Download - Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

8/15/2019 Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

1/22

XIV. DRGANIA

14.1. Ruch harmoniczny

Świat jest pełen ciał, które wykonują drgania, czyli poruszają się na przemian w jedną stronę i z powrotem. Drgania te mierzy się za pomocą czę stotliwości. Czę stotliwość drgań


2/22

14.1. Ruch harmoniczny 99

Ostatnia stała N nazywa się faz ą pocz ątkową. Jej ujemna wartość daje przesunię cie wykresu przemieszczenia w lewo, a dodatnia – w prawo (zob. rys. 14.1).

Rys. 14.1. Wykres przemieszczenia

w ruchu harmonicznym

Różniczkują c wzór (14.1) otrzymujemy wyrażenie na pr ę dkość ciała wykonują cego ruch har-moniczny:

czyli

Wielkość stoją ca przed funkcją sinus wyznacza zakres zmian pr ę dkości – zmienia się ona w gra-nicach od +T xm do !T xm .

Znają c pr ę dkość w ruchu harmonicznym i wykonują c ponowne różniczkowanie, otrzymamywzór na przyspieszenie drgają cego ciała:

czyli

sk ą d po uwzglę dnieniu zależności (14.1) dostajemy

Z drugiej zasady dynamiki Newtona można obliczyć siłę działają cą na ciało, by nadać mu przyspieszenie wyrażone wzorem (14.3). Mamy

Znak minus oznacza, że kierunek siły działają cej na czą stk ę jest przeciwny do kierunku jej prze-

mieszczenia. Oznacza to, że siła powodują ca ruch harmoniczny jest siłą zwrotną , która stara się zawrócić poruszają cą się czą stk ę do punktu równowagi x = 0. Możemy zatem powiedzieć, że

v t dx t

dt

d

dt x t m( )

( )[ cos( )],= = +ω φ

v t x t m( ) sin( ).= − +ω ω φ (14.2)

a t dv t

dt

d

dt x t m( )

( )[ sin( )],= = − +ω ω φ

a t x t m( ) cos( ),= − +ω ω φ 2

a t x t ( ) ( ).= −ω 2 (14.3)

F ma m x m x= = − = −( ) ( ) .ω ω 2 2


3/22

XIV. Drgania100

ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalnado przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.

Zauważmy, że z podobną sytuacją mieliśmy do czynienia przy opisywaniu uk ładu sk ładają -cego się z klocka i spr ężyny. Zgodnie z prawem Hooke’a siła zwią zana z przemieszczeniemklocka ma postać

Porównują c oba te wzory, możemy powią zać stałą spr ężystości k z masą klocka i czę stością ko-łową jego ruchu harmonicznego:

Znają c wię c masę drgają cego klocka, można obliczyć czę stość kołową jego ruchu harmonicz-nego:

i okres drgań:

Uk ład klocek-spr ężyna opisany tymi równaniami tworzy tzw. liniowy oscylator harmoniczny, przy czym słowo liniowy oznacza, że siła F jest proporcjonalna do przemieszczenia x.

14.2. Energia w ruchu harmonicznym

Energia oscylatora liniowego zmienia się nieustannie z energii kinetycznej w potencjalną i naodwrót, podczas gdy ich suma, czyli energia mechaniczna E , pozostaje stała. Energia potencjalnaoscylatora liniowego w całości jest zwią zana ze spr ężyną . Jej wartość zależy od stopniarozcią gnię cia lub ściśnię cia spr ężyny, czyli od wielkości x(t ). Jak pamię tamy (zob. p. 7.1), ener-gia potencjalna uk ładu klocek-spr ężyna jest dana wzorem

sk ą d po uwzglę dnieniu zależności (14.1) otrzymujemy

Energia kinetyczna uk ładu klocek-spr ężyna w całości jest zwią zana z klockiem. Jej wartośćzależy od tego, jak szybko porusza się klocek, czyli od pr ę dkości v(t ). Uwzglę dniają c wzór (14.2) mamy

Na podstawie wzoru (14.4) zamiast T 2 możemy podstawić k / m, a stą d

F kx= − .

k m= ω 2 .

ω = k m(14.4)

T m

k = 2π .

E kx p = 1

2

2,

E kx t p m= +12

2 2cos ( ).ω φ (14.5)

E mv m x t k m= = +1

2

1

2

2 2 2 2ω ω φ sin ( ).

E kx t k m= +

1

2

2 2

sin ( ).ω ϕ (14.6)


4/22

14.3. Wahad ł a i ruch po okr ę gu 101

E E E kx t kx t

kx t t kx

p k m m

m m

= + = + + +

= + + + =

1

2

1

21

2

1

2

2 2 2 2

2 2 2 2

cos ( ) sin ( )

[cos ( ) sin ( )] .

ω φ ω φ

ω φ ω φ

Sumują c wyrażenia (14.5) i (14.6) mamy

Ze wzoru tego wynika, że energia mechaniczna oscylatora liniowego jest stała i nie zależy odczasu.

14.3. Wahadła i ruch po okr ęgu

W tym punkcie zajmiemy się oscylatorami harmonicznymi, w których „spr ężystość” jestzwią zana z siłą grawitacyjną , a nie ze spr ężystymi właściwościami rozcią ganej spr ężyny.

Rozważmy wahadło matematyczne mają ce postać ciała (ciężarka) o masie m zawieszonegona jednym końcu nierozcią gliwej linki o znikomo małej masie i o długości L, której drugi koniec

jest umocowany. Ciężarek kołysze się swobodnie w płaszczyźnie rysunku (zob. rys. 14.2). Jeżelilinka jest odchylona od pionu o k ą t2 , na ciężarek działa napr ężenie linki i siła ciężkości

r

T r

F g .Siłę rozk ładamy na sk ładową radialną F g cos2 i sk ładową styczną do toru zakreślanego przez

r

F g ciężarek F g sin2 . Sk ładowa styczna powoduje powstanie przywracają cego stan równowagi mo-mentu siły wzglę dem punktu zawieszenia wahadła, gdyż zawsze działa przeciwnie do wychyle-nia ciężarka i wymusza jego powrót do centralnego położenia. Położenie to nazywa się poł o- ż eniem równowagi, gdyż nieruchome wahadło pozostawałoby w nim w spoczynku.

Rys. 14.2. Wahadło matematyczne

Jak pamię tamy (zob. p. 10.2), moment siły możemy zapisać w postacir F = ⊥

M L F g = − ( sin ),θ


5/22


6/22

14.3. Wahad ł a i ruch po okr ę gu 103

Rys. 14.3 Wahadło fizyczne

Każdemu wahadłu fizycznemu, drgają cemu wokół danego punktu zawieszenia O z okre-sem T , odpowiada wahadło matematyczne o długości LO, drgają ce z tym samym okresem T .Wielkość LO nazywa się d ł ugo ścią zredukowaną wahad ł a fizycznego i można ją wyznaczyć zewzoru (14.9). Punkt znajdują cy się w odległości LO od punktu zawieszenia O nazywamy środ-

kiem wahań wahad ł a fizycznego dla danego punktu zawieszenia.Wahadło fizyczne można wykorzystać do pomiaru przyspieszenia ziemskiego g w różnych

punktach na powierzchni Ziemi. Rozważmy przypadek wahadła w postaci jednorodnego pr ę tao długości L, który jest unieruchomiony na jednym końcu. Dla takiego wahadła odległość h od

punktu zawieszenia do środka masy wynosi L / 2. Moment bezwładności tego wahadła wzglę -dem prostopadłej osi przechodzą cej przez środek masy jest równy mL2 / 12. Korzystają c z twier-dzenia Steinera (zob. p. 9.4) mamy

Jeśli wyrażenie to podstawimy do równania (14.10) i uwzglę dnimy podaną wartość h, a nastę p-nie rozwiążemy to równanie wzglę dem g , to otrzymamy

Ze wzoru tego wynika, że do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego w miejscu, w którym znaj-duje się wahadło, wystarczy zmierzyć długość L i okres T .

Okazuje się , że ruch harmoniczny jest zwią zany z ruchem jednostajnym po okr ę gu. Pierwszyzauważył to Galileusz, który w 1610 roku, posługują c się skonstruowanym przez siebie telesko-

pem, odkrył cztery główne księżyce Jowisza. Zauważył on, iż wydaje się , że każdy księżyc po-rusza się tam i z powrotem wzglę dem planety w sposób harmoniczny (dysk planety był central-nym punktem ruchu). Obecnie formułuje się to nieco ściślej, a mianowicie, że ruch harmoniczny

I I mh mL m L mLSM = + = +

=

2 2

2

21

12

1

2

1

3.

g L

T =

8

3

2

2

π .


7/22

XIV. Drgania104

można opisać jako ruch rzutu punktu poruszają cego się ruchem jednostajnym po okr ę gu naśrednicę okr ę gu, po którym ten ruch odbywa się .

Rys. 14.4. Związki między ruchem harmonicznym i ruchem jednostajnym po okręgu

Zilustrowano to na rys. 14.4, na którym przedstawiono czą stk ę poruszają cą się po okr ę gu′ P ruchem jednostajnym ze stałą pr ę dkością k ą tową T . Promień xm okr ę gu jest równy długości wek-tora położenia czą stki. W dowolnej chwili położenie k ą towe czą stki jest równe T t + N , gdzieN oznacza położenie k ą towe w chwili t = 0.

Rzutem położenia czą stki na oś x jest punkt P , którego ruch bę dziemy analizować. Rzut′ P wektora położenia czą stki na oś x daje współrzę dną x(t ) punktu P . Mamy′ P

czyli wzór (14.1). Oznacza to, że jeżeli czą stka porusza się ruchem jednostajnym po okr ę gu,′ P to rzut jej położenia P przemieszcza się ruchem harmonicznym wzdłuż średnicy okr ę gu.

Na rys. 14.4 b) przedstawiono pr ę dkość czą stki Jak pamię tamy (zob. p. 9.3), długośćr

v ′ P .wektora pr ę dkości wynosi T xm , a jego rzut na oś x opisuje wyrażenie

czyli wzór (14.2). Znak minus wziął się stą d, że pr ę dkość punktu P na rys. 14.4 b) jest skie-

rowana w lewo, a wię c przeciwnie do kierunku osi x.Przyspieszenie dośrodkowe czą stki jest przedstawione na rys. 14.4 c). Długość wek-

r

a ′ P tora przyspieszenia dośrodkowego wynosi T 2 xm , a jego rzut na oś x opisuje wyrażenie

czyli wzór (14.3).

14.4. Ruch harmoniczny tłumiony

Jeżeli ruch oscylatora słabnie na skutek działania sił zewnę trznych, to taki oscylator nazywa-my oscylatorem t ł umionym, a jego drgania nazywamy t ł umionymi. Prosty oscylator tłumiony

x t x t m( ) cos( ),= +ω φ

v t x t m( ) sin( ),= − +ω ω φ

a t x t m( ) cos( ),= − +ω ω φ 2


8/22

14.4. Ruch harmoniczny t ł umiony 105

przedstawiono na rys. 14.5. Sk łada się on z klocka o masie m, który drga w pionie zawieszonyna spr ężynie o stałej spr ężystości k . Do klocka jest przyczepiony pr ę t zakończony łopatk ą zanu-rzoną w cieczy (zak ładamy, że elementy te mają znikomo małą masę ). Gdy łopatka porusza się w gór ę i w dół, ciecz wywiera na nią (i na cały uk ład) siłę oporu.

Rys. 14.5. Prosty oscylator tłumiony

Załóżmy, że siła oporu jak ą działa ciecz, jest proporcjonalna do wartości pr ę dkościr

F o , r

vłopatki i klocka. Dla sk ładowej wzdłuż kierunku x mamy zatem

gdzie b oznacza stałą tłumienia, która zależy od właściwości łopatki i cieczy. Znak minus wska-zuje, że siła przeciwdziała ruchowi.

r

F o

Spr ężyna działa na klocek siłą F s = !kx. Jeżeli założymy, że siła ciężkości jest znikomo maław porównaniu z siłami F o i F s, to drugą zasadę dynamiki Newtona dla sk ładowej wzdłuż osi xmożna zapisać w postaci

Po podstawieniu v = dx / dt i a = d 2 x / dt 2 otrzymujemy równanie różniczkowe

Rozwią zanie tego równania ma postać

gdzie xm oznacza amplitudę , a – czę stość kołową oscylatora tłumionego daną wzorem′ω

F bvo = − ,

− − =bv kx ma.

md x

dt b

dx

dt kx

2

2 0+ + = .

x t x bt m t m( ) exp( / ) cos( ),= − ′ +2 ω φ (14.11)


9/22

XIV. Drgania106

Zauważmy, że gdy b = 0 (brak tłumienia), wzór ten określa czę stość kołową oscylatora nietłu-mionego, a wzór (14.11) sprowadza się do wzoru (14.1). Ponadto jeśli stała tłumienia jest mała,czyli tob km


10/22

14.5. Drgania wymuszone i rezonans 107

4. Położenie ciała drgają cego ruchem harmonicznym jest opisane wzorem

Wyznaczyć:a) pr ę dkość,

b) przyspieszenie,

c) fazę ruchu w chwili t = 2s.Wyznaczyć również:d) czę stotliwość,e) okres drgań.

5. Oscylator ma postać klocka o masie 0,5 kg umocowanego na spr ężynie. Po wprawieniuw drgania o amplitudzie 35 cm oscylator powtarza swój ruch co 0,5 s. Wyznaczyć:a) okres,

b) czę stotliwość,c) czę stość kołową ,d) stałą spr ężystości,e) maksymalną pr ę dkość,f) wartość maksymalnej siły, jak ą spr ężyna wywiera na klocek.

6. Określić, jaka część całkowitej energii ma postać:a) energii kinetycznej,

a jaka

b) energii potencjalnej,

gdy przemieszczenie w ruchu harmonicznym jest równe połowie amplitudy xm.c) Znaleźć przemieszczenie, przy którym energia uk ładu jest równo podzielona mię dzy

energię kinetyczną i potencjalną (wyrazić je w postaci ułamka amplitudy).

7. Wyznaczyć energię mechaniczną uk ładu klocek-spr ężyna, wiedzą c, że stała spr ężystościwynosi 1,3 N / cm, a amplituda drgań jest równa 2,4 cm.

8. Znajdują ce się na poziomej, idealnie gładkiej powierzchni ciało o masie 5 kg doczepionodo spr ężyny o stałej spr ężystości k = 1000 N / m. Ciało odsunię to poziomo od położeniarównowagi na odległość 50 cm i nadano mu pr ę dkość począ tkową 10 m / s w kierunku po-łożenia równowagi. Wyznaczyć:a) czę stotliwość ruchu,

b) począ tkową energię potencjalną uk ładu ciało-spr ężyna,c) począ tkową energię kinetyczną ,d) amplitudę drgań.

9. Wahadło sk łada się z jednorodnego kr ążka o promieniu r = 10 cm i masie 500 g oraz jedno-rodnego pr ę ta o długości L = 500 mm i masie 270 g (zob. rys. 14.6).a) Obliczyć moment bezwładności wahadła wzglę dem punktu zawieszenia.

b) Wyznaczyć odległość mię dzy punktem zawieszenia i środkiem masy wahadła.c) Obliczyć okres drgań wahadła.

10. Akrobata siedzą cy na trapezie wykonuje wahania tam i z powrotem z okresem 8,85 s. Jeżeliwstanie, to środek uk ładu trapez-akrobata podniesie się o 35 cm. Jaki bę dzie wówczas okresdrgań uk ładu? Potraktować uk ład trapez-akrobata jak wahadło matematyczne.

11. Amplituda słabo tłumionego oscylatora maleje w każdym cyklu drgań o 3%. Jaka częśćenergii mechanicznej jest tracona w każdym cyklu drgań?

x t = +( cos[( / ) / }.6 3 3m) rad s radπ π


11/22

XIV. Drgania108

Rys. 14.6. Zadanie 9

12. W uk ładzie przedstawionym na rys. 14.5 masa klocka wynosi 1,5 kg, a stała spr ężystości jest równa 8 N / m. Siłę tłumią cą opisuje wyrażenie !b(dx / dt ), gdzie b = 230 g / s. Począ t-kowo klocek został pocią gnię ty na odległość 12 cm i puszczony swobodnie.a) Wyznaczyć czas, po którym amplituda drgań spadnie do jednej trzeciej wartości począ t-

kowej.

b) Ile okresów drgań wykona klocek w tym czasie?


12/22

XV. FALE

15.1. Fale poprzeczne

Wyróżniamy trzy główne rodzaje fal:! fale mechaniczne (np. fale na wodzie, fale dźwię kowe, dale sejsmiczne), które mogą istnieć

wyłą cznie w ośrodku materialnym (np. w wodzie, w powietrzu, w skale),! fale elektromagnetyczne, do których zaliczamy światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowei telewizyjne, mikrofale, promieniowane rentgenowskie oraz fale radarowe; fale te nie po-

trzebują żadnego ośrodka materialnego i poruszają się w próżni z tą samą pr ę dkością równą pr ę dkości światła (c = 299 792 458 m / s),

! fale materii, które są zwią zane z elektronami, protonami i innymi czą stkami elementarnymi.

Fale mechaniczne podlegają zasadom dynamiki Newtona. Wyróżniamy wśród nich fale poprzeczne i podłużne. Poprzeczne fale mechaniczne są to fale, w których czą stki drgają w kie-runku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali (przyk ładem mogą być fale na napię tejlince). Fale, w których czą stki drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się falinazywa się falami podłużnymi.

Aby opisać falę , potrzebujemy funkcji opisują cej jej kształt, czyli zależności postaci

Funkcja taka opisuje poprzeczne przemieszczenie y elementu fali zależne od czasu t i położenia xtego elementu. W ogólności sinusoidalny kształt fali może być opisany zarówno za pomocą funkcji sinus, jak i cosinus, bo obie dają ten sam kształt. Dalej bę dziemy posługiwać się funkcją sinus.

W chwili t przemieszczenie y elementu znajdują cego się w punkcie x dane jest wzorem

Wielkość ym nazywamy amplitud ą fali (zob. rys. 15.1). Określa ona bezwzglę dną wartość maksy-malnego przemieszczenia elementu wzglę dem jego położenia równowagi.

Rys. 15.1 Fala sinusoidalna

y h x t = ( , ) .

y x t y kx t m( , ) sin( ).= − ω (15.1)


13/22

XV. Fale110

Argument kx ! T t nazywa się faz ą fali. Gdy fala przechodzi przez pewien element znajdują -cy się w punkcie x, faza zmienia się liniowo wraz z czasem t . Oznacza to, że wartość funkcjisinus również zmienia się , oscylują c w granicach od +1 do !1. Funkcja ta i zależna od czasu fazafali odpowiadają drganiom elementu.

Dł ugo ścią fali 8 nazywamy odległość (mierzoną równolegle do kierunku rozchodzenia się fali) mię dzy kolejnymi powtórzeniami kształtu fali. Ze wzoru (15.1) dla t = 0 otrzymujemy

Ponieważ przemieszczenie y musi być takie samo na obu końcach odcinka odpowiadają cego dłu-gości fali, czyli w punktach x = x1 oraz x = x1 + 8,, wię c z powyższego wzoru mamy

Wartości funkcji sinus powtarzają się co 2B rad, a wię c z powyższej zależności otrzymujemyk 8 = 2B , czyli

Wielkość k nazywamy liczbą falową. Jej jednostk ą w uk ładzie SI jest radian na metr.

Pojedynczy element fali porusza się w gór ę i w dół ruchem harmonicznym, opisanym wzorem(15.1) przy założeniu x = 0, czyli

Okres T fali definiujemy jako czas, w cią gu którego dowolny element wykona jedno pełne drga-nie. Na podstawie powyższego wyrażenia mamy

Zależność ta może być spełniona tylko wtedy, gdy T T = 2B , czyli

Wielkość T nazywa się cz ę sto ścią koł ową. Jej jednostk ą w uk ładzie SI jest radian na sekundę .Z czę stością kołową jest zwią zana cz ę stotliwo ść fali


14/22

15.1. Fale poprzeczne 111

Rys. 15.2. Zmiana fazy początkowej

W cią gu czasu)t fala przesuwa się na odległość ) x. Iloraz różnicowy) x /)t (w granicy po-chodna dx / dt ) jest pr ędko ścią fali. W celu jej wyznaczenia zauważmy, że punktowi o ustalonejfazie odpowiada co chwila inny element fali. Z równania (15.1) otrzymujemy jako warunek sta-

łości fazy wyrażenie

Różniczkują c to wyrażenie mamy

czyli

Uwzglę dniają c zależności (15.2) i (15.3) możemy zapisać wzór na pr ę dkość fali nastę pują co:

Wzór (15.1) opisuje falę biegną cą w dodatnim kierunku osi x. Fale biegną ca w kierunku prze-ciwnym jest opisana równaniem

Dla takiej fali warunek (15.4) ma postać

sk ą d dostaniemy

kx t − =ω const. (15.4)

k dx

dt − =ω 0,

v dx

dt k = =

ω .

v k T = = =

ω λ λν .

y x t y kx t m( , ) sin( ).= + ω

kx t + = const,

dx

dt k = − ω

.


15/22

XV. Fale112

Znak minus potwierdza, że fala rzeczywiście porusza się w ujemnym kierunku osi x.

Okazuje się , że pr ę dkość fali w napię tej linie zależy od właściwości liny, a nie od właściwości

fali (jak na przyk ład czę stotliwości czy amplitudy). W celu wyprowadzenia wzoru na tę pr ę dkośćrozważmy pojedynczy symetryczny impuls biegną cy wzdłuż liny. Dla wygody wybieramy uk ładodniesienia, w którym impuls jest stacjonarny, czyli poruszamy się razem z impulsem w takisposób, by był on niezmienny. W takim uk ładzie odniesienia lina przesuwa się wzglę dem nasz prawa na lewo z pr ę dkością v (zob. rys. 15.3).

Rys. 15.3. Symetryczny impuls w uk ładzie odniesienia, w którym impuls jest stacjonarny

Rozważmy mały odcinek liny o długości)l , znajdują cy się wewną trz impulsu, tworzą cy łuk okr ę gu o promieniu R i obejmują cy k ą t 22 wokół środka tego okr ę gu. Rozważany odcinek liny

jest rozcią gany stycznie na obu jego końcach przez siły równe co do wartości napr ężeniu linyr

T .Poziome sk ładowe tych sił znoszę wzajemnie, a suma sk ładowych pionowych daje siłę radialną

r

F o wartości

przy czym przybliżyliśmy tu sin2 przez 2 (co jest słuszne dla małych k ą tów 2 ) oraz skorzysta-liśmy ze zwią zku 22 = )l / R.

Masa elementu liny jest dana wzorem

gdzie : oznacza liniową gę stość liny.

W chwili przedstawionej na rys. 15.3 element)l liny porusza się po łuku okr ę gu. Ma on za-tem przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okr ę gu, które jest dane wzorem

Na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona (siła = masa @ przyspieszenie) mamy zatem

F T T T l

R= ≈ =2 2( sin ) ( ) ,θ θ

∆

∆ ∆m l = ,

a v

R=

2

.

T l R

l v R

∆ ∆= ( ) .µ 2


16/22

15.2. Energia i moc fali biegnącej w linie 113

Rozwią zują c to równanie wzglę dem pr ę dkości v otrzymujemy

co oznacza, że pr ę dkość fali w idealnej napr ężonej linie zależy wyłą cznie od napr ężenia i gę stoś-ci liniowej liny, a nie zależy od czę stotliwości fali.

15.2 Energia i moc fali biegną cej w linie

Gdy wytwarzamy falę w nacią gnię tej linie, musimy dostarczyć energię niezbę dną do ruchuliny. Fala biegną ca przenosi tę energię w postaci energii kinetycznej i potencjalnej.

Energia kinetyczna dE k , jak ą ma element liny o masie dm, jest dana wzorem

gdzie u oznacza pr ę dkość poprzeczną drgają cego elementu liny. Aby wyznaczyć wielkość u,różniczkujemy równanie (15.1) wzglę dem czasu przy stałej wartości x:

Korzystają c z tej zależności i podstawiają c dm = : dx, przekształcamy wzór (15.5) do postaci

Dzielą c to wyrażenie przez dt , otrzymujemy szybkość zmian energii kinetycznej elementu liny,czyli szybkość, z jak ą energia kinetyczna jest przenoszona przez falę . Mamy

gdzie v = dx / dt . Średnia szybkość, z jak ą jest przenoszona energia kinetyczna, wynosi

przy czym uwzglę dniliśmy tu, że średnia wartość kwadratu funkcji cosinus wzię ta po całkowitejliczbie okresów jest równa 1/2.

Energia potencjalna spr ężystości jest również przenoszona przez falę z tak ą samą szybkością ,daną wzorem (15.6). Średnia moc, czyli średnia szybkość, z jak ą oba rodzaje energii są przeno-szone przez falę , wynosi zatem

Czynniki : oraz v w tym wyrażeniu zależą od materiału i napr ężenia liny, a czynniki T oraz ym – od sposobu powstawania fali.

v

T =

µ ,

dE dmuk = 1

2

2, (15.5)

u y

t y kx t m= = − −

∂

∂ ω ω cos( ).

dE dx y kx t k m= − −1

2

2 2( )( ) cos ( ).µ ω ω

dE

dt v y kx t k m= −

1

2

2 2 2µ ω ω cos ( ),

dE

dt y kx t v y

k

sr m sr m

= − =

1

2

1

4

2 2 2 2 2

µω ω µ ω [cos ( )] , (15.6)

P dE

dt v y sr

k

sr

m=

=2 1

2

2 2µ ω .


17/22

XV. Fale114

15.3. Równanie falowe

Gdy fala przechodzi przez jakikolwiek element napię tej liny, element ten porusza się wkierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Wykorzystują c drugą zasadę dynamiki

Newtona, można wyprowadzić równanie różniczkowe, które opisuje fale biegną ce dowolnegorodzaju.

Rys. 15.4. Element napiętej liny i działająca siła

Na rys. 15.4 a) przedstawiono element liny o masie dm i długości l w pewnej chwili, gdy falarozchodzi się wzdłuż osi x w napię tej w tym kierunku linie o gę stości liniowej : . Siła działa-

r

F 2 ją ca na prawy koniec elementu ma wartość równą napr ężeniu liny T i jest skierowana ku górze.Siła działają ca na lewy koniec elementu ma tak że wartość równą napr ężeniu liny T , ale jest

r

F 1skierowana nieznacznie ku dołowi. Kierunki tych sił są wię c przeciwne. Ich wypadkowa ma

sk ładową skierowaną ku górze, a wię c jest źródłem skierowanego w gór ę przyspieszenia a y .Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

Masę elementu dm można wyrazić przez gę stość liniową liny : i długość elementu l , czylidm = : l . Element jest nachylony wzglę dem osi x nieznacznie, wobec czego można przyjąć, żel . dx. Mamy wię c

Przyspieszenie a y jest równe pochodnej drugiego rzę du przemieszczenia y wzglę dem czasu,czyli

Z rys. 15.4 b) wynika, że siła jest styczna do elementu liny na jego prawym końcu. Sto-r

F 2sunek sk ładowych siły jest równy nachyleniu elementu na tym końcu (współczynnikowi kie-runkowemu stycznej), które oznaczymy przez N 2 . Mamy zatem

Długość wektora można wyrazić przez jego sk ładowe:

F F dm a y y y2 1− = ⋅ . (15.7)

dm dx= .

a d ydt

y =2

2 .

N F

F

y

x

2

2

2

= . (15.8)

F F F x y2 22

22= + ,


18/22

15.3. Równanie falowe 115

czyli

bo F 2 = T . Ponieważ założyliśmy, że element liny jest nieznacznie nachylony, to F 2 y


19/22

XV. Fale116

15.4. Interferencja fal

Gdy w tym samym ośrodku rozchodzą się dwie (lub wię cej) fale, przemieszczenie każdejczą stki tego ośrodka jest sumą przemieszczeń powodowanych przez każdą z fal, zgodnie z zasa-dą superpozycji.

Załóżmy, że dwie fale biegną równocześnie wzdłuż tej samej napię tej liny. Niech y1( x, t )i y2( x, t ) oznaczają przemieszczenia tej liny spowodowane przez każdą z fal osobno. Przemiesz-czenie liny w sytuacji, gdy fale nak ładają się , bę dzie ich sumą algebraiczną , tj.

Sumowanie przemieszczeń wzdłuż liny oznacza, że nak ładają ce się fale dodają się algebraicznietworzą c fal ę wypadkową. Jest to przyk ład zasady superpozycji, Gdy impulsy fal nak ładają się ,wypadkowy impuls stanowi ich sumę , a nak ładają ce się fale w żaden sposób nie wpływają nasiebie wzajemnie.

Załóżmy, że wysyłamy dwie fale o takiej samej długości fali i amplitudzie, biegną ce w tymsamym kierunku wzdłuż napię tej liny. Wypadkowa fala zależy od tego, jaka jest wzglę dna fazaobu fal, czyli od tego, o ile jedna fala jest przesunię ta wzglę dem drugie. Niech pierwsza fala bę -dzie opisana równaniem

a druga, przesunię ta wzglę dem pierwszej, wzorem

Obie fale różnią się jedynie w fazie o stały k ą t N , który nazywa się przesunięciem fazowym.

Zgodnie z zasadą superpozycji, fala wypadkowa jest sumą algebraiczną dwóch interferują -cych (nak ładają cych się na siebie) fal, a jej przemieszczenie wynosi

Ponieważ sumę sinusów dwóch k ą tów " i $ można przedstawić w postaci

otrzymujemy stą d

Jak widać z tego wzoru, fala wypadkowa jest również falą sinusoidalną biegną cą w dodatnimkierunku osi x.

Fala wypadkowa różni się od fal interferują cych pod dwoma wzglę dami:! jej przesunię cie fazowe jest równe N / 2,

! jej amplituda jest równa wartości bezwzglę dnej wyrażenia w nawiasach przed funkcją sinuswe wzorze (15.11), czyli

y x t y x t y x t ( , ) ( , ) ( , ).= +1 2

y x t y kx t m1 ( , ) sin( ),= − ω

y x t y kx t m2 ( , ) sin( ).= − +ω φ

y x t y x t y x t

y kx t y kx t m m

( , ) ( , ) ( , )

sin( ) sin( ).

= +

= − + − +1 2

ω ω φ

sin sin sin cos ,α β α β α β

+ = + −22 2

y x t y kx t m( , ) cos sin .=

− +

2

2 2

φ ω

φ (15.11)


20/22

15.5. Fale stojące i rezonans 117

Analiza tego wzoru prowadzi do trzech ciekawych przypadków:! N = 0 – interferencja, która daje najwię kszą wartość amplitudy (interferencję tak ą nazywamy

interferencją cał kowicie konstruktywną),

! N = B (180°) – amplituda fali wypadkowej jest równa zeru, czyli nie obserwujemy żadnegoruchu (interferencję tak ą nazywamy interferencją cał kowicie destruktywną),

! N = 2B / 3 (120°) – amplituda fali wypadkowej jest równa amplitudzie fal interferują cych.

15.5. Fale stoją ce i rezonans

Wynikiem interferencji dwóch jednakowych fal sinusoidalnych rozchodzą cych się w przeciw-nych kierunkach jest fala stoją ca. Dla takich fal mamy

i

sk ą d (z zasady superpozycji)

Wyrażenie to nie opisuje fali biegną cej,a właśnie falę stoją cą .

Bezwzglę dną wartość wielkości w nawiasie możemy uważać za amplitudę drgań elementuliny znajdują cego się w punkcie x. W przypadku biegną cej fali sinusoidalnej amplituda fali jesttaka sama dla wszystkich elementów liny. Tutaj amplituda zmienia się wraz z położeniem. Na

przyk ład amplitudę o wartości zero mamy dla takich wartości kx, dla których sin kx = 0, czylidla wartości spełniają cych warunek

Podstawiają c do tego wyrażenia k = 2B / 8, otrzymujemy położenia punktów o zerowej ampli-tudzie (punkt takie nazywamy wę z ł ami)

Zauważmy, że są siednie wę zły są oddalone o 8 / 2, czyli o połowę długości fali.

Amplituda fali stoją cej osią ga maksimum równe 2 ym dla takich wartości kx, dla których Są to wartości spełniają ce warunek sin .kx = 1

y ym m= 22

cos .φ

y x t y kx t m1 ( , ) sin( )= − ω

y x t y kx t m2 ( , ) sin( ),= + ω

y x t y x t y x t

y kx t y kx t

y kx t

m m

m

( , ) ( , ) ( , )

sin( ) sin( )

( sin ) cos .

= +

= − + +

=

1 2

2

ω ω

ω

kx n n= =π , , , , .0 1 2 K

x n n= =λ

20 1 2, , , , .K

kx n n= +

=1

2

0 1 2π , , , , .K


21/22

XV. Fale118

Po podstawieniu k = 2B / 8, otrzymujemy położenia punktów o najwię kszej amplitudzie (punktytakie nazywa się strzał kami)

Strzałki są oddalone o 8 / 2 i znajdują się w połowie odległości mię dzy wę złami.

Rozważmy teraz strunę rozpię tą mię dzy dwoma zaciskami. W wyniku wytworzenia cią głejfali sinusoidalnej o pewnej czę stotliwości nastę puje cią głe odbijanie się fal od zacisków i wielefal nak łada się na siebie. Przy pewnych czę stotliwościach w wyniku interferencji powstaje falastoją ca o bardzo dużej amplitudzie. O takiej fali mówimy, że powstaje ona w wyniku rezonansu,a o strunie – że rezonuje przy pewnych czę stotliwościach zwanych czę stotliwościami rezonan-sowymi.

Załóżmy, że struna ma długość L. Aby znaleźć wzór na czę stotliwości rezonansowe, zauważ-my, że na obu końcach struny muszą znajdować się wę zły, gdyż końce struny są umocowanei nie mogą drgać. Najprostszy możliwy kształt zawiera jedną pę tlę ze strzałk ą znajdują cą się w połowie długości struny. Zatem w tym przypadku długość fali wynosi 8 = 2 L. Druga prostafala stoją ca, spełniają ca warunek, by na końcach struny fala miała wę zły, jest fala o długości8 = L, która ma strzałki w odległości L / 2 od lewego zacisku i L / 2 od prawego zacisku itd. Falastoją ca w strunie o długości L może być zatem utworzona przez fale o długości równej jednejz nastę pują cych wartości:

Czę stotliwości rezonansowe odpowiadają ce tym długościom fali wynoszą

gdzie v oznacza pr ę dkość fali biegną cej w strunie.

Zadania

1. Wzdłuż liny rozchodzi się fala

W jakim czasie dowolny punkt tej liny zmienia swe przemieszczenie z y = +2 mm na

y = !2 mm?

2. Fala ma czę stość kołową 110 rad / s i długość fali 1,8 m. Obliczyć:a) liczbę falową ,

b) pr ę dkość fali.

3. Sinusoidalna fala biegnie wzdłuż liny. Czas, w jakim poszczególne punkty przechodzą odswojego maksymalnego położenia do zera, wynosi 0,17 s. Wyznaczyć:a) okres,

b) czę stotliwość.Długość fali jest równa 1,4 m.c) Wyznaczyć pr ę dkość fali.

x n n= +

=1

2 20 1 2λ , , , , .K

λ = =2

1 2 3 L

nn, , , , .K

ν λ

= = =v

n v

Ln

21 2 3, , , , ,K

y x t kx t ( , ) ( sin[ ( / ) ].= + +6 600mm) rad s φ


22/22

15.5. Fale stojące i rezonans 119

4. Masa przypadają ca na jednostk ę długości napię tej liny wynosi 5 g / cm, a napr ężenie liny jest równe 10 N. W linie wzbudzona falę sinusoidalną o amplitudzie 0,12 mm i czę stotli-wości 100 Hz, biegną cą w kierunku ujemnych wartości x. Wyznaczyć:a) ym ,

b) k ,

c) T ,d) znak przedT .

5. Liniowa gę stość liny wynosi 1,6 @ 10!4 kg / m. Fala poprzeczna w linie jest opisana wzorem

Podać:a) pr ę dkość fali,

b) napr ężenie liny.

6. Korzystają c z równania falowego, obliczyć pr ę dkość fali o równaniu

7. Dwie identyczne fale biegną ce w tym samym kierunku są przesunię te w fazie o B / 2 rad.Znaleźć amplitudę fali wypadkowej i wyrazić ją za pomocą amplitudy ym fal sk ładowych.

8. Zamocowana na obu końcach lina ma długość 8,4 m i masę 0,12 kg. Lina została nacią g-nię ta siłą 96 N i wprawiona w drgania.a) Określić pr ę dkość fal w linie.

b) Wyznaczyć najwię kszą możliwą długość fali stoją cej.c) Podać czę stotliwość tej fali.

9. Podać trzy najmniejsze czę stotliwości fal stoją cych w drucie o długości 10 m i masie 100 g,którego napr ężenie wynosi 250 N.

10. Lina rozpię ta mię dzy dwoma sztywnymi wspornikami, znajdują cymi się w odległości 75 cmod siebie, ma czę stotliwości rezonansowe 420 Hz i 315 Hz, przy czym żadna pośredniaczę stotliwość nie jest rezonansowa. Określić:a) najmniejszą czę stotliwość rezonansową ,

b) pr ę dkość fali.

y x t = +− −( , sin[( ) ( ) ].0 021 2 301 1m) m s

y x t x t ( , ) ( sin ( ) ( ) .= −− −2 20 41 1mm) m s

Download - Andrzej Marciniak PWSZ Kalisz Fizyka - 5

Top Related