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三角 函数
三角三角
5.3.2 余弦函数的图象和性质
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1. 诱导公式.
2. 正弦曲线的五点作图法.
3. 填表:
x
cos x
2π
23π
π2π
1 0 -1 0 1
0
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一、余弦函数的图象 余弦函数图象的五个关键点:
与 x 轴的交点 ,,2
)0π
( )0π
( ,2
3
图象的最高点 ,, )10( )1π2( ,图象的最低点 )1π( ,
o x
y
-
--1
1
-
-13π 2
π
3π2
6π5 π 6
π73π4
2π3
3π5
6π11 π2
6π
五点作图法
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由诱导公式 cos( x+2k) = cos x ,将 y = cos x ,x[0 , 2 ] 的图象沿 x 轴向左、右平移 2 , 4 ,…, 就可得到 y = cos x 的图象 .
π2o π4 π62π4π6 x
y- - - ----
-
-
1
-1
余 弦 曲 线
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二、余弦函数的性质
定义域 x R ,值 域 y[- 1 , 1].
当 x= 2 k, k Z 时,
y= cos x 取得最大值 1 ,即 ymax = 1 ;
当 x = (2 k+1) , k Z 时,
y = cos x 取得最小值 -1 ,即 ymin = -1 .
观察余弦曲线(1) 余弦函数的值域
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由公式 cos(x + k · 2 ) = cos x ( k Z )
可知:
余弦函数是一个周期函数, 2 , 4 ,…,
- 2 ,- 4 ,… , 2k ( k Z 且 k≠0 )
都是余弦函数的周期;
2 是其最小正周期.
(2) 余弦函数的周期
余弦函数的图象每隔 2 重复出现.
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(3) 余弦函数的奇偶性
由公式 cos( - x) = cos x
余弦函数是偶函数.
图象关于 y 轴成轴对称 .
xo-
-1
2 3 4-2-3-4
1
y
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(4) 余弦函数的单调性 观察余弦曲线
x
cosx - 1 0 1 0 -1
在 [(2 k - 1) , 2 k] (kZ) 上,是增函数;
在 [2 k , (2 k + 1) ] (kZ) 上,是减函数.
y
xo-
-1
2-2-3
1
2
π
2
π3
2
π52
π
2
π3
2
π5
- … … 0 … … 2
π 2
π
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例 1 求下列函数的最大值,最小值和周期 T :
( 1 ) y = 5 cos x ; ( 2 ) y =- 8 cos ( - x) .
解 (1) .π2,5,5 minmax Tyy
(2) .π2,8,8 minmax Tyy
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,4
πcos
4
π17cos)
4
π17cos(
例 2 不求值,比较下列各对余弦值的大小:
因为 ,π5
π3
4
π0 又 y= cos x 在 [0 , ] 上是减函
数,
(1) cos 和 cos ; (2) cos(- ) 和 cos(- ) .
5
π23
4
π17
5
π7
4
π5
解 (1) 因为 ,且 y= cos x 在 [ , 2 ] 上 是增函数,
π25
π7
4
π5π
,5
π3cos
5
π23cos)
5
π23cos( (2)
,4
πcos
5
π3cos 所以 从而 ).
4
17πcos()
5
π23cos(
.5
π7cos
4
π5cos 所以
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1. 余弦函数的图象以及“五点法”作图 .
2. 余弦函数的性质 .
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教材 P157 ,练习 A 组第 2 、 3 题;
练习 B 组第 2 题.