Download - Analisis Kesulitan Limit Fungsi Aljabar
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam upaya untuk meningkatkan mutu pendidikan khususnya mata
pelajaran matematika, para pendidik atau guru dituntut untuk selalu
meningkatkan diri baik dalam pengetahuan matematika maupun pengelolaan
proses belajar mengajar. Hal ini dimaksudkan agar para siswa dapat
mempelajari matematika dengan baik dan benar sehingga mereka mampu
mengikuti perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, serta dapat
menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.
Keanekaragaman kemampuan intelektual siswa, khususnya dalam
matematika di SMA sangat bervariasi. Kemampuan ini menyangkut
kemampuan untuk: mengingat kembali, memahami, menginterpretasi
informasi, memahami makna simbol dan memanipulasinya, mengabstraksi,
menggeneralisasi, menalar, memecahkan masalah, dan masih banyak lagi.
Sikap dan perangai siswa pun beraneka ragam, baik dalam menanggapi
pembelajaran pada umumnya maupun matematika pada khususnya.
Demikian pula minat dan emosinya. Berbagai hal yang menyangkut siswa itu
juga berkembang bersama lingkungan belajarnya, baik yang langsung
dirasakan siswa maupun yang tidak langsung. Ketidakberhasilan siswa jangan
dipandang sebagai hal yang biasa saja terjadi untuk matematika. Dengan kata
lain, adalah hal yang biasa apabila ada siswa yang berhasil dan ada pula yang
tidak. Dorongan guru untuk memecahkan masalah kesulitan siswa merupakan
salah satu unsur dalam pengembangan profesi guru. Hal ini berlandas pada
prinsip diagnosis dalam konteks pemecahan masalah. Dalam konteks
demikian kita mengacu pada kecakapan hidup: masalah merupakan sesuatu
yang pasti ditemui dalam kehidupan yang harus dipecahkan, bukan dihindari,
karena dengan menghindarinya di samping akan muncul lagi masalah yang
2
sama atau serupa, juga memungkinkan menambah banyak masalah yang
semakin sulit dipecahkan. Dalam hal kesulitan yang dihadapi siswa, masalah
itu perlu ditemukan dan dipastikan sumbernya, menanganinya, dengan
harapan memecahkan masalahnya. Dalam hal ini guru bertindak sebagai
dokter yang harus mendiagnosis ‘penyakit’ atau sumber ‘penyakit’ siswanya,
untuk kemudian menuliskan resep pengobatannya.
Salah satu materi yang cukup sentral dalam matematika adalah materi
kalkulus. Sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius
menyangkut masalah penguasaan materi, pemilihan metode pembelajaran
yang tepat, dan penentuan strategi, serta teknik pembelajaran yang serasi. Di
samping itu, kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki esensinya
cukup tinggi dan cakupan aplikasi yang sangat luas, baik dalam matematika
itu sendiri, maupun dalam cabang‐cabang ilmu‐ilmu yang lain, seperti dalam
bidang sains, teknologi, ekonomi, dan sebagainya. Oleh karena itu, para siswa
harus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik‐baiknya. Jika diperhatikan,
inti dari pelajaran kalkulus tak lain dan tak bukan adalah limit suatu fungsi.
Bahkan, secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian
tentang limit. Oleh karena itu, pemahaman tentang konsep dan macam‐
macam fungsi di berbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat‐sifat dan
operasi limit suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami
kalkulus diferensial dan kalkulus integral lebih lanjut.
Namun demikian, melihat kenyataan ternyata materi ini masih menjadi
kendala di lapangan. Masih banyak siswa yang kesulitan dalam mengerjakan
soal-soal yang berhubungan dengan limit fungsi. Berdasarkan pengalaman,
observasi serta pengamatan peneliti, materi ini menjadi momok menakutkan
bagi para siswa SMA. Berdasarkan hal tersebut peneliti melakukan observasi
untuk mendiagnosis kesulitan belajar siswa dalam pambelajaran limit fungsi
alajabar di SMA.
3
B. Rumusan Masalah
1. Kesulitan belajar apa yang dialami oleh siswa dalam pembelajaran konsep
limit fungsi alajabar di SMA?
2. Bagaimana solusi alternatif pemecahan dari diagnosis kesulitan belajar
siswa dalam pembelajaran konsep limit fungsi alajabar di SMA?
C. Tujuan
1. Untuk mendiagnosis keselitan belajar siswa dalam pembelajaran konsep
limit fungsi aljabar di SMA.
2. Untuk memberikan solusi alternatif pemecahan dari hasil diagnosis
kesulitan belajar siswa dalam pembelajaran konsep limit fungsi alajabar di
SMA
D. Manfaat
Menambah wawasan dan referensi problematika pembelajaran matematika
khusunya materi limit fungsi.
4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Instrumen
1. Tentukan nilai dari
Jawab :
2. Tentukan nilai dari
Jawab :
3. Tentukan nilai dari
Jawab :
3
22
23
~lim x
xx
x
~ 00
0131
21
3~
lim
xx
xx
5
B. Penentuan Subjek
Subjek dalam observasi ini adalah 3 siswa les privat dengan asumsi
mempunyai prestasi belajar tinggi, sedang dan kurang yang didadasarkan
pada sekolah asal, pengamatan dan nilai matematika pada raport.
C. Jawaban Tertulis dan Analisnya
1. Subjek 1 (S1)
Pada S1 (kemampuan tinggi) dapat menjawab semua soal dengan
benar, namun cara pengerjaannya terlihat menggunakan cara praktis
(pada soal nomor 1 dan nomor 2). Hal ini diduga siswa terbiasa dengan
pola belajar di bimbel yang mennggunakan cara praktis dan apakah
bisa menyelesaikannya dengan cara pada umumnya.
6
2. Subjek 2 (S2)
Pada S2 (kemampuan sedang) tampak bahwa siswa salah pada soal
nomor 2 dan 3. Pada soal nomor 2 siswa masih kurang dalam
pengoperasian aljabarnya karena terkecoh dengan bentuk akar dan ini
diduga kebiasaan menyelesaikan soal yang bentuk akar dengan
mengalikan sekawannya sehingga pada soal ini tetap menghasilkan
bentuk tak tentu (0/0).
Pada soal nomor 3, siswa diduga belum memahami konsep limit fungsi
tak hingga (misskonsepsi), yaitu membagi pangkat tertinggi masing-
masing penyebut dan pembilang walaupun secara algoritma
penyelesaiaannya sudah cukup baik.
7
Yang perlu diluruskan kembali adalah hilangnya tanda limit pada
penyederhanaan/pengubahan bentuk aljabarnya. Hal ini diduga siswa
belum mengerti definisi limit.
3. Subjek 3 (S3)
Pada S3 (kemampuan rendah) tampak bahwa siswa menjawab ketiga
soal dengan salah. Pada soal nomor 1 diduga siswa belum memahami
konsep limit yang sebenarnya karena masih menjawab dengan hasil
bentuk tak tentu (0/0).
Pada soal nomor 2 tampak bahwa pengerjaan siswa juga macet di
tengah jalan karena penyelesaiannya dengan mengalikan sekawannya,
hal ini diduga siswa terbiasa seperti itu. Begitu pula pada soal nomor 3
juga masih salah dalam solusi terakhirnya diduga siswa belum
memahami konsep limit,khusunya limit fungsi menuju tak hingga
karena 1/0 maeghasilkan 0.
8
D. Hasil wawancara dan analisisnya
Untuk mengklarifikasi dugaan/diagnosis kesulitan atas jawaban tertulis
pada subjek, maka dilakukan wawancara untuk menggali informasi lebih
dalam dan mengetahui apa yang sebenarnya tejadi.
1. Petikan wawancacara dengan S1
Apa yang kamu ketahui tentang limit?
- S1-limit adalah pendekatan pak....
Bisakah kamu menjelaskannya?
- S1-ya misalnya x mendekati 2 maka nilainya akan ketemu kalau itu
disubstitusikan pak.....baik dari kanan atau dari kiri....
Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?
- hemmm,no 1 da no 2 itu saya kerjakan dengan rumus praktis
pak....
Dari mana kamu mendapatkan rumus praktis itu?
- Dari bimbel pak...
Apakah kamu tahu penggunaan cara praktis yang kamu pakai?
- Ya pokoknya begitu pak....
Itu namanya turunan (diferensial) yang akan kamu pelajari di kelas
XII nanti...
- Ooo...
Apakah kamu bisa menyelesaikannya tanpa rumus praktis?
bagaimana?
- Bisa pak dengan pemfaktoran tapi kelamaan jadi saya pakai cara
praktis aja...
Kalau begitu coba kamu kerjakan tanpa cara praktis !
- Oke pak...(sambil mengerjakan dan diselesaikan dengan benar
tanpa cara praktis)
Dari petikan wanwancara, tampak S1 sudah memahami konsep dan
mampu menerapkannya dalam pemecahan soal tentang limit fungsi
aljabar. Akan tetapi untuk penggunaan cara praktisnya perlu
9
diluruskan atau diberi pemahaman kembali agar siswa tidak terjebak
dalam penggunaan cara praktis tersbut.
2. Petikan wawancara dengan S2
.....
Apa yang kamu ketahui tentang limit?
S2 : limit adalah hampir mendekati...
Bisakah kamu menjelaskannya?
S2 : mendekati x pak....
Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?
S2 : semua sulit pak...
Pada soal nomor 2 mengapa kamu kalikan dengan sekawannya?
S2 : ya kan soalnya bentuk akar kan pak, biasanya bentuk akar
dikalikan dengan sekawannya tapi hasilnya tetap nol pak, hehee
Lalu pada soal nomor 3 kenapa penyebut dan pembilang membagi
pangkat tertingginya tidak sama?
S2 : iya itu pak, pangkat tertinggi untuk pembilang kan x3 dan
penyebutnya x2
Lalu mengapa pada pengarjaanmu ini tanda limitnya kamu
hilangkan? (sambil menunjukkan hasil kerjaannya)
S2 : iya untuk menyingkat aja kok pak.....
Tapi apakah kamu tahu bahwa maknanya itu sudah berbeda?
S2 : hmmm....lupa pak...
.......
Dari petikan wawancara tersebut, S2 hanya kebiasaan saja
mengerjakan soal limit bentuk akar dengan mengalikan sekawannya,
sehingga kepekaan terhadap variasi soal masih kurang. S2 juga belum
memahami konsep limit, apalagi untuk limit di tak hingga sehingga
keliru untuk menerapkannya dalam pengerjaan soal (missconcept),
salah paham menentukan pangkat tertinggi dan menghilangkan tanda
limit diduga karena kekurangpahaman tentang definisi limit.
10
3. Petikan wawancara dengan S3
.....
Apa yang kamu ketahui tentang limit?
S3 : limit adalah pendekatan pak...
Bisakah kamu menjelaskannya?
S3 : memasukkan x ke fungsi pak....
Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?
S3 : semua sulit pak...
Apakah kamu tahu bahwa hasil limit tak boleh bentuk tak tentu?
Seperti 0/0 ?
S3 :hemm,,lupa pak..
Gak tahu atau masih belum paham?
S3 : masih belum paham pak
Lalu untuk soal nomor 2 kenapa tidak sampai selesai pengerjaanya?
S3 : macet pak, malah tambah rumit
Apakah soal seperti itu harus dikalikan dengan sekawannya?
S3 : iya kan bentuk akar, jadi harus dengan sekawannya ta
pak...biasanya kan begitu contohnya pak...
Untuk nomor 3, mengapa 1/0 hasilnya nol ?
S3 : iya kan pak....
....
.
Dari petikan wawancara tersebut, S3 belum memahami konsep limit
apalagi untuk menerapkannya dalam soal karena masih menghasilkan
bentuk tak tentu dengan substitusi langsung. S3 hanya terkesan
kebiasaan saja mengerjakan model-model soal bentuk akar dan kurang
kepekaan terhadap variasi soal serta untuk limit fungsi di tak hingga
hasilnya 1/0 adalah nol.
11
E. Pembahasan Hasil
1. Siswa berkemampuan tinggi
Untuk siswa kemampuan tinggi tak ditemukan kesulitan yang cukup
berarti. Berdasarakan jawaban tertulis dan wawancara, yang perlu
ditekankan adalah kebiasaan penggunaan cara praktis yang diperoleh dari
bimbel. Hal ini perlu diberi perhatian dan pemahaman agar siswa tidak
terjebak dalam penggunaannya sehingga siswa tahu betul kapan cara itu
bisa digunakan.
2. Siswa berkemampuan sedang
Untuk siswa kemampuan sedang, siswa belum memahami konsep limit
seutuhnya. Siswa terkesan hanya mengerti saja karena kebiasaan
mengerjakan soal. Dari soal nomor 2, berdasatkan jawaban tertulis dan
wawancara siswa menyelesaikannya karena beranggapan bahwa soal
yang berbentuk akar diselesaikan dengan mengalikan sekawannya. Dari
jawaban tertulis soal no 3 dan hasil wawancara, siswa juga belum
memahami betul konsep limit, apalagi konsep limit di tak hingga tarjadi
miss konsep menentukan pangkat tertinggi.
3. Siswa berkemampuan rendah
Untuk siswa kemampuan rendah, berdasarkan analisis jawaban tertulis
dan wawancara masih terjadi misskonsepsi dan kebiasaan melihat contoh
seperti terjadi pada soal nomor 2 yang menyelesaikannya dengan bentuk
akar.. Siswa belum memahami konsep seutuhnya. Hal ini takmpak pada
soal nomor 1, siswa masih melakukan substitusi langsung sehingga
diperoleh hasil bentuk tank tentu (0/0) dan untuk nomor 3 terjadi
ketidakpahaman konsep karena 1/0 adalah 0.
F. Solusi yang ditawarkan
Secara umum, salah satu solusi alternatif untuk mengatasi kesulitan yang
dialami siswa baik kemampuan tinggi, sedang maupun rendah dapat
dilakukan dengan pendekatan intuitif. Hal ini bertujuan untuk meningkatkan
pemahaman konsep limit fungsi alajabar pada siswa. Selain itu pendekatan
12
dengan intuitif juga bisa merangsang siswa untuk berpikir dan menambah
motivasi siswa karena rasa penasarannya. Karena sebagian besar kesulitannya
terletak pada pemahaman dan penerapan konsep limit fungsi aljabar
sedangkan untuk kemampuan untuk operasi aljabarnya bisa dilatih dengan
memperbanyak latihan soal yang bervariasi sehingga kepekaan siswa
terhadap soal bisa lebih tajam lagi.
Skenario pembelajaran yang ditawarkan adalah sebagai berikut.
1. Memahami limit fungsi secara intuintif
Untuk memberi motivasi agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari
kalkulus, perlu diceriterakan sejarah tentang Augustin Louis Cauchy
(1789–1857), sesorang yang sangat besar jasanya dalam pengembangan
kalkulus.
a. Menggunakan persegi yang sisinya 1 satuan
Kegiatan awal yang dapat digunakan untuk mengawali dalam
memahami konsep limit, adalah sebagai berikut. Pandanglah suatu
luasan berbentuk persegi yang sisinya 1 satuan.
Suatu persegi sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1
satuan luas.
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½
satuan.
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½ + ¼
satuan.
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½ + ¼ +
1/8 satuan.
13
Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus‐menerus maka
jumlah luas bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati 1 satuan
luas. Jadi, hasil penjumlahan dari ½ + ¼ + 1/8 +1/16 + 1/32 + . . .
adalah mendekati 1. Pengertian limit secara intuitif berangkat dari
pengertian mendekati di atas.
Dapat juga dikembangkan dengan alat peraga (untuk limit deret
geometri sebagai dasar untuk materi kelas XII nanti)
b. Memahami limit fungsi secara intuitif dengan grafik
Untuk lebih memudahkan siswa dalam mendalami konsep limit,
konteks yang diambil adalah secara vertikal dengan menggunakan apa
yang telah dipahami siswa pada kegiatan sebelumnya, yaitu grafik
suatu fungsi. Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian
limit dengan bantuan grafik fungsi.
2
-2 2
4
14
Pandanglah fungsi dengan domain Df = {x | x ∈R, x ≠2}.
Pada x = 2, nilai fungsi f(2) (tidak tentu) . Tetapi jika kita
cari nilai‐nilai f(x) untuk x mendekati 2, kita akan dapatkan nilai
fungsi f(x) di sekitar x = 2 seperti tampak pada tabel berikut.
x 1,90 1,99 1,999 1,9999 ..... 2 ..... 2,001 2,01 2,1
F(x) 3,90 3,99 3,999 3,9999 ..... ..... 4,001 4,01 4,1
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik
dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4,
tetapi untuk x = 2 nilai f(x) tak tentu. Dari sini dapat dikatakan bahwa
limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4, dan ditulis dengan
notasi
c. Limit kiri dan limit kanan
Terkadang harga dari sebuah fungsi f(x) menuju ke limit‐limitnya
berbeda nilainya bila x mendekati sebuah bilangan c dari arah yang
berbeda pula. Apabila hal ini terjadi, kita menyebut limit dari f(x) bila
x mendekati c dari arah kanan sebagai limit kanan dari F ke c ditulis
dengan notasi , dan sebaliknya jika x mendekati c dari
arah kiri disebut sebagai limit kiri dari F ke c ditulis dengan notasi
. Dan apabila limit kiri dari f(x) untuk x mendekati c dari
kiri sama dengan limit kanan dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan,
maka dikatakan limit f(x) ada untuk x mendekati c. Jadi, dapat
kitasimpulkan bahwa
15
d. Dilanjutkan dengan memberikan teorema-teorema pokok limit
dan cara penyelesaianya soal-soal limit.
e. Limit menuju tak hingga
Dapat diawali dengan sebuah paradaoks berikut.
Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan Perang
Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini berlomba lari dengan
seekor kura‐kura yang telah menempati posisi setengah dari jarak
yang mesti ditempuh oleh Achilles. Katakan saja jarak yang akan
ditempuh keduanya 2 km. Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari
titik start, sehingga kura‐kura berada pada posisi 1 km di depannya.
Kecepatan Achilles dua kali kecepatan kura‐kura. Begitu Achilles
sampai 1 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,5 km. Pada saat
Achilles mencapai 1,5 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,75
km. Begitu Achilles sampai di posisi 1,75 km, kura‐kura telah sampai
pada posisi 1,875 km. Pertanyaannya, kapan Achilles dapat menyusul
kura‐kura? Kalau kegiatan ini diteruskan secara terus‐menerus maka
Achilles bagaimanapun juga tidak akan pernah dapat menyusul kura-
kura! Aneh bukan? Namun semua orang tahu bahwa dalam dunia
nyata Achilles pasti mampu menyusul kura‐kura. Paradox yang
diketengahkan oleh Zeno ini dapat dijadikan landasan pemikiran
untuk memahami konsep tentang limit fungsi yang menjadi landasan
dari kalkulus, baik kalkulus diferensial maupun kalkulus integral.
Mengapa logikanya Achilles tidak mampu menyusul kura‐kura? Para
filosof waktu itupun tidak mampu menjelaskan paradox Zeno tersebut.
Semua langkah‐langkah secara logis sudah dilaksanakan, namun
16
mengapa kesimpulannya salah? Hal ini membuat mereka terperangah
diakibatkan oleh paradox tersebut. Namun, sebenarnya yang menjadi
biang keladi dan akar permasalannya adalah ”ke‐takhingga‐an”
sehingga masalah ketakhinggaan harus dipahami betul oleh siswa.
f. Evaluasi dan refleksi
BAB III
KESIMPULAN
A. Kesulitan yang dialami siswa
Secara umum kesulitan yang dialami siswa dalam materi limit fungsi alajabar
adalah kurang pahammnya konsep atau pun definisi dari limit sehingga
terjadi misskonsepsi. Kesulitan lainnya adalah kurangnya kepekaan siswa
terhadap variasi soal.
B. Solusi alternatif pemecahannya
untuk mengatasi kesulitan siswa dalam pemahaman konsep atau pun definisi
limit dapat dilakukan dengan pendekatan intuitif. Pendekatan ini dapat
merangsang siswa untuk berpikir kritis dan menambah motivasi siswa karena
rasa penasarannya. Di sisi lain untuk meningkatkan ketajamanan siswa dalam
menyelesaikan variasi soal dapat dilakukan dengan latihan soal-soal yang
bervariasi.
17
ANALISIS KESULITAN BELAJAR SISWA SMA PADA
TOPIK LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN ALTERNATIF
PEMECAHANNYA
OLEH :
UBAYU WAHYUNING AWI GANGGA
NIM : S851302075
KELAS TAMBAHAN II
18
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA2013