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Lajes macias de concreto armado
Prof. Joo Dirceu N. Carvalho
Maring, 2007
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Sumrio
1 LAJES...........................................................................................................................1
1.1 Introduo .............................................................................................................1
1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) .............................1
1.3 Aes usuais em lajes de edifcios. .......................................................................2
1.4 Classificao .........................................................................................................3
1.5 Lajes Armadas em Duas Direes ........................................................................4
1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das Grelhas...............................................4
1.5.2 Determinao dos Momentos Fletores..........................................................6
1.5.3 Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10
1.6 Lajes Armadas em Uma Direo ........................................................................16
1.6.1 Determinao dos esforos..........................................................................16
1.7 A altura til e a altura mnima ............................................................................18
1.7.1 Altura til mnima .......................................................................................21
1.8 Determinao das flechas em lajes e seus valores limites..................................24
1.8.1 Flecha imediata (elstica)............................................................................26
1.8.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................29
1.8.3 Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30
1.9 Extenso e qualidade dos apoios. .......................................................................31
1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 .....................................32
2 Organizao dos clculos e detalhamento da armadura. ............................................34
2.1 Dispositivos auxiliares de clculo.......................................................................34
2.2 Determinao dos esforos. ................................................................................35
2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados)..........................39
2.2.2 Compensao dos momentos fletores .........................................................39
2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................41
2.3.1 Armaduras mnimas ....................................................................................42
2.4 Detalhes de Formas e armao de lajes ..............................................................47
2.5 Cisalhamento em lajes ........................................................................................50
3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito........................................................51
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Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado
Prof. Joo Dirceu1
1LAJES1.1IntroduoAs placas de concreto, usualmente denominadas lajes, so elementos de superfcie plana (uma
das dimenses muito menor que as outras duas) sujeitos principalmente a aes normais ao
seu plano.
Neste curso sero consideradas as lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente
distribudas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno.
Posteriormente, em Estruturas em Concreto 2, sero estudadas lajes com outras formas
(circular, triangular, em L, etc.), com uma ou duas bordas no vinculadas (caso das lajes de
cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.).
As lajes podero ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e ser adotada
a conveno abaixo, para representar cada uma destas vinculaes.
lado simplesmente apoiado
lado perfeitamente engastado
lado perfeitamente engastado
borda livre, ou sem apoio
1.2Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.)Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rgidos quanto translao
vertical, o vo efetivo deve ser calculado pela seguinte expresso:ef= 0+ a1+ a2
1 21 2
0,5. 0,5.
0,3. 0,3.
t ta a
h h
sendo 0o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios).
Obs:. Para as lajes usual se tomar a distncia de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez
que a diferena, normalmente pequena (a exceo seria o caso das vigas de maior largura, as
vigas de transio por exemplo).
0t1 t2
h
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DEC - CTC - UEM 2
1.3Aes usuais em lajes de edifcios.As cargas atuantes nas lajes so as previstas na NBR 6120 (1980). Essas cargas so aplicadas
por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou acidentais conforme classificao
dada por essa norma.
As cargas acidentais ou de utilizao so obtidas atravs da Tabela 2 da NBR 6120 - Valores
mnimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de edifcios normalmente so
constitudas pelo peso prprio da laje de concreto e pelo revestimento, alm do peso de
paredes e outros elementos quando apoiados diretamente na laje.
Peso prprio da laje (por m2): 1,0 x 1,0 x hlajex c Revestimeto (por m2): 0,6 a 1,0 kN/m2(normalmente usa-se 0,75 0,80 kN/m2) Paredes: Lajes armadas em cruz peso total da parede dividido pela rea da laje
Exemplo: Sala de uma residncia com laje de 9,0 cm.
pp = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m2
revest. = 0,8 kN/m2
ac. = 1,5 kN/m2 Total = 4,55 kN/m2
Exemplo: Parede de tijolo furado com 15 cm de espessura e 2,6 m de altura.
Ppar. = 0,15 x 2,6 x 1,0 x 13 = 5,07 kN/m
se tivermos 2,5 m de parede sobre uma laje macia armada em cruz com 3,5 x 4,0 m:
ppar= 5,07 x 2,5 / (3,5 x 4,0) = 12,675 / 14,0 = 0,9 kN/m2.
1,0 m
1,0m
Cargas acidentais oude utilizao
Revest. superiorConcreto
Revest. inferior
1,0 m1,0 m
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Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado
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1.4ClassificaoDe acordo com a relao entre os vos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em
Uma Direo, quando a relao entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em DuasDirees (Armada em Cruz), quando a relao entre os lados for menor ou igual a 2.
Vamos entender melhor esta classificao e porque o 2 como divisor, analisemos como se
realiza a transferncia de cargas para os apoios, em uma grelha.
A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vos 1=2e a
outra com 3=22, ambas submetidas a uma carga concentrada P aplicada no cruzamento
das vigas (n, cruzamento da longarina com a transversina).
Figura 1.1 Grelhas submetidas ao de uma carga concentrada.
Na grelha da esquerda todas as reaes so iguais a 1/4 da carga P enquanto na grelha da
direita o clculo nos fornece 1/18 P para as reaes do lado maior e 8/18 P para as reaes do
lado menor, ou seja, para os vo iguais h uma transferncia da carga na razo de 50% em
cada direo e, para 3= 22 aproximadamente 11% da carga transferida na direo do vo
maior e 89% na direo do vo menor.
medida que a relao entre os vos aumenta (3>> 2) maior ser a transferncia de carga
para os apoios do vo menor, ou seja, para uma relao de vos entre 1 e 2 tem-se umatransferncia bidirecional de cargas e para relao de vos maior do que 2 tende-se para uma
transferncia unidirecional das cargas
A transferncia bidirecional de cargas tpica dos elementos bidimensionais (as lajes)
enquanto a transferncia unidirecional das cargas tpica dos elementos unidimensionais (as
vigas). Sendo "r", a relao entre os vos, vamos convencionar:
r > 2 Laje armada em uma direo r 2 Lajes armada em duas direes (em Cruz)
P P
2
1 31= 2 3= 2 2
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1.5Lajes Armadas em Duas Direes1.5.1Distribuio das Cargas - Teoria das GrelhasO clculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma srie de faixas de 1,0 m de
largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente
distribuda.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que
parte desta carga "p" atua em uma direo e, a outra parte, na outra direo.
x yp p p= + 1.1
A determinao dos quinhes (pxe py) feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir dahiptese de que a laje composta por vigas fictcias, independentes entre si, de 1,0 m de
largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados,
conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direo:
Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente ser
adotada uma conveno prpria para adot-los.
45.
384x x
x
p lf
EI= 1.2
45
.384
y y
y
p lf
EI= 1.3
como se trata de uma grelha
x yf f= 1.4
4 4
. .x x y yp l p l= 1.5
Figura 1.2 Vigas fictcias em uma laje armada em cruz.
e dessa forma obtm-se os quinhes de carga para as direes x e y:
4
4 4y
x
x y
lp p
l l=
+
4
4 4x
y
x y
lp p
l l=
+ 1.6
px
py
x
y
fx
fy
y
x
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No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o clculo dos quinhes de carga recai no caso
das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento
perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples.
Mas preciso ter cuidado com esta explicao acima. Ela muito boa para em uma planta deforma determinar de imediato o tipo de laje, mas, preciso entender que a laje no est
engastada na viga. Um painel de laje normalmente engastado em outro painel de laje, ou
seja, a continuidade, o engastamento, se d entre lajes. Nada impede o engastamento de uma
laje em uma viga, alias, esta uma situao caracterstica das lajes de marquize, mas nesse
caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ao de momento toror e precisa ser dimensionada e
armada para esta solicitao.
O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contnua, a continuidade, oengastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participao dos apoios que nesse caso
seriam os pilares. Tambm para as vigas, nada impede que sejam engastadas nos pilares, mas
se assim o fizssemos, teramos um prtico.
Alterando-se a vinculao de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total
de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz:
Laje "Tipo 1" com todas as bordas simplesmente apoiadas,
Laje "Tipo 2" com uma borda engastada,
Laje "Tipo 3" com duas bordas, adjacentes, engastadas,
Laje "Tipo 4" com duas bordas, opostas, engastadas,
Laje "Tipo 5" com trs bordas engastadas,
Laje "Tipo 6" com todas as bordas engastadas.
Observe que os quinhes de carga determinados anteriormente correspondem laje Tipo 1.
Para a determinao dos quinhes de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as
flechas correspondentes vinculao das vigas fictcias. A seguir so apresentadas as
equaes das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribudas,
considerando os trs tipos de vinculaes: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e
engastadas na outra e bi-engastadas.
6
4
5
1
2
3
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45
384
pf
EI=
1.7
42
384
pf
EI=
1.8
41
384
pf
EI=
1.9
1.5.2Determinao dos Momentos FletoresO clculo das placas por processos exatos extremamente complexo, uma vez que envolve a
soluo de uma equao diferencial de quarta ordem. A expresso abaixo mostra a equao
geral de placas.
4 4 4
4 2 2 42.
.
w w w p
Dx x y y
+ + =
1.10
( )
3
2
.
12. 1
E hD
=
1.11
sendo: w o deslocamento vertical
x e y coordenadas de um ponto qualquer
p carga uniformemente distribuda
D Rigidez flexo
E mdulo de deformao longitudinal do concreto
coeficiente de Poisson
Calculadas segundo a teoria das placas, os mtodos de clculo so divididos em dois grupos:o Mtodo Clssico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime
elstico linear e, o Mtodo da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais
trabalhando em regime rgido-plstico (Teoria das charneiras plsticas). Pelo mtodo clssico,
o clculo das lajes pelos mtodos das Diferenas Finitas ou dos Elementos Finitos, levam a
resultados quase que exatos, porm, estes mtodos, pela sua complexidade, demandam
conhecimentos no dominados pela grande maioria dos profissionais da rea de engenharia. A
necessidade de se ter um clculo rpido, com um nvel de preciso coerente com a atividadeda engenharia, e acessvel aos profissionais, leva-nos aos processos de clculo simplificados.
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1.5.2.1Processo de MarcusO processo de Marcus um processo de clculo simplificado, oriundo do Mtodo Clssico,
que assimila a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu
coeficientes de correo xe ynas expresses dos momentos fletores positivos, de tal forma
que seus resultados se aproximassem aos obtidos atravs da Teoria da Elasticidade.
Pelo Processo de Marcus convenciona-se que os lados da laje sero denominados "x" e "y":
x est na direo mais vinculada e, caso ambas as direes sejam
igualmente vinculadas xestar na direo com o menor vo.
e a relao entre os lados ser definida como:
y
x
=
1.12
Os momentos fletores positivos em uma laje so determinados supondo-se uma faixa da laje,
de 1,0 m de largura carregada pelo quinho de carga atuante na direo da mesma. O efeito da
grelha introduzido no clculo destas vigas fictcias atravs dos coeficientes x e y,
propostos por Marcus.22 ..
. .y yx xx x y yx y
ppM M
i i = =
1.13
ixe iypodem assumir os valores 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculao, apoio-apoio,
engaste-apoio ou engaste-engaste.
da equao 13, fazendo-se:
4
4 4 .y
x
x y
p p=+
e
4
4 4 .x
y
x y
p p=+
tem-se: . . 1x x y y y xp k p p k p com k k= = =
22 . .. .. .y yx xx x y y
x y
p kp kM M
i i = =
1.14
rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expresso 2. xp ,
independente da direo ser a x ou a y, obtm-se:
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2.
.
xx
x
x x
pM
i
k
=
2. xx
x
pM
m=
1.15
2 2 2
. . . .x x x xx xx xx
x
p k p pX Xj nj
k
= = =
1.16
2 2 2 2
2
2 2
. . . .
.. . . .
y y x xy y
yy y yx
y y y y x y y
p p p pM M
mi i i
k k k
= = = =
1.17
2 2 2 2
2
2
. . . ..
.
y y x x xy y
y x yy
y
p k p pX Xj nj
k
= = =
1.18
onde: jx e jyassumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculao, engaste-apoio ou
engaste-engaste.
Os coeficientes de Marcus (xe y) so dados pelas expresses abaixo:
2
2
20. .20.1 1 3.3. .
yxx y
yx
kk
ii
= = 1.19
Obs.: Apenas os momentos fletores positivos so corrigidos pelos coeficientes x e
y. Os momentos fletores negativos NO!!!
Em resumo:2 2 2 2. . . .x x x x
x y x y
x y x y
p p p pM M X X
m m n n= = = =
sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em funo de .
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TABELA DE MARCUS
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny
0,50 141 45 59 137 50 50 146 71 108 360,52 126 43 52 124 48 45 216 68 94 340,54 113 42 46 112 47 40 192 65 83 320,56 102 40 41 103 46 36 171 62 73 310,58 93 39 36 96 45 33 153 59 65 290,60 85 38 33 88 45 31 139 57 58 280,62 79 37 30 82 44 28 126 56 53 270,64 73 37 27 76 44 26 115 54 48 260,66 68 36 25 71 44 25 106 53 44 250,68 63 35 23 67 44 23 98 52 40 250,70 59 35 21 64 44 22 91 51 37 240,72 56 35 20 60 44 21 84 50 34 240,74 52 35 19 58 45 20 79 49 32 230,76 50 34 18 55 45 19 74 49 30 230,78 47 34 17 53 46 18 70 49 28 230,80 45 34 16 50 46 18 66 48 27 230,82 43 34 15 49 47 17 63 48 25 230,84 41 34 14 47 48 17 60 48 24 230,86 39 35 14 45 48 16 57 48 23 230,88 37 35 13 44 49 16 55 48 22 230,90 36 35 13 42 50 16 53 49 21 230,92 34 35 12 41 51 15 51 49 20 230,94 33 36 12 40 52 15 49 49 20 230,96 32 36 12 39 53 15 47 50 19 230,98 31 36 11 38 55 15 46 50 19 241,00 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 241,02 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 241,04 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 241,06 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 241,08 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 241,10 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 241,12 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 251,14 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 251,16 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 251,18 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 251,20 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26
1,22 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 261,24 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 261,26 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 271,28 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 271,30 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 271,32 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 281,34 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 281,36 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 291,38 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 291,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30
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DEC - CTC - UEM 10
TABELA DE MARCUS - continuao
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny
1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 301,42 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 301,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 311,46 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 311,48 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 321,50 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 321,52 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 331,54 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 341,56 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 341,58 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 351,60 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35
1,62 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 361,64 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 371,66 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 371,68 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 381,70 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 391,72 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 401,74 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 401,76 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 411,78 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 421,80 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 431,82 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 431,84 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 441,86 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 451,88 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 461,90 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 471,92 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 471,94 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 481,96 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 491,98 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 502,0 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51
1.5.3Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em CruzA NBR 6118, item 14.7.6, permite o clculo das reaes de apoio de lajes macias
retangulares com cargas uniformemente distribudas, considerando-se para cada apoio carga
correspondente aos tringulos e trapzios obtidos, traando-se a partir dos vrtices, na planta
da laje, retas inclinadas de:
45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.
-
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Uma laje Tipo 2 tem as reas de influncia dos apoios conforme apresentado na figura
abaixo, onde S1 a rea de influncia da Viga V101, S2 a rea de influncia da Viga V102, e
S3e S4das vigas V103e V104respectivamente.
a expresso de cada uma das reas e determinada a seguir:
rea S1 = S2
( )1
1,366.
2 2yx x x
S+
=
( )21
2 1,366 1.
2 4
x y yS
=
como a carga por metro quadrado de laje p, a carga por metro linear a ser
descarregada na V101ser a carga total aplicada na rea S1 distribuda no vo da Viga 101.
( )11..
1 0,6832
y
y
x
pp Sp V = = =
1 2
y
y y
pp V K= =
sendo ( )1 0, 683.yK =
rea S3
23
. .0,866. 1.0,866.
2 2 2y y y
y
hS = = =
( )' ' '33 3. . .
0,866. .2 2
x xx x x
y
p S p pp V p V K= = = = =
onde ( )' 0,866.xK =
45 60 90
V101
S1
45
S4 V104
45
x
60
V103 S3
60
yS2
V101
0,866 a 0,5
x
0,5 y
60
60y
-
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DEC - CTC - UEM 12
rea S4
24
. 1 1. . .
2 2 2 4y y
y y
hS = = =
( )44
..0,5.
2x
y
pp Sp = =
4
..
2x
x x
pp V K= =
sendo: ( )0,5.xK =
onde:
p a carga (por metro quadrado) que solicita a laje,
p1 a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido laje
p3 a carga (por metro linear) que solicita a viga V103, devido laje
p4 a carga (por metro linear) que solicita a viga V104, devido laje
Ky o coeficiente de carga na direo y
Kx o coeficiente de carga na direo x, para o lado apoiado.
Kx o coeficiente de carga na direo x, para o lado engastado.
A seguir so tabelados os coeficientes ' ', ,x y x yk k k e k em funo de , para os diferentes
tipos de lajes.
..
2
xx x
pV k=
1.20
..
2y
y y
pV k=
1.21
' ' ..2
xx x
pV k=
1.22
' ' ..2
y
y y
pV k=
1.23
y45
45
-
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CLCULO DAS REAES DE APOIO
NBR 6118 - item 14.7.6
Tipo de Laje kx kx ky ky
1 1,001,000
0,500
0,500
2A 0,73 0 500, 0 865, 1,000 0682
2B 0,730 730
0 267,
,
12700 463
,,
0,365
3 1,000 730
0 365,
,
12700 635
,,
0 365,
0 635,
4A 0,58 0 865, 1 000 0865,
4B 0,581000
0 290,
,
0 290,
5A 0,791000
0 395,
,
0 290,
0 500,
5B 0,79 0 635, 0 730 0463,
1 270 0807,
6 1,001000
0 500,
,
0 500,
' ' ' '. .. .. . . .2 2 2 2
y yx xx x y y x x y y
p pp pV k V k V k V k = = = =
KyKx Kx
Ky
KyKx Kx
Ky
KyKx KxKy
x
KxKy Ky
Kx
KyKx Kx
Ky
x
KxKy Ky
Kx
x
KxKy Ky
Kx
x
KxKy Ky
Kx
x
KxKy Ky
Kx
-
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DEC - CTC - UEM 14
REAES DE APOIO
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6
kx ky kx kx ky kx kx ky ky kx ky kx ky ky kx ky
0,50 0,25 0,43 0,66 0,43 0,57 0,32 0,50 0,870,52 0,26 0,45 0,65 0,45 0,55 0,33 0,49 0,850,54 0,27 0,47 0,63 0,47 0,53 0,34 0,48 0,830,56 0,28 0,48 0,62 0,48 0,52 0,36 0,47 0,820,58 0,29 0,50 0,60 0,50 0,50 0,37 0,46 0,800,60 0,30 0,52 0,59 0,52 0,48 0,38 0,45 0,790,62 0,31 0,54 0,58 0,53 0,47 0,39 0,44 0,770,64 0,32 0,55 0,56 0,55 0,45 0,41 0,43 0,750,66 0,33 0,57 0,55 0,56 0,44 0,42 0,42 0,740,68 0,34 0,59 0,54 0,57 0,43 0,43 0,42 0,72
0,70 0,35 0,61 0,52 0,59 0,41 0,44 0,41 0,710,72 0,36 0,62 0,51 0,60 0,40 0,46 0,40 0,690,74 0,37 0,64 0,49 0,61 0,39 0,47 0,39 0,670,76 0,38 0,66 0,48 0,62 0,68 0,48 0,38 0,660,78 0,39 0,68 0,47 0,63 0,37 0,50 0,37 0,640,80 0,40 0,69 0,46 0,64 0,36 0,51 0,36 0,630,82 0,40 0,71 0,45 0,65 0,35 0,52 0,35 0,610,84 0,41 0,72 0,43 0,65 0,35 0,53 0,35 0,600,86 0,42 0,73 0,42 0,66 0,34 0,54 0,34 0,580,88 0,43 0,74 0,41 0,67 0,33 0,55 0,33 0,570,90 0,43 0,76 0,41 0,68 0,32 0,56 0,32 0,600,92 0,44 0,77 0,40 0,68 0,32 0,57 0,32 0,54
0,94 0,45 0,78 0,39 0,69 0,31 0,58 0,31 0,530,96 0,45 0,79 0,38 0,70 0,30 0,59 0,30 0,520,98 0,46 0,80 0,37 0,70 0,30 0,60 0,30 0,511,00 0,50 0,50 0,46 0,81 0,37 0,36 0,63 0,37 0,64 0,71 0,29 0,60 0,29 0,50 0,50 0,501,02 0,51 0,49 0,47 0,82 0,36 0,37 0,65, 0,36 0,63 0,72 0,28 0,61 0,28 0,49 0,51 0,491,04 0,52 0,48 0,47 0,82 0,35 0,38 0,66 0,35 0,62 0,72 0,28 0,62 0,28 0,48 0,52 0,481,06 0,53 0,47 0,48 0,83 0,34 0,39 0,67 0,34 0,61 0,73 0,27 0,63 0,27 0,47 0,53 0,471,08 0,54 0,46 0,48 0,84 0,34 0,39 0,68 0,34 0,59 0,73 0,27 0,63 0,27 0,46 0,54 0,461,10 0,55 0,45 0,49 0,85 0,33 0,40 0,69 0,33 0,58 0,74 0,26 0,64 0,26 0,45 0,55 0,451,12 0,55 0,45 0,49 0,86 0,33 0,40 0,70 0,33 0,57 0,74 0,26 0,65 0,26 0,45 0,55 0,451,14 0,56 0,44 0,50 0,86 0,32 0,41 0,71 0,32 0,56 0,75 0,25 0,65 0,25 0,44 0,56 0,441,16 0,57 0,43 0,50 0,87 0,31 0,42 0,72 0,31 0,55 0,75 0,25 0,66 0,25 0,43 0,57 0,43
1,18 0,58 0,42 0,50 0,88 0,31 0,42 0,73 0,31 0,54 0,75 0,25 0,67 0,25 0,42 0,58 0,421,20 0,58 0,42 0,51 0,88 0,30 0,43 0,74 0,30 0,53 0,76 0,24 0,67 0,24 0,42 0,58 0,421,22 0,59 0,41 0,51 0,89 0,30 0,43 0,75 0,30 0,52 0,76 0,24 0,68 0,24 0,41 0,59 0,411,24 0,60 0,40 0,51 0,90 0,29 0,44 0,76 0,29 0,51 0,77 0,23 0,68 0,23 0,40 0,60 0,401,26 0,60 0,40 0,52 0,90 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,40 0,60 0,401,28 0,61 0,39 0,52 0,91 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,39 0,61 0,391,30 0.62 0,38 0,52 0,91 0,28 0,45 0,78 0,28 0,49 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,32 0,62 0,38 0,53 0,92 0,28 0,45 0,79 0,28 0,48 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,381,34 0,63 0,37 0,53 0,92 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,78 0,22 0,71 0,22 0,37 0,63 0,371,36 0,63 0,37 0,53 0,93 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,79 0,21 0,71 0,21 0,37 0,63 0,371,38 0,64 0,36 0,54 0,93 0,26 0,47 0,81 0,26 0,46 0,79 0,21 0,71 0,21 0,36 0,64 0,361,40 0,64 0,36 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,79 0,21 0,72 0,21 0,36 0,64 0,36
-
5/26/2018 Apost 03 Lajes
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REAES DE APOIO - CONTINUAO
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6kx ky kx kx ky kx kx ky ky kx ky kx ky ky kx ky
1,42 0,65 0,35 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,80 0,20 0,72 0,20 0,35 0,65 0,351,44 0,65 0,35 0,54 0,95 0,25 0,48 0,83 0,25 0,44 0,80 0,20 0,73 0,20 0,35 0,65 0,351,46 0,66 0,34 0,55 0,95 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,48 0,66 0,34 0,55 0,96 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,341,50 0,67 0,33 0,55 0,96 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,52 0,67 0,33 0,55 0,97 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,331,54 0,68 0,32 0,56 0,97 0,24 0,49 0,86 0,24 0,.41 0,81 0,19 0,74 0,19 0,32 0,68 0,321,56 0,68 0,32 0,56 0,97 0,23 0,50 0,86 0,23 0,41 0,81 0,19 0,75 0,19 0,32 0,68 0,32
1,58 0,68 0,32 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,32 0,68 0,321,60 0,69 0,31 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,31 0,69 0,311,62 0,69 0,31 0,57 0,98 0,23 0,50 0,88 0,23 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,31 0,69 0,311,64 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,88 0,22 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,30 0,70 0,301,66 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,68 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,301,70 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,72 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,74 0,71 0,29 0,58 1,00 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,291,76 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,78 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,281,80 0,72 0,28 0,58 1,01 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28
1,82 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,27 0,73 0,271,84 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,86 0,73 0,27 0,59 1,02 0,20 0,53 0,93 0,20 0,34 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,271,88 0,73 0,27 0,59 1,02 0,19 0,54 0,93 0,19 0,34 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,73 0,271,90 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,92 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,261,94 0,74 0,26 0,59 1,,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,96 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,95 0,19 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,261,98 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,252,00 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25
' ' ' '. .. .. . . .2 2 2 2
y yx xx x y y x x y y
p pp pV k V k V k V k = = = =
-
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1.6Lajes Armadas em Uma DireoConforme visto anteriormente, para uma relao entre os lados maior ou igual a 2 a
transferncia de cargas na direo do lado maior torna-se desprezvel. Estas lajes sero
calculadas apenas na direo do menor lado, ou seja, em apenas uma direo
importante observar que na realidade estas lajes tambm so armadas nas duas direes.
Como na direo de maior vo as solicitaes so muito pequenas despreza-se o clculo nessa
direo, adotando-se uma armadura mnima conforme recomendaes da NBR 6118 item
19.3.3.2: uma armadura de distribuio com seo transversal de rea igual ou superior a 1/5
da rea da armadura principal, com um mnimo de 0,9 cm2, composta de pelo menos trs
barras.
Figura 1.3 Disposio das armaduras nas lajes armadas em uma direo
1.6.1Determinao dos esforosOs esforos nas lajes armadas em uma direo sero determinados atravs do clculo de uma
viga fictcia de 1,0 m de largura. Esta viga fictcia, de acordo com as vinculaes da laje,
poder ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada.
A determinao dos esforos nessas vigas bastante simples. A primeira delas, a bi-apoiada, uma estrutura isosttica e como j foi visto em Mecnica dos Slidos, no h necessidade
de maiores comentrios. As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, so
hiperestticas, e como o assunto ainda no foi abordado em Mecnica das Estruturas, vamos
rapidamente abordar a determinao dos seus esforos, com a ajuda da Tabela dos
Momentos de Engastamento Perfeito.
Estas vigas de apenas um tramo, o se chama de estrutura elementar e j foram calculadas,
submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados individualmente. Porexemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuda, carga uniformemente
Armadura principal (a ser calculada)
Armadura de distribuio(estipulada por Norma)
-
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distribuda parcialmente, carga momento, carga triangular, trapezoidal etc. Estes clculos
foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equao. Estas equaes esto
dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito.
Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equaes podero vir
com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para
estruturas de barras em geral, vigas contnuas, prticos etc., e seguirem uma conveno
denominada Conveno de Grinter.
Este assunto ser visto em detalhes em Mecnica das Estruturas. Por enquanto, como
estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios sero sempre negativos.
A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incgnita hiperesttica Mf,ou seja a viga direita pode ser facilmente calculada como uma viga isosttica (o fato de no
haver cargas horizontais torna nula a incgnita horizontal do apoio do segundo gnero
esquerda).
Nesse exemplo: da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito:2
'8f
PM m= =
Reaes nos apoios A e B:
RA= 5/8.p.
RB= 3/8.p.
O momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo cortante ser nulo.
3 3. . . .
8 8p x p x= =
( )2
2 2max
. 3 8.3 3 9 9. . . . . . . .
8 8 2 64 128
pMf p p p+= =
2
2max 9 .. .128 14,22pMf p+= =
HA
RA RBA B
p Mf p
3
8p
p
x
2
8
p
p
Fy = 0
Mf(A)= 0 e MF(B)= 0
A B
2
8
p
p
-
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Para cargas uniformemente distribudas:
2
max.
8
pM =
1
2x= do apoio A
1.
2A BR R p= =
2.
8Ap
M =
2
max 14,22
pM +=
5.
8x= do apoio A
5 3. .
8 8A BR p R p= =
2.
12A Bp
M M= =
2
max.
24
pM +=
1
2x= do apoio A
1. .
2A BR R p= =
Se esta viga estivesse submetida a uma cominao de cargas, como o exemplo abaixo, o
Princpio da Superposio do Efeitos nos permite fazer:1
n
i
i
Mf MEP=
= .
Ou seja, a somatria dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que
carregam a viga e o momento fletor mximo positivo acorrer no ponto onde o esforo
cortante ser nulo.
1.7A altura til e a altura mnima
importante que se diferencie o conceito de altura e altura til. A altura a espessura
total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura til e a
distncia do centro de gravidade da armadura at a borda comprida do elemento.
A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com
armadura disposta em duas camadas) a diferena entre estas duas alturas, ou seja:
h = d + ycg Equao 24onde ycg a distncia do centro de gravidade da armadura at a borda tracionada.
P
A B
p2
p1Mf P
HA RA RB
p2
p1
A B A B A B
-
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Figura 1.4 Altura e altura til de lajes.
A armadura usada em lajes de edifcios normalmente tem dimetros de 5,0 ou 6,3 mm.
Excepcionalmente (lajes de grandes vos e carregamentos) usa-se em edificaes o 8,0 mm.
Para melhor entendimento desta varivel ycg, a figura abaixo detalha a seo da viga acima.
O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1 da norma) classifica o risco de deteriorao da estrutura
em funo da agressividade do ambiente. Observa-se que as lajes de edifcios normalmente
so protegidas, ou seja, so elementos internos da edificao e revestidas, sendo permitida por
norma a adoo de uma classe de agressividade mais branda (um nvel acima), possibilitando,
dessa forma seu enquadramento na Classe de Agressividade Ambiental I e, portanto,
agressividade fraca (ficam excludas dessa considerao as edificaes industriais e as
situadas em regies litorneas).
O cobrimento nominal da armadura (cnom) e tratado pela NBR 6118 nos itens 7.4.7.1 a 7.4.7.7.
O cobrimento nominal definido como o cobrimento mnimo (cmin) acrescido da tolerncia de
execuo (c maior ou igual a 10 mm).
A proteo da armadura visa principalmente evitar o processo de corroso dos aos, que
ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida til da estrutura. Esta proteo
normalmente feita atravs de uma camada de concreto com uma espessura mnima em
funo do revestimento (ou no) do elemento e das condies ambientais (agressividade do
meio ambiente).Para lajes de concreto armado, a Tabela 7.2 da NBR 6118 estabelece para a classe de
agressividade ambiental Ium cobrimento nominal de 20 mm (c = 10 mm) admitindo-se sua
reduo para 15 mm (c = 5 mm) quando houver um adequado controle de qualidade e
rgidos limites de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo.
Observa-se que o cobrimento da armadura fundamental para a qualidade e durabilidade do
concreto armado e, dessa forma, considera-se de extrema importncia que se conste no projeto
o controle de qualidade e tolerncia do cobrimento.
Lajed h
ycg
h = d + ycg
ycg= /2 + c
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Como a armao das lajes disposta em duas malhas ortogonais superpostas, deve-se atentar
para o centro de massa das armaduras, conforme mostrado na figura abaixo, onde se mostra
que uma das malhas tem um ycg= cnom+ 0,5 e a outra malha um ycg= cnom+ 1,5 .
Como no se sabe qual das amaduras estar na malha inferior ou na superior considera-se y cg
referente malha superior e, dessa forma, para o caso de classe de agressividade ambiental I
e c = 5 mm, pode-se adotar para ycgos valores dados abaixo:
5,0 ou 6,3 mm ycg= 2,5 cm
8,0 ou 10 mm ycg= 3,0 cm
O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e
vibrao do concreto, as barras permaneam em suas posies, conservando o cobrimento de
concreto especificado em projeto, feito atravs do uso de distanciadores, que podem ser
feitos na obra ou industrializados
Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena
placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto,
com trao superior ao do elemento a ser concretado, com um pedao de arame recozido,
tranado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo.
Figura 1.5 Distanciadores de armadura executados na obra
Os distanciadores industrializados, normalmente so de plstico, de alta resistncia,
apresentando forma e dimenses variadas. Como exemplo, na figura a seguir so apresentados
alguns dos distanciadores. No Brasil existem vrios fabricantes destes distanciadores,
podendo ser citados a COPLAS, JERUELPLAST e a HOMERPLAST.
..cnom
.cnom
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Figura 1.6 Distanciadores de armadura industrializados
Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas o caranguejo, feito na
obra com sobras de ferros 5,0 mm. Veja o detalhe da fixao na figura abaixo, o distanciador
amarrado na malha da armadura positiva, no encostando nas formas.
Figura 1.7 Distanciadores de armadura industrializados
1.7.1Altura til mnimaNo dimensionamento das lajes deve-se ter um cuidado especial com a determinao de suas
alturas. O seu dimensionamento ruptura (ELU) como vigas fictcias de 100 cm de largura e,
sujeitas a carregamentos relativamente pequenos, possibilita a obteno de pequenas
espessuras para as lajes, mas, uma caracterstica das placas e sua grande deformabilidade, ou
seja flechas excessivas. Dessa forma, para o dimensionamento das lajes, suas alturas devem
ser obtidas em funo do estado limite de utilizao e no o de servio, ou seja, as alturas
devem ser determinadas de forma a limitar flechas excessivas e, uma vez determinadas,
calcula-se a armadura necessria.
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A NBR 6118 (2003) em seu item 13.3 prescreve os deslocamentos limites e em sua Tabela
13.2 apresenta os limites para os deslocamentos, porm, omite os critrios para a
determinao da altura til mnima e, portanto recomenda-se a utilizao do disposto na NBR
6118 (1980), item 4.2.3.1.C. Em vigas de seo retangular ou T e lajes macias retangulares
de edifcios sero consideradas atendidas as condies a e b e dispensar-se- o clculo das
flechas quando a altura til d no for inferior ao valor ( )2 3. . Essa expresso era
conservadora, pois no considerava a carga aplicada e, normalmente fornecia alturas de
lajes muito superiores s determinadas em funo das flechas mximas e, dessa forma,
recomenda-se como estimativa para a altura das lajes o uso da expresso dada pela equao
1.24, usando-se h e arredondando-se para baixo o valor obtido para lajes de edifcios.
2 3.h
1.24
Sendo: o menor lado
2 coeficiente dependente das vinculaes e dimenses da laje
3 coeficiente dependente do tipo do ao
VALORES DE 3
3AoVigas e lajes nervuradas Lajes macias
CA 25 25 35CA 50 17 25CA 60 15 20
Valores de 2 Vigas e lajes armadas em uma direo
A seguir apresenta-se a tabela dos coeficientes 2para lajes armadas em duas direes. Nessa
tabela adaptou-se as recomendao da Norma para a conveno de Marcus, ou seja, o mesmo
usado para as tabelas de Marcus, utilizado para a determinao do coeficiente 2.
.2= 1,0 2= 1,2 2= 1,7 2= 0,5
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VALORES DE 2- LAJES ARMADAS EM DUAS DIREES
(Conveno de Marcus)
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T1 T2 T3 T4 T5 T6
0,50 1,10 1,20 1,40 1,00 1,50 1,70 1,80 1,90 2,00 2,200,51 1,12 1,23 1,42 1,02 1,49 1,69 1,79 1,90 1,99 2,190,52 1,15 1,25 1,45 1,04 1,48 1,69 1,78 1,89 1,99 2,180,53 1,17 1,28 1,47 1,06 1,48 1,68 1,78 1,89 1,98 2,170,54 1,19 1,30 1,49 1,08 1,47 1,68 1,77 1,88 1,98 2,160,55 1,21 1,33 1,51 1,10 1,46 1,67 1,76 1,88 1,97 2,150,56 1,23 1,35 1,53 1,12 1,45 1,66 1,75 1,88 1,96 2,140,57 1,25 1,37 1,55 1,14 1,44 1,66 1,74 1,87 1,96 2,130,58 1,27 1,39 1,57 1,16 1,44 1,65 1,74 1,87 1,95 2,120,59 1,28 1,41 1,58 1,18 1,43 1,65 1,73 1,86 1,95 2,11
0,60 1,30 1,43 1,60 1,20 1,42 1,64 1,72 1,86 1,94 2,100,61 1,32 1,45 1,62 1,22 1,41 1,63 1,71 1,86 1,93 2,090,62 1,33 1,47 1,63 1,24 1,40 1,63 1,70 1,85 1,93 2,080,63 1,35 1,49 1,65 1,26 1,40 1,62 1,70 1,85 1,92 2,070,64 1,36 1,51 1,66 1,28 1,39 1,62 1,69 1,84 1,92 2,060,65 1,38 1,52 1,68 1,30 1,38 1,61 1,68 1,84 1,91 2,050,66 1,39 1,54 1,69 1,32 1,37 1,60 1,67 1,84 1,90 2,040,67 1,40 1,56 1,70 1,34 1,36 1,60 1,66 1,83 1,90 2,030,68 1,42 1,57 1,72 1,36 1,36 1,59 1,66 1,83 1,89 2,020,69 1,43 1,58 1,73 1,38 1,35 1,59 1,65 1,82 1,89 2,010,70 1,44 1,60 1,74 1,40 1,34 1,58 1,64 1,82 1,88 2,000,71 1,45 1,61 1,75 1,42 1,33 1,57 1,63 1,82 1,87 1,990,72 1,47 1,63 1,77 1,44 1,32 1,57 1,62 1,81 1,87 1,980,73 1,48 1,64 1,78 1,46 1,32 1,56 1,62 1,81 1,86 1,970,74 1,49 1,65 1,79 1,48 1,31 1,56 1,61 1,80 1,86 1,960,75 1,50 1,67 1,80 1,50 1,30 1,55 1,60 1,80 1,85 1,950,76 1,51 1,68 1,81 1,52 1,29 1,54 1,59 1,80 1,84 1,940,77 1,52 1,69 1,82 1,54 1,28 1,54 1,58 1,79 1,84 1,930,78 1,53 1,70 1,83 1,56 1,28 1,53 1,58 1,79 1,83 1,920,79 1,54 1,71 1,84 1,58 1,27 1,53 1,57 1,78 1,83 1,910,80 1,55 1,73 1,85 1,60 1,26 1,52 1,56 1,78 1,82 1,900,81 1,56 1,74 1,86 1,62 1,25 1,51 1,55 1,78 1,81 1,890,82 1,57 1,75 1,87 1,64 1,24 1,51 1,54 1,77 1,81 1,880,83 1,58 1,76 1,88 1,66 1,24 1,50 1,54 1,77 1,80 1,870,84 1,59 1,77 1,89 1,68 1,23 1,50 1,53 1,76 1,80 1,86
0,85 1,59 1,78 1,89 1,70 1,22 1,49 1,52 1,76 1,79 1,850,86 1,60 1,79 1,90 1,72 1,21 1,48 1,51 1,76 1,78 1,840,87 1,61 1,80 1,91 1,74 1,20 1,48 1,50 1,75 1,78 1,830,88 1,62 1,80 1,92 1,76 1,20 1,47 1,50 1,75 1,77 1,820,89 1,63 1,81 1,93 1,78 1,19 1,47 1,49 1,74 1,77 1,810,90 1,63 1,82 1,93 1,80 1,18 1,46 1,48 1,74 1,76 1,800,91 1,64 1,83 1,94 1,82 1,17 1,45 1,47 1,74 1,75 1,790,92 1,65 1,84 1,95 1,84 1,16 1,45 1,46 1,73 1,75 1,780,93 1,65 1,85 1,95 1,86 1,16 1,44 1,46 1,73 1,74 1,770,94 1,66 1,86 1,96 1,88 1,15 1,44 1,45 1,72 1,74 1,760,95 1,67 1,86 1,97 1,90 1,14 1,43 1,44 1,72 1,73 1,750,96 1,68 1,87 1,98 1,92 1,13 1,42 1,43 1,72 1,72 1,74
0,97 1,68 1,88 1,98 1,94 1,12 1,42 1,42 1,71 1,72 1,730,98 1,69 1,89 1,99 1,96 1,12 1,41 1,42 1,71 1,71 1,720,99 1,69 1,89 1,99 1,98 1,11 1,41 1,41 1,70 1,71 1,71
2,00 1,10 1,40 1,40 1,70 1,70 1,70
-
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A NBR 6118 (2003), no item 13.2 estabelece as dimenses limites para lajes macias de
concreto armado, ou seja, determinada a altura em funo da deformabilidade da laje essa
altura dever respeitar os limites mnimos para a espessura da laje:
a) 5 cm para lajes de cobertura no em balano;
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balano;
c) 10 cm para lajes que suportem veculos de peso total menor ou igual a 30 kN;
d) 12 cm para lajes que suportem veculos de peso total maior que 30 kN;
f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.
1.8Determinao das flechas em lajes e seus valores limitesO item 13.3 da NBR 6118 define e estabelece os limites para os deslocamentos.
Deslocamentos limites so valores prticos utilizados para verificao em servio do estado
limite de deformaes excessivas da estrutura, , e so classificados em quatro grupos bsicos:
a) aceitabilidade sensorial: o limite caracterizado por vibraes indesejveis ou efeitovisual desagradvel. A limitao da flecha para prevenir essas vibraes, em situaes
especiais de utilizao, deve ser realizada como estabelecido na seo 23 da NBR
6118 e, apresentadas na Tabela 2.3;
b) efeitos especficos: os deslocamentos podem impedir a utilizao adequada daconstruo (Tabela 2.4);
c) efeitos em elementos no estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar omau funcionamento de elementos que, apesar que no fazerem parte da estrutura,
esto a ela ligados;
d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamentodo elemento estrutural, provocando afastamento em relao s hipteses de clculo
adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus
efeitos sobre as tenses ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados,
incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
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Os limites para deslocamentos dados pela Tabela 13.2 da NBR 6118. Os valores dessa tabela
so apresentados, parcialmente, nas Tabelas 2.3 e 2.4.
Tabela 1.1 Limites para deslocamentos - Aceitabilidade sensorial
(NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)
Razo da limitao ExemploDeslocamento aconsiderar
Deslocamento limite
VisualDeslocamentos visveisem elementos estruturais
Total /250
OutroVibraes sentidas nopiso
Devido a cargasacidentais
/350
Tabela 1.2 Limites para deslocamentos - Efeitos estruturais em servio
(NBR 6118-2003 - Tabela 13.2)
Superfcies que devemdrenar gua
Coberturas e varandas Total /2501)
Total/350+contraflecha2)Pavimentos que devem
permanecer planosGinsios e pistas deboliche Ocorrido aps a
construo do piso/600
Elementos que suportamequipamentos sensveis
LaboratriosOcorrido apsnivelamento doequipamento
De acordo comrecomendao dofabricante doequipamento
1) As superfcies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensadopor contraflechas, de modo a no se ter acmulo de gua.
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificao de contraflechas.Entretanto, a atuao isolada da contraflecha no pode ocasionar um desvio do plano maior que
/350.3) O vo l deve ser tomado na direo na qual a parede ou a divisria se desenvolve.
NOTAS1. Todos os valores limites de deslocamentos supem elementos de vo suportados em ambas as
extremidades por apoios que no se movem. Quando se tratar de balanos, o vo equivalente aser considerado deve ser o dobro do comprimento do balano.
2. Para o caso de elementos de superfcie, os limites prescritos consideram que o valor o menorvo, exceto em casos de verificao de paredes e divisrias, onde interessa a direo na qual aparede ou divisria se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vo menor.
3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinao das aes caractersticasponderadas pelos coeficientes definidos na seo 11.
4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
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1.8.1Flecha imediata (elstica)As flechas elsticas em lajes so determinadas atravs da expresso:
4
3
..
. 100xpf
E h
=
1.25
O coeficiente dado em funo da vinculao das lajes, conforme esquemas fornecidos na
Figura 1.8 e do coeficiente k. Observa-se que x sempre o menor lado e disposto na
horizontal e k igual a y/x(sempre maior ou igual a um).
Figura 1.8 Esquema de vinculao das lajes para determinao das flechas imediatas.
Para cada caso de vinculao o coeficiente pode ser obtidos pelas equaes abaixo ou pelos
bacos apresentados a seguir:
22,83 15,48 7,97A k k = +
21,97 13, 48 8,40B k k = +
21,84 7,86 2,78C k k = +
21,94 8,73 4,35D k k = +
20,72 9,87 7,07E k k = +
21,08 3,86 0,54F k k = +
21,67 8,39 4,93G k k = + 21,25 4,81 1,73H k k = + 21,34 5,40 2,59I k k = +
p = carga uniformemente distribuda
x.= menor lado
E = mdulo de elasticidade (servio) do concreto. Ecs= 0,85 Eci= 0,85.5600fck. (NBR 8.2.8)
h = altura da placa;
k = y/x. (k sempre 1)
A D
G
C
F
E
IH
B
y
x
x
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Coeficientes "alfa"
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Valores de K
Valoresdealfa
Alfa 1
Alfa 2
Alfa 5
Coeficientes "alfa"
1
2
3
4
5
6
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Valores de K
V
aloresdealfa
Alfa 3
Alfa 4
Alfa 7
Coeficientes "alfa"
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Valores de K
Valoresdealfa
Alfa 6
Alfa 8
Alfa 9
-
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Coeficientes "alfa"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Valores de K
V
aloresdealfa
-
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1.8.2Flecha diferida no tempoA flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) decorrente das cargas de longa
durao em funo da fluncia e pode ser calculada de maneira aproximada pela
multiplicao da flecha imediata pelo fator fdado pela expresso:
'1 50.f
=
+
onde:'
'
.sA
b d =
um coeficiente funo do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser
calculado pelas expresses seguintes:
( ) ( )0t t =
( ) ( )
0,320, 68. 0, 996 .tt t = para t 70 meses
( ) 2t = para t > 70 meses
Tabela 1.3 Valores do coeficiente em funo do tempo NBR 6118 - Tabela 17.1.
Tempo (t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70
Coeficiente (t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
sendo:
t o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t0 a idade, em meses, relativa data de aplicao da carga de longa durao.
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + f).
-
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1.8.3Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo.
1y
x
l
l= = 2= 1,58 3= 25
2 3
12,6 cm.
h
=
Adotado h = 12,5 cm
Determinao das flechas elsticas (cuidado com as unidades)
Laje Tipo B. k = 6/5=1,2 B= 4,94
g1= 0,125.25 = 3,125 kN/m2. g2= 0,75 kN/m
2. g = g1+ g2= 3,875 kN/m2.
q (sala de aula) = 3 kN/m2.
P = g + q = 6,875 kN/m2.
5600 0,85 =ci ck cs ciE f E E= = 21287,4 MPa = 2128,74 kN/cm2
= 2128,74. 104
kN/m2
4 4
3 4 3
. 3.5 4,94. . 0,00223 m 2, 23 mm
. 100 2128,74.10 .0,125 100x
ac
qf
E h
= = = =
4 4
3 4 3
. 6,875.5 4,94. . 0,00511 m 5,11 mm
. 100 2128,74.10 .0,125 100x
p
pf
E h
= = = =
Determinao das flechas diferidas
'1 50.f
=
+ ' 0 =
1 0f
= = +
Adotando-se t 70 meses e o carregamento aplicado aos 2 meses (t0= 2 meses):
( )70 2t =
( ) ( ) 0,320, 68. 0, 996 .tt t = ( ) ( )2 0,322 0, 68. 0,996 .2 0, 68.0,992.1, 24833 0,8421t = = = =
( ) ( )0t t = 2 0,8421 1,158 = =
Laje Tipo 2C20 e CA-50
x = 6,0 m
y=5,0m
6,0m
5,0 m
-
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Determinao da flecha total
Flecha total = flecha imediata + flecha diferida
( )1t otal imediata diferida i f f f f f = + = + ( )5,11. 1 1,158 11,03 mmtotalf = + =
Flecha limite para apenas a carga acidental 14,3 mm350
=
Flecha limite para a carga total aplicada 20 mm
250
=
As flechas mximas, por norma, seriam /350 para a carga acidental e /250 para a total.
Observe que a altura da laje pode ser reduzida
( )4
3
.. . 1
. 100 350x
total f
pf
E h
= + =
( )
43 . 350. . 1 .
. 100x
f
ph
E
= +
( ) ( )3 3
3 3,5. . . 3,5.4,94.6,875.5. 1 . 1 1,158 0,00150621287400
xf
ph
E
= + = + =
0,11463 m 11,5 cmh=
1.9Extenso e qualidade dos apoios.Em projetos comum a ocorrncia de vinculaes parciais de lajes, conforme mostrado na
figura abaixo para as lajes L01e L02. Veja que a laje 02 tem um lado totalmente engastado e os
outros trs apoiados, ou seja, uma laje do Tipo 2, mas, o mesmo no acontece com a laje
01, pois ela tem trs lados apoiados e um lado com vinculao indefinida (apoio ou engaste?).
Figura 1.9 Predominncia de uma vinculao sobre a outra
L01
a b
c
d
L02
-
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DEC - CTC - UEM 32
Vamos adotar o seguinte critrio da predominncia de uma vinculao sobre a outra, ou seja,
uma vinculao predominante quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento do lado.
se em um lado qualquer da laje houver predominncia de uma vinculao sobre outraqualquer, esta vinculao prevalece e ser a nica considerada.
No havendo a predominncia de uma vinculao sobre outra, deve-se calcular a lajesupondo cada uma das vinculaes isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou
tomar os mais crticos de cada caso).
No esquema apresentado na figura acima, o lado da laje 02 vinculado laje 01 no apresenta
uma vinculao predominante (engaste ou apoio) e, dessa forma, a laje 02 dever ser
calculada como Tipo 1 e como Tipo 2 e adotados os resultados mais crticos de cada caso.
CUIDADO!!!. Veja que a L02como Tipo 1 tem o xadotado como o menor lado, portanto
na direo vertical e, como Tipo 2 tem o x adotado como a direo mais vinculada,
portanto na direo horizontal. Dessa forma deve-se comparar o My,(Tipo 1)com o Mx,(Tipo 2)e o
Mx,(Tipo 1) com o My,(Tipo 2), ou seja comparar os momentos na horizontal e os momentos navertical.
1.10Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2Os furos distinguem-se das aberturas por terem dimenses pequenas em relao ao elemento
estrutural, observando-se que um conjunto de furos muito prximos deve ser tratado como
uma abertura.
Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na resistncia e
na deformao deve ser verificado e as condies seguintes devem ser respeitadas em
qualquer situao:
a) a seo do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve sercapaz de equilibrar os esforos no estado limite ltimo, correspondentes a essa seo
sem aberturas;
b) as sees das armaduras interrompidas devem ser substitudas por sees equivalentesde reforo, devidamente ancoradas;
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c) no caso de aberturas em regies prximas a pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, omodelo de clculo deve prever o equilbrio das foras cortantes atuantes nessas
regies.
As aberturas que atravessam lajes macias comuns, na direo de sua espessura devem ser
armadas em duas direes e verificadas, simultaneamente, as seguintes condies:
a) as dimenses da abertura devem corresponder no mximo a 1/10 do vo menor (lx).
Figura 1.10 Dimenses limites para aberturas de lajes com dispensa de verificao
b) a distncia entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual oumaior que 1/4 do vo, na direo considerada; e
c) a distncia entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menorvo.
Considerando o disposto no item 13.2.6 da NBR-6118 deve-se prever cuidados especiais no
caso de canalizaes atravessando a laje de fora a fora, na direo da espessura. Ascanalizaes destinadas passagem de fluidos com temperatura que se afaste de mais de 15C
da temperatura ambiente devero ser adequadamente isoladas e, as canalizaes destinadas a
suportar presses internas maiores que 0,3 MPa devero passar por furos (maiores que o
dimetro da tubulao) ou aberturas previamente feitos na laje.
x
y
ax
ay
x
y
xyax< 0,1 x
ay< 0,1 x
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2Organizao dos clculos e detalhamento da armadura.2.1Dispositivos auxiliares de clculoO projeto de uma estrutura, compreendendo a memria de clculo, os desenhos de forma, de
armao, assim como todas as anotaes sobre consideraes feitas no projeto, devem ser
guardadas para sempre. Vinte, trinta anos aps a execuo de uma obra, esta pode ser objeto
de uma reforma que implique em alteraes no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a
necessidade de se ter memrias de clculo de fcil entendimento, com todas as informaes
envolvidas na elaborao do projeto e da forma mais concisa possvel.
A seguir prope-se como exemplo, rotinas de clculo atravs de tabelas, que permitem asistematizao do clculo e uma melhor visualizao das informaes. Esta sistematizao
importante para o uso de planilhas eletrnicas. O modelo abaixo pode ser extendido at a
determinao dos momentos fletores e esforos cortantes
Laje Tipo y x 2 3 d h pp rev alv out. S.T. Acd TT
1 2 4,25 3,15 1,352 33-a --- 3,03-b --- 3,0
obs.:
Laje 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direo
pp peso prprio da laje pr metro quadrado.rev peso prprio do revestimentoalv peso prprio da alvenaria, quando houver carga de paredesout outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga
proveniente de base de mquinas, etc.S.T. subtotal - ou soma das cargas permanentesacd sobrecarga ou carga acidentalTT carga total por metro quadrado atuante na laje
Este tipo de tabela pode ser adaptado s convenincias do calculista e ampliado para a
determinao dos esforos solicitantes (momentos fletores e reaes de apoio). O uso de
planilhas de cculo facilita bastante este trabalho.
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2.2Determinao dos esforos.A partir da planta de forma, as lajes so destacadas uma a uma, conservando as suas
vinculaes originais. O clculo ento realizado como se as lajes fossem todas isoladas.
A seguir exemplificado o procedimento de clculo, a partir do esboo de planta de forma
apresentado. Os traos mais escuros representam o nvel do pavimento. Neste esquema
apresentado, as lajes L1, L2e L4esto niveladas e a laje L3est rebaixada.
Os pilares P5, P6, ..., P12e as vigas V102, V103, ..., V109sero desenhados de forma anloga aos
pilares P1a P4e viga V101 respectivamente, observando que a numerao dos pilares da
esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas da esquerda para a direita, de cima
para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as
verticais).
Figura 2.1 Esboo da planta de forma do pavimento de uma edificao.
Deve-se observar que:
a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e lyesto colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que
deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3.
a laje 3 est rebaixada, conforme a representao na planta de forma, sendo portantouma laje Tipo 1.
A partir da planta de forma feita a discretizao das lajes, destacando-se uma a uma, para a
obteno das lajes isoladas e suas vinculaes. A figura a seguir ilustra este processo
L1 L2 L3 L4H=8cm H=9,5cm H=8cm H=8,0cm
a b c d
e
f g
L5 L6 L7H=8cm H=8,0cm H=9,5cm
P1(12x30) P2(12x30) P3(12x40) V101(12x35) P4(12x25)
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Figura 2.2 Destaque das lajes constituintes da planta de forma.
Aps a determinao dos esforos em cada uma das lajes (momentos fletores e reaes de
apoio), calculados como se fossem isoladas (a laje 02 dever ser calculada como tipo 3 e
como tipo 5), torna-se necessrio o reagrupamento destas lajes, conforme a situao
original, pois, necessrio que se considere o efeito de cada uma das lajes sobre as que a
cercam. o que chamamos de compensao dos momentos fletores.
Acabamos de ver uma situao de laje rebaixada. A laje 03 est abaixo do nvel do
pavimento. Em relao s lajes, as vigas podem ser Normais, invertidas ou intermedirias.
Veja os esquemas:
Figura 2.3 Posicionamentos entre lajes e vigas
Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham melhor o
processo de execuo.
y
L1
x
y
L2
x
x
L3y
x
L4
y
y
L5
x
y
L6
x
x
L7
y
Laje normal Laje rebaixada Laje rebaixada
Viga normal Viga invertida Viga intermediria
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Figura 2.4 Formas para Viga Normal. A laje est sobre a viga.
Figura 2.5 Formas para Viga Invertida. A laje est sob a viga.
A situao tpica de lajes rebaixadas so as lajes de banheiro onde se tem a tubulao de
esgoto da bacia sanitria de 10 cm fazendo uma curva de 90, e ralos sifonados. Esta soluo
atualmente est em desuso, com a utilizao dos forros falsos. Os rebaixos de banheiros
devem ser de no mnimo 25 cm.
Figura 2.6 Forma para Viga Intermediria. A laje est a meia altura da viga.
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A situao tpica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 1,5 a 4 cm, so as lajes de
terrao. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de gua no outro
ambiente.
Figura 2.7 Viga Normal. Forma para laje laje em balano (beiral)
Figura 2.8 Estrado de uma laje visto por baixo.
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2.2.1Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados)A representao esquemtica dos momentos fletores nas lajes feita conforme a figura abaixo
Planta dos Momentos Fletores no Compensados. A partir destes momentos fletores feita a compensao.
Figura 2.9 Momentos fletores no compensados.
2.2.2Compensao dos momentos fletoresA compensao dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, um processo
bastante simplificado, rpido e que fornece resultados razoavelmente prximos dos reais,
desde que se observe algumas restries:
a carga permanente deve ser maior que a acidental, carregamento das lajes deve ser simultneo e com carga total, as lajes devem ter rigidez e vos que no difiram muito entre si, os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza (Mfmaior2 x Mfmenor)
Ao contrario das vigas contnuas, onde ocorre a propagao dos momentos ao longo dos
tramos, nas lajes esta propagao no ser considerada. A compensao ser feita uma a uma,
independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6e L7, a compensao das
lajes L5e L6poder alterar o momento fletor Mx(o momento na direo horizontal), mas ao
se fazer a compensao das lajes L6e L7, devem ser tomados todos os valores originais, comose a compensao L5e L6no tivesse sido realizada.
Mx
My
MxMy
My
Mx
Mx
My
Mx
My
Xx
XyXy
XyXy
Mx
Mx
XxXx
MyXx
Xx XxMy
Xx
Xy
-
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Atravs da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensao. Tomando como
exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o n a ser compensado e os esforos
envolvidos na compensao. Pela laje L1tem-se o momento positivo Mx1e o negativo Xx1e
pela laje L2os momentos Mx1e Xx1positivo e negativo respectivamente. Em tracejado est o
diagrama de momentos compensado com os esforos Mx1*, X*e Mx2
*
Figura 2.10 Compensao dos momentos fletores
O processo de compensao, bastante simplificado, ser:
1 2*
1
20,8
x x
x
X X
X
X
+
*1 0,5.xX X = = 2.1
Com estas correes altera-se os valores dos momentos positivos, que tambm sero
corrigidos, somando-se =/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez
que o diagrama de momento fletor da laje L1 desceu, reduzindo o momento negativo e
aumentando o momento positivo. Ao contrario, o diagrama de momento fletor da laje L 2
subiu, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo
neste caso, a reduo desprezada, a favor a segurana, ou seja, sendo Xx1o maior momento
fletor, somente a laje que o contm ter seu momento fletor positivo majorado.
Se os momentos no forem da mesma ordem de grandeza (Mfmaior> 2 x Mfmenor) o lado da
laje do momento maior considerado apoiado e o da laje de momento menor considerado
engastado.
1
2
Mx1Mx1
*
Mx2*
Mx2
Xx1X*
Xx2
= Xx1- X*1= / 2
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Figura 2.11 Momentos fletores compensados
Como j foi dito anteriormente, estas compensaes sero feitas caso a caso, (n a n), como
se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando for feita a
compensao das lajes L2 e L7, sero utilizados os momentos Mx2, Xx2, Xx7 e Mx7,
independente de o momento Mx2ter sido alterado ou no na compensao das lajes L1e L2.
Dessa forma pode acontecer de a laje L2apresentar dois momentos Mx2*, tomando-se neste
caso o maior dos dois.
2.3Dimensionamento e detalhamento da armaduraA partir dos momentos fletores compensados, as lajes sero dimensionadas flexo, como
vigas fictcias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem tomados na escolha
das bitolas, alm daqueles prescritos em norma, so utilizar apenas uma bitola para a armao
dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armao dos momentos fletores
negativos, que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou no.
Desta forma, esforos diferentes implicaro na utilizao da mesma bitola com espaamentos
diferentes. Isto importante para a fiscalizao, antes da concretagem, pois bitolas de 5,0 mm
podem induzir a erros quando utilizadas juntamente com a de 6,3 mm.
Para a armadura das lajes usa-se uma tabela de ferros feita especificamente para esse tipo de
armao, onde adotado o dimetro da armadura, na coluna correspondente a esse dimetro
busca-se o momento fletor maior ou igual ao calculado, obtendo-se o espaamento
correspondente da armadura.
Mx
Mx
My
My
Mx
My
Mx
My*
Mx
My
X56
X26X15
Mx
MxX67
My
X47
X12My
X27
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Tabela 2.1 - Tabela de ferros para lajes
espaamento As (cm2)cm 5,0 mm 6,3 mm 8,0 mm 10,0 mm
5,0 3,64 5,60 8,62 13,335,5 3,33 5,14 7,94 12,316,0 3,08 4,75 7,35 11,436,5 2,86 4,42 6,85 10,677,0 2,67 4,13 6,41 10,007,5 2,50 3,87 6,02 9,418,0 2,35 3,65 5,68 8,898,5 2,22 3,45 5,38 8,429,0 2,11 3,27 5,10 8,009,5 2,00 3,11 4,85 7,62
10,0 1,90 2,96 4,63 7,2710,5 1,82 2,83 4,42 6,9611,0 1,74 2,71 4,24 6,6711,5 1,67 2,60 4,07 6,4012,0 1,60 2,49 3,91 6,1512,5 1,54 2,40 3,76 5,9313,0 1,48 2,31 3,62 5,7113,5 1,43 2,23 3,50 5,5214,0 1,38 2,15 3,38 5,3314,5 1,33 2,08 3,27 5,16
15,0 1,29 2,02 3,16 5,0015,5 1,25 1,95 3,07 4,8516,0 1,21 1,89 2,98 4,7116,5 1,18 1,84 2,89 4,5717,0 1,14 1,79 2,81 4,4417,5 1,11 1,74 2,73 4,3218,0 1,08 1,69 2,66 4,2118,5 1,05 1,65 2,59 4,1019,0 1,03 1,60 2,53 4,0019,5 1,00 1,56 2,46 3,9020,0 0,98 1,53 2,40 3,81
2.3.1Armaduras mnimasPara melhorar o desempenho e a dutilidade flexo e puno (assim como controle da
fissurao) so estabelecidos valores mnimos para a armadura passiva. Essa armadura deve
ser constituda preferencialmente por barras com alta aderncia ou por telas soldadas.
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Tabela 2.2 Valores mnimos para armaduras passivas aderentes
NBR 6118 item 19.3.3.2 Tabela 19.1
Armadura de lajes Concreto armado
Armaduras negativas smin
Armaduras positivas (lajes armadas em cruz) s0,67.min
Armadura positiva (principal, lajes em uma direo) smin
Armadura positiva (secundria, lajes armadas em
uma direo (armadura de distribuio).
As/s 20 % da armadura principal
As/s 0,9 cm2/m
s0,5 min
Onde:.s
s
A
bw h =
min dado na Tabela 2.2, e
s o espaamento das barras
Os valores de minso apresentados na Tabela 2.2 (Tabela 17.3 da NBR 6118).
Tabela 2.3 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas de seo retangular.
NBR 6118 item 17.3.5 Tabela 17.3
Valores de min= As,min/Ac(%)
fckmn
20 25 30 35 40 45 50
0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
Valores de minestabelecidos para ao CA-50, c= 1,4 e s= 1,15.
min= taxa mecnica mnima de armadura longitudinal
para valores diferentes de fck, fyk, c, e s min min . cdyd
ff
=
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2.3.1.1Disposies gerais de detalhamento (NBR 6118 item 20).O dimetro no mximo das barras da armadura de flexo deve ser h/8.
O espaamento mximo (s) das barras da armadura principal de flexo na regio dos maiores
momentos fletores deve ser a 2h ou 20 cm.
Nas lajes armadas em uma direo a armadura secundria de flexo deve ser 20% da
armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaamento entre barras de, no mximo, 33 cm
(mnimo de trs barras por metro).
Em bordas livres e junto s aberturas devem ser respeitadas as prescries mnimas conforme
disposto na Figura 2.12.
Figura 2.12 - Bordas livres e abertura (Figura 20.1 da NBR 6118)
As armaduras positivas devem ser distribudas de modo a cobrir a superfcie de momentos
fletores, o que impraticvel pois as tabelas geralmente s fornecem valores correspondentes
s faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os
casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuio.
A prtica tem consagrado uma simplificao, onde os comprimentos das barras (que j inclui
os comprimentos de ancoragem) so dados em funo do vo em ser disposta a armadura.
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importante observar que, com tais esquemas de distribuio das armaduras, a zona central
fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As, indicando que o critrio
satisfatrio.
Figura 2.13 - Disposio da armadura positiva e comprimento das barras em lajes.
Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifcios submetidas a cargas
uniformemente distribudas e cargas acidentais (q) inferiores s permanentes (g), as barras da
armadura principal sobre os apoios devero estender-se de acordo com o diagrama triangular
de momentos (considerado j deslocado) de base igual ao valor adiante indicado:
a) Em Lajes atuando em duas direes ortogonais:
Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras trs bordas livremente apoiadaou engastada, 0,25 do menor vo.
Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vos menores das lajescontnuas.
b) Em lajes atuando em uma s direo.
Em uma borda engastada, 0,25 do vo.
A prtica tem consagrado como simplificao, o detalhamento da armadura apresentado na
Figura 2.14, onde o comprimento reto da barra 3/4 do intervalo (0,5 2), intercalando-se as
armaduras, esquerda e direita. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona
central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critrio
satisfatrio.
c = 0,85
c = 0,80
c = 0,75
c=
0,8
5
y
c = 0,80
x
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Figura 2.14 - Disposio da armadura negativa e comprimento das barras em lajes.
Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas devem-se dispor armaduras
negativas com a finalidade de limitar a fissurao. Recomenda-se o detalhamento da armadura
positiva, conforme proposto na Figura 2.15, observando-se que o esquema proposto no
detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas
Figura 2.15 - Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas.
Observaes:
Em uma planta de armao, sempre que um ferro for idntico a outro (mesmageometria, comprimentos etc.) tero o mesmo nmero. por este motivo que os ferros
verticais de ambas as lajes recebem a denominao N1.
Cada um dos ferros horizontais est recebendo um nmero diferente, uma vez que, oudiferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos.
Os ferros so sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar como seprocede o intercalamento.
Observe que se todas as barras fossem espaadas a 15 cm, para N1 no desenho seriacolocado Q1N1c/15, Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, est sendo indicado que o
par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros conjuntos so formados pelabarras N2/N3 e N4/N5 intercaladas.
1/8 2
1 2
3
1> 2> 30,25 2 0,25 2
1 2
30,5 2
N1 N1
N2 N4
N3 N5
Detalhe A20 % do vo
Ganchoh 3 cm
Barras N1Barras N2Barras N5
Barras N3Barras N4
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Importante:
Quando se tratar de lajes contnuas com diferentes condies de apoio no lado comum, (lajes
com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje considerada deve
prolongar-se na laje vizinha, pelo menos at o ponto onde se possa prever que o momento
fletor negativo, na direo considerada, mude o sinal.
2.4Detalhes de Formas e armao de lajes
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errado certo
certoerrado
Desta forma maiseconmico
Mas tambm pode serfeito assim
h
2h
2h
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2.5Cisalhamento em lajesAs placas (lajes) tm uma boa resistncia ao esforo cortante e, as lajes comuns de edifcios,
salvo situaes extraordinrias de carregamento, no so armadas ao cisalhamento. A NBR6118 item 9.4 estabelece que quando a fora cortante de clculo for menor ou igual fora
resistente ao cisalhamento de projeto, as lajes macias ou nervuradas podem prescindir dessa
armadura transversal.
1Sd Rd V V
A resistncia de projeto ao cisalhamento dada por:
( )1 1. . 1, 2 40. 0,15. . .Rd Rd cp wV k b d = + +
Obs.: Sdcpc
NA
= , NSd a fora longitudinal na seo (protenso ou carregamento).
( )1 1. . 1, 2 40. . .Rd Rd wV k b d = + concreto armado (sem foras longitudinais)
onde: Rd= 0,25 fctd
2 3,inf 2 30,7. 0,7.0,3. 0,21
.ctk ctm ck
ctd ctd ck c c c c
f f f
f f f = = = =
k = |1| quando 50 % da armadura inferior no chega at o apoio:
k = |1,6 d| |1| com d em metros; para os demais casos.
11 0,02.
s
w
A
b d =
fctd a resistncia de clculo do concreto ao cisalhamento;
As1 a rea da armadura de trao
bw a largura mnima da seo ao longo da altura til d;
Quando da verificao de elementos sem armadura de cisalhamento a resistncia de clculo
VRd2 dada por:
2 10,5. . . .0,9.Rd v cd wV f b d = onde: v1= (0,7 fck/200) 0,5.
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3Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito
2
1 2
Pabm = +
2
2 2
Pa bm =
( )2 21 2 12 312ps
m ab s b = + +
( )2 22 2 12 312ps
m a b s a = +
( )
22
1 2 2 3 4 312
psm s s = + + ( )
3
2 2 4 312
psm s=
2
1 12
pm = +
2
2 12
pm =
( )/22bPab
m +=
( )/ 22 48Pbs
m a b s = +
( )2
2/2
2
8
Psm s=
( )2
/ 2 22
28
Psm s=
2/
8
Pm =
a bP
s/2 s/2
a b
p
s p
p
ps
s/2 s/2
a b
p
s p
sp
a b
P