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Ecuaciones de Maxwell
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco A. Sandoval
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Agenda
Ley de Faraday
Fuerza electromotriz estática y cinética
Corriente de desplazamiento
Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell
Potenciales variables en el tiempo
Campos armónicos en el tiempo
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Quadrinho
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Introducción
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Introducción
Anteriormente, análisis de campos electromagnéticos
estáticos, o invariables en el tiempo.
Ahora, campos estáticos y magnéticos dinámicos, o
variables en el tiempo.
Campos dinámicos son interdependientes: campo eléctrico
variable en el tiempo implica necesariamente campo magnético
correspondientemente variable en el tiempo.
Poseen mayor valor práctico que los estáticos.
Campos dinámicos suelen deberse a cargas aceleradas o
corrientes variables en el tiempo. fralbe
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Introducción
Cargas estacionarias campos electrostáticos
Corrientes estacionarias campos magnetostáticos
Corrientes variables en el tiempo campos (u ondas) electromagnéticos
Diversos tipos de corriente variable en el tiempo: a) sinusoidal, b) rectangular, c) triangular
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Ley de Faraday
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Ley de Faraday
Faraday descubrió que la fuerza electromotriz
inducida, 𝑉𝑓𝑒 (en volts), en un circuito cerrado
es igual a la rapidez de cambio del
eslabonamiento de flujo magnético por el
circuito.
𝑉𝑓𝑒 = −𝑑𝜆
𝑑𝑡= −𝑁
𝑑𝜓
𝑑𝑡
𝑁, es el número de vueltas en el circuito
𝜓, flujo a través de cada una de ellas.
−, indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que lo produce. (Ley de Lenz) fralbe
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Ley de Faraday
Campos eléctricos (hasta ahora) son causados por cargas
eléctricas.
Existen otros campos, producidos por fuerza
electromotriz.
Fuentes de fuerza electromotriz: generadores eléctricos,
baterías, pilas termoeléctricas, pilas de Grove, y pilas
fotovoltaicas. (convierten energía no eléctrica en eléctrica)
generador
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Ley de Faraday
Circuito en el que se muestra un campo
generador de fuerza electromotriz 𝑬𝑓 y
un campo electrostático 𝑬𝑒
• La acción electroquímica de
la batería da como resultado
un campo producido por
fuerza electromotriz 𝑬𝑓.
• La acumulación de carga en
las terminales de la batería
causa asimismo un campo
electrostático 𝑬𝑒. • El campo eléctrico total en
cualquier punto es:
𝑬 = 𝑬𝑓 + 𝑬𝑒 fralbe
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Ley de Faraday
La fuerza electromotriz de la batería es la integral de línea del campo producido por esa fuerza
𝑉𝑓𝑒 = 𝑬𝑓 ∙ 𝑑𝒍𝑃
𝑁
= − 𝑬𝑒 ∙ 𝑑𝒍 = 𝐼𝑅𝑃
𝑁
Puede interpretarse como la diferencia de potencial 𝑉𝑃 − 𝑉𝑁 entre los terminales de la batería en circuito abierto.
1. Un campo electrostático 𝑬𝑒 no puede mantener una corriente estacionaria en un
circuito cerrado, ya que 𝑬𝑒 ∙ 𝑑𝒍𝐿= 0 = 𝐼𝑅
2. Un campo producido por fuerza electromotriz 𝑬𝑓 no es conservativo.
3. Excepto en electrostática, voltaje y diferencia de potencial por lo general no son
equivalentes.
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Fuerza electromotriz estática y
cinética
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Fuerza electromotriz estática y cinética
𝑉𝑓𝑒 = −𝑁𝑑𝜓
𝑑𝑡
En el caso de circuito de una vuelta (𝑁 = 1)
𝑉𝑓𝑒 = −𝑑𝜓
𝑑𝑡
En términos de 𝑬 y 𝑩.
𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = −𝑑
𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝑺𝑆𝐿
𝑆 es el área de la superficie del circuito delimitado por la trayectoria cerrada 𝐿.
Los campos eléctricos como magnéticos están presentes y se interrelacionan en un situación de variación de tiempo.
𝑑𝒍 y 𝑑𝑺 son acordes con la regla de la mano derecha y el teorema de Stokes.
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Fuerza electromotriz estática y cinética
La variación de flujo con el tiempo, puede deberse a tres
causas:
1. Una espira estacionaria en un campo 𝑩 variable en el
tiempo.
2. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩
estático.
3. Una espira de área variable en el tiempo en un campo 𝑩
variable en el tiempo.
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Espira estacionaria en un campo 𝑩 variable
en el tiempo
Una espira conductora estacionaria se ubica en un campo magnético 𝑩 variable en el tiempo.
𝑉𝑓𝑒 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = − 𝜕𝑩
𝜕𝑡∙ 𝑑𝑺
𝑆𝐿
A esta fuerza electromotriz inducida por una corriente variable en el tiempo en una espira estacionaria se le llama fuerza electromotriz estática.
Aplicando teorema de Stoke al termino intermedio:
𝛻 × 𝑬 ∙ 𝑑𝑺 = − 𝜕𝑩
𝜕𝑡∙ 𝑑𝑺
𝑆𝐿
𝛻 × 𝑬 = −𝜕𝑩
𝜕𝑡 fra
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Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 estático.
La fuerza sobre una carga en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 en un campo magnético 𝑩 es
𝑭𝑚 = 𝑄𝒖 × 𝑩
El campo eléctrico cinético 𝑬𝑚
𝑬𝑚 =𝑭𝑚𝑄= 𝒖 × 𝑩
Suponer que una espira conductora en movimiento a una velocidad uniforme 𝒖 se compone de gran número de electrones libres, la fuerza electromotriz inducida en ella es:
𝑉𝑓𝑒 = 𝑬𝒎 ∙ 𝑑𝒍𝐿
= 𝒖 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒍𝑳
Fuerza electromotriz presente en máquinas eléctricas como motores, generadores y
alternadores.
Fuerza electromotriz cinética o
por corte de flujo. fralbe
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Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 estático.
Fuerza electromotriz inducida debida a
una espira en un campo 𝑩 estático
Precauciones:
1. La integral de esta ecuación es igual a cero a lo largo de la porción de la espira
en la que 𝒖 = 0.
2. La dirección de la corriente inducida es la misma que la de 𝑬𝑚 o 𝒖 × 𝑩. Los
límites de la integral de esta ecuación se seleccionan en la dirección opuesta a
la de la corriente inducida.
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Una espira de área variable en el tiempo en
un campo 𝑩 variable en el tiempo.
Situación general, con presencia de fuerza electromotriz
estática y cinética.
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Ejemplo 1- Enunciado
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Ejemplo 1 - Solución
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Ejemplo 1 - Solución
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Corriente de Desplazamiento
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Corriente de Desplazamiento
Reconsiderando ley de circuitos de Ampere, en función
de la variación en el tiempo:
𝛻 × 𝑯 = 𝑱
La divergencia del rotacional de un campo vectorial es
idéntica a cero.
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱
La continuidad de la corriente, exige que:
𝛻 ∙ 𝑱 = −𝜕𝜌𝑣𝜕𝑡≠ 0
Las ecuaciones anteriores son incompatibles respecto de
variación en el tiempo.
fra
lbe.co
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Corriente de Desplazamiento Se añade un término a la ecuación:
𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝑱 + 𝑱𝑑
La divergencia del rotacional de un vector es igual a cero.
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝑯 = 0 = 𝛻 ∙ 𝑱 + 𝛻 ∙ 𝑱𝑑
𝛻 ∙ 𝑱𝑑 = −𝛻 ∙ 𝑱 =𝜕𝜌𝑣𝜕𝑡=𝜕
𝜕𝑡𝛻 ∙ 𝑫 = 𝛻 ∙
𝜕𝑫
𝜕𝑡
𝛻 × 𝑯 = 𝑱 +
𝜕𝑫
𝜕𝑡
𝑱𝑑 =𝜕𝑫
𝜕𝑡 Densidad de corriente de desplazamiento
𝑱, densidad de corriente de conducción fralbe
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Corriente de Desplazamiento
Inserción de 𝑱𝑑 , una de las mayores contribuciones de
Maxwell.
A bajas frecuencias 𝑱𝑑 suele ser insignificante en
comparación con 𝑱, pero en radiofrecuencias son
comparables.
La corriente de desplazamiento se define como:
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Corriente de Desplazamiento La aplicación de la versión
estricta de la ley de circuitos de Ampère a la trayectoria cerrada 𝐿 de la figura (a) resulta:
𝐼, es la corriente a través del
conductor.
𝑆1, superficie plana delimitada por 𝐿.
Para la figura (b)
Por 𝑆2 no fluye corriente de
conducción.
Existe contradicción.
Dos superficies de integración que
demuestran la necesidad de 𝑱𝑑 en la ley
de los circuitos de Ampère. fralbe
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Corriente de Desplazamiento
Es necesario incluir la corriente de desplazamiento.
La densidad de corriente total es 𝑱 + 𝑱𝑑.
Para la figura (a), 𝑱𝑑 = 0.
Para la figura (b), 𝑱 = 0. De modo que:
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Versión definitiva de las ecuaciones de Maxwell
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Versión definitiva de las ecuaciones de
Maxwell
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Versión definitiva de las ecuaciones de
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Versión definitiva de las ecuaciones de
Maxwell
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Campos Armónicos en el Tiempo
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Campos Armónicos en el Tiempo
Además de ser de valor práctico, el análisis sinusoidal
puede prolongarse a la mayoría de las formas de ondas
por medio de técnicas de transformación de Fourier.
Los sinusoides son de fácil expresión en fasores.
Un campo armónico en el tiempo es el que varía periódica o sinusoidalmente en el
tiempo.
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Fasores
𝑗 = −1
𝑥 parte real de 𝑧 𝑦 parte imaginaria de 𝑧 𝑟 es la magnitud de 𝑧
𝜙 es la fase de 𝑧
Un fasor 𝑧 es un número complejo que puede expresarse como
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Fasores
Efectuar adición y substracción de fasores en forma rectangular, y la multiplicación y división en forma polar.
Propiedades básicas
Adición:
Sustracción:
Multiplicación:
División:
Raíz Cuadrada:
Conjugado complejo:
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Campos Armónicos en el Tiempo
Ecuaciones de Maxwell para campos armónicos en el tiempo suponiendo el
factor de tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 fra
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Referencias
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Bibliografía y Referencias
Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.
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