Download - เส นขนานและร ูปสามเหล ่ี่ยม · เสเสนขนาน้นขนาน (parallel line) • บทนิิยาม เส้้ี้นตรงสองเส้นท
เสนขนานและรปสามเหลยม
ดร.สภทร สายรตนอนทร
วชาเรขาคณตเบองตน
1
เสนขนาน (parallel line)เสนขนาน (parallel line)
• การขนานกน
• มมทเทากน
• มมรวมกนเทากบ 180o
2
เสนขนาน (parallel line)เสนขนาน (parallel line)
• บทนยาม เสนตรงสองเสนทอยบนระนาบเดยวกน ขนานกน กตอเมอ
เสนตรงทงสองเสนนน ไมตดกน
• เมอ และ ขนานกน อาจกลาววา ขนานกบ หรอ ขนานกบ
AB CD AB CDCD ABหรอ ขนานกบ
• อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ
CD AB
//AB CD //CD AB
3
เสนขนาน (ตอ)เสนขนาน (ตอ)
• เราสามารถกลาววาสวนของเสนตรงหรอรงสขนานกนเมอสวนของ
เสนตรงหรอรงสนนเปนสวนหนงของเสนตรงทขนานกน เชน
4
เสนขนาน (ตอ)เสนขนาน (ตอ)
ใ ใ • ในการเขยนรปเสนตรง สวนของเสนตรง หรอรงสทขนานกน อาจใช
ลกศรแสดงเสนทขนานกน ดงตวอยางในรป
• แสดงวา และ //AB CD //BC DE
5
เสนขนาน (ตอ)เสนขนาน (ตอ)
ใ ไ • ในกรณทวไป ถาเสนตรงสองเสนขนานกน แลวระยะหางระหวาง
เสนตรงคนนจะเทากนเสมอ และในทางกลบกน ถาเสนตรงสองเสนม
ระยะหางระหวางเสนตรงเทากนเสมอ แลวเสนตรงคนนจะขนานกน
6
เสนตด (Transversal)เสนตด (Transversal)
• จากรป เรยก วา เสนตด AB ABจากรป เรยก วา เสนตด
• เรยก และ วา มมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด
ใ
AB AB
x y AB
และเรยก และ วา มมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด
ดวย ในการเขยนรปเสนตด AB อาจใช หรอ แทน กไดu v AB
AB AB AB
7
เสนตด (ตอ)เสนตด (ตอ)
• เมอเสนขนานถกตดผานดวย
เสนตรงอกเสนหนง (เสนตด) เราจะ
เหนวามมมอยหลายมมทมขนาด
เทากน ดงภาพ
• มม 118o = มม 118o
• และ มม 62o = มม 62o
8
มมค (pair of angle)มมค (pair of angle)E
A B
C D
F
• เมอเสนตรง AB ขนานกบ เสนตรง CD และม เปน
ใ //AB CD EF
เสนตด(Transversal) จะทาใหเกดมมค (Pairs of angles) ทมชอเรยก
เฉพาะดงน
9
มมค (ตอ)มมค (ตอ)
• เรยก และ วามมตรงขาม
(vertical angle)
a d
• เรยก และ วามมทสมนยกน
(corresponding angle)
a e(corresponding angle)
• เรยก และ วามมแยงภายใน c f(Alternate Interior Angles)
• เรยก และ วามมแยงa hเรยก และ วามมแยง
ภายนอก (Alternate Exterior Angles)
a h
10
มมทเทากนมมทเทากน
• มมตรงขาม มขนาดเทากน
– มม 1 กบ มม 3
– มม 2 กบ มม 4
– มม 5 กบ มม 7– มม 5 กบ มม 7
– มม 6 กบ มม 8
11
มมทเทากน (ตอ)มมทเทากน (ตอ)
• มมแยง มขนาดเทากน
• มมแยงภายใน
– มม 3 กบ มม 5
4 6– มม 4 กบ มม 6
• มมแยงภายนอก
– มม 1 กบ มม 7
– มม 2 กบ มม 8มม 2 กบ มม 8
12
มมทเทากน (ตอ)มมทเทากน (ตอ)
• มมทสมนยกน มขนาดเทากน
• พจารณาซกซาย
– มม 1 กบ มม 5
ใ มมภายนอกทเทากบมมภายในทอยบนซกซายเหมอนกน
– มม 4 กบ มม 8
• พจารณาซกขวา
– มม 3 กบ มม 7มม 3 กบ มม 7
มมภายในทเทากบมมภายนอกทอยบนซกขวาเหมอนกน
– มม 2 กบ มม 613
มมรวมกนเทากบ 180oมมรวมกนเทากบ 180
ไ • มมประชดรวมกนได 180o
– มม 1 กบ มม 2 รวมกนได 180o
• มมภายในบวกมมภายใน
3 6 ไ 180o– มม 3 กบ มม 6 รวมกนได 180o
– มม 4 กบ มม 5 รวมกนได 180o
• มมภายนอกบวกมมภายนอก
– มม 2 กบ มม 7 รวมกนได 180oมม 2 กบ มม 7 รวมกนได 180
– มม 1 กบ มม 8 รวมกนได 180o
14
ตวอยางท 1ตวอยางท 1
15
ตวอยางท 1 (ตอ)ตวอยางท 1 (ตอ)
• วธทา
16
ตวอยางท 2ตวอยางท 2
17
ตวอยางท 2 (ตอ)ตวอยางท 2 (ตอ)
ใ //PQ RS PR• กาหนดให และม เปนเสนตด
• ตองการพสจนวา 1 3=
//PQ RS PR
• พสจน 1. เพราะ
2 3 180+ = ○ //PQ RS
2. เพราะ เปนมมประชด
3. จะได
1 2 180+ = ○
1 2 2 3 180+ = + = ○3. จะได
4. ดงนน
1 2 2 3 180+ +
1 3=
18
ตวอยางท 4ตวอยางท 4
ใ • ใหหาคาของ x และ y
180 72 108y = − =
72x =
19
ตวอยางท 5ตวอยางท 5
ใ • ใหหาคาของ x
• ตอบ O40x =
20
ตวอยางท 6ตวอยางท 6
ใ • ใหหาคาของ x และ y
• ตอบO
O
60x =O70y =
21
ตวอยางท 7ตวอยางท 7
ใ • ใหหาคาของ x และ y
• ตอบ O75x =O75y =
22
ตวอยางท 8ตวอยางท 8
• ตอบ 31x =
23
ตวอยางท 9ตวอยางท 9
ใ • ใหหาคาของ x และ y
•
24
ตวอยางท 10ตวอยางท 10
25
รปสามเหลยมรปสามเหลยม
ใ • มมภายในของรปสามเหลยม
• มมภายนอกของรปสามเหลยม
• ความเทากนทกประการ ( Congruent )
• รปสามเหลยมแบบตางๆ
• พนทรปสามเหลยมพนทรปสามเหลยม
• สามเหลยมคลาย
• ทฤษฎบทพทาโกรส
26
มมภายในของรปสามเหลยมมมภายในของรปสามเหลยม
ใ ไ • พสจนวา มมภายในของรปสามเหลยมรวมกนได 180o
27
1. ให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ รปหนง
ไ ใ 2. ตอดานของ BC ออกไป ใหเปน D
3. สราง CE ใหขนานกบ AB3. สราง CE ใหขนานกบ AB
4. เมอ จะได เพราะเปนมมแยง//AB CE BAC ACE=
5. และ เพราะ เปนมมภายในและมมภายนอกของ
ดานเดยวกนของเสนขนาน
ABC ECD=
28
6. จะได
ACD ACE ECD= +
7. ดงนน
8. บวก เขาไปทงสองดานของสมการACB
ACD BAC ABC= +
8. บวก เขาไปทงสองดานของสมการ
9. จะได
ACB
180oACD ACB BAC ABC ACB+ = + + =
29
มมภายนอกของรปสามเหลยมมมภายนอกของรปสามเหลยม
30
มมภายนอกของรปสามเหลยม (ตอ)มมภายนอกของรปสามเหลยม (ตอ)
• ทฤษฎบท
ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขน
จะมขนาด เทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชด
ของมมภายนอกนน ของมมภายนอกนน
3 1 2= +31
3 1 2= +
การเทากนทกประการของรปสามเหลยมการเทากนทกประการของรปสามเหลยม
ไ • รปสามเหลยมเทากนทกประการได 5 แบบ ดงน
1. เทากนทกประการแบบ (ด.ม.ด.) ( )
2. เทากนทกประการแบบ (ม.ด.ม.)
3. เทากนทกประการแบบ (ม.ม.ด.)
4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)
5. เทากนทกประการแบบ (ฉ.ด.ด.)
32
บทนยามบทนยาม
ไ • รปเรขาคณตสองรปเทากนทกประการกตอเมอเคลอนทรปหนงไปทบ
อกรปหนงไดสนท
ABC DEFΔ ≅ ΔABC DEFΔ ≅ Δ
• อานวา รปสามเหลยมABC เทากนทกประการกบรปสามเหลยม DEF
ใ • ใชสญลกษณ แทน “เทากนทกประการ” ≅
33
1 เทากนทกประการแบบ (ด ม ด )1. เทากนทกประการแบบ (ด.ม.ด.)
ใ ใ• ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสองคและมมใน
ระหวางดานคทยาวเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรป
นนเทากนทกประการแบบ ดาน-มม-ดาน (ด.ม.ด.) Side-Angle-Side
34
2 เทากนทกประการแบบ (ม ด ม )2. เทากนทกประการแบบ (ม.ด.ม.)
ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองคและดานซง
เปนแขนรวมของมมทงสองยาวเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนน
เทากนทกประการแบบ มม-ดาน-มม (ม.ด.ม.) Angle-Side-Angle
35
3 เทากนทกประการแบบ (ม ม ด )3. เทากนทกประการแบบ (ม.ม.ด.)
ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และมดาน
ยาวเทากนหนงค (ดานคทยาวเทากนไมไดอยระหวางมมสองค ทม
ขนาดเทากน ) แลวรปสามเหลยมทงสองรปจะเทากนทกประการ
แบบ มม–มม–ดาน (ม.ม.ด.) Angle-Angle-Side ( ) g g
36
4 เทากนทกประการแบบ (ด ด ด )4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)
ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสามค แลวรป
สามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการแบบ ดาน-ดาน-ดาน (ด.
ด.ด.) Side-Side-Side
37
5 เทากนทกประการแบบ (ฉ ด ด )5. เทากนทกประการแบบ (ฉ.ด.ด.)
ใ • ถารปสามเหลยมมมฉากสองรปใดๆ มดานตรงขามมมฉากยาว
เทากนหนงค และดานประกอบมมฉากยาวเทากนหนงค แลว
สามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการแบบ ฉาก–ดาน–ดาน
(ฉ.ด.ด.) Hypotenuse-Leg Postulate( ) yp g
38
รปสามเหลยมแบบตางๆรปสามเหลยมแบบตางๆ
• แบงตามความยาวของดาน
– รปสามเหลยมดานเทา (equilateral triangle)
– รปสามเหลยมหนาจว (isosceles triangle)
– รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene triangle)
• แบงตามมมภายใน
– รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle right angled triangle) รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle, right-angled triangle)
– รปสามเหลยมมมเฉยง (oblique triangle)
ปส ป ( bt l d t i l ) – รปสามเหลยมมมปาน (obtuse-angled triangle)
– รปสามเหลยมมมแหลม (acute-angled triangle)
39
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมดานเทา (equilateral triangle)
• รปสามเหลยมทมดานทกดานยาวเทากน และรปสามเหลยมดานเทา
เปนรปหลายเหลยมมมเทาดวย นนคอมมภายในทกมมจะมขนาด
เทากน คอ 60° และเปนรปหลายเหลยมปกตเทากน คอ 60 และเปนรปหลายเหลยมปกต
40
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมหนาจว (isosceles triangle)
• รปสามเหลยมทมดานสองดานยาวเทากน (ตามความหมายเรมแรก (
โดยยคลด ถงแมวารปสามเหลยมดานเทาจะสามารถจดวาเปนรป
สามเหลยมหนาจวได ดวย เพราะมดานทยาวเทากนอยางนอยสองสามเหลยมหนาจวได ดวย เพราะมดานทยาวเทากนอยางนอยสอง
ดาน) และมมมสองมมขนาดเทากน (มมทฐาน) คอมมทไมได
ป ประกอบดวยดานทเทากนทงสอง
41
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
ไ • รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene triangle)
• รปสามเหลยมทมดานทกดานยาวแตกตางกน และมมภายในกม
ขนาดแตกตางกนดวย
42
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle, right-angled triangle)
• มมมภายในมมหนงมขนาด 90° (มมฉาก) ดานทอยตรงขามกบมม ( )
ฉากเรยกวา ดานตรงขามมมฉาก ซงเปนดานทยาวทสดในรป
สามเหลยม อกสองดานเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ความยาวดานสามเหลยม อกสองดานเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ความยาวดาน
ของรปสามเหลยมมมฉากสมพนธกนตามทฤษฎบทพทาโกรส นนคอ
กาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก c จะเทากบผลบวก
ของกาลงสองของดานประกอบมมฉาก a, b เขยนอยางยอเปน2 2 2a b c+ =
ac
43b
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมมมเฉยง (oblique triangle)
• ไมมมมใดเปนมมฉาก ซงอาจหมายถงรปสามเหลยมมมปานหรอรป
สามเหลยมมมแหลม
44
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมมมปาน (obtuse-angled triangle)
• มมมภายในมมหนงมขนาดใหญกวา 90° ญ
45
รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)
• รปสามเหลยมมมแหลม (acute-angled triangle)
• มมภายในทกมมมขนาดเลกกวา 90° (มมแหลม) รปสามเหลยมดาน ( )
เทาเปนรปสามเหลยมมมแหลม แตรปสามเหลยมมมแหลมทกรป
ไมไดเปนรปสามเหลยมดานเทาไมไดเปนรปสามเหลยมดานเทา
46
การหาพนทของรปสามเหลยมการหาพนทของรปสามเหลยม
ใ• การคานวณพนทของรปสามเหลยมเปนปญหาพนฐานทมกจะพบใน
สถานการณทแตกตางกน สตรทงายและเปนทรจกมากทสดคอ
• พนทรปสามเหลยม = x สง x ฐาน12
47
การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)
ใ โ ไ • ถงแมวาสตรนจะงาย แตกใชประโยชนไดเฉพาะเมอสามารถหาความ
สงของรปสามเหลยมไดโดยงาย ตวอยางเชนการรงวดทดนทม
ลกษณะเปนรปสามเหลยม จะวดความยาวของดานทงสามแลว
สามารถคานวณหาพนทไดโดยไมตองวดสวน สงเปนตน วธการท
หลากหลายถกใชในทางปฏบต ขนอยกบวาเรารอะไรเกยวกบรป
สามเหลยมบาง วธตอไปนเปนสตรหาพนทของรปสามเหลยมทใชกนสามเหลยมบาง วธตอไปนเปนสตรหาพนทของรปสามเหลยมทใชกน
บอยๆ
48
การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)
ใ โ • ใชตรโกณมต
• สวนสงของรปสามเหลยมหาไดดวยตรโกณมต จากรปทางซาย
สวนสงจะเทากบ h = a sin γ นาไปแทนในสตร S = ½hb ทไดจากขางตน พนทของรปสามเหลยมจงแสดงไดเปนขางตน พนทของรปสามเหลยมจงแสดงไดเปน
1 sin2
S ab γ=21 sinbc α=21 sinca β=
49
sin2
ca β
ตวอยางตวอยาง
ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทมดานแตละดานยาวเทากน
เทากบ 4 cm
50
1 iS b• จาก sin21
S ab γ=
1 4 4 sin 602
3
S = × × ×
32 42
S = × ×
4 3S = ตร.ซม.
51
การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)
ใ • ใชสตรของเฮรอน (Heron's formula)
• อกวธทใชคานวณ S ไดคอใชสตรของเฮรอน
( )( )( )Area s s a s b s c= − − −
• เมอ คอครงหนงของเสนรอบรปของรป
( )( )( )
( ) / 2S a b c= + +เมอ คอครงหนงของเสนรอบรปของรป
สามเหลยม นอกจากนกมสตรอนทเทยบเคยงกบสตรของเฮรอน( ) / 2S a b c+ +
52
ตวอยางตวอยาง
ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทมดานแตละดานยาวดงน A=4
B=3 และ C=5
• จากสตร พนทสามเหลยม
•( )( )( )s s a s b s c= − − −
( ) / 2S b• และ
• จะได
( ) / 2S a b c= + +
( )4 3 5 / 2 6S = + + =
• พนทสามเหลยม ABC
( )( )( )( )6 6 4 6 3 6 5= − − −
( )( )( )6 2 3 1 36 6= = = ตร.หนวย
53
การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)
ใ • ใชพกด
• กาหนดใหพกดของจดยอดทงสามอยท
ไ
( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B C CA x y B x y C x y= = =
• แลวพนท S จะคานวณไดจาก
( ) ( ) ( )A B C B C A C A B+ +( ) ( ) ( )2
x y y x y y x y yA B C B C A C A BArea
− + − + −=
54
ตวอยางตวอยาง
ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน A=(1,1)
B=(3,2) และ C=(2,8) ( ) ( ) ( )1 2 8 3 8 1 2 1 2+ +
• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )1 2 8 3 8 1 2 1 2
2− + − + −
=
( ) ( ) ( )1 6 3 7 2 12
− + + −=
2
6 21 2 13 6 5− + −= = = ตร.หนวย6.5
2 2= = = ตร.หนวย
55
ตวอยางตวอยาง
ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน (2,1)
(5,2) และ C=(3,-4) ( ) ( ) ( )2 2 4 5 4 1 3 1 2• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )2 2 4 5 4 1 3 1 2
2+ + − − + −
=
( ) ( ) ( )2 6 5 5 3 12
+ − + −=
2
12 25 3 16 8− − −= = = ตร หนวย8
2 2= = = ตร.หนวย
56
ตวอยางตวอยาง
ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน A=(2,1)
B=(8,1) และ C=(3,8) ( ) ( ) ( )2 1 8 8 8 1 3 1 1• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )2 1 8 8 8 1 3 1 1
2− + − + −
=
( ) ( ) ( )2 7 8 7 3 02
− + +=
2
14 56 0 42 21− + += = = ตร หนวย21
2 2= = = ตร.หนวย
57
เสนมธยฐานและเซนทรอยดเสนมธยฐานและเซนทรอยด
• เสนมธยฐาน (median) ของรปสามเหลยม คอ เสนทลากจากจดยอด
ไปยงจดกงกลางของดานทอยตรงขามของรปสามเหลยม
• เซนทรอยด (centroid) คอ จดทเกดจากเสนมธยฐานทงสามเสนตด
กน และเซนทรอยดจะแบงเสนมธยฐานออกเปนสองสวน ทาใหระยะกน และเซนทรอยดจะแบงเสนมธยฐานออกเปนสองสวน ทาใหระยะ
จากจดยอดถงเซนทรอยดเปนสองเทาของความยาวอกสวนหนง
(2:1)
58
ตวอยางตวอยาง
ใ ใ • กาหนดสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ใหหาเซนทรอยดของ
รปสามเหลยม ABC
59
• พจารณารปสามเหลยม ABC กาหนดให D เปนจดกงกลางของ AB
• E เปนจดกงกลางของ และ F เปนจดกงกลางของ และ
O
AB
BC ACจด O คอ เซนทรอยด
• จะได AD DB,BE EC,AF FC= = =
• เพราะฉะนน
, ,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ADO BDO BEO CEO CFO AFO60
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ADO BDO , BEO CEO , CFO AFO= = =
• และ [ ] [ ]ABE ACE=
• จะได
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]ABO ABE BEO= −
• ดงนน
[ ] [ ] [ ]ACO ACE CEO= −
[ ] [ ]ABO ACO=ดงนน
• และ
[ ] [ ]ABO ACO
[ ] [ ] [ ] [ ]1ADO DBO , ADO ABO2
= =
61
2
• จะได
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1AFO FCO , AFO ACO ABO ADO2 2
= = = =
[ ] [ ] [ ] [ ]• ดงนน
• สดทายจะได
[ ] [ ] [ ] [ ]AFO FCO DBO ADO= = =
สดทายจะได
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]AFO FCO DBO ADO BEO CEO= = = = =
62
ทฤษฎพอลโลเนยส (Apollonius' theorem)ทฤษฎพอลโลเนยส (Apollonius theorem)
( )2 2 2 22AB AC AD BD+ = +
63
ตวอยางตวอยาง
ใ • กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม BD เปนเสนมธยฐาน ถา
AB = 5 cm, BC = 4.5 cm และ AC = 8 cm ใหหาความยาว BD
64
ตวอยางตวอยาง
• วธทา
• จากทฤษฎพอลโลเนยสฤ ฎ
• จะได ( ) ( ) ( )2 2 2 25 4.5 2 4 BD+ = +
225 20.25 162
BD+= +
2
2
22.625 166 625
BDBD
− =
= 6.6252.57
BDBD cm
==
65
สามเหลยมคลายสามเหลยมคลาย
• ความคลาย ( Similarity )
A CB DA CB D
66
GFE H
เราอาจจะตอบรปสามเหลยมทคลายกนได
ถาเรายายรปได
เราอาจจะตอบรปสามเหลยมทคลายกนได
CB
A
CBD
F H
GE
แตถาเรายายรปไมได จะตองมนยาม อะไรแตถาเรายายรปไมได จะตองมนยาม อะไร67
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
• นยาม รปสามเหลยมสองรปจะคลายกนกตอเมอ มมมเทากนทง 3 ค
• เชน
C F
A B ED
ป ป รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF
68
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
PQ
Y
R
Z X
รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF
69
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
• พจารณารปสามเหลยมคลายกน
C
R
AB P Q
A
B
P
Q
=
=B
C
Q
R=
ได ΔABC คลายกบ ΔPQR
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
• ดานตรงขามมมทเทากน เปนดานสมนยกน
C
R
C
R
CC
A B P QB QA P
A P= ดานตรงขามมมทเทากน QRกบBC
B Q= PRกบACดานตรงขามมมทเทากน
C R= PQกบABดานตรงขามมมทเทากน
สามเหลยมคลาย (ตอ)R
สามเหลยมคลาย (ตอ)
C
A BP Q
B
A P= ดาน A
B
P
Q
=
=
ดาน
คสมนย
QRกบBC
PRกบAC
C
Q
R=
คสมนย
กน PQกบAB
PRกบAC
Q
สามเหลยมคลาย (ตอ)
C
Rสามเหลยมคลาย (ตอ)
A B
P QC
A B
ˆ ˆ=BC
A
ˆ
P
ˆ
=
ดาน QRกบBC อตราสวน QR
ACB Q= คสมนย
PRกบAC ของ
ดานสมนยกน PR
AC
C R= กน PQกบAB เทากนPQ
AB
PQ
สามเหลยมคลาย (ตอ)
สามเหลยมคลาย (ตอ)
• รปสามเหลยมคลายกนอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกน
เทากน R
PQ
C
A BBC AC AB= =A C Δ Q ไดQR PR PQ
= =ΔABC ∼ΔPQR ได
QR
BC
PR
AC= หรอ
PR
AC
PQ
AB= หรอ
QR
BC
PQ
AB=
QR PR PR PQ QR PQ
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
• รปสามเหลยมคลายกนอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกน
เทากน (เขยนอตราสวนอกแบบ)R
PQ
C
A B
ΔABC ∼ΔPQR ได QR = PQAB=BC
PRAC
BC = PRAC
จดแยกได หรอQR PRAC = PQ
AB หรอ QRBC = PQ
AB
สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)
• บทนยาม• รปสามเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ รปสามเหลยมสองรปนนม
ขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค
• สมบตของรปสามเหลยมคลายกน
• รปสามเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ รปสามเหลยมสองรปนนม
อตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปน อตราสวนท
เทากน
ตวอยางท 1ตวอยางท 1
ใ ใ TSV QPRΔ Δ• กาหนดให ใหหาคาของ x, y และ PTSV QPRΔ Δ∼
77
ตวอยางท 2ตวอยางท 2
ใ ใ • กาหนดให ใหหาคาของ PT และ PR//ST QR
78
ตวอยางท 3ตวอยางท 3
ใ • ใหหาคาของ x
79
ตวอยางท 4ตวอยางท 4
ใ • ใหหาคาความสงของ h จากรปดานลาง ทนกเทนนสตลกบอลแลวลก
จะผานเนทพอดและไปตกลงบนพนซงหางจากเนท 6 เมตร
80
ทฤษฎบทพทาโกรสทฤษฎบทพทาโกรส
ใ • สงทกาหนดให สามเหลยม ABC มมม BAC เปนมมฉาก
• สงทตองพสจน 2 2 2BC BA AC= +
81
ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)
• พสจน สรางรปสเหลยมจตรสบนดานทงสาม
• ลาก ขนานกบ ลากAL BD AD,BK,FC
• เพราะวา 1 มมฉาก
BAC=BAG=
• ดงนน เปนเสนตรงเดยวกบ
• ในทานองเดยวกนจะไดวา เปนเสนตรงเดยวกบ
CA AG
BA AHในทานองเดยวกนจะไดวา เปนเสนตรงเดยวกบ
• เพราะ จะได
DBC=FBA DBC+ABC=FBA+ABC
• ดงนน และเนองจาก และ
• ดงนนรปสามเหลยม ABD กบ FBC มดานและมมทเหลอเทากน
DBA=FBC DB BC= FB BA=
ดงนนรปสามเหลยม ABD กบ FBC มดานและมมทเหลอเทากน
82
ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)
• พสจน แต และ
• ดงนนจะได
BMLD=2 ABDΔ ABFG=2 FBCΔ
BMLD= ABFG
• พสจนในทานองเดยวกนจะได
MLEC= AHKC
• ดงนน
• จะได
BMLD MLEC= ABFG+ AHKC+
BDEC= ABFG+ AHKCจะได
• นนคอ รปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากของรป
• สามเหลยมมมฉากเทากบ ผลบวกของจตรสบนดานประกอบ
• มมฉากมมฉาก
83