehingga soal dapat ditu
∫ −+ 2xxdx
2 = ∫ ∫ ++
−dx
2xBdx
1xA
= ∫ ∫ +−
− 2xdx
31
1xdx
31
= C2x1xln
31
++−
ontoh 5.18C
Evaluasi ∫ −+ dx
x2x4
23
enyelesaian:
x2
P
∫ −+ dx4x2
x2x 23
tegran dapat ditulis menjadi: In
2xC
xBA4x24x2++=
x)2x(xx2 −− 2223+
=+
x −
2x + 4 = (A + C)x2 + (- + B)x – 2C …… A = -2 B = -2 C = 2
lis menjadi :
2x + 4 = Ax(x – 2) + B(x -2) + Cx2
2A
Sehingga soal dapat ditu
∫ −+ 4x2 dx23 = ∫ ∫ ∫ −
+−−2x
dx2xdx
xdx2 2
x2x
= C|2x|ln2x2|x|ln2 +−++
Matematika Teknik 1\Integrasi 83
= Cx
ln2x
++ 2x2 −
2 + bx + c)m
Untuk fungsi rasional yang faktor-faktornya kuadrat, maka pecahan dari faktor tersebut ditulis dalam bentuk:
Faktor kuadrat, bentuk : (ax
( ) ( ) ( )m2mm
3233
2222
1211
cbxax cbxaxBxA.......
)cbxax(BxA
cbxaxBxABxA
++
+++
+++
+++
++
+
ontoh 5.19
++
C
Selesaikan ∫ −+−−+ dx
1x3xx32xx
23
2
Penyelesaian :
∫ −+−−+ dx
1x3xx32xx
23
2
Integran dapat ditulis dalam bentuk :
1x1x3)1x)(1x3(1x3xx3 +−+−−+−C2
2223 =−
C)(3x – 1)
+ 3C)x + (A – C)
diperoleh A = -7/5 4/5 C = 3/5 Sehingga soal dapat ditulis menjadi:
BxA2xxxx 22 ++=
−++
x2 + x -2 = A(x2 +1) + (Bx + = (A + 3B)x2 + (-B
B =
∫ −+−−+ 2xx2
dx1x3xx3 23 = ∫ ∫ +
++
−− dx
1x5
3x54
1x3dx
57
2
= ( ) C)x(Tan531xln
52|1x3|ln
157 12 ++++−− −
Catatan:
ungsi rasional dengan pangkat penyebut lebih besar dari pangkat pembilangF inamakan fungsi rasional yang tidak umum (inproper rational functions).
i dapat dilakukan dengan cara membagi penyebut dengan pembilang
Latihan Soal 5.7
dIntegrasterlebih dahulu baru dilakukan proses pengintegralan.
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!
Matematika Teknik 1\Integrasi 84
Evaluasi int wah ini dengan menggunakan teknik integraras
egral di ba si fungsi ional.
∫ −+ 432 xxdx
1. 2. ∫ −− dx
xxx 45
2 4
dxxx
x∫ −+
+472
171123. 4. ∫ −
−− dxxxxx
2
2 122
.
3
∫ −+− )3)(2)(1( xxxdx
6. ∫ +−− dxxx
x)5)(2(
13 5
5.8 Integr
bersifat oba-coba dan tidak ada cara khusus. Setiap persoalan dipandang secara
tegral yang menyangkut nilai x berpangkat rasional dapat disederhana kan engganti
u = x(1/n)
20
asi Dengan Bermacam-macam Substitusi
Integrasi dengan bermacam-macam substitusi tidak terlalu relevan dengan materi terdahulu. Hal itu disebabkan teknik integrasi yang dilakukancterpisah. Dengan kata lain tidak ada aturan penyelesaian yang baku. Indengan m
Contoh 5.
valuasi ∫ +1 3E dx
xx
Penyelesai an :
∫ + x1 3dxx
misalkan u = x1/6 x = u6 dx = 6u5
Sehingga s p t diubah menjadi : oal da a
∫ + x1 3dxx
= ( )( )∫ + u
duu61
u 53/16
2/16
= ∫ + u6 du
1u
2
8
= C)x(Tan6x6x2x56x
76 6/116/12/16/56/7 ++−+− −
Contoh 5.21
Evaluasi dxex Penyelesai
∫ +1
an:
dxex∫ +1 dimisalkan )1ln(.....1......1 22 −=−=+= uxueeu xx
Matematika Teknik 1\Integrasi 85
duu
udxu
ududx
12..........
12
22 −=
−=
Sehingga soal menjadi:
dxex∫ +1 duu
uu∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
122
duu
u∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=1
22
2
duu∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
122 2
duuu
u ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−+=
11
112
Cuuu ++−−+= 1ln1ln2
Ceee
x
xx +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
−+++=
1111ln12
Latihan Soal 5.8 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini.
1. ∫ − dxxx .2 2. ∫ +dx
xx .9
3. ∫ +dx
x.
31
4. ∫ +dx
xx .
1
5. ∫ +dx
xx.1
3 6. ∫ − 5/3xx
dx
5.9 Integrasi Fungsi Hiperbolis
Teknik integrasi fungsi hiperbolis digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral dimana integrannya dinyatakan oleh fungsi hiperbolis. Rumus-rumus dasar yang digunakan untuk mengevaluasi persoalan integral adalah: 1. = Cosh (u) + C ∫ du).u(Sinh
2. = Sinh (u) + C ∫ du).u(Cosh
3. = ln | Cosh (u) | + C ∫ du).u(Tanh
4. = ln | Sinh (u) | + C ∫ du).u(Cosh
Matematika Teknik 1\Integrasi 86
5. = Tanh (u) + C ∫ du).u(Sech2
6. = - Cotgh (u) + C ∫ du).u(Csch2
7. = -Sech (u) + C ∫ du).u(Tanh).u(Sech
8. = - Csch(u) + C ∫ du).u(Cotgh).u(Csch
9. ∫ + 22 audu
= Sinh-1 Cau
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
10. ∫ − 22 audu
= CauCosh 1 +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− u > a > 0
11. ∫ − 22 uadu
= CauTanh
a1 1 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− u2 < a2
12. ∫ − 22 audu
= CauCotgh
a1 1 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− − u2 > a2
Contoh 5.22 Evaluasi ∫ dxx.tanh Penyelesaian:
∫ dxx.tanh = ∫ dxxx .
coshsinh
Dimisalkan u = cosh x…du = sinh x dx
∫ dxxx .
coshsinh
= Cx +coshln
Latihan Soal 5.9
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Evaluasi integral di bawah ini. 1. ∫ − dxx ).32cosh(
2. ∫ dxxx .coshsinh 6
Matematika Teknik 1\Integrasi 87
5.10 Integral Tertentu
Fungsi Kontinu Dengan Nilai Tidak Negatif
sb. y (xk , f(xk)) y = f(x) sb. x
Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan jika f(x) > 0 untuk semua nilai x pada [a , b] maka luas (Area) di bawah kurva y = f(x) dan di atas selang [a , b] didefinisikan :
A = 0x.maxlim
k →Δ ∑=
Δn
1kkk x).x(f
Definisi di atas jika ditulis:
0x.maxlim
k →Δ ∑=
Δn
1kkk x).x(f = ∫
b
a
dx).x(f
Pernyataan pada sisi kanan dari persamaan dinamakan integral tertentu fungsi f(x) dari a ke b. Bilangan a dan b disebut batas atas dan batas bawah integral. Contoh 5.23
Hitunglah integral ∫ −4
2
)1( dxx
Penyelesaian :
426dxdx.xdx)1x(4
2
4
2
4
2
=−=−=− ∫∫ ∫
sb. y
f(x) = x - 1
sb. x
Matematika Teknik 1\Integrasi 88
Fungsi Kontinu Dengan Nilai Positif dan Negatif
x3 x4
a x1 x2 x… xn b sb. x
Jika fungsi f(x) adalah kontinu pada selang [a , b] dan dapat diasumsikan keduanya bernilai positif dan negatif, maka luas sebenarnya (net signet area) A antara y = f(x) dan selang [a , b] didefinisikan :
= 0x.maxlim
k →Δ ∑=
Δn
1kkk x).x(f ∫
b
a
dx).x(f
Luas sebenarnya antara y = f(x) dan [a , b] dapat bernilai positif, negatif atau kosong. Contoh 5.24 Hitunglah integral pada contoh 5.23 dengan syarat batas bawah dan atas masing-masing x = 0 dan x = 2
Penyelesaian : Perhatikan gambar pada Contoh 5.23
∫ ∫ ∫ =−=−=−2
0
2
0
2
0
022dxdx.xdx)1x(
Sifat-sifat Integral Tertentu
a. ∫ =a
a
0dx).x(f
b. ∫ ∫−=b
a
a
b
dx).x(fdx).x(f
c. ∫ ∫=b
a
a
b
dx).x(f.Cdx).x(f.C
d. [ ] ∫∫ ∫ ±−=±b
a
b
a
a
b
dx).x(gdx).x(fdx.)x(g)x(f
e. ∫∫ ∫ +=b
c
b
a
c
a
dx).x(fdx).x(fdx).x(f
Matematika Teknik 1\Integrasi 89
Latihan Soal 5.10 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Hitunglah integral di bawah ini dan buatlah sketsa gambarnya.
1. dxx∫4
1
2. dxx∫2
1
2
3. dxxx∫0
2
2 sin
4. dxx∫π
0
.cos
Matematika Teknik 1\Integrasi 90