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A.A. 2015/2016Corso di Analisi Matematica 2
Stampato integrale delle lezioni
(Appendice di Teoria della Misura)
Massimo Gobbino
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Indice
Lezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra,misura esterna, misura vettoriale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotonedi insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione checostituiscono una sigma-algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misuredi Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hannomisura di Lebesgue nulla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva suidistanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizionedella via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con apertie da dentro con compatti). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lezione 135. Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (in-sieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilitàper passaggio al limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di inte-grale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integra-le per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisioneorizzontale vs verticale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenzamonotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma diFatou e sue varianti con il limsup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenzamonotona. Teoremi di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da parame-tro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilità di funzioni lipschitziane e puntidi Lebesgue). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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Lezione 131
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Lezione 138
IndiceLezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach-Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra, misura esterna, misura vettoriale).Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone di insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione che costituiscono una sigma-algebra.Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure di Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hanno misura di Lebesgue nulla.Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva sui distanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizione della via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con aperti e da dentro con compatti).Lezione 135. Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (insieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilità per passaggio al limite.Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di integrale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integrale per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisione orizzontale vs verticale).Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza monotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma di Fatou e sue varianti con il limsup.Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza monotona. Teoremi di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da parametro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilità di funzioni lipschitziane e punti di Lebesgue).