ANALYTICKÁ GEOMETRIE
LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
Mgr. Zora Hauptová
ROVNICE PŘÍMKY
OPVK 1.5 – EU peníze středním školám
CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
VY_32_INOVACE_MA_3_12
Název školy Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy
Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Předmět Matematika
Tematický celek Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině
Téma Rovnice přímky
Klíčová slova Parametrické vyjádření přímky, směrový vektor, obecná rovnice přímky, normálový vektor, směrnicový tvar rovnice přímky
Druh učebního materiálu
Prezentace (Microsoft PowerPoint)
Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 4. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač – mechatronik
Datum vytvoření 30. 8. 2013
Každé dva různé body A, B určují přímku AB.
Vektor u = B – A se nazývá směrový vektor přímky AB.
Každý vektor X – A, kde X je bod přímky AB můžeme vyjádřit jako násobek vektoru u.
Platí X – A = t . (B – A) X - A = t . u, t ∈ R
Rovnice
X = A + tu, t ∈ R
se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr.
Body X, A a vektor u můžeme v parametrické rovnici vyjádřit pomocí souřadnic.
Pro body A [𝑎1; 𝑎2], X [𝑥; 𝑦] a vektor u = (𝑢1; 𝑢2) potom dostaneme parametrické vyjádření přímky v souřadnicích
𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑢1,
𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑢2 , 𝑡 ∈ 𝑅
Každá přímka v rovině 𝑂𝑥𝑦 se dá vyjádřit rovnicí
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,
kde aspoň jedno z čísel 𝑎, 𝑏 je nenulové.
Tuto rovnici nazýváme obecná rovnice přímky.
Vektor n = (𝑎; 𝑏) se nazývá normálový vektor přímky.
Normálový vektor n je vektor kolmý k přímce 𝑝
Má-li přímka zvláštní polohu k osám 𝑥, 𝑦, zjednodušuje se její rovnice:
Poloha přímky vzhledem k souřadnicovým osám
Podmínka Rovnice přímky
přímka prochází počátkem
𝑐 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0
přímka je rovnoběžná s osou 𝑥
𝑎 = 0 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
přímka je rovnoběžná s osou 𝑦
𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑐 = 0
přímka splývá s osou 𝑥 (rovnice osy 𝑥)
𝑎 = 0, 𝑐 = 0 𝑦 = 0
přímka splývá s osou 𝑦 (rovnice osy 𝑦)
𝑏 = 0, 𝑐 = 0 𝑥 = 0
Přímka je dána parametrickým vyjádřením
Při převodu na obecný tvar upravujeme jednotlivé rovnice tak, abychom vyloučili parametr 𝑡.
Převod parametrického vyjádření přímky na obecnou rovnici:
𝑥 = −7 + 6𝑡 𝑦 = 3 + 2𝑡
Abychom vyloučili parametr 𝑡, vynásobíme druhou rovnici číslem −3
𝑥 = −7 + 6𝑡 −3𝑦 = −9 − 6𝑡
Rovnice sečteme a upravíme
𝑥 − 3𝑦 + 16 = 0
Pokud přímka daná rovnicí 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 není rovnoběžná s osou 𝑦 (tj. 𝑏 ≠ 0), můžeme rovnici psát ve směrnicovém tvaru
𝑦 = − 𝑎
𝑏 𝑥 −
𝑐
𝑏 𝑦,
který obvykle zapisujeme
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, kde 𝑘 = − 𝑎
𝑏 , 𝑞 = −
𝑐
𝑏
Rovnice
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞
se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo 𝑘 se nazývá směrnice přímky.
Směrnice přímky je rovna tg 𝜑, kde 𝜑 je odchylka přímky od kladné poloosy 𝑥
k = tg 𝜑
Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou 𝑦, nebo jsou obě různoběžné s osou 𝑦 a mají stejnou směrnici.
Přímka kolmá k přímce o směrnici k ≠ 0 má směrnici
k’ = − 1
𝑘
Kolouchová, Jana; Řepová, Jana; Šobr, Václav. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 5. část. Dotisk 1. vydání. Praha: SPN, 1987, ISBN 14-402-87.
Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN 978-80-7196-264-9.
Hudcová, Milada; Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Dotisk 2. vydání. Praha: Prometheus, 2006, ISBN 80-7196-318-6.
Matematický software GeoGebra, 4.2.310.