Análise combinatória
Árvore de possibilidades Se lançarmos uma moeda três vezes ao acaso, quais e
quantos são os possíveis resultados?
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
KKK ,,
CKK ,,
KCK ,,
CCK ,,
KKC ,,
CKC ,,
KCC ,,
CCC ,,
Se lançarmos um dado e uma moeda ao acaso, quais e
quantos são os possíveis resultados?
K
C
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1,K
2,K
3,K
4,K
5,K
6,K
1,C
2,C
3,C
4,C
5,C
6,C
Quantos casais heterossexuais podemos formar com os
alunos desta sala ?
01. De quantas formas distintas podemos ir da cidade A para cidade D,
passando pelos caminhos da figura que segue e passando
obrigatoriamente por B e C? De quantas formas usando a mesma figura,
podemos ir de A para D e voltar para A? E de quantas maneiras podemos
ir de A para D e voltar para A, mas na volta não podemos usar os
caminhos da ida?
___. ___.___2 3 4 24
___. ___.___ ___. ___. ___.2 3 4 4 3 2 576
___. ___.___ ___. ___. ___.2 3 4 3 2 1 144
02. Observe o diagrama. O número de ligações
distintas entre X e Z é
a) 39
b) 41
c) 35
d) 45
Para sair de X e chegar em
Z podemos ir de:
ZeRX ,
ou
ZeSX ,
ou
ZeYX ,
ou
ZeYRX ,,
ou
ZeYSX ,,
3
6
2
18
12
41
Alternativa correta, letra B.
03. De quantas formas distintas podemos colorir as listras da bandeira
que segue usando apenas as cores ROXO, LARANJA e VERDE? De
quantas formas podemos colorir a mesma bandeira com as mesmas
cores, mas com uma restrição: não pode haver listras adjacentes com a
mesma cor?
___. ___.___3 3 3 81___. 3
___. ___.___3 2 2 24___. 2
04. (OBM-XXVI). O desenho ao lado mostra o mapa de um país
(imaginário) constituído por cincos estados. Deseja-se colorir esse mapa
com as cores verdes, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos
não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode
ser pintado?
a) 6
b) 10
c) 12
d) 24
e) 120
___. ___.___ ___. ___.3 2 1 1 1 6
Alternativa correta, letra A.
05. O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas
regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com
uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas.
Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa,
usando-se 5 cores.
Vamos usar as cinco cores abaixo
e preencher o mapa de algumas
maneiras como segue:
verde
vermelho
roxo
amarelo
cinza
Agora iremos preencher o mapa segundo as regras
impostas pela questão e simultaneamente usar o
principio fundamental da contagem:
___. ___.___ ___. ___.5 4 3 3 3 540
06. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando
os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,1A
total: ___. ___.___5 5 5 125
pares:
ímpares:
___. ___.___5 5 2 50
___. ___.___5 5 3 75
07. Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando
os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,0B
total: ___. ___.___4 5 5 100
pares:
ímpares:
___. ___.___4 5 3 60
___. ___.___4 5 2 40
08. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar usando os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,1A
total: ___. ___.___5 4 3 60
pares:
ímpares:
___. ___.___3 4 2 24
___. ___.___3 4 3 36
09. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar usando os elementos do conjunto ? 9,8,7,6,0B
pares terminados em 6 ou 8:
___. ___.___3 3 2 18
pares terminados em 0:
___. ___.___4 3 1 12
30 pares
ímpares:
___. ___.___3 3 2 18
18 ímpares
total: ___. ___.___4 4 3 48
Técnica de contagem na multiplicação
123321! nnnnn
1!11!0 e
Fatorial
É o produto de n fatores naturais consecutivos de n até 1.
Por definição temos que:
21!2 2
321!3 6
4321!4 24
54321!5 120
654321!6 720
7654321!7 040.5
87654321!8 320.40
!50
!51)a
!27
!26)b
19. Simplifique as expressões:
!9!22
!21!10)
c
!50
!5051 51
!2627
!26
27
1
!9!2122
!21!910
22
10
11
5
!20
!20!21)
d
!8!10
!9)
e
!20
!20!2021
!20
)121(!20 22
!8!8910
!89
)1910(!8
!89
91!8
!89
91
9
20. Simplifique a expressão
!
!1!2
n
nn !
!1!12
n
nnnnn
!
12!1
n
nnn 11 nn 21 n
21. Resolvas equações:
!15!1!2) nnna
!15!1!12 nnnnnn
!1512!1 nnnn 1531 nn
15332 nnn 01242 nn 124,1 ceba
64121416
2
84n
6
2
2
1
n
n 2S
!!1!2) nnnb
!!1!12 nnnnnn
!12!1 nnnn 111 nn
112n 11 n 11 n
11n2
0
2
1
n
n 0S
Arranjo simples É o tipo de agrupamento que não possui elementos repetidos
e a ordem dos elementos difere nos agrupamentos.
pn
pn
nA pn
!
!,
22. Em um campeonato de futebol com 10 times inscritos, de
quantas formas pode terminar tal torneio em relação aos 3
primeiros lugares? 1 2 3
!310
!103,10
A
!7
!10
!7
!78910 720
23. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos
formar usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
12
44
21
!25
!52,5
A
!3
!5
!3
!345 20
Permutação simples
É um arranjo simples onde .pn
!
!
!, nP
nn
nApn nnn
24. De quantas formas podemos perfilar uma família com 5
membros (pai, mãe e três filhos) de modo que?
a) Os pais fiquem sempre juntos em determinada ordem (o pai
na esquerda e a mãe na direita;
b) Os pais fiquem sempre juntos;
c) Os pais fiquem sempre separados;
d) Os filhos fiquem sempre juntos em ordem de nascimento;
e) Os filhos fiquem sempre juntos;
f) Os filhos fiquem sempre separados;
!4)a 24
!4!2) b 48
48120) c 72
!3)d 6
!3!3) e 36
)f___. ___.___ ___. ___.
3 2 2 1 1 12
120!5 Total
25. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra GIBRAN de modo que:
a) As vogais fiquem sempre juntas em ordem alfabética;
b) As vogais fiquem sempre juntas;
c) As consoantes fiquem sempre juntas sempre em ordem
alfabética;
d) As consoantes fiquem sempre juntas;
e) As letras G e I fiquem sempre juntas e as letras B e R
fiquem sempre separadas.
:Total ___. ___.___ ___. ___.6 5 4 3 2 !61___. 720
)a GB IA RN 120!5
G BIA RN)b 240!5!2
)c GBI A RN 6!3
)d I A RNGB 144!3!4
)e GB IA R N !2!5 !4!2!2 96240 144
Combinação simples
São agrupamentos que não possuem elementos repetidos e a
ordem dos elementos não difere os agrupamentos.
)(
!!
!, pn
ppn
nC pn
26. Em uma sala com 10 alunos deseja-se escolher 4 para uma
excursão em pleno carnaval em Salvador. De quantos modos
pode-se realizar tal sorteio?
!4!410
!104,10
C
!4!6
!10
210
27. Quantos triângulos podemos formar com vértices nos
pontos em cada figura abaixo:
A
B
C
E
F G
H
I
J
ABC BCA
FFF
3,10C!3!7
!10
120D
3,10C 3,4C 1164120
primeiro modo: 3,10C 3,4C 3,6C 204120 96
segundo modo: 42,6 C 62,4 C 66415 96
Permutação com repetição
São permutações com elementos repetidos.
nPPP
PP k
nn
k
k
21
,,
21
21
28. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra:
a) ALA
b) ARARA
c) MACACO
21LAA
12LAA
21ALA
12 ALA
LAA 21
LAA 12
2
3P!2
!3 3
2,3
5P!2!3
!5
10
2,2
6P!2!2
!6
180
29. De quantas maneiras podemos ir de A para B usando os
caminhos do mapa abaixo e realizando apenas dois tipos de
movimentos: Esquerda para direita e de baixo para cima?
5,4
9P!5!4
!9
126
2,2
4P3,2
5P 60
03. (UESC BA/2007). O valor de Nx , tal que
40!x)1x()!1x2(
)!2x2()!2x(
é:
a) 6
b) 3
c) 4
d) 5
e) 2
40!x)1x()!1x2(
)!2x2()!2x(
40
!)1()!12(
)!12)(22(!)1)(2(
xxx
xxxxx
40)22()2( xx 20)1()2( xx
20222 xxx 01832 xx
183,1 ceba 8118149
2
93x
6
3
2
1
x
x
IN
Alternativa correta, letra B.
09.(UFU MG/2008).Um programa de computador, utilizando
apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoriamente senhas de
exatamente dez dígitos. Dentre todas as senhas possíveis
geradas por esse programa, a quantidade daquelas em que o
algarismo 4 aparece exatamente uma vez é igual a:
a) 410 – 39
b) 410 – 310
c) 10.39
d) 10.49
Como o algarismo 4 pode aparecer apenas uma e
somente uma vez no número de 10 algarismos,
vamos deixá-lo fixo de modo que ele apareça
apenas no primeiro algarismo. Pelo princípio
multiplicativo temos:
___.___4 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3 ___. 3
9310
Como o algarismo 4 pode ficar em apenas
uma das casas, basta multiplicar o resultado
por 10. Alternativa correta, letra C.
Permutações circulares
6!33 P
De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares
equiespaçados em torno de um círculo, se considerarmos equivalentes
disposições que possam coincidir por rotação?
A resposta desse problema será representado por , o número de
permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que é em
geral, diferente de . Por exemplo, no caso n=3 temos modos
de colocar 3 objetos distintos em 3 lugares.
nPC)(
nPC)(
nP
3
1 2
1
2 3 2
1
3
3 3
2 2 1 1 3 1
2
1
2 3
1
3 2 3 3 1 1
2 2
No entretanto as três primeiras disposições podem coincidir
entre sim por rotação e o mesmo ocorre com as três últimas,
de modo que . Repare que nas permutações simples
importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas
permutações circulares o que importa é a posição relativa dos
objetos entre si.
2)( 3 PC
fórmula: !1)( nPC n
Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com 7 crianças?
Como a roda gira, o que importa não é o lugar relativo de cada criança
e sim a posição relativa das crianças entre si. A resposta é:
!17)( 7 PC !6 720
13.(UFPA/2008).O número de possibilidades de colocar seis
pessoas em círculo igualmente espaçadas, de modo que duas
delas não possam ficar em posições opostas, é:
a) 96
b) 120
c) 24
d) 72
e) 60
A
BF
CED
A
B
CE
F
!155 PC !4 24
D D
DD
424 96
Alternativa correta, letra A.
14.(UNIMONTES MG/2008).De quantos modos podemos repartir 8
brinquedos diferentes entre 3 crianças, para que as duas mais velhas
recebam, cada uma, 3 brinquedos e a mais nova, 2 brinquedos?
a) 560.
b) 1120.
c) 280.
d) 56.
A primeira criança pode escolher de 3,8C modos os três
brinquedos. Após a escolha da primeira criança restam 5
brinquedos para a segunda criança escolher de 3,5C
modos. E por último restam 2 brinquedos para a terceira
criança escolher de 2,2C .
Pelo princípio multiplicativo temos:
2,23,53,8 CCC !0!2
!2
!2!3
!5
!5!3
!8
11056 560
Alternativa correta, letra A.
15. (FFFCMPA RS/2008). Um campeonato de futebol é disputado
por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema:
1º- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam
todas entre si, em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo.
2º- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois
turnos, para apontar o campeão.
O número total de jogos disputados é
a) 46
b) 89
c) 92
d) 94
e) 96
Vamos analisar o que acontece em um grupo. O que ocorrer em um
grupo ocorrerá nos outros três:
São 5 times que vão jogar todos entre si em turno e returno (jogos de
ida e volta). Como a ordem não importa (o time A jogar com o time B é a
mesma coisa que o time B jogar com o time A), então temos uma
combinação de 5 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.
2,52 C!3!2
!52
20
Como são 4 grupos, cada um com 20 jogos, contabilizamos 80 jogos
na primeira fase.
Sai um campeão de cada grupo, totalizando 4 times. Os 4 times
jogarão entre si com turno e returno, contabilizamos uma combinação de
4 elementos tomados 2 a 2 multiplicado por 2.
2,42 C!2!2
!42
12
921280
Alternativa correta, letra C.
16. (FEI SP/2008). Num grupo com n pessoas é possível formar
exatamente 66 pares distintos ou 66 grupos distintos de 2 pessoas. Então
o valor de n é:
a) 11
b) 10
c) 12
d) 6
e) 9
Temos um grupo com n pessoas: nppppG ,,,, 321
Se formarmos um par com as pessoas é o mesmo par
formado pelas pessoas , ou seja, uma combinação de n
pessoas tomadas 2 a 2 sendo igual a 66
21 pep
12 pep
662, nC
66!2!2
!
n
n 1321 nn
01322 nn
529132141
2
231n
11
12
2
1
n
n pessoas12
Alternativa correta, letra C.
20. (UFPel RS/2007). A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao
apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes
fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais
populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil,
o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma
em 3.268.760 chances, de acertar.
Super Interessante 229 –agosto 2006 [adapt.].
Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos
16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta
passaria a ser de uma em
a)1600.
b)6006.
c)8008.
d)8060.
e)6800.
Como em qualquer cartão da Mega, Quina e Loto a
ordem dos números sorteados não importa, temos que o
total de cartões que podem ser jogados é:
10,16C!6!10
!16
8008
Alternativa correta, letra C.
22.(MACK SP/2008). Para se cadastrar em um site de compras, cada
cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de
aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas
senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança com a
quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em
a) 10%
b) 25%
c) 125%
d) 900%
e) 1.100%
A quantidade de senhas com 4 algarismos é de:
___10 ___. 10 ___. 10 ___. 10 410
A quantidade de senhas com 5 algarismos é de:
___10 ___. 10 ___. 10 ___. 10 510___. 10
Aplicando uma regra de três simples, temos:
%100104
x510%1000 x
Alternativa correta, letra D.
23. (FGV /2008). O número de permutações da palavra ECONOMIA que
não começam nem terminam com a letra O é
a) 9 400
b) 9 600
c) 9 800
d) 10 200
e) 10 800
A palavra ECONOMIA tem duas letras O e 6 restantes
sem repetição. Existem 6 possibilidades para a primeira
casa e 5 para última.
___6 ___. ___. ___. ___. ___. ___. ___. 5
Ficarão 6 letras restantes para permutar em seis lugares,
incluindo duas letras O. Logo podemos concluir que temos
uma permutação de 6 elementos com um dos elementos
repetidos duas vezes:
2
6P
2
656 P!2
!630 36030 800.10
Alternativa correta, letra E.
27. (FGV /2007). Colocando em ordem os números resultantes das
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número
35 241?
a) 55ª
b) 70ª
c) 56ª
d) 69ª
e) 72ª
O número 35241 é precedido pelos números da forma:
1 ___ ___. ___. ___. que são em número de !44 P
___ ___. ___. ___. que são em número de !44 P
3 ___ ___. ___. que são em número de !33 P1
I
III
3 ___ ___. ___. que são em número de 2IV !33 P
3 ___ ___. ___. que são em número de 4V !33 P
II 2
3 ___. ___. que são em número de 5VI !22 P13 ___. ___. que são em número de 5VII !22 P2
Contabilizamos 4!+4!+3!+3!+3!+2!+2!=70
Alternativa correta, letra B.
30. (FGV /2006). José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipo torre de
8 lugares. São 5 CDs de diferentes bandas de rock, além de 3 outros de
jazz, de bandas distintas. De quantos modos eles podem ser dispostos, de
maneira que tanto os CDs de rock quanto os de jazz estejam numa
determinada ordem, podendo estar misturados os CDs dos dois tipos de
música?
a) 336
b) 20160
c) 56
d) 6720
e) 40320
Observe algumas possibilidades de dispor os CDs na torre, segundo
as regras do enunciado:
32154321 JJJRRRRR
35432211 JRRRRJRJ
53423211 RJRJRRJR
Perceba que os CDs de rock e jazz não podem permutar entre sim.
Vamos considerar que os CDs de rock e jazz são iguais. Veja o exemplo
segue:
JJJRRRRR
JRRRRJRJ
RJRJRRJR A questão está resumida em calcular todas as permutações de 8
elementos com 5 e 3 elementos repetidos:
3,5
8P!3!5
!8
56
Alternativa correta, letra C.
34. (UFPI/2006). Sob as retas paralelas não-coincidentes r e s , marcam-
se 5 e 9 pontos distintos, respectivamente. O número de quadriláteros
convexos com vértices nesses pontos é:
a) 720
b) 360
c) 260
d) 148
e) 46
r
s
r//s
Para formar um quadrilátero convexo na figura acima, basta tomar
dois pontos aleatórios na reta de cima e dois na reta de baixo. Veja
também que a ordem dos pontos não importa. Vamos usar as fórmulas de
combinação em conjunto com o princípio multiplicativo:
2,9C 2,5C!2!3
!5
!2!7
!9
1036 360
Alternativa correta, letra B.
35. (UEPB/2005). Com os números 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números da
forma p/q diferente de 1 podemos escrever?
a) 22
b) 20
c) 26
d) 24
e) 18
As frações iguais a 1 são quando p=q. Não esqueça que p/q é
diferente de q/p.
Usando o princípio multiplicativo, temos:
___5 ___. 4 20
Alternativa correta, letra B.
37. (CEFET PR/2008). A “FACULDADE HIPOTENUSA” dispõe de 13
professores de uma disciplina “X”, sendo que, desses, apenas 4 são
doutores. Para poder lançar no mercado um novo curso, são necessários
5 professores dessa disciplina “X”, dos quais pelo menos um deve ser
doutor. De quantas maneiras podemos dispor esses professores para que
se cumpra essa exigência?
a) 1161
b) 1287
c) 126
d) 154440
e) 139320
PRIMEIRO MODO:
Calcular todas as maneiras uma a uma.
4,91,4 CC Um doutor e quatro graduados: 1264 504
Dois doutores e três graduados: 3,92,4 CC 846 504
Três doutores e dois graduados:
Quatro doutores e um graduado:
2,93,4 CC 364 144
1,94,4 CC 991
161.1
SEGUNDO MODO:
Vamos calcular todos os grupos com cinco professores e tirar os
grupos com cinco graduados.
5,13C 5,9C 1261287 161.1
Alternativa correta, letra A.
46. (MACK SP/2007). Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles
considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser
formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é
a) 580
b) 1200
c) 970
d) 1050
e) 780
Vamos calcular todos os grupos com três alunos e tirar os
grupos apenas com alunos não gênios.
3,25C 3,21C 330.1300.2 970
Alternativa correta, letra C.
48. (UFPA/2007). No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em
que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o
apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele
percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de
cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números
sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da
sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja
feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o
apostador deve apostar é
a) 8
b) 25
c) 28
d) 19
e) 17
Um breve comentário sobre a Mega-Sena
Vamos analisar os jogos com mais de 6 dezenas em um cartão, ou
seja, com 7, 8, 9 ou 10.
Para isto vamos primeiro ver como é o jogo da mega-sena pelo caixa
econômica federal. Veja um volante da mega-sena.
58555042262308
555042262308
585042262308
585542262308
585550262308
585550422308
585550422608
585550422623
6,7C!1!6
!7
7 14$27 R
5943352814080401
594335281408
594335281404
594335280804
594335140804
593528140804
594328140804
433528140804
594335280801
594328140801
433528140801
594335280401
594335281401
594335140801
593528140801
594335140401
433528140401
593528140401
594328140401
594335080401
593528080401
594328080401 432814080401
592814080401
352814080401
433528080401
593514080401
594314080401
433514080401
6,8C!2!6
!8
28 56$228 R
Alternativa correta, letra C.
50. (UEPB/2006). Existem n maneiras distintas de marcar 6 círculos na
figura ao lado, marcando exatamente 2 em cada coluna e 1 em cada
linha. O valor de n é
a) 36
b) 120
c) 45
d) 90
e) 60
Vamos preencher os círculos de algumas
maneiras possíveis dentro das condições do
problema. De quantas formas podemos escolher 2
círculos na primeira coluna:
2,6C!4!2
!6
15
De quantas formas podemos escolher 2
círculos na segunda coluna:
2,4C!2!2
!4
6
De quantas formas podemos escolher 2
círculos na terceira coluna:
2,2C!0!2
!2
1
901615: PFC
Alternativa correta, letra D.
01. (UFRN RN/2000). Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica
dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de
vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um
vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar
desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras
distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os
vigilantes.
Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas, os vigilantes
ocupam os mesmos postos e cada posto é ocupado pelo mesmo vigilante;
caso contrário, são ditas distintas.
a) 35
b) 80
c) 480
d) 840
Lembrando que em cada posto fica no máximo, um vigilante e o
posto da entrada principal não pode ficar vazio, logo temos:
1p 2p 4p 5p 6p 7p3p
Ora, para ocupar o portão principal (que necessariamente deve ser
ocupado) temos 4 possibilidades (qualquer um dos 4 vigilantes). Agora
resta escolher 3 dos 6 lugares restantes para colocar os 3 outros
vigilantes e isto pode ser feito de 6x5x4=120 modos distintos. Assim
pelo princípio fundamental da contagem temos 4x120=480 modos
distintos de distribuir os vigilantes nos postos obedecendo as exigências
impostas pelo enunciado.
Alternativa correta, letra C.
03. (UFRN RN/2003). Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às
20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma
uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de
trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as
capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com
cinco algarismos não necessariamente diferentes é:
a) 120
b) 720
c) 900
d) 1000
Os algarismos disponíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Assim podemos formar as seguintes capicuas (palíndromos):
___9 ___. 10 ___. 10 ___. 1 ___. 1 900
Alternativa correta, letra C.
04. (UFRN RN/2005). Um painel eletrônico é constituído por 100100
pequenos retângulos, cada um deles com três minúsculos pontos
luminosos das três cores fundamentais: vermelho, amarelo e azul, com,
respectivamente, 100, 90 e 80 tonalidades. A combinação dessas
tonalidades produz uma gama de novas cores, para formar as imagens no
painel. Considerando-se que todas as distintas imagens no painel são
formadas a partir da combinação de todas as possíveis tonalidades de
cores de cada retângulo, pode-se provar que o número máximo das
imagens produzidas no painel que não contêm tons de azul é:
a) 80106
b) 72106
c) 100106
d) 90106
Como a tonalidade não deve conter azul podemos
escolher 100 tons de vermelho e 90 tons de amarelo e além
disto são 100x100=10.000 retângulos. Assim a quantidade
de configurações possíveis é:
6109090100100100
Alternativa correta, letra D.
06. (UFRN RN/2008). Numa caixa, são colocadas dez bolas que têm a
mesma dimensão. Três dessas bolas são brancas, e cada uma das outras
sete é de uma cor diferente. O número total de maneiras de se escolher
um subconjunto de três bolas, dentre essas dez, é:
a) 32
b) 128
c) 64
d) 256
Temos as seguintes possibilidades:
As três bolas serem brancas; Neste caso temos evidentemente apenas
uma possibilidade de retirarmos três bolas brancas, visto que só existem
três bolas brancas na caixa: 13,3 C
Podemos retirar uma bola branca e duas outras de cores diferentes, o
que pode ser feito de: 212,7 C
Finalmente temos a possibilidade de não retirarmos nenhuma branca,
o que pode ser feito de: 353,7 C
Outra possibilidade seria retirar duas bolas brancas e apenas uma de
cor distinta, o que pode ser feito de 7 maneiras .
64357211 Alternativa correta, letra C.
01. (ITA). Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, 3
de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar
comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha
exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física e
no máximo 2 de Química ?
a) 875
b) 1877
c) 1995
d) 2877
e) n.d.a.
Vamos analisar todos os possíveis casos:
?,40,42,35,7 CCCC
4,41,42,35,7 CCCC
3,42,42,35,7 CCCC
4,40,43,35,7 CCCC
3,41,43,35,7 CCCC
2,42,43,35,7 CCCC
25214321
512.146321
2111121
33644121
75666121
287775633621521.1252
Alternativa correta, letra D.
02. (Espcex). Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de
Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis (CC). Pretende-se
formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM
e dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos
dessa forma é:
a) 200
b) 900
c) 1260
d) 1900
e) 4060
Como temos que escolher dois alunos oriundos
colégios civis, temos uma combinação de 20 elementos
tomados 2 a 2:
2,20C 190
Agora temos que escolher um aluno oriundo entre 10
dos colégios militares. Usando o principio multiplicativo,
temos: 900.110190
Alternativa correta, letra D.
05. (Espcex-2005). Uma prova de um concurso público engloba as
disciplinas Matemática e Inglês, contendo dez questões de cada uma.
Segundo o edital, para ser aprovado, o candidato precisa acertar, no
mínimo, 70% das questões da prova, além de obter acerto maior do que
ou igual a 60% em cada disciplina. Em relação às questões da prova,
quantas possibilidades diferentes terá um candidato de alcançar,
exatamente, o índice mínimo de aprovação?
a) 18 900
b) 33 300
c) 38 760
d) 77 520
e) 125 970
São 20 questões, 10 de matemática e 10 de inglês. Mínimo de 70% das questões (14) e 60% em cada disciplina (6 de
cada prova, ao todo 12).
Primeiro caso: 6 de 10 em matemática e 8 de 10 em inglês:
8,106,10 CC 450.945210
Segundo caso: 6 de 10 em inglês e 8 de 10 em matemática:
8,106,10 CC 450.945210
Terceiro caso: 7 de 10 em inglês e 7 de 10 em matemática:
7,107,10 CC 400.14120120
300.33400.14450.9450.9
Alternativa correta, letra B.
06. (ITA-2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos
formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das
letras a, b e c?
a) 1692
b) 1572
c) 1520
d) 1512
e) 1392
Primeira parte: Temos que escolher duas letras entre a, b e c
32,3 C
Segunda parte: Temos que escolher duas letras entre as 7
restantes. 212,7 C
Terceira parte: As 4 letras escolhidas pode permutar entre si.
Pelo princípio multiplicativo, temos:
512.124213!42,72,3 CC
Alternativa correta, letra D.