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Prof. Rivelino – Matemática Básica
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COMENTÁRIO DA PROVA
RECEITA FEDERAL 2009 1. Considere as inequações dadas por:
f(x) = x² - 2x + 1≤ 0 e g(x) = -2x² + 3x + 2 ≥ 0. Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B o conjunto solução de g(x), então Y = A ∩ B é igual a: Solução: x² - 2x + 1≤ 0 →Fatorando, temos:
(x – 1)² ≤ 0 Observando a inequação, concluímos que a mesma é nula para x = 1 e positiva para qualquer outro valor. Portanto, a solução da primeira
inequação é: A = { x / x = 1∈ }
-2x² + 3x + 2 ≥ 0 →Fatorando, temos:
-2 i (x + 12
) i (x – 2) ≥ 0
------------- ++++++++++ ---------------- _________________________
1 - 22
Observando o estudo dos sinais, temos que a solução para a segunda inequação é:
B = { 1x / - x 22
∈ ≤ ≤ }
Portanto, o conjunto Y = A ∩ B é igual a { 1 }.
Item a.
2. Em uma repartição 3/5 do total dos funcionários
são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual dentre as opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?
Solução: Resolver questões de porcentagem atribuindo valores é sempre mais fácil. Como os denominadores das frações que aparecem nas questões são 5, 3 e 4, escolherei um valor para o número de funcionários que seja múltiplo dos denominadores, como por exemplo, 60. Iniciemos os cálculos:
Concursados: 3 F5
→ 36
Não concursados: 2 F5
→ 24
Mulheres: 1 F3
→ 20
Homens: 2 F3
→ 40
Mulheres concursadas: 1 F4
→ 15
Mulheres não concursadas: 20 – 15 = 5 Homens concursados: 36 – 15 = 21 Homens não concursados: 40 – 21 = 19
% homens não concursados = 19 = 31,66%60
Item c.
3. Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em
relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900Km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?
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Solução:
a) Conversão da velocidade:
900km/h : 3,6 = 250 m/s b) Espaço percorrido em 5 segundos:
250 x 5 = 1250 metros (hipotenusa do triângulo)
c) Cálculo da altura atingida pelo projétil:
hsen30 = 1250
1 h = 2 1250h = 625 metrosh = 0,625 km
Item e.
4. Considere um retângulo formado por pequenos
quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?
Solução: Quadrados de lado 1 = 18 Quadrados de lado 2 = 10 Quadrados de lado 3 = 04 Total de quadrados = 32
Item b.
5. Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: Solução: a) Precisamos de apenas dois pontos para
determinar uma reta. A B C D
i i i i E i F G i i
b) Observando os pontos temos as possíveis retas:
EA, EB, EC, ED, EF, EG, FA, FB,
FC, FD, FG, GA, GB, GC, GD,
ABCD
Item d.
6. De quantas maneiras podem sentar-se três
homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?
Solução: Fixando os meninos na roda, as meninas podem ser dispostas de 3! maneiras. Por outro lado, há (3-1)! = 2! modos de formar uma roda só com os meninos (permutação circular).
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Assim, 3 meninos e 3 meninas podem ser alternadamente dispostos em uma roda de 2! i 3! = 12 maneiras.
Questão sem opção
7. Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
Solução: a) Admita: Esfera = E ; Cubo = C ; Cone = K e
Pirâmide = P.
b) Montando as equações: E + C = K ( I ) E = C + P ( II ) 2K = 3P ( III )
c) Relacionando Esfera e Cubo: E = C + P (x 3) 3E = 3C + 3P ( trocando 3P por 2K ) 3E = 3C + 2K ( trocando K por E + C ) 3E = 3C + 2 . (E + C) 3E = 3C + 2E + 2C E = 5C
Item e.
8. Se um polinômio f for divisível separadamente por
(x-a) e (x-b) com a≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x-a) e (x-b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x-1) e (x+3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x-1) e (x+3) é igual a:
Solução: Se f é divisível pelo produto ( x – 1 ) i ( x + 3 ),
então, utilizando a expressão D = d i q + r , podemos escrever o polinômio f assim: f = (x – 1) i (x + 3) iQ(x) + R(x)
R(x) tem grau menor que o quociente Q(x), logo, R(x) deve ser, no máximo, do 1° grau. R(x) = ax + b
Reescrevendo f , temos:
f = (x – 1) i (x + 3) iQ(x) + ax + b
Utilizando o teorema do resto: f(1) = 5 →Substituindo x por 1, temos:
a + b = 5 f(-3) = -2→Substituindo x por -3, temos:
-3a + b = -2
Resolvendo o sistema, temos:
a + b = 53a + b = -2
⎧⎨−⎩
7 13a = e b = . 4 4
7 13Assim, R(x) = + 4 4
x
Item a.
9. Com relação ao sistema, x + y + z = 12x - y z + 1 =1,3z + 2 2x + y
⎧⎪⎨ =⎪⎩
onde 3z + 2 ≠ 0 e 2x + y ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:
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Solução: a) Resolvendo as equações:
2x - y 1 2x - y -3z = 23z + 2
= ⇒
z + 1 =1 2x + y -z = 12x + y
⇒
b) Organizando o sistema:
x + y + z = 12x - y - 3z = 22x + y - z = 1
⎧⎪⎨⎪⎩
c) Colocando o sistema na forma matricial:
1 1 1 12 1 3 = 22 1 1 1
xyz
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i
d) Gerando as matrizes:
A=1 1 12 1 32 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Det A = 1 – 6 + 2 + 2 + 2 + 3 = 4
1
1 1 1A = 2 1 3
1 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Det 1A = 1 – 3 + 2 + 1 + 2 + 3 = 6
2
1 1 1A = 2 2 3
2 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Det 2A = - 2 – 6 + 2 – 4 + 2 + 3 = -5
3
1 1 1A = 2 1 2
2 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Det 3A = - 1 + 4 + 2 + 2 – 2 – 2 = 3
e) Cálculo de x , y e z
6 3x = = 4 2
5y = -4
3z = 4
a) Possui determinante igual a 4. (Que determinante?)
b) É indeterminado. ( F ) c) É impossível. ( F ) d) Possui apenas a solução trivial. ( F ) e) É homogêneo ( F ).
Questão mal elaborada – passível de anulação.