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Algebra y Geometría
Analítica
Ing. Carlos A. LOPEZProf. Ricardo Massucco
Con la colaboración del Ing. Carlos CHONG
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Para comenzar :
¿Quien nos puede decir qué es x=1?
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Lo primero que nos deberíamos preguntar es
¿Dónde? ¿En que espacio? ¿La recta, E2 o E3?
0 1-1-2 2
Un punto0 1 2
Una recta
01 2
2
21
1
Un plano
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Las CurvasCónicas
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Superficies Cilíndricas
Recibe este nombre la superficie que es generada por una recta que se mueve manteniéndose paralela
a una recta fija llamada generatriz y pasa siempre
por una curva fija dada que recibe el nombre de directriz.
Para nuestro estudio particular consideraremos a la directriz como una curva perteneciente a uno de los
planos coordenados y la generatriz como una recta perpendicular a dicho plano.
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Cilindro de directriz
hiperbólica
12
2
2
2
222
=+
=+
b
y
a
x
o
ryx
pyx 22=
12
2
2
2
=−a
x
b
y
Cilindro de
directriz
parabólica.
Cilindro circular o
elíptico
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Estudio del Paraboloide Estudio del Paraboloide
HiperbHiperbóólicolico
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Estudio de una Superficie
5- Intersección con planos paralelos a los planos coordenados.
4- Intersección con los planos coordenados.
3- Intersección con los ejes coordenados.
2- Verificar si la superficie contiene o no el Origen del Sistema de coordenadas.
1- Estudio de la Simetría.
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Estudio de la Simetría
Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia de signo de:
• Una de las variables, la superficie es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable.
• Dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no se cambio.
• Las tres variables, la superficie es simétrica con respecto al origen de coordenadas
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1- Simetría
( )z
q
y
p
x2
22
=−−
( )z
q
y
p
x2
22
=−
−
( ) ( )z
q
y
p
x2
22
=−
−−
2- simetría respecto del plano xz
3- es decir simetría respecto del eje z.
1- simetría respecto del plano yz.
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2- Verificar si la superficie contiene o no el Origen del Sistema de coordenadas.
0.200 22
=−qp
Reemplazando por el punto P(0,0,0)
Se verifica, por lo tanto la superficie contiene al origen de coordenadas
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3- Intersección con los ejes coordenados
a) Intersección con el eje x:
=
=
=−
0
0
222
z
y
zq
y
p
x
=
=
=
0
0
02
z
y
p
x
( )0,0,0P
0zyx
:sea o
=== x
z
y
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3- Intersección con los ejes coordenados
a) Intersección con el eje y:
=
=
=−
0
0
222
z
x
zq
y
p
x
=
=
=−
0
0
02
z
x
p
y
( )0,0,0P
0zyx
:sea o
=== x
z
y
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3- Intersección con los ejes coordenados
a) Intersección con el eje z:
=
=
=−
0
0
222
y
x
zq
y
p
x
=
=
=
0
0
20
y
x
z
( )0,0,0P
0zyx
:sea o
=== x
z
y
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4- Intersección con los planos coordenados
a) Intersección con el plano coordenado xy (z=0)
=
=−
0
222
z
zq
y
p
x
=
=−
0
022
z
q
y
p
x
=
=
−•
+
0
0
z
q
y
p
x
q
y
p
x
x
z
y
Es un par de planos cortados con el plano
xy, nos da un par de rectas en el plano
coordenado xy
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4- Intersección con los planos coordenados
b) Intersección con el plano coordenado xz (y=0)
0
222
=
=−
y
zq
y
p
x
=
=
0
22
y
zp
x
x
z
y
Es un cilindro parabólico cortado con el
plano xz, nos da una parábola en E3
=
=
0
22
y
pzx
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4- Intersección con los planos coordenados
c) Intersección con el plano coordenado yz (x=0)
0
222
=
=−
x
zq
y
p
x
=
=−
0
22
x
zq
y
Es un cilindro parabólico de eje z, que abre
sus ramas hacia las z negativas cortado
con el plano yz, cuya ecuación es x=0, nos
da una parábola sobre el plano yz en E3.
x
z
y
=
−=
0
22
x
qzy
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5. Intersección con planos // a los planos coordenados
kx
z q
y
p
x
=
=− 222
=
=−
kx
z q
y
p
k2
22
a) Intersección con planos paralelos al plano yz (x=k)
Es un cilindro de directriz parabólica de eje
z, que abre sus ramas hacia las z
negativas cortado con un plano // al plano
yz. Para cada valor de k, con
independencia de su signo, se obtiene
como intersección una parábola en E3 de
eje paralelo al eje z.
x
z
y
=
+−=
kx
p
qkqzy
22 2
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5. Intersección con planos // a los planos coordenados
ky
z q
y
p
x
=
=− 222
=
=−
ky
z q
k
p
x2
22
b) Intersección con planos paralelos al plano xz (y=k)
Es un cilindro de directriz parabólica de eje
z, que abre sus ramas hacia las z positivas
cortado con un plano // al plano xz. Para
cada valor de k, con independencia de su
signo, se obtiene como intersección una
parábola en E3 de eje paralelo al eje z.
=
+=
ky
q
pkpzx
22 2
x
z
y
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5. Intersección con planos // a los planos coordenados
kz
z q
y
p
x
=
=− 222
=
=−
kz
k q
y
p
x2
22
c) Intersección con planos paralelos al plano xy (z=k)
x
z
y•k=0
• k<0
• k>0
si k=0
Corresponde al plano xy. Seccion 4 a
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5. Intersección con planos // a los planos coordenados
−=
=−
kz
zq
y
p
x2
22
−=
−=−
kz
kq
y
p
x2
22
c) Intersección con planos paralelos al plano xy (z=k)
x
z
y
si k<0
−=
=+−
kz
kq
y
p
x2
22
Es un cilindro de directriz hiperbólica
cortado con un plano // al plano xy, la
intersección es una hipérbola en E3
ubicada en un plano paralelo al plano xy de
eje y.
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5. Intersección con planos // a los planos coordenados
=
=−
kz
zq
y
p
x2
22
=
=−
kz
kq
y
p
x2
22
c) Intersección con planos paralelos al plano xy (z=k)
si k>0
=
=−
kz
kq
y
p
x2
22
Es un cilindro de directriz hiperbólica
cortado con un plano // al plano xy, la
intersección es una hipérbola en E3
ubicada en un plano paralelo al plano xy de
eje x.
x
z
y
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y
x
z
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y
x
z
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La geometría en la ejecución de las
superficies no complica, sino que
simplifica la construcción"
A. Gaudí
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L’Oceanogràfic de la Ciudad de las Artes y de las
Ciencias de Valencia, durante su construcción.
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Restaurante Los Manantiales del
parque de Choximilco en la ciudad de
México. El techo está formado por
ocho paraboloides hiperbólicos.
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Puente peatonal que está en la calle Corporation de Manchester, Inglaterra.
Hiperboloide de una hoja
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El castillo de agua en Fedala
(Marruecos), diseñado por
Torroja, tiene la forma de un
hiperboloide de una hoja, el
cual puede ser
precomprimido a lo largo de
sus dos conjuntos de rectas
generatrices
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Basílica de Brasilia
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Planetario de Buenos Aires
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Arco Gateway en San Luis
Missouri (Estados Unidos),
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FIN
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