![Page 1: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/1.jpg)
A. Krapež:A. Krapež:
Jednačine, grafovi Jednačine, grafovi i računari – jedan i računari – jedan
primerprimer
Kolarac, 4.12.2008.Kolarac, 4.12.2008.
![Page 2: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/2.jpg)
Šta su jednačine?Šta su jednačine?
![Page 3: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/3.jpg)
Primer:Primer:
Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?i Milica?
![Page 4: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/4.jpg)
Primer:Primer:
Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?Milica?
P - 2 = 3 * (M - 3)P - 2 = 3 * (M - 3) P + M = 4 * (P - M)P + M = 4 * (P - M)
![Page 5: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/5.jpg)
Rešenje:Rešenje:
P = 5P = 5 M = 3M = 3
Perica ima 5 a Milica 3 godine.Perica ima 5 a Milica 3 godine.
![Page 6: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/6.jpg)
Problem:Problem:
Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?
![Page 7: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/7.jpg)
Problem:Problem:
Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?
D = J + 4D = J + 4 D + 3 = 5 * (J + 3)D + 3 = 5 * (J + 3)
![Page 8: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/8.jpg)
Rešenje?Rešenje?
D = 2D = 2 J = -2J = -2
Rešenje sistema jednačina nije Rešenje sistema jednačina nije rešenje problema zbog rešenje problema zbog ““nevidljivenevidljive”” pretpostavke J pretpostavke J > > -1-1 . .
![Page 9: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/9.jpg)
ReRešenje:šenje:
Osobe Dejan i Jovan takvi da Osobe Dejan i Jovan takvi da zadovoljavaju uslove postavljenog zadovoljavaju uslove postavljenog problema problema ne postojene postoje..
![Page 10: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/10.jpg)
Elementi koji određuju pojam Elementi koji određuju pojam jednačine:jednačine:
Jezik na kome je jednačina Jezik na kome je jednačina formulisanaformulisana
Oblast važenjaOblast važenja Skup rešenjaSkup rešenja
![Page 11: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/11.jpg)
Šta su funkcionalne Šta su funkcionalne jednačine?jednačine?
![Page 12: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/12.jpg)
Primer:Primer:
Košijeva jednačina:Košijeva jednačina:
f(x + y) = f(x) + f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)
f – neprekidna realna funkcijaf – neprekidna realna funkcija
![Page 13: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/13.jpg)
Rešenje:Rešenje:
f(x) = p * x f(x) = p * x (p – realan (p – realan parametar)parametar)
Formulom je dato Formulom je dato opšteopšte rešenje. rešenje.
![Page 14: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/14.jpg)
Primer:Primer:
Peksiderova jednačina:Peksiderova jednačina:
f(x + y) = g(x) + h(y)f(x + y) = g(x) + h(y)
f, g, h – neprekidne realne funkcijef, g, h – neprekidne realne funkcije
![Page 15: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/15.jpg)
Formule opšteg rešenja:Formule opšteg rešenja:
f(x) = p * x + a + bf(x) = p * x + a + b g(x) = p * x + bg(x) = p * x + b h(x) = p * x + ah(x) = p * x + a
p, a , b – realni parametrip, a , b – realni parametri
![Page 16: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/16.jpg)
Šta su grafovi?Šta su grafovi?
![Page 17: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/17.jpg)
Elementi koji određuju pojam grafa:Elementi koji određuju pojam grafa:
ČvoroviČvorovi GraneGrane IncidencijeIncidencije
![Page 18: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/18.jpg)
Primeri:Primeri:
DipolDipol
K2 = D1DipolDipol
D3
““DumbbelDumbbell”l”
KK33
![Page 19: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/19.jpg)
Primeri:Primeri:
KK55
KK11
KK44
KK3,33,3
![Page 20: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/20.jpg)
DefinicijaDefinicija
Graf je planaran Graf je planaran ako se moako se može potopiti u že potopiti u euklidsku ravan tako da se grane seku euklidsku ravan tako da se grane seku samo u čvorovima.samo u čvorovima.
Teorema Kuratovskog:Teorema Kuratovskog:
Graf je planaran ako se u njega ne mogu Graf je planaran ako se u njega ne mogu upisati grafovi Kupisati grafovi K55 i K i K3,3 3,3 . .
![Page 21: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/21.jpg)
Primene:Primene:
Problem kenigsberških mostovaProblem kenigsberških mostova Problem putujućeg trgovcaProblem putujućeg trgovca
TokoviTokovi Vodovodna mrežaVodovodna mreža InternetInternet Tokovi novcaTokovi novca ““JuJužni tokžni tok””
![Page 22: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/22.jpg)
Šta su kvazigrupe?Šta su kvazigrupe?
![Page 23: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/23.jpg)
GrupeGrupe
Grupe simetrijaGrupe simetrija
Rubikova kockaRubikova kocka Automorfizmi strukturaAutomorfizmi struktura Rešivost linearnih jednačina:Rešivost linearnih jednačina:
a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c
y = ay = a-1-1 * c* c ,, x = c * bx = c * b-1-1
![Page 24: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/24.jpg)
KvazigKvazigruperupe
JednoznaJednoznačna rešivost linearnih čna rešivost linearnih jednačina:jednačina:
a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c
y = a y = a \ c\ c ,, x = c / bx = c / b
levo deljenjelevo deljenje desno deljenjedesno deljenje
![Page 25: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/25.jpg)
KvazigrupeKvazigrupe
Grupa = kvazigrupa + asocijativnostGrupa = kvazigrupa + asocijativnostx * (y * z) = (x * y) * zx * (y * z) = (x * y) * z
Komutativna grupa = grupa + Komutativna grupa = grupa + komutativnostkomutativnost
x * y = y * xx * y = y * x
![Page 26: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/26.jpg)
Važne kvazigrupe:Važne kvazigrupe:
kvazigrupe kvazigrupe “linearne” nad “linearne” nad grupamagrupama
x . y = fx . y = f-1-1(g(x) + h(y))(g(x) + h(y))
![Page 27: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/27.jpg)
Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).
Kvazigrupe A, B, C, D vezane Kvazigrupe A, B, C, D vezane uopštenom jednačinom uopštenom jednačinom asocijativnosti:asocijativnosti:
A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))
su sve linearne nad istom grupom.su sve linearne nad istom grupom.
![Page 28: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/28.jpg)
KvazigrupeKvazigrupe
Relativističko slaganje brzinaRelativističko slaganje brzina Kodovi koji otkrivaju (popravljaju) Kodovi koji otkrivaju (popravljaju)
greškegreške Geometrijske rešetkeGeometrijske rešetke Latinski kvadratiLatinski kvadrati Dizajn eksperimenataDizajn eksperimenata
![Page 29: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/29.jpg)
Geometrijske reGeometrijske rešetkešetke
** 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1 0 1 2
2
1
0
![Page 30: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/30.jpg)
Teorija Save KrstiTeorija Save Krstiććaa
Veza uopštenuh kvadratnih Veza uopštenuh kvadratnih funkcionalnih jednačina na funkcionalnih jednačina na kvazigrupama i konačnih povezanih kvazigrupama i konačnih povezanih kubnih grafovakubnih grafova
![Page 31: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/31.jpg)
1. primer1. primer
Jednačina uopštene asocijativnosti:Jednačina uopštene asocijativnosti:A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))
Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB
x yx y z z DD
C C
![Page 32: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/32.jpg)
1. primer1. primer
To je graf To je graf KK44
AA
BB DD
CC
![Page 33: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/33.jpg)
2. primer2. primer
Jednačina uopštene tranzitivnosti:Jednačina uopštene tranzitivnosti:A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)
Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB C C
x yx y z z
DD
![Page 34: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/34.jpg)
Teorema.Teorema.
Sličnim jednačinama odgovaraju Sličnim jednačinama odgovaraju slični grafovi.slični grafovi.
![Page 35: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/35.jpg)
Teorema.Teorema.Operacije u jednačini su linearno Operacije u jednačini su linearno povezane ako u Krstićevom grafu postoje povezane ako u Krstićevom grafu postoje 3 disjunktna puta između njih.3 disjunktna puta između njih.Klasa povezanih operacija je linearna nad Klasa povezanih operacija je linearna nad istom grupom akistom grupom akkko ih ima o ih ima >2 u klasi akko >2 u klasi akko se se K4 uklapa u taj deo Krstićevog grafa.Klasa povezanih operacija je linearna nad istom komutativnom grupom akko taj deo grafa nije planaran akko se u njega uklapa graf K3,3 .
![Page 36: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/36.jpg)
Svojstvima geometrijskih reSvojstvima geometrijskih reššetakaetaka odgovaraju odgovaraju konfiguracijekonfiguracije..
Konfiguracijama odgovaraju jednačine Konfiguracijama odgovaraju jednačine nad koordinatnim kvazigrupama.nad koordinatnim kvazigrupama.
Ako su ove jednačine kvadratne, Ako su ove jednačine kvadratne, umemo da ih rešimo i sledi da skoro umemo da ih rešimo i sledi da skoro uvek imaju za posledicu linearnost nad uvek imaju za posledicu linearnost nad grupomgrupom koja je koja je često komutativna.često komutativna.
![Page 37: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/37.jpg)
TabelaTabela
BrojBroj
promenljipromenljivihvih
Broj Broj
jednačinajednačinaBroj Broj norm.norm.
jednačinajednačina
BrojBroj
grafovagrafova
1 1 1 12 30 9 23 3.780 330 54 1.081.08
022.785 17
5 551.350.800
2.303.910
71
![Page 38: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/38.jpg)
Graf jGraf jednaednačinečine sa 1 promenljivom sa 1 promenljivom
x = xx = x
![Page 39: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/39.jpg)
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 2 promenljivesa 2 promenljive
A(x, x) = B(y, y)A(x, x) = B(y, y) A(x,y) = A(x,y) = B(x,y)B(x,y)
““DumbbellDumbbell””D3
![Page 40: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/40.jpg)
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive
![Page 41: A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/56814483550346895db11c10/html5/thumbnails/41.jpg)
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive