Download - Antiderivada Inte Indefinida
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
1/31
CÁLCULO IIANTIDERIVADA
https://www.youtube.com/watch?v=SG_vEv7y1Tk&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=1https://www.youtube.com/watch?v=SG_vEv7y1Tk&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=1
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
2/31
IMPRESIONES HD
El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el
ingreso marginal mensual es de R’(x) = – 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado
en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
3/31
• Funciones• Derivadas
Recordar
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
4/31
Temario
Antiderivada
Integral Indefinida
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
5/31
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas
vinculados a gestión e Ingeniería empleando el cálculo de integrales
indefinidas.
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
6/31
DefiniciónUna función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si,F’(x) = f(x) para todo x en I.
Ejemplos:
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
FUNCIÓN
f
ANTIDERIVADA
F
COMPROBACIÓN
F’(x)=f(x)
K xF )(0)( x f 0)'( K
x xF )(1)( x f 1)'( x
2)( x xF x x f 2)( x x 2)'( 2
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
7/31
FUNCIÓN
f
ANTIDERIVADA
F
COMPROBACIÓN
F’(x)=f(x)
1;1
)(1
nn
x xF
nn
x x f )( nn
xn
x
'1
1
xe xF )( xe x f )( x x ee )'(
x xF ln)( x
x f 1)(
x x
1)'(ln
x x f sin)( x xF cos)( x x sin)'cos(
x x f cos)( x xF sin)( x x cos)'(sin x x f
2sec)( x xF tan)( x x 2sec)'(tan
x x f 2csc)( x xF cot)( x x csc)'cot(
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
8/31
Una sola función tiene muchas
antiderivadas, mientras que una función
sólo puede tener una derivada
Antiderivada Función Derivada
3)( x xF
4)( 3 x xF
8)( 3 x xF
23)( x x f x x f 6)('
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
9/31
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición
Al conjunto de todas las antiderivadas de la función f se le llama INTEGRAL
INDEFINIDA de la función f y se representa por
cteC;)()( C xF dx x f
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
10/31
Propiedades
dx x f k dx x f k )()(.1
dx xgdx x f dx xg x f )()()]()([.2
Sean f y g funciones continuas y k una constante real. Entonces se cumple
Ejemplo
dx xdx x sin5sin5
dxdx xdx xdx x x 4sin]4[sin 22
Ejemplo
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
11/31
INTEGRALES BÁSICAS
Rcncn
x
dx x
nn
,1;1
1
Ejemplos
dx x2
)1
dx x23
)2
dx x3 2)3
dx x 23 c
x
123
12
c x
13
1
c x
3
c
x
12
12
c
x
3
3
dx x 3/2 c
x
1
3
2
13
2
c x 35
5
3
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
12/31
INTEGRALES BÁSICAS
Rcaca
e
dxe
baxbax
,0;
Ejemplos
dxe x)1
dxe x)2
dxe
x 13)3
ce
x
1
ce x
c
e x
3
13
dxe
x1
2)4 ce
x
2
1
12
ce x
ce
x
1
22
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
13/31
INTEGRALES BÁSICAS
Rck acbaxa
k
dxbax
k
,0,;ln
Ejemplos
dx
x
1)1
dx x
3)2
dx
x 53
2)3
c x ln3
c x ln
c x 53ln3
2
dx x524
)4 dx x 254
c x 25ln5
4
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
14/31
INTEGRALES BÁSICAS
Rck aca
x
a
k dx
a x
k
,0,;arctan22
Ejemplos
dx
x 1
1)1
2
dx x 25
3)2
2
dx x 52
)32
c x )arctan(
c x
5arctan
5
2
dx x 22 5
3c
x
5arctan
5
3
dx
x22 5
2
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
15/31
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
16/31
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Ejemplos
dx x)3(sec)1 2
dx x
)2(csc)2
2
dx x )23(sec4)3 2
c
x
)2cot(2
1
1
c x )3tan(3
1
c x )23tan(3
4
0;)tan(1
)(sec 2 acbaxa
dxbax
0;)cot(1
)(csc2 acbaxa
dxbax
c x
)2cot(2
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
17/31
EJERCICIOS
1) Calcular dx x x x x I )
4
3
23( 2
3
Solución
dx x
x x x I )4
3
23( 22/13
dx xdx
xdx xdx x I
22/13 41
3
23
23
32
3
x
c x
x x x
dx x x
x x 4
ln3
22
4)
4
3
23( 3
4
2
3
4
4 x
xln3
2 c
x
1
41
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
18/31
EJERCICIOS
2) Calcular dx xe x x I
x )2
4)13(sec(sin 222
Solución
c x
e x x I x
2arctan
2
4
2
1)13tan(
3
1cos 2
dx xdxedx x xdx I x
2
4)13(secsin 222
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
19/31
EJERCICIOS
3) Calcular
dx x
x
I 13
53
Solución
c x xdx x x 13ln213 53
dx
xdx
x
x I
13
61
13
613
dx x
dx I
13
61
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
20/31
EJERCICIOS
4) Calcular
dx x
x
I 2
52
Solución
https://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
21/31
EJERCICIOS
5) Calcular
dz z z
z z
I 5
25103
24
Solución
https://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
22/31
EJERCICIOS
6) Calcular
dx x x I )1(3
1 3/2
Solución
https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
23/31
Vaciado de un líquidoUn tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional
constante de 0.05 m2
, localizado en la parte inferior del tanque. El tanque se llenacon agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye
a razón:
120 ,
25 50
dh t
dt
Determinar la altura del agua en cualquier instante t, Si su altura inicial es de 5metros.
h
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
24/31
C t
t
dt t
t h
10020
25
1
5020
25
1)(
2
Solución
Integrando a ambos lados:
Usando la condición inicial h(0)=5, tenemos C=5. Entonces, la altura se describe
por:
5100
2025
1)(
2
t t t h
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
25/31
IMPRESIONES HD
El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el
ingreso marginal mensual es de R’(x) = – 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado
en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?
Solución
R(x) es la antiderivada de R’(x), entonces lo podemos calcular usando la integral
indefinida. Es decir:
dx x R x R )(')(
c x xdx x x R 302,0)304,0()( 2
x x x R 302,0)( 2
Se sabe que cuando se produce cero unidades el ingreso también es cero. Entonces
la constante de integración es: c=0
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
26/31
UTILIDAD MARGINAL
Un fabricante estima que el ingreso marginal será dólarespor unidad cuando el nivel de producción sea de unidades. Se hadeterminado que el costo marginal correspondiente es de 0,4q dólarespor unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando ennivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del
fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?
2/1200)(' qq R
https://www.youtube.com/watch?v=0ICTyRISIzo&index=2&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0ICTyRISIzo&index=2&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
27/31
CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN
Se ha determinado que la población de una cierta colonia de
bacterias, horas después de iniciar la observación, tiene un razón decambio
0.1 0.03200 150t t dP
e edt
Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación,¿cuál será la población 12 horas después?
https://www.youtube.com/watch?v=cdv6ikO2TKQ&index=23&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=cdv6ikO2TKQ&index=23&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
28/31
DESCONGELAMIENTO.
Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, latemperatura de la carne era de -4°C, y horas más tarde seincrementaba a una tasa de
0.35 o
' ( ) 7 C/ht
T t e
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después dehoras.
b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?
c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperaturallega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela lacarne?
https://www.youtube.com/watch?v=hp4y6u267WE&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=24https://www.youtube.com/watch?v=hp4y6u267WE&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=24
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
29/31
COSTO MARGINAL
Si el costo marginal mensual de un producto es
Encuentre la función del costo total, si el fijo es de $ 5 000.
2800100)(' 2 x x xC
https://www.youtube.com/watch?v=yHssLXHT4B4&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=3https://www.youtube.com/watch?v=yHssLXHT4B4&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=3
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
30/31
-
8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida
31/31
GRACIAS