El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Algoritmos de Aproximacion para el problema deCorte de Multicaminos (Multiway Cut)
Julian Viera
Curso de Algoritmos de Aproximacion 2016Facultad de Ingenierıa - IMERL
24 de octubre de 2016
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Agenda
1 El Problema Multiway Cut (MC)
2 AA1 combinatorio para el MC
3 AA2 goloso para el MC
4 AA3 de redondeo para el MC
5 Otros resultados de AA para el problema MC
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Definicion del problema MC
Se considera un grafo conexo y no dirigido G = (V,E) con
costos positivos asociados a sus aristas c : E → R+
un conjunto de k terminales S = {s1, s2, ..., sk} ⊆ V
El problema Multiway Cut consiste en encontar el conjunto de aristasde E de mınimo costo que al ser removidas desconectan entre sı atodos los k vertices terminales de G.
Es una generalizacion del problema de corte mınimo - flujo maximoentre dos vertices de un grafo.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Ejemplo de instancia del problema MC
(a) Instancia del MC conk = 3
(b) Solucion factible concosto = 14
(c) Solucion optima concosto = 7
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Componentes Conexas asociadas a la solucion optima delMC
Al remover las aristas de la solucion optima, el grafo se particionaen exactamente k componentes conexas, con cada una conteniendoun unico vertice terminal.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Aplicaciones del problema Multiway Cut
Minimizacion de costos de comunicacion en sistemas decomputacion paralelos
Asignacion optima de modulos de programa en sistemasmultiprocesador
Particion optima de archivos entre nodos de una red
Particion optima de elementos de un circuito en subcircuitosindependientes
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Definicion del problema MCAplicaciones del problema MCComplejidad del problema MC
Complejidad del problema Multiway Cut
El problema MC es NP-completo para k ≥ 3
Para k = 2, el problema MC es equivalente al problema dedeterminar el flujo maximo - corte mınimo entre 2 vertices deun grafo, y es resoluble con algoritmos de tiempo polinomico(Ford-Fulkerson)
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Algoritmo combinatorio AA1 para el Multiway Cut
Corte aislante (isolating cut) de un terminal si : conjunto de aristasde E que al ser removidas desconectan a si del resto de los terminalesde G.
Algoritmo AA1:
1 Para cada i = 1, ..., k determinar el corte aislante de costomınimo del terminal si .
2 Descartar el mas costoso de estos cortes, y devolver la unionde los demas.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
AA1 para el MC
1: Sea S = {s1, s2, ..., sk} conjunto de vertices terminales de G2: for i ← 1 to k do3: ti ← contraccion de S \{si}4: Ci ← corte de costo mınimo si − ti5: end for6: Sea c(C1) ≤ c(C2) ≤ ... ≤ c(Ck)
7: return CAA1 =i=k−1⋃i=1
Ci
AA1 fue propuesto por Dahlhaus, Johnson, Papadimitriou, Seymoury Yannakakis en el artıculo “The complexity of multiway cuts”, Sym-posium on the Theory of Computation (STOC) 1992.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Ejemplo del AA1. Paso 1, calculo de cortes mınimos.
Corte aislante C1 de costo mınimo para el terminal s1. c(C1) = 6.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Ejemplo del AA1. Paso 1, calculo de cortes mınimos.
Corte aislante C2 de costo mınimo para el terminal s2. c(C2) = 4.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Ejemplo del AA1. Paso 1, calculo de cortes mınimos.
Corte aislante C3 de costo mınimo para el terminal s3. c(C3) = 4.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Ejemplo del AA1. Paso 2, union de cortes y descarte.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Teorema : El AA1 tiene factor de aproximacion 2(1− 1k )
A: corte multicaminos optimo de G.Ai , i = 1, ..., k: corte que separa la componente del terminal sien la solucion optima A. Se verifica que A =
⋃i=ki=1 Ai .
Ci , i = 1, ..., k: corte aislante optimo del AA1 para si .
c(C1) ≤ c(A1)c(C2) ≤ c(A2)
...c(Ck) ≤ c(Ak)
k∑i=1
c(Ci ) ≤k∑
i=1
c(Ai ) = 2c(A) = 2OPT
c(CAA1) ≤(
1− 1
k
) k∑i=1
c(Ci ) ≤ 2
(1− 1
k
)OPT QED
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoFactor de aproximacion del AA1Ejemplo extremal del AA1
Un ejemplo extremal (tight) para el AA1.
Solucion optima del MC : k aristas del anillo ⇒ OPT = k .Solucion del AA1: k-1 aristas colgantes.⇒ c(CAA1) = (2−ε)(k−1) = (2−ε)(1− 1
k )k = (2−ε)(1− 1k )OPT
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El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Algoritmo goloso AA2 para el Multiway Cut
Algoritmo AA2:
1 Calcular los cortes si − sj de costo mınimo para todos los paresde terminales {si , sj} que aun esten conectados, y remover delgrafo el corte de menor costo, denotado Cij .
2 Repetir el paso 1 hasta que todos los pares de terminales {si , sj}queden desconectados.
3 Devolver CAA2 =⋃Cij .
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El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Ejemplo del AA2
(a) Grafo origen (b) Cortes mınimos entreterminales conectados
(c) Seleccion y remo-cion del corte mınimo demenor costo (C13)
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Ejemplo del AA2
(d) Cortes mınimos en-tre terminales conecta-dos
(e) Seleccion y remo-cion del corte mınimode menor costo (C12)
(f) Devolver CAA2 = C12 ∪C13
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Propiedades del AA2 goloso
Sea S = {s1, s2, ..., sk} el conjunto de vertices terminales.
1 El AA2 ejecuta exactamente k − 1 pasos. CAA2 =h=k−1⋃h=1
(Cij)h
2 ∀si ∈ S , existe al menos otro terminal sj tal que en algun pasode su ejecucion el AA2 va a elegir el corte Cij .
3 Sean Ci el corte aislante de costo mınimo de si , i = 1, ..., k , yCij cualquiera de los cortes del AA2 que involucra a si . Severifica que c(Cij) ≤ c(Ci )
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El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Propiedades del AA2 goloso
Sea S = {s1, s2, ..., sk} el conjunto de vertices terminales.
1 El AA2 ejecuta exactamente k − 1 pasos. CAA2 =h=k−1⋃h=1
(Cij)h
2 ∀si ∈ S , existe al menos otro terminal sj tal que en algun pasode su ejecucion el AA2 va a elegir el corte Cij .
3 Sean Ci el corte aislante de costo mınimo de si , i = 1, ..., k , yCij cualquiera de los cortes del AA2 que involucra a si . Severifica que c(Cij) ≤ c(Ci )
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Propiedades del AA2 goloso
Sea S = {s1, s2, ..., sk} el conjunto de vertices terminales.
1 El AA2 ejecuta exactamente k − 1 pasos. CAA2 =h=k−1⋃h=1
(Cij)h
2 ∀si ∈ S , existe al menos otro terminal sj tal que en algun pasode su ejecucion el AA2 va a elegir el corte Cij .
3 Sean Ci el corte aislante de costo mınimo de si , i = 1, ..., k , yCij cualquiera de los cortes del AA2 que involucra a si . Severifica que c(Cij) ≤ c(Ci )
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Grafo de cortes del AA2 goloso
Es el grafo no dirigido Gc obtenido a partir de la aplicacion del AA2,cuyos vertices son los terminales de G y en el que hay arista entredos terminales si y sj si y solo si AA2 elige en alguno de sus pasosel corte Cij .
Propiedad: El grafo de cortes Gc del AA2 es un arbol.
Prueba: por propiedad 2) anterior tiene k vertices de grado mayoro igual a 1. Por propiedad 1) tiene k − 1 aristas =⇒ es un arbol.
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AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Ordenamiento de las aristas del grafo de cortes Gc del AA2
Propiedad: Existe una funcion de mapeo F : S → S tal las aristasde Gc se pueden ordenar como {C1F (1),C2F (2), ...,C(k−1)F (k−1)}Prueba: por construccion de F.
1: Sean S = {s1, s2, ..., sk} y C = CAA2
2: Sea Gc = (S ,C ) el grafo de cortes del AA2
3: while S 6= {sk} do4: for all si/grado(si ) = 1 en Gc y i 6= k do5: Sea j/Cij es la arista de Gc que incide en si =⇒ F (i)← j6: Gc ← Gc\{si}7: end for8: end while
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AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Descripcion del algoritmoPropiedades del AA2Factor de aproximacion del AA2
Teorema : El AA2 tiene factor de aproximacion 2(1− 1k )
Prueba:
Ci , i = 1, ..., k: corte aislante optimo del terminal si .
Suponemos sin perdida de generalidad quec(C1) ≤ c(C2) ≤ ... ≤ c(Ck)
CiF (i), i = 1, ..., k − 1: corte del AA2 para si en elordenamiento de aristas de Gc .
c(C1F (1)) ≤ c(C1)c(C2F (2)) ≤ c(C2)
...c(C(k−1)F (k−1)) ≤ c(Ck−1)
c(CAA2) =k−1∑i=1
c(CiF (i)) ≤k−1∑i=1
c(Ci ) = c(CAA1) ≤ 2
(1− 1
k
)OPT
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Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Modelo de Programacion Lineal Entera para el MC
Las variables del modelo son ”distancias”binarias d entre todo parde nodos del grafo.
mind(u,v)
∑e=(u,v)∈E
c(e)d(u, v)
s.a.
d(u, v) = d(v , u) ≥ 0 ∀u, v ∈ V
d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v) ∀u, v ∈ V
d(si , sj) = 1 ∀i , j ∈ S , i 6= j
d(u, v) ∈ {0, 1} ∀u, v ∈ V
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Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Modelo Relajado de Programacion Lineal para el MC
Modelo LP
mind(u,v)
∑e=(u,v)∈E
c(e)d(u, v)
s.a.
d(u, v) = d(v , u) ≥ 0 ∀u, v ∈ V
d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v) ∀u, v ∈ V
d(si , sj) = 1 ∀i , j ∈ S , i 6= j
0 ≤ d(u, v) ≤ 1 ∀u, v ∈ V
Gap de integralidad de la relajacion LP
Puede probarse que esta relajacion LP para el MC tiene un gap deintegralidad de valor 2(1− 1
k ).
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AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Un algoritmo de redondeo aleatorio para el Multiway Cut
Algoritmo de redondeo aleatorio para el MC:1 Resolver el problema relajado LP para obtener una solucion del
MC optima fraccionaria.2 Sortear aleatoriamente un valor de ρ en el intervalo
[0, 1
2
].
3 Elegir para la solucion toda arista (u, v) ∈ E / ∃ terminal s cond(u, s) ≤ ρ ≤ d(v , s).
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Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Valor esperado del algoritmo aleatorio para el MC
Propiedad: ∀(u, v) ∈ E , la probabilidad de esa arista se elegida porel algoritmo aleatorio esta acotada por 2d(u, v)
Prueba (para un terminal dado s):P{se elige (u, v)} ≤ 2(d(v , s)− d(u, s)) por tener ρ distribucionuniforme de densidad 2.d(v , s)− d(u, s) ≤ d(u, v) por cumplir d la desigualdad triangular.=⇒ P{se elige (u, v)} ≤ 2d(u, v)
Teorema: El valor esperado del costo del corte Caleat elegidoesta acotado por 2OPTf
Prueba:E [c(Caleat)] =
∑e∈E
c(e)P{e} ≤∑
e=(u,v)∈E
c(e)2d(u, v) = 2OPTf
AA para el problema Multiway Cut
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AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Valor esperado del algoritmo aleatorio para el MC
Propiedad: ∀(u, v) ∈ E , la probabilidad de esa arista se elegida porel algoritmo aleatorio esta acotada por 2d(u, v)
Prueba (para un terminal dado s):P{se elige (u, v)} ≤ 2(d(v , s)− d(u, s)) por tener ρ distribucionuniforme de densidad 2.d(v , s)− d(u, s) ≤ d(u, v) por cumplir d la desigualdad triangular.=⇒ P{se elige (u, v)} ≤ 2d(u, v)
Teorema: El valor esperado del costo del corte Caleat elegidoesta acotado por 2OPTf
Prueba:E [c(Caleat)] =
∑e∈E
c(e)P{e} ≤∑
e=(u,v)∈E
c(e)2d(u, v) = 2OPTf
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Algoritmo de redondeo AA3 para el Multiway Cut1 Resolver el problema relajado LP para obtener una solucion del
MC optima fraccionaria.2 Para cada terminal si , i = 1, ..., k elegir ρi en el intervalo
(0, 1
2
)de forma de minimizar el costo de las aristas que atraviesan lafrontera de la bola Bd(si , ρi ). Estas aristas forman un corteaislante Ci para si .
3 Descartar el mas costoso de estos cortes, y devolver la unionde los (k − 1) cortes restantes.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
Formulacion como problema de programacion lineal del MCAlgoritmo de redondeo aleatorio para el MCDescripcion del algoritmo AA3Factor de aproximacion del AA3
Teorema: El AA3 tiene factor de aproximacion 2(1− 1k )
Prueba:
Ci : corte de costo mınimo del AA3 para el terminal si .
C =i=k⋃i=1
Ci : solucion del AA3 sin descartar el corte mas
costoso.
CAA3 : corte solucion del AA3.
Caleat : corte solucion del algoritmo aleatorio.
c(C) =k∑
i=1
c(Ci ) ≤ mınρ
c(Caleat) ≤ E [c(Caleat)] ≤ 2OPTf
c(CAA3) ≤(
1− 1
k
)c(C) ≤ 2
(1− 1
k
)OPTf QED
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
AA con mejores factores para el MCUn resultado de inaproximabilidad para el MC
AA con mejores factores para el MC
Algoritmo de factor 32 −
1k de Callinescu, Karloff y Rabani.
Presentan la relajacion CKR en el artıculo “An improvedApproximation Algorithm for Multiway Cut”, ACMSymposium on the Theory of Computation 1998, pp 48-52.
Algoritmo de factor 1,3438 de Karger, Klein, Stein, Thorup yYoung. Presentado en el artıculo “Rounding Algorithms for aGeometric Embedding of Minimum Multiway Cut”, JournalMathematics of Operations Research 29, 2004.
Algoritmo de factor 1,2965 de Sharma y Vondrak. Presentadoen el artıculo “Multiway Cuts, Pairwise RealizableDistributions and Descending Thresholds”, 2014.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
AA con mejores factores para el MCUn resultado de inaproximabilidad para el MC
AA con mejores factores para el MC
Algoritmo de factor 32 −
1k de Callinescu, Karloff y Rabani.
Presentan la relajacion CKR en el artıculo “An improvedApproximation Algorithm for Multiway Cut”, ACMSymposium on the Theory of Computation 1998, pp 48-52.
Algoritmo de factor 1,3438 de Karger, Klein, Stein, Thorup yYoung. Presentado en el artıculo “Rounding Algorithms for aGeometric Embedding of Minimum Multiway Cut”, JournalMathematics of Operations Research 29, 2004.
Algoritmo de factor 1,2965 de Sharma y Vondrak. Presentadoen el artıculo “Multiway Cuts, Pairwise RealizableDistributions and Descending Thresholds”, 2014.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
AA con mejores factores para el MCUn resultado de inaproximabilidad para el MC
AA con mejores factores para el MC
Algoritmo de factor 32 −
1k de Callinescu, Karloff y Rabani.
Presentan la relajacion CKR en el artıculo “An improvedApproximation Algorithm for Multiway Cut”, ACMSymposium on the Theory of Computation 1998, pp 48-52.
Algoritmo de factor 1,3438 de Karger, Klein, Stein, Thorup yYoung. Presentado en el artıculo “Rounding Algorithms for aGeometric Embedding of Minimum Multiway Cut”, JournalMathematics of Operations Research 29, 2004.
Algoritmo de factor 1,2965 de Sharma y Vondrak. Presentadoen el artıculo “Multiway Cuts, Pairwise RealizableDistributions and Descending Thresholds”, 2014.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
AA con mejores factores para el MCUn resultado de inaproximabilidad para el MC
Un resultado de inaproximabilidad para el MC
Gap de Integralidad del Multiway Cut para la relajacion CKR
Freund y Karloff probaron en 2000 que MC tiene un gap deintegralidad de 8
7+ 1k−1
∀k ≥ 3, para la relajacion CKR.
UG-hardness
Manokaran et al. demostraron en 2008 que si la conjetura UGC(Unique Games Conjecture) es verdadera, es NP-hard hallar unfactor de aproximacion para el MC mejor que el gap de integralidadde la relajacion CKR =⇒ la UG-hardness de MC es 8
7 − ε ' 1,1428.
AA para el problema Multiway Cut
El Problema Multiway Cut (MC)AA1 combinatorio para el MC
AA2 goloso para el MCAA3 de redondeo para el MC
Otros resultados de AA para el problema MC
AA con mejores factores para el MCUn resultado de inaproximabilidad para el MC
FIN
Muchas gracias.
AA para el problema Multiway Cut