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Teorema de Pitgoras e

reas

Eduardo Wagner

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Texto j revisado pela nova ortografia.

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Sobre o Autor

Eduardo Wagner formado em engenharia pela UFRJ e mestre em

matemtica pelo IMPA. Como professor de matemtica, atua tanto no

Ensino Mdio quanto no superior. Suas atividades com olimpadas de

Matemtica comearam em 1989, tendo sido coordenador da Olimpa-

da de Matemtica do Estado do Rio de Janeiro por trs anos e da

Olimpada Brasileira de Matemtica por cinco anos, participando

at hoje como membro da Comisso da OBM, da sua organizao

e desenvolvimento. Tambm tem desempenhando a funo de lder

da delegao brasileira em diversas olimpadas internacionais. Desde

1991 professor do Programa de Aperfeioamento de Professores pro-

movido pelo IMPA e tambm membro do Comit Editorial da Re-

vista do Professor de Matemtica publicada pela SBM. autor de

diversos livros dentre os quais seis volumes da Coleo do professor

de Matemtica, publicada pela SBM e de uma extensa coleo de

artigos publicados na RPM e em outras revistas especializadas.

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Sumrio

1 O Teorema de Pitgoras 1

1.1 Leia um Pouco da Histria . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 O Enunciado do Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . 4

1.3 A Recproca do Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . 8

1.4 Ternos Pitagricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Generalizando o Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . 12

1.6 Construes Geomtricas e o Tringulo Retngulo . . 13

1.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 reas 24

2.1 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Nmero pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Solues dos Problemas 55

3.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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ii SUMRIO

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Antes de comearEste pequeno livro dedicado a dois temas de geometria da maior

importncia: o Teorema de Pitgoras e as reas. Estes dois assuntos,

que possuem forte conexo, so abordados em geral na 9o ano do En-

sino Fundamental, de forma bastante breve e em nvel naturalmente

adequado aos alunos dessa faixa etria. Como estes temas no so

normalmente retomados no Ensino Mdio, grande parte dos alunos

no tem oportunidade de conhecer a enorme riqueza das aplicaes,

muitas por vezes, surpreendentes.

O Teorema de Pitgoras aparece com um pouco de seu contexto

histrico, algumas demonstraes e importantes generalizaes. Apre-

sentamos tambm algumas construes geomtricas associadas ao

tringulo retngulo com a finalidade principal de despertar a cu-

riosidade dos leitores para as construes com rgua e compasso que

fornecem situaes muito educativas, intrigantes e desafiadoras.

O captulo sobre reas, alm de conter todo o material necessrio

para a obteno das frmulas das figuras simples, inclui propriedades

que permitem realizar demonstraes de diversos teoremas usando o

conceito de rea como ferramenta. O captulo termina com a rea do

crculo e uma bastante precisa apresentao do nmero pi.

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Captulo 1

O Teorema de Pitgoras

1.1 Leia um Pouco da Histria

Pitgoras (c.569 c.480 a.C.) nasceu na ilha de Samos, perto de

Mileto onde 50 anos antes tinha nascido Tales. Foi a partir das ideias

desses dois grandes personagens que a Matemtica se inicia como

cincia e pode se desenvolver enormemente nos sculos seguintes.

Pitgoras viajou bastante. Esteve no Egito e na Babilnia (talvez

tenha ido at a ndia) onde absorveu os conhecimentos matemticos e

as ideias religiosas de cada regio. Voltando ao mundo grego, fundou

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2 CAP. 1: O TEOREMA DE PITGORAS

em Crotona (sudeste da Itlia de hoje) uma escola, na verdade uma

sociedade secreta, dedicada ao estudo da Matemtica e Filosofia, prin-

cipalmente. Como todos os documentos daquela poca se perderam,

tudo o que sabemos veio atravs de referncias de outros autores que

viveram sculos depois. Por isso, Pitgoras uma figura obscura na

histria da Matemtica e, para dificultar ainda mais as coisas, a sua

escola, alm de secreta, era comunitria, ou seja, todo o conhecimento

e todas as descobertas eram comuns, pertenciam a todos. Assim, no

sabemos sequer se foi o prprio Pitgoras que descobriu o teorema que

leva o seu nome, pois era comum naquela poca dar todo o crdito

de uma descoberta ao mestre. No conhecemos tambm qual foi a

demonstrao original, mas historiadores acreditam que deva ter sido

alguma usando reas.

O Teorema de Pitgoras um dos mais belos e importantes teo-

remas da Matemtica de todos os tempos e ocupa uma posio es-

pecial na histria do nosso conhecimento matemtico. Foi onde tudo

comeou. Desde o sculo 5 a.C. at o sculo 20 d.C. inmeras demons-

traes do Teorema de Pitgoras apareceram. Em 1940, o matemtico

americano E. S. Loomis publicou 370 demonstraes, mas ainda h

mais.

Antes de Pitgoras (Na Babilnia)

Temos provas concretas que os babilnios antigos conheciam o

Teorema de Pitgoras. Muitos tabletes de barro datados do perodo

de 1800 a 1600 a.C. foram encontrados, decifrados e hoje se encontram

em diversos museus. Um deles, chamado Plimpton 322 est na Uni-

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N SEC. 1.1: LEIA UM POUCO DA HISTRIA 3

versidade de Columbia e o fragmento que foi preservado mostra uma

tabela de 15 linhas e 3 colunas de nmeros. Os pesquisadores desco-

briram que esta tabela continha ternos pitagricos, ou seja, lados de

um tringulo retngulo. Como o que restou apenas um pedao de

um tablete, que deveria fazer parte de um conjunto de tabletes, no

se sabe como esses nmeros foram encontrados. Mas uma pista, que

os babilnios conheciam alguma forma de encontrar esses nmeros,

est em um tablete guardado hoje no Museu Britnico. Nesse tablete

est escrito o seguinte:

4 o comprimento

5 a diagonal

Qual a altura?

4 vezes 4 d 16

5 vezes 5 d 25

Tirando 16 de 25 o resto 9

Quanto vezes quanto devo tomar para ter 9?

3 vezes 3 d 9

3 a altura

Isto mostra, sem dvida, que os babilnios tinham conhecimento

da relao entre os lados de um tringulo retngulo. No h nenhuma

demonstrao, naturalmente, pois isto ainda estava longe de ser uma

preocupao dos matemticos da poca. Eles conheciam receitas que

davam certo e, com elas, resolviam inmeros problemas.

Um outro tablete que merece ateno est no museu da Univer-

sidade de Yale. o nico que contm figuras: um quadrado e suas

diagonais. Neste fragmento de tablete que se pode ver a seguir, o lado

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do quadrado tomado como igual a 30 e o comprimento da diagonal

aparece como 42, 25, 35.

Como os babilnios escreviam os nmeros na base 60, o compri-

mento da diagonal , na nossa notao decimal,

24 +25

60+

35

3 600= 42,4263889.

Isto, dividido por 30, d 1, 414213..., uma aproximao excepcional

para

2 com seis casas decimais corretas.

1.2 O Enunciado do Teorema de Pitgoras

Em qualquer tringulo retngulo, a rea do quadrado

cujo lado a hipotenusa igual soma das reas dos quadra-

dos que tm como lados cada um dos catetos.

Se a a medida da hipotenusa e se b e c so as medidas dos catetos,

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N SEC. 1.2: O ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITGORAS 5

o enunciado do Teorema de Pitgoras equivale a afirmar que

a2 = b2 + c2

Observando a figura acima, o Teorema de Pitgoras afirma que a

rea sombreada em tom mais claro igual rea mais escura.

Este fato no evidente! Muito pelo contrrio, misterioso e intri-

gante. Para que possamos nos convencer da verdade dessa afirmao,

precisamos de uma demonstrao. Vamos ver algumas.

A demonstrao clssica

Dado um tringulo retngulo de hipotenusa a e catetos b e c,

considere o quadrado cujo lado b + c.

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Na figura da esquerda, retiramos do quadrado de lado b + c quatro

tringulos iguais ao tringulo retngulo dado, restando um quadrado

de lado a. Na figura da direita, retiramos tambm do quadrado de

lado b + c os quatro tringulos iguais ao tringulo retngulo dado,

restando um quadrado de lado b e um quadrado de lado c. Logo, a

rea do quadrado de lado a igual soma das reas dos quadrados

cujos lados medem b e c.

Esta simples e engenhosa demonstrao pode ter sido a que os

pitagricos imaginaram.

A demonstrao que usa semelhana

Esta talvez seja a demonstrao mais frequente. A partir de um

tringulo ABC, retngulo em A, traamos a altura AH e verificamos

que os tringulos AHB e AHC so semelhantes ao tringulo ABC.

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N SEC. 1.2: O ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITGORAS 7

Da semelhana dos tringulos AHC e ABC temos b2 = am e, da

semelhana dos tringulos AHB e ABC, temos c2 = an. Somando

essas duas relaes membro a membro, encontramos:

b2 + c2 = am + an = a(m + n) = a a = a2.

Esta demonstrao a mais frequente hoje nas escolas porque per-

mite, com um nico e pequeno esforo, no s demonstrar o Teorema

de Pitgoras de forma bastante simples, como tambm encontrar as

relaes importantes do tringulo retngulo. Alm das duas relaes,

que deram origem demonstrao do teorema, obtemos a relao

bc = ah, que tambm se interpreta com o conceito de rea, e h2 = mn,

que revela o importante fato de que a altura mdia geomtrica entre

as projees dos catetos sobre a hipotenusa.

A demonstrao de Perigal

Henry Perigal, um livreiro em Londres, publicou em 1873 a de-

monstrao que se pode apreciar na figura a seguir. Trata-se da forma

mais evidente de mostrar que a soma das reas dos quadrados cons-

trudos sobre os catetos preenchem o quadrado construdo sobre a

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hipotenusa.

Perigal corta o quadrado construdo sobre o maior cateto por duas

retas passando pelo seu centro, uma paralela hipotenusa do trin-

gulo e outra perpendicular, dividindo esse quadrado em quatro partes

congruentes. Essas quatro partes e mais o quadrado construdo so-

bre o menor cateto, preenchem completamente o quadrado construdo

sobre a hipotenusa.

1.3 A Recproca do Teorema de Pitgoras

A pergunta agora : se a, b e c so reais positivos com a2 = b2 +c2

ser o tringulo de lados a, b, e c retngulo? Intuitivamente, pensamos

que sim. Mas, devemos demonstrar isto. Consideremos ento um

tringulo ABC com AB = c, BC = a e CA = b.

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N SEC. 1.3: A RECPROCA DO TEOREMA DE PITGORAS 9

1o caso: A < 90o

Imaginemos que b c. Assim, o ponto D, projeo de C sobre AB,cai no interior do lado AB. Sejam AD = x e CD = h.

Como o tringulo ADC retngulo, temos b2 = h2 + x2. Como o

tringulo BDC retngulo, temos:

a2 = h2 + (c x)2

a2 = b2 x2 + c2 2cx + x2

a2 = b2 + c2 2cx

ou seja, a2 < b2 + c2, que contradiz a condio inicial.

2o caso: A > 90o

Agora, o ponto D cai fora do lado AB.

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Os mesmos clculos que fizemos no caso anterior nos levam a

a2 = b2 + c2 + 2cx,

ou seja, a2 > b2 + c2, novamente contradizendo a condio inicial.

Demonstramos ento que em um tringulo ABC, de lados a, b e c,

A < 90o a2 < b2 + c2

A > 90o a2 > b2 + c2

Assim, a condio a2 = b2 + c2 implica necessariamente que A = 90o.

1.4 Ternos Pitagricos

O tringulo de lados 1, 3 e

10 retngulo? Sim, pois

(

10)2 = 12 + 32.

Durante toda a histria antiga e mesmo at hoje, temos curiosi-

dade em encontrar tringulos retngulos cujos lados so medidos por

nmeros inteiros. Todos ns sabemos que o tringulo de lados 3, 4 e

5 retngulo, mas voc sabia que o tringulo de lados 372, 925 e 997

retngulo? Possivelmente no, e eu tambm no o conhecia antes

de redigir estas notas. Este inclusive o tringulo retngulo de maior

permetro que tem lados menores que 1 000. Nossa curiosidade nos

leva a seguinte pergunta:

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N SEC. 1.4: TERNOS PITAGRICOS 11

Como encontrar tringulos retngulos cujos lados tenham medi-

das inteiras?

Definio. Sendo a, b e c inteiros positivos com b < c < a dizemos

que (b, c, a) um terno pitagrico se a2 = b2 + c2. Assim, (3, 4, 5) e

(5, 12, 13) so exemplos de ternos pitagricos.

Um terno pitagrico (b, c, a) chamado primitivo, quando b e c

so primos entre si, ou seja, quando mdc(b, c) = 1. Assim, (3, 4, 5)

um terno pitagrico primitivo. Naturalmente, qualquer terno da

forma (3k, 4k, 5k) com k inteiro e maior que 1 tambm pitagrico,

mas no primitivo.

Uma frmula que gera ternos pitagricos

Sendo m e n inteiros positivos com m > n considere:

b = m2 n2, c = 2mn, a = m2 + n2.

Veja que (b, c, a) um terno pitagrico pois:

b2 +c2 = (m2n2)2 +(2mn)2 = m4 +n4 +2m2n2 = (m2 +n2)2 = a2.

Assim, para qualquer escolha de nmeros inteiros m e n, o terno

(b, c, a) pitagrico. Por exemplo, para m = 7 e n = 4 encontramos

o terno pitagrico (33, 56, 65). Observe que, se nesta frmula voc

atribuir para m e n valores ambos pares ou ambos mpares, voc

encontrar um terno pitagrico no primitivo, pois todos os termos

do terno sero pares. Se a sua escolha de m e n conduzir a valores de

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b e c que sejam primos entre si, voc encontrar um terno pitagrico

primitivo. Esta frmula atribuda a Plato (sc.4 a.C.), mas existem

outras que voc ver nos exerccios.

1.5 Generalizando o Teorema de Pitgoras

O Teorema de Pitgoras afirma que a rea do quadrado construdo

sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo igual soma das reas

dos quadrados construdos sobre os catetos. Agora, imaginemos figu-

ras semelhantes quaisquer, construdas sobre os lados de um tringulo

retngulo.

Sejam ento A, B e C as reas de figuras semelhantes, construdas

sobre a hipotenusa a e sobre os catetos b e c de um tringulo retngulo,

como mostra a figura acima. Sabemos que a razo entre as reas

de figuras semelhantes igual ao quadrado da razo de semelhana.

Ento,A

B=

(ab

)2ou

A

a2=

B

b2

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N SEC. 1.6: CONSTRUES GEOMTRICAS E O TRINGULO RETNGULO 13

A

C=

(ac

)2ou

A

a2=

C

c2.

Portanto,A

a2=

B

b2=

C

c2.

Pela propriedade das propores, como a2 = b2 + c2, conclumos que

A = B+C. Isto quer dizer que, se figuras semelhantes so construdas

sobre os lados de um tringulo retngulo, a rea da figura construda

sobre a hipotenusa igual soma das reas das figuras construdas

sobre os catetos. Esta uma generalizao do teorema de Pitgoras.

1.6 Construes Geomtricas e o

Tringulo Retngulo

Construes iniciais

Construir um tringulo retngulo conhecendo dois de seus lados

no difcil.

a) Se os dois catetos so conhecidos, traamos duas semirretas per-

pendiculares e, com o compasso, transportamos sobre elas as

medidas dos catetos.

b) Se conhecemos a hipotenusa e um dos catetos, traamos no-

vamente as duas semirretas perpendiculares, assinalamos sobre

uma delas o cateto AC = b e, com centro em C, traamos uma

circunferncia de raio a, que determina na outra semirreta o

vrtice B.

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c) Suponha agora que se conhea a hipotenusa (BC = a) e a al-

tura relativa a ela (AH = h). Como o tringulo retngulo

pode ser inscrito em uma semicircunferncia cujo dimetro

a hipotenusa, fazemos o seguinte. Traamos a circunferncia

de dimetro BC = a e, sobre uma perpendicular reta BC

traamos o segmento PQ = h. A paralela a BC traada por Q

determina o vrtice A sobre a semicircunferncia.

A mdia aritmtica e a mdia geomtrica

Dados dois nmeros positivos x e y definimos a mdia aritmtica

e a mdia geomtrica deles da seguinte forma:

mdia aritmtica: A =x + y

2;

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mdia geomtrica: G =

xy.

Dados dois segmentos quaisquer, sejam x e y suas medidas. Pode-

mos visualizar estas duas mdias no desenho abaixo. O dimetro da

semicircunferncia x + y, o segmento que representa a mdia arit-

mtica o raio, e o segmento que representa a mdia geomtrica a

altura do tringulo retngulo que possui x e y como as projees dos

catetos sobre a hipotenusa. Ento G A e G = A equivale a x = y.

Vamos mostrar agora a soluo grfica de uma equao do tipo

x2 2ax + b2 = 0.

Inicialmente, explicaremos por que a equao est escrita desta forma.

Nas construes geomtricas, cada letra representa um segmento. Por

sua vez, cada segmento representa um nmero real positivo que a

sua medida em uma certa unidade. Antigamente, h dois mil anos,

no existia o conceito de nmero real. A palavra nmero signifi-

cava, na Grcia antiga, nmero natural. As fraes existiam, mas no

eram consideradas nmeros, eram apenas razes entre nmeros. De

qualquer forma, o que chamamos hoje de nmeros racionais, j exis-

tiam, mas os nmeros irracionais ainda estavam muito longe de serem

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descobertos. Para contornar esta dificuldade, os gregos imaginaram

uma soluo genial: representar todas as grandezas por segmentos

de reta. Eles, naturalmente, no conseguiam medir todos os segmen-

tos, porque no tinham nmeros suficientes, mas isto no importava.

Toda grandeza podia ser representada por um segmento de algum

tamanho. As operaes de adio e subtrao podem ser feitas com

segmentos. Um segmento pode ser multiplicado por um nmero na-

tural ou dividido em qualquer nmero de partes iguais.

As construes geomtricas nada mais so que operaes com seg-

mentos. Alm de somar, subtrair, multiplicar ou dividir por nmero

natural, o que mais se pode fazer com recursos exclusivamente grfi-

cos, usando basicamente a rgua e o compasso? Muita coisa, desde

que se perceba que regras so naturalmente impostas.

Em primeiro lugar, se a e b so segmentos, no existe nada, por

exemplo, que se represente por a2 + b. Isto porque a2 a rea de

um quadrado de lado a que, naturalmente, no pode ser somado com

um segmento. Portanto, contas que hoje fazemos sem preocupao

com nmeros naturais, no tinham significado no passado. Assim, a

equao x2 2ax + b2 = 0, que vamos resolver, tinha antigamente oseguinte significado.

Os segmentos a e b so dados. A soluo da equao o segmento x,

tal que a rea do quadrado de lado x somada com a rea do quadrado

de lado b igual rea do retngulo, cuja base o dobro de a e

cuja altura x. Para encontrar este segmento x vamos, inicialmente,

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aplicar a conhecida frmula da equao do segundo grau:

x =2a

(2a)2 4b22

= a

a2 b2.

Esta expresso fcil de construir, pois

a2 b2 representa um doscatetos de um tringulo retngulo que possui hipotenusa a e o outro

cateto igual a b. Portanto, dados dois segmentos a e b com

a > b construmos o tringulo ABC com cateto AC = b e hipotenusa

BC = a e as solues x1 e x2 da equao x2 2ax + b2 = 0 esto nafigura a seguir:

Nesta figura, AC = b, CB = a, BA = BD = BE =

a2 b2 e,portanto, CD = x1 = a

a2 b2 e CE = a +

a2 b2.

Segmentos do tipo a

n

Observe que, dado um segmento a, obter o segmento a

2 muito

fcil. Basta desenhar um tringulo retngulo com os dois catetos

iguais a a. A hipotenusa desse tringulo igual a a

2. Na figura a

seguir, mostramos que, traando segmentos de comprimento a, per-

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pendiculares hipotenusa de cada tringulo anterior, obtemos a se-

quncia de segmentos a

n, com n natural.

Construes com a unidade de medida

Dados os segmentos a e b, voc j sabe como construir, por exem-

plo, os segmentos 2a, b

3 e a

n. Perguntamos agora se, dado um

segmento a, possvel construir segmentos tipo

a ou a2. A res-

posta ao mesmo tempo no e sim. Observe que, nas construes

anteriores, os segmentos construdos eram independentes da unidade

de medida. Por exemplo, dados dois segmentos a e b, no h sequer

necessidade de estabelecer uma unidade de medida de comprimento

para conhecer

a2 + b2. Neste sentido, no se pode representar a por

um segmento. Se estabelecermos que a unidade de medida igual a

a, ento a2 = a, mas se estabelecermos que a unidade de medida

a metade de a, ento a2 o dobro de a. Fica claro ento que, para

representar

a ou a2 por segmentos, devemos estabelecer antes uma

unidade de medida, e saber que os resultados sero diferentes para

cada unidade escolhida.

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a) Dado o segmento a, para construir

a fazemos o seguinte. De-

senhamos na mesma reta os segmentos AB = 1 e BC = a.

Em seguida, desenhamos a semicircunferncia de dimetro AC

e o segmento BD = x, perpendicular a AC. fcil ver que

x =

1 a = a.

b) Dado o segmento a, para construir a2 fazemos o seguinte. Sobre

uma reta r, desenhamos o segmento AB = 1 e na perpendicular

a r passando por B desenhamos BD = a. A perpendicular a

AD passando por D encontra a reta r em C, e fcil ver que

BC = x = a2.

Observao. No possvel construir um segmento do tipo

a 3

2 nem com a unidade. Na verdade, s podemos construir

quando o ndice da raiz for potncia de 2.

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1.7 Problemas

1) Determine todos os tringulos retngulos cujos lados so inteiros

e esto em progresso aritmtica.

2) dado um quadrado ABCD de lado a. Determine o raio da

circunferncia que contm os vrtices A e B e tangente ao lado

CD.

3) O tringulo ABC tem lados AB =

12, BC = 4 e CA =

20.

Calcule a rea de ABC.

4) Os lados de um tringulo medem 3, 4 e x. Determine para que

valores de x esse tringulo obtusngulo.

5) Se b = 2k + 1, c = 2k2 +2k, a = 2k2 +2k +1, onde k um inteiro

positivo, mostre que (b, c, a) um terno pitagrico.

6) Os trs lados de um tringulo retngulo so nmeros inteiros. Um

dos catetos mede 17. Qual o permetro desse tringulo?

7) Em um tringulo retngulo de permetro p, a altura relativa

hipotenusa h. Calcule o comprimento da hipotenusa em funo

dos elementos dados.

8) Sendo b, c e h os catetos e a altura de um tringulo retngulo,

mostre que1

h2=

1

b2+

1

c2.

9) O antigo livro chins Jiuzhang suanshu contm 246 problemas.

Para a soluo de alguns, necessrio o uso do gou gu, ou seja,

do Teorema de Pitgoras. Veja um desses problemas traduzido

do Captulo 9 do Jiuzhang. No alto de um bambu vertical est

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N SEC. 1.7: PROBLEMAS 21

presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede

3 chih. Quando a corda esticada, sua extremidade toca no solo a

uma distncia de 8 chih do p do bambu. Que comprimento tem

o bambu?

10) Em um tringulo ABC, retngulo em A, trace a altura AH.

Mostre que a soma das reas dos crculos inscritos nos tringu-

los AHB e AHC igual a rea do crculo inscrito em ABC.

11) O problema de Hipcrates.

A figura a seguir mostra um tringulo retngulo e trs semicircun-

ferncias tendo os lados como dimetros. Mostre que a soma das

reas das duas lnulas sombreadas igual rea do tringulo.

12) Em um tringulo ABC, as medianas que partem de A e B so

perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, calcule AB.

13) Se b e c so os catetos de um tringulo retngulo de hipotenusa a

e altura h, mostre que b + c < a + h.

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14) O ponto P interior ao retngulo ABCD e tal que PA = 3,

PB = 4 e PC = 5. Calcule PD.

15) Determine o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo cujos

lados medem 6 cm, 6 cm e 4 cm.

16) Duas cordas perpendiculares AB e CD de uma circunferncia

cortam-se em P . Se PA = a, PB = b, e PC = c, calcule o

raio da circunferncia.

Construes Geomtricas

17) Dados os segmentos a, b e c, construa o segmento

x =

a2 + b2 c2.

18) Resolva graficamente: um retngulo tem 24 cm de permetro e

25 cm2 de rea. Construa este retngulo.

19) Dado um segmento de comprimento a, construa um segmento cujo

comprimento a

14.

20) Dados os segmentos a e b, construa x =

2a2 + 3b2.

21) Dados os segmentos a e b, construa o segmento x = 4

a4 + b4.

Mais difceis

22) Duas circunferncias de raios R e r so tangentes exteriormente e

so tangentes a uma reta t nos pontos A e B.

(a) Determine AB em funo dos dois raios.

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(b) Determine a seguir o raio de uma circunferncia que tan-

gente reta t e s duas circunferncias dadas

23) No tringulo ABC, retngulo em A, traam-se a altura AH e os

segmentos HE e HF , perpendiculares a AB e AC, respectiva-

mente. Se BE = p e CF = q, mostre que 3

p2 + 3

q2 =3

a2,

onde a a hipotenusa do tringulo ABC.

24) Um ponto P interior a um quadrado ABCD tal que PA = a,

PB = b e PC = b + c, onde os nmeros a, b e c satisfazem a

relao a2 = b2 + c2. Mostre que o ngulo BPC reto.

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Captulo 2

reasOs alunos, em geral, trabalham com reas desde muito cedo. Va-

mos ento, neste captulo, imaginar que as frmulas que calculam

reas das figuras simples como o quadrado, retngulo, paralelogramo,

tringulo e trapzio sejam conhecidas.

Inicialmente, daremos toda ateno ao tringulo. Conhecendo

bem o tringulo, no teremos dificuldade nos polgonos pois, afinal,

eles podem ser decompostos em tringulos. Com certeza, voc j sabe

calcular a rea de um tringulo, fazendo a metade do produto da base

pela altura.

1. A frmula tradicional.

S =ah

2

2. Se voc j conhece um pouco de trigonometria, a frmula seguinte

muito boa.

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N SEC. 2.1: PROPRIEDADES IMPORTANTES 25

S =1

2ab sen

3. Quando os trs lados so conhecidos, calcular a altura ou um

dos ngulos d algum trabalho. Nesse momento, a frmula de

Heron tima (no daremos aqui a demonstrao dela).

S =

p(p a)(p b)(p c)

onde p =a + b + c

2

Vamos tratar agora do mais importante: as propriedades.

2.1 Propriedades Importantes

Propriedade 1

A rea de um tringulo no se altera quando sua base permanece

fixa e o terceiro vrtice percorre uma reta paralela base.

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26 CAP. 2: REAS

Na figura acima, a reta r paralela a BC. Os tringulos ABC e

ABC tm mesma rea, pois possuem mesma base e mesma altura.

Propriedade 2

Em um tringulo, uma mediana divide sua rea em partes iguais.

S1 = S2

De fato, os dois tringulos interiores possuem mesma base e mesma

altura. Logo, possuem mesma rea.

Quando duas figuras possuem mesma rea, dizemos que elas so

equivalentes. Portanto, o enunciado desta propriedade pode ser: Uma

mediana divide o tringulo em dois outros equivalentes.

Antes de prosseguir com as propriedades, vamos resolver dois exer-

ccios cujos enunciados no so comuns nos livros didticos atuais.

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Exerccio 1

O tringulo ABC da figura abaixo tem rea igual a 30. O lado

BC est dividido em quatro partes iguais, pelos pontos D, E e F , e

o lado AC est dividido em trs partes iguais pelos pontos G e H.

Qual a rea do tringulo GDE?

Soluo: Observe o tringulo ABC com as cevianas BG e BH.

Pela propriedade 2 os tringulos BAG, BGH e BHC tm mesma

rea. Cada um tem, portanto, rea igual a 10 e o tringulo BGC tem

rea igual a 20.

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28 CAP. 2: REAS

Observe agora o tringulo BGC com as cevianas GD, GE e GF .

Pela mesma propriedade, os tringulos GBD, GDE, GEF e GFC

tm mesma rea. Logo, cada um deles tem rea 5. A rea do tringulo

GDE igual a 5.

Repare que a soluo do problema no necessitou de frmulas.

Uma propriedade simples e convenientemente aplicada resolveu a ques-

to. Vamos ver outro problema.

Exerccio 2

dado um tringulo ABC e um ponto P do lado AC mais prximo

de A que de C. Traar uma reta por P que divida o tringulo ABC

em duas partes de mesma rea.

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Soluo: Faamos o seguinte. Trace BP e uma paralela a BP por A

que encontra a reta BC em D.

Os tringulos ABP e DBP tm reas iguais pela propriedade 1.

Assim, o tringulo PDC tem mesma rea que o tringulo ABC. Mas,

tomando o ponto mdio M de DC, a reta PM divide PDC em duas

partes de mesma rea (propriedade 2). Logo, PM divide tambm

ABC em duas partes de mesma rea.

Vamos continuar com mais duas propriedades importantes.

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30 CAP. 2: REAS

Propriedade 3

Se dois tringulos tm mesma altura, ento a razo entre suas

reas igual razo entre suas bases. A afirmao acima tem com-

provao imediata a partir da frmula que calcula a rea do tringulo.

S

S=

a

a

Propriedade 4

A razo entre as reas de tringulos semelhantes igual ao quadrado

da razo de semelhana.

Observe, na figura a seguir, dois tringulos semelhantes com bases

a e a e alturas h e h.

Como so semelhantes, a razo entre as bases a mesma razo entre

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as alturas. Esse nmero a razo de semelhana das duas figuras:

k =a

a=

h

h.

Porm, se S e S so as reas dos dois tringulos temos:

S

S=

ah/2

ah/2=

a

a hh

= k k = k2.

Vejamos um exemplo simples.

Os dois tringulos da figura abaixo so semelhantes. Se a rea do

menor igual a 8, qual a rea do maior?

Para esta pergunta, alunos tm uma tendncia irresistvel de respon-

der rapidamente que a rea do tringulo maior 24. Porm, isto no

verdade. A razo de semelhana dos dois tringulos k = 1/3 e,

portanto, a razo entre suas reas 1/9. Da, se a rea do menor

igual a 8, a rea do maior 72.

Voc pode ver esta relao na figura a seguir. Realmente, o trin-

gulo pequeno cabe 9 vezes dentro do grande.

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32 CAP. 2: REAS

A propriedade 4, que mostramos para tringulos, vale natural-

mente para polgonos, pois estes podem ser divididos em tringulos.

Mas, importante saber que esta propriedade vale para quaisquer

figuras semelhantes.

A razo entre as reas de figuras semelhantes quaisquer igual ao

quadrado da razo de semelhana.

O exerccio a seguir, caiu em um vestibular da FGV-RJ.

Exerccio 3

Em algum momento, na primeira metade do sculo passado, uma

pessoa chamada Afrnio tinha um valioso terreno desocupado, perto

do centro da cidade do Rio de Janeiro. Com a urbanizao da cidade,

ruas novas foram abertas e o terreno de Afrnio ficou reduzido a

um tringulo ABC, retngulo em B, ainda de grande valor, pois o

lado AB media 156 metros. Pois bem, Afrnio morreu e em seu

testamento os advogados encontraram as instrues para dividir o

terreno igualmente entre seus dois filhos. Era assim: um muro

deve ser construdo perpendicularmente ao lado AB, de forma que

os dois terrenos resultantes da diviso tenham mesmo valor; o que

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tem a forma de um trapzio ser do meu filho mais velho e o outro

ser do mais novo.

Os advogados concluram que os terrenos deviam ter mesma rea,

pois o testamento dizia que deveriam ter mesmo valor. Mas no foram

capazes de decidir em que posio deveria ficar o muro. Conta meu

av que o episdio ganhou as pginas dos jornais por vrios dias, com

leitores opinando de diversas maneiras sobre a posio correta do

muro. Ele falava e se divertia muito com as opinies absurdas mas,

ao mesmo tempo, me instigava a resolver o problema. E o problema

retorna para vocs.

Em que posio, relativamente ao lado AB do terreno, o muro

deve ser construdo?

Soluo:

Na figura acima, MN o muro que deve ser construdo perpendicu-

larmente ao lado AB. Seja AM = x, de forma que o tringulo AMN

e o trapzio MBCN tenham mesma rea S. Os tringulos AMN

e ABC so semelhantes e a razo de semelhana entre eles x/156.

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34 CAP. 2: REAS

Como a razo entre suas reas o quadrado da razo de semelhana

devemos ter:S

2S=

( x156

)2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados ficamos com

12

=x

156

o que d x = 78

2 = 110. Temos a soluo. O muro deve serconstrudo a 110 metros de A. As reas dos dois terrenos sero iguais

e Afrnio ficar feliz em ver sua vontade atendida.

A construo geomtrica do exerccio 3

Acabamos de resolver o problema da diviso do terreno em duas

partes de mesma rea. Mas como poderemos fazer isto utilizando

apenas a rgua e o compasso? Imagine que o engenheiro tem a planta

do terreno e deseja desenhar o muro na posio exata, sem contas,

sem aproximaes. Vamos ver como se faz isto.

Resolva o problema novamente considerando AB= 2a. Voc vai

encontrar AM = a

2. Faa ento o seguinte. Pelo ponto P , mdio

de AB trace uma perpendicular PQ a AB de comprimento a como

na figura seguinte:

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Como AQ = a

2, transfira com o compasso essa medida para a reta

AB, encontrando a posio exata de M .

Exerccio 4

As medianas de um tringulo dividem esse tringulo em 6 outros

tringulos. Mostre que todos tm mesma rea.

Soluo: Representemos por (ABC) a rea de um tringulo ABC.

Seja (ABC) = S. O ponto de interseo das medianas G, o

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36 CAP. 2: REAS

baricentro. Sabemos que BG = 2/3 BN . Logo,

(ABC) =2

3(ABN) =

2

3 S

2=

S

3.

Analogamente, (BCG) = (CAG) = S/3. Mas GP mediana no

tringulo ABG. Da, (APG) = (BPG) = S/6. Assim, os seis trin-

gulos tm rea S/6.

Usando reas

O estudante pensa, em geral, que um problema sobre reas signi-

fica sempre calcular a rea de alguma figura. Na verdade no s isso.

A ferramenta rea pode ser usada na soluo de diversos problemas

de geometria plana de aparncia algo complicada. Veja um exemplo.

Exerccio 5

A figura a seguir mostra um trapzio com bases medindo 20 cm e

14 cm e com os outros dois lados medindo 5 cm cada um. Duas

circunferncias com centros A e B so tangentes s bases, uma ao

lado esquerdo e outra ao lado direito. Pergunta-se qual o compri-

mento do segmento AB.

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Soluo: Vamos inicialmente calcular a altura do trapzio, que o

dimetro de cada circunferncia. Dividindo o trapzio em um retn-

gulo e dois tringulos retngulos iguais, temos a evidente situao

seguinte:

A altura do trapzio mede 4 cm e o raio de cada circunferncia

mede 2 cm. Vamos agora ligar os dois vrtices da esquerda ao ponto

A e os dois vrtices da direita ao ponto B. Vemos agora o trapzio

original dividido em dois outros trapzios e dois tringulos iguais.

Lembrando que a rea do trapzio o produto da base mdia

pela altura e observando que os dois tringulos de vrtices A e B tm

base igual a 5 e altura igual a 2, vamos escrever a equao que diz

que a soma das reas dessas quatro figuras igual rea do trapzio

original. Fazendo AB = x, temos:

(20 + x) 22

+(14 + x) 2

2+ 2 5 2

2=

(20 + 14) 42

.

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38 CAP. 2: REAS

Isto d x = 12, resolvendo nosso problema.

claro que outra forma de resolver pode ser conseguida com ou-

tros meios. O que desejamos enfatizar que a ferramenta rea

muitas vezes til para resolver problemas diversos. Nesse caso, ela

propiciou uma soluo limpa e elegante.

2.2 Nmero pi

O nmero pi a razo entre o comprimento de uma circunferncia

e seu dimetro. Esta razo d sempre o mesmo valor, ou seja, in-

depende da circunferncia, porque duas circunferncias quaisquer so

semelhantes. Todas as circunferncias so semelhantes entre si. Se C

o comprimento da circunferncia de raio R, ento por definio:

C

2R= pi.

Mas, o que o comprimento de uma circunferncia? Ns sabemos

o que o comprimento de um segmento, mas temos apenas uma ideia

intuitiva do que seja o comprimento de uma circunferncia. Podemos

pensar em passar um barbante bem fino em volta da circunferncia,

estic-lo e medir seu comprimento com uma rgua. Isto d uma boa

ideia do que seja o comprimento da circunferncia, mas este mtodo

experimental permite apenas avaliar (com pouca preciso) essa me-

dida. Vamos tornar mais preciso este conceito.

O comprimento da circunferncia , por definio, o nmero real

cujas aproximaes por falta so os permetros dos polgonos regu-

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N SEC. 2.2: NMERO pi 39

lares inscritos e cujas aproximaes por excesso so os permetros dos

polgonos regulares circunscritos.

Observe a figura anterior. Voc v uma circunferncia com um

dodecgono regular inscrito e outro circunscrito. Pense agora nesta

situao com polgonos regulares de n lados. Se C o comprimento da

circunferncia, pn o permetro do polgono inscrito e Pn o permetro

do circunscrito temos, por definio,

pn < C < Pn.

Quando n cresce, os valores de pn aumentam, os de Pn diminuem e

ambos se aproximam cada vez mais de C.

Sendo R o raio da circunferncia, as razespn2R

ePn2R

, quando n

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40 CAP. 2: REAS

cresce, vo se aproximando, uma por um lado e outra pelo outro, deC

2R, ou seja, de pi.

Veja, a seguir, estas aproximaes para alguns valores de n.

npn2R

Pn2R

6 3,00000 3,46411

12 3,10582 3,21540

24 3,13262 3,15967

48 3,13935 3,14609

96 3,14103 3,14272

192 3,14145 3,14188

384 3,14156 3,14167

Repare no quadro acima, que os valores das duas colunas vo

se aproximando, mas para polgonos de 384 lados s conseguimos

corretas as trs primeiras decimais.

O nmero pi um nmero irracional, aproximadamente igual a

3,1416. O uso da letra grega pi para representar a razo entre o

comprimento da circunferncia e seu dimetro deve-se a Euler, que

a adotou em 1 737. Mas esta razo sempre fascinou matemticos e

curiosos em toda a histria. Hoje conhecemos mais de cinco bilhes

de casas decimais de pi e os fanticos em computao vo em breve

aumentar em muito esse nmero.

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A rea do crculo

Continuando com a ideia dos polgonos, a rea do crculo o

nmero real cujas aproximaes por falta so as reas dos polgonos

regulares inscritos.

Imaginemos um polgono regular com n lados (n bem grande)

inscrito na circunferncia de raio R. Dividamos o polgono em trin-

gulos issceles iguais, todos com vrtice no centro da circunferncia.

Cada tringulo tem dois lados iguais a R, um lado igual a a, lado do

polgono, e altura h relativa a essa base.

A rea do polgono An = nah

2=

(na)h

2=

pnh

2, onde pn o

permetro do polgono. Quando n cresce indefinidamente, pn tende

ao comprimento da circunferncia e h tende ao raio. A rea do crculo

ento:

S =2piRR

2= piR2.

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42 CAP. 2: REAS

reas de setores circulares

Frequentemente precisaremos calcular reas de setores circulares.

Repare que a rea de um setor de um crculo proporcional ao ngulo

central, ou ainda, proporcional ao comprimento de seu arco. Para

justificar isto, basta observar que dobrando o ngulo central a rea

do setor dobra, triplicando o ngulo central a rea do setor triplica,

e assim por diante.

Assim, se o ngulo central tem medida em graus, a rea do

setor

S =

360piR2.

Por outro lado, como a rea do setor tambm proporcional ao

comprimento L do seu arco, podemos exprimir essa rea assim:

S =L

2piRpiR2 =

LR

2

uma frmula bastante interessante, pois d a idia de um tringulo

de base de comprimento L e altura R.

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Apndice

O Clculo de pi pelo Mtodo dos Polgonos

Os matemticos antigos, at o sculo 16 (e, portanto, antes da

inveno do Clculo), tentaram obter valores de pi usando polgonos

regulares inscritos na circunferncia com nmero de lados cada vez

maior. Vamos mostrar como faziam isto. A ideia era tomar um

polgono pequeno e ir dobrando o nmero de lados.

Na figura a seguir, ln = AB o lado do polgono regular de n

lados inscrito em uma circunferncia de raio 1. Se C o ponto mdio

do arco AB, ento AC = l2n o lado do polgono regular de 2n lados

inscrito na mesma circunferncia.

Sendo CD o dimetro, O o centro da circunferncia e P o ponto

de interseo de AB com CD temos, no tringulo retngulo ACD, a

relao AC2 = CD CP . Observe que AC = l2n e

OP =

1 (ln)

2

4=

1

2

4 (ln)2.

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44 CAP. 2: REAS

Da,

(l2n)2 = 2

(1 1

2

4 (ln)2

)= 2

4 (ln)2.

Assim,

l2n =

2

4 (ln)2.

Esta bela frmula permite calcular o lado de um polgono regular

de 2n lados inscrito em uma circunferncia de raio 1 em funo do

lado do polgono regular de n lados inscrito na mesma circunfern-

cia. Como o lado do quadrado inscrito na circunferncia de raio 1

l4 =

2, podemos facilmente prosseguir e encontrar:

l8 =

2

2

l16 =

2

2 +

2

l32 =

2

2 +

2 +

2

l64 =

2

2 +

2 +

2 +

2

e assim por diante. Repare que 64 = 26 e a expresso que calcula o

lado do polgono de 64 lados possui 5 radicais. L dentro o primeiro

sinal negativo e todos os outros so positivos. Como cada vez que

dobramos o nmero de lados acrescentamos mais um radical, o lado

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de um polgono regular de 2n+1 lados :

l2n+1 =

2

2 +

2 +

2 + com n radicais.

O permetro do polgono 2n+1 lados igual a 2n+1 l2n+1 , que tendea 2pi quando n cresce. Assim, aproximaes de pi podem ser obtidas

por:

pi = 2n

2

2 +

2 +

2 +

2

com n radicais na expresso acima.

O leitor que chegou at aqui deve estar pensando que pode calcu-

lar por este mtodo qualquer nmero de casas decimais de pi. Infeliz-

mente, isto no verdade. Seria, se o leitor tivesse uma calculadora

que trabalhasse com infinitas casas decimais. Mas esta calculadora

ainda no foi inventada. Observe que, na expresso acima, temos um

produto, onde o primeiro fator muito grande e o segundo muito

pequeno. Se a sua calculadora trabalha com, por exemplo, 12 dgi-

tos, no possvel aumentar muito o valor de n. O segundo fator

vai perdendo preciso e o resultado idem. Os matemticos antigos

calculavam essas razes manualmente, com um nmero absurdo de

casas decimais, para conseguirem obter umas poucas casas decimais

precisas de pi.

O recorde ainda est com L. van Ceulen que conseguiu 35 casas

decimais exatas. Como morreu logo em seguida, a viva mandou

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46 CAP. 2: REAS

gravar esse valor de pi em sua lpide:

3,14159265358979323846264338327950288

2.3 Problemas

1) Na figura a seguir, cada quadrcula representa uma unidade de

rea. Qual a rea do polgono que aparece no interior do qua-

driculado?

2) Observe a figura a seguir. Por um ponto da diagonal do retngulo

foram traadas paralelas a seus lados. Mostre que as reas dos

retngulos sombreados so iguais.

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3) Do pentgono ABCDE sabe-se o seguinte: A = E = 90o,

B = C = 120o, AB = CD = 4 e BC = 8. Calcule a rea

desse pentgono.

4) O tringulo ABC tem lados medindo 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule

sua rea e o raio da circunferncia inscrita.

5) No paralelogramo ABCD de rea 1, os pontos P , Q e R, nesta

ordem, dividem a diagonal AC em quatro partes iguais. Qual a

rea do tringulo DPQ?

6) No tringulo ABC de rea 1, as medianas BM e CN cortam-se

em G. Qual a rea do tringulo GMN?

7) Na figura a seguir, AD = 23AB e AE = 2

3AC. O segmento DE

divide o tringulo em duas partes: um tringulo de rea S1 e um

trapzio de rea S2. Qual destas duas reas maior?

8) Na figura a seguir, as retas r e s so paralelas e o segmento AB

perpendicular a ambas. Os segmentos AD e BC cortam-se em P .

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48 CAP. 2: REAS

(a) Mostre que as reas dos tringulos PAB e PCD so iguais.

(b) Dados AB = 10, BD = 7 e AC = 18, calcule a rea do

tringulo PDC.

9) No mximo, quantos tringulos equilteros de lado 1 cabem (sem

superposio) dentro de um hexgono regular de lado 12?

10) No interior do quadrado ABCD de lado 1 da figura abaixo foram

traadas as semicircunferncias de dimetros AB e BC. Qual o

valor da rea sombreada?

11) Abaixo voc v dois retngulos iguais. Colocando um sobre o

outro, como mostra a figura, determine se o retngulo de cima co-

briu mais da metade do retngulo de baixo, exatamente a metade

ou menos da metade.

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12) Usando apenas seus instrumentos de desenho, trace por P uma

reta que divida o quadriltero da figura abaixo em duas partes de

mesma rea.

13) ABCDEF um hexgono regular. Os pontos M , N e P so

mdios dos lados AB, CD e EF . Qual a razo entre a rea do

tringulo MNP e a rea do hexgono?

14) Um hexgono regular e um tringulo equiltero esto inscritos na

mesma circunferncia. Qual a razo entre as reas dessas duas

figuras?

15) A figura abaixo mostra um tringulo de altura 1 dividido por duas

retas paralelas sua base em trs partes de mesma rea. Qual a

altura do trapzio central?

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50 CAP. 2: REAS

16) Em qualquer tringulo ABC, mostre que sua rea

S =1

2AB AC senA.

17) Com os dados da figura abaixo, calcule a razo entre as reas A e

B.

18) A letra N da figura abaixo foi construda a partir de um retngulo

de base 10 e altura 12. Calcule sua rea.

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19) Seja ABCD um quadrado de lado 1 e sejam M e N os pontos

mdios dos lados BC e CD, respectivamente. Traando os seg-

mentos AM , AN e NB, calcule as reas das cinco partes em que

o quadrado ficou dividido.

20) O tringulo ABC da figura a seguir tem rea igual a 1. Cada um

de seus lados foi dividido em trs partes iguais. Calcule a rea do

tringulo sombreado.

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52 CAP. 2: REAS

21) No manuscrito de Aryabhatiya do sculo VI encontrou-se a seguinte

afirmao: Some 4 a 100, multiplique por 8 e some 62 000. O re-

sultado aproximadamente a circunferncia do crculo de dimetro

20 000. Qual o valor de pi que est implcito nesta afirmao?

22) Na figura a seguir, os ngulos BAD e DAC so iguais a 60o,

AB = 6 e AC = 4. Quanto mede AD?

23) Em um crculo de raio 1 um arco tem comprimento x

(0 < x pi). Determine a rea do segmento circular correspon-dente a esse arco.

24) Os pontos A, B e C, nesta ordem, sobre uma circunferncia de

raio 1 so tais que o arco AB mede 80o e o arco BC mede 50o.

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Calcule a rea da regio do crculo limitada pelas cordas AC e BC

e pelo arco AB.

25) Em uma circunferncia de raio 1, as cordas AB e CD so paralelas

e o centro da circunferncia no est entre elas. A corda AB igual

ao lado do hexgono regular inscrito na circunferncia e CD igual

ao lado do tringulo equiltero inscrito na mesma circunferncia.

Calcule a rea da regio do crculo compreendida entre as duas

cordas.

26) A figura a seguir mostra trs circunferncias de raios iguais a 1,

tangentes entre si duas a duas, e uma circunferncia maior tangente

s trs primeiras. Calcule a rea da regio A.

27) A figura abaixo mostra duas semicircunferncias de dimetros

AB = 4 e AC = 6. Calcule o raio da circunferncia que

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54 CAP. 2: REAS

tangente s duas semicircunferncias e ao segmento BC.

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Captulo 3

Solues dos Problemas

3.1 Captulo 1

1) Sejam: x r, x e x + r os lados de um tringulo retn-gulo. Considerando r > 0, x + r a hipotenusa e, portanto,

(x+r)2 = x2 +(xr)2. Desenvolvendo e simplificando, obtemosx = 4r. Portanto, os lados medem 3r, 4r e 5r.

2)

Trace pelo centro O da circunferncia o segmento MN perpen-

dicular a AB, como na figura acima. Como M mdio de AB

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56 CAP. 3: SOLUES DOS PROBLEMAS

temos, no tringulo retngulo OMB, OB = R, MB = a/2 e

OM = a R. Aplicando o teorema de Pitgoras no tringuloOMB, encontramos R =

5a

8.

3) Considere a figura:

O Teorema de Pitgoras em cada um dos tringulos retngulos

fornece:

x2 + h2 = 12 e (4 x)2 + h2 = 20.

Logo 16 8x + x2 + 12 x2 = 20 , o que d x = 1. Portanto,altura do tringulo igual a

11 e a rea S =

4

11

2= 2

11.

4) Para a existncia do tringulo devemos ter 1 < x < 7. Se o trin-

gulo obtusngulo e x o maior lado, devemos ter

x2 > 32 + 42, ou seja, x > 5. Se o lado que mede 4 o maior, de-

vemos ter 42 > x2 + 32, ou seja, x a.

Observando-se os tringulos QCB e PBA, que tm dois lados em

comum, conclui-se que > . No tringulo BPC, como > 90o,

conclui-se que + < 90o. Mas como + = 90o, pois ABCD

um quadrado, ento < , uma contradio. Da mesma forma,

supor > 90o conduz a uma outra contradio equivalente. Logo,

< 90o.

3.2 Captulo 2

1) A figura permite a diviso por segmentos horizontais em partes

fceis de calcular.

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As partes 1, 3 e 4 so trapzios e a parte 2 um paralelogramo.

Temos ento:

A1 =5 + 2

2 2 = 7 A2 = 5 2 = 10

A3 =6 + 5

2 4 = 22 A4 =

6 + 5

2 3 = 16,5

A rea da figura 55,5.

2) A diagonal de um retngulo divide esse retngulo em dois trin-

gulos congruentes, portanto de mesma rea.

Observando a figura acima e sendo S1 e S2 as reas dos dois retn-

gulos sombreados, devemos ter S1+A+B = S2+A+B e, portanto,

S1 = S2.

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N SEC. 3.2: CAPTULO 2 67

3) A figura assim:

Se AB = CD e se os ngulos B e C so iguais, ento AD

paralela a BC. Portanto, ABCD um trapzio e ADE um

tringulo retngulo com ngulos de 30o e 60o. As medidas so

fceis de calcular e a rea do pentgono :

S =12 + 8

2 2

3 +6 6

3

2= 20

3 + 18

3 = 38

3 = 65,74.

4) O semipermetro p =5 + 7 + 8

2= 10. A frmula de Heron

fornece:

S =

10(10 5)(10 7)(10 8) =

10 5 3 2 = 10

3 cm2.

Observe agora a figura abaixo, onde I o centro da circunferncia

inscrita e r o seu raio.

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A rea do tringulo ABC a soma das reas dos tringulos BIC,

CIA e AIB. Logo,

10

3 =ar

2+

br

2+

cr

2=

a + b + c

2r = 10r

e ento, r =

3cm.

5) Os tringulos ABC e ADC so congruentes. Logo, ambos possuem

rea igual a 1/2. Os segmentos DP , DQ e DR dividem o tringulo

ADC em quatro tringulos de mesma rea. O tringulo DPQ tem

rea 1/8.

6) O ponto G, interseo das medianas, o baricentro e, como se sabe,

GM/BM = 1/3. Como MB mediana no tringulo ABC, ento

a rea do tringulo ABC (ABM) = 1/2. Como MN mediana

no tringulo ABM , ento (BMN) = 1/4. Como GM/BM = 1/3,

ento (GMN)/(BMN) = 1/3. Assim,

(GMN) = (1/3)(1/4) = 1/12.

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7)

A razo de semelhana entre os tringulos ADE e ABC

AD/AB = 2/3. Ento, a razo entre suas reas (2/3)2. Se

S a rea do tringulo ABC, ento S1/S = 4/9. Logo, S1

menor que a metade de S e, portanto, S2 maior que a metade

de S. Da, S2 > S1.

8)

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(a) Os tringulos BAC e DAC tm mesma rea, pois possuem

mesma base e mesma altura. Como ambos tm em comum

a parte PAB, ento os tringulos PAB e PCD tm mesma

rea.

(b) A rea do tringulo ABD igual a10 7

2= 35. Obser-

vando a semelhana dos tringulos PBD e PAC, temos que

PD/AP = 7/18. Logo,

AD = AP + PD = AP + (7/18)AP = (25/18)AP e

PD/AD = 7/25. Ento,

(PBD)

(ABD)=

PD

AD=

7

25e (PDB) =

49

5= 9,8.

9)

O hexgono regular pode ser dividido em 6 tringulos equilteros,

como mostra a figura acima. A razo de semelhana entre um

desses tringulos e o tringulo equiltero de lado unitrio 12.

Logo, a razo entre suas reas 122 = 144. Cabem, portanto, 144

tringulos de lado unitrio dentro de cada tringulo de lado 12.

Assim, dentro do hexgono, cabero 144 6 = 864 tringulos delado unitrio.

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10) As circunferncias de dimetros AB e BC cortam-se no centro do

quadrado, ponto de interseo das diagonais. Observe a figura a

seguir e conclua que a rea sombreada igual rea do tringulo

OBC, ou seja, 1/4 da rea do quadrado.

11)

A parte coberta o quadriltero DPQC. Mas o tringulo DPC

tem rea igual metade da rea do retngulo. Logo, a parte

coberta tem rea maior que metade da rea do retngulo.

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12) Seja ABCD o nosso quadriltero com o ponto P sobre o lado AB.

Traamos a reta CD.

Observe a figura acima. Traamos AE paralela a PD e BF pa-

ralela a PC. Assim, os tringulos PAD e PED possuem mesma

rea e tambm os tringulos PBC e PFC possuem mesma rea.

Logo, a rea do quadriltero ABCD igual rea do tringulo

PEF . Dividir a rea de ABCD em duas partes iguais por uma

reta passando por P ento o mesmo que dividir a rea de PEF

em duas partes iguais por uma reta passando por P . Mas isto

fcil. Basta traar a mediana do tringulo PEF . Assinale

ento o ponto M , mdio de EF , e a reta PM divide tanto o

tringulo PEF quanto o quadriltero ABCD em duas partes de

mesma rea. O problema est resolvido.

Nota: Na construo acima, o ponto M , mdio de EF ficou

no interior do lado CD do quadriltero e a soluo est perfeita.

E se isto no acontecesse? Fica o desafio para o leitor encontrar a

soluo neste caso.

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13) Observe a figura a seguir.

O hexgono est dividido em 24 tringulos equilteros iguais e o

tringulo MNP contm 9 deles. A razo entre a rea do tringulo

e do hexgono 9/24, ou seja, 3/8.

14) Observe a figura a seguir. O tringulo ABC tem rea igual

metade da rea do hexgono.

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15)

Seja h a altura do tringulo menor. A figura mostra trs tringulos

semelhantes: um de rea A e altura h, outro de rea 2A e altura

h+x e o terceiro de rea 3A e altura 1. Como a razo entre as reas

de tringulos semelhantes o quadrado da razo de semelhana

temos, entre o primeiro e o terceiro,

A

3A=

(h

1

)2ou seja h =

1

3.

Agora, entre o segundo e o terceiro, temos:

A

3A=

(h + x

1

)2ou seja h + x =

1

3.

Portanto, x =

2

3

1

3.

16) Se A agudo (1a figura) ento a altura relativa a AB

h = AC senA. Ento, a rea do tringulo ABC S =

1

2AB h = 1

2AB AC senA. Se A obtuso (2a figura),

ento a altura relativa a AB h = AC sen(pi A) = AC senAe a frmula verdadeira. Se A reto, senA = 1 e a frmula vale.

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17) Na figura dada nesse exerccio, seja o ngulo do vrtice superior

do tringulo. Sendo T = A + B a rea do tringulo maior temos:

A

T=

1

2 10 9 sen

1

2 12 15 sen

=1

2.

Se a rea A a metade da rea do tringulo, ento a rea B

tambm . Logo, a razo entre as reas A e B igual a 1.

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18)

A ideia mais simples parece que calcular a rea do retngulo e

subtrair a rea dos dois tringulos retngulos vazios. O retngulo

tem rea 10 12 = 120 e cada tringulo retngulo tem um catetoigual a 6 e outro igual a x. Uma simples semelhana nos d

x

12=

6

8

ou seja, x = 9. Ento, a rea dos dois tringulos juntos

6 9 = 54 e a rea sombreada igual a 120 54 = 66.

19)

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Veja a figura anterior. O ponto Q a interseo de AM com BN

e traamos por N a perpendicular NE a AB, que cortou AM em

P . Fazendo BM = MC = 2a temos PE = a e NP = 3a. Como

os tringulos QPN e QMB so semelhantes, se fizermos QM = 2b,

teremos PQ = 3b e AP = 5b. Vamos representar por (XY Z...) a

rea do polgono XY Z... Como o quadrado ABCD tem lado 1,

a rea do tringulo ABM igual a 1/4. Vamos agora calcular a

razo entre as reas dos tringulos ABQ e ABM .

(ABQ)

(ABM)=

8b

10b=

4

5.

Logo, (ABQ) =4

5 14

=1

5e assim calculamos a rea de uma das

partes. A rea de BQM a diferena: (BQM) =1

4 1

5=

1

20. Os

tringulos ABM e BCN so congruentes e, portanto, tm mesma

rea. Logo a rea do quadriltero MCNQ a mesma rea do

tringulo ABQ. Logo, (MCNQ) =1

5.

Como a rea do tringulo ADN 1

4, ento a rea do tringulo

AQN

(AQN) = 1(

1

5+

1

5+

1

20+

1

4

)=

3

10.

O problema est resolvido. Considerando a rea do quadrado igual

a 100, as reas das partes podem ser vistas na figura a seguir.

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20) Observe a figura do problema

Como a rea do tringulo ABC igual a 1, a rea de ABD

1/3. Vamos, inicialmente, calcular a razo AM/AD, o que vai nos

permitir encontrar a rea do tringulo ABM .

Traamos GE, paralela a BC, que corta AD em H. Fazendo

BD = 3a, como AG/AB = 2/3, temos GH = 2a. Como DC

o dobro de BD, ento HE o dobro de GH, ou seja, HE = 4a.

Mas, os tringulos MHE e MDB so semelhantes e, portanto,

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a razo HE/BD igual a razo HM/MD. Faamos ento

HM = 4b e MD = 3b. Ainda, como AG o dobro de GB,

ento AH o dobro de HD e, consequentemente, AH = 14b.

Temos ento a razo que procurvamos:

AM

AD=

18b

21b=

6

7.

A razo entre as reas dos tringulos ABM e ABD igual a razo

entre AM e AD. Logo,

(ABM)

ABD=

AM

AD=

6

7

e como (ABD) =1

3, temos (ABM) =

6

7 13

=2

7.

Este foi o passo importante do problema e, de forma inteiramente

anloga, conclumos que os tringulos BCN e CPA tm tambm

rea igual a2

7. A rea do tringulo central igual rea de ABC

subtrada das reas dos tringulos ABM , BCN e CAP . Portanto,

(MNP ) = 1 3 27

=1

7.

Um belo e inesperado resultado.

21) 104 8 + 62 000 = 62 832 = 2pi10 000. Isto d pi = 3,1416.

22) A rea de ABC a soma das reas de ABD e ADC. Seja x = AD.

Assim:

1

2 6 4 sen(120o) = 1

2 x sen(60o) + 1

2 4 x sen(60o).

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Como sen(120o) = sen(60o) ficamos com 24 = 10x, ou seja,

x = 2,4.

23) A rea do segmento circular correspondente ao arco de compri-

mento x igual rea do setor circular, cujo ngulo central x

(em radianos) menos a rea do tringulo que tem dois lados iguais

ao raio com ngulo x entre eles. Ento, a rea do segmento circular

:

S =x 12 1

2 1 1 senx = x senx

2.

24) Observe a figura a seguir, onde traamos o dimetro CD.

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Como o arco AB mede 80o e o arco BC mede 50o, conclumos

que o arco DA mede 50o. Os arcos BC e DA so iguais e esta

feliz coincidncia nos permite concluir que a reta AB paralela

ao dimetro CD. Assim, podemos mover C at O, centro da

circunferncia, e a rea da regio que devemos calcular no se

altera. A rea que procuramos ento igual rea de um setor

cujo ngulo central mede 80o. Isto fcil,

s =80

360pi12 =

2pi

9.

25) A rea que devemos calcular est na figura a seguir.

A rea do crculo pi. Sejam H a rea do hexgono regular

e T a rea do tringulo equiltero inscritos nessa circunfern-

cia. Vamos utilizar aqui o resultado do Problema 14: a rea

do hexgono regular o dobro da rea do tringulo equiltero,

ambos inscritos na mesma circunferncia. Isto quer dizer que

H = 2T .

A rea que vamos calcular a diferena entre as reas dos segmen-

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tos circulares cujas cordas so CD e AB. Temos ento:

S =pi T

3 pi H

6=

2pi 2T pi + H6

=pi

6.

26) Sejam A, B e C os centros das trs circunferncias pequenas e seja

O, o centro da circunferncia grande. O ponto O o centro do

tringulo equiltero ABC (de lado igual a 2) e, como sabemos,

sua distncia a cada um dos vrtices igual a 2/3 de sua altura.

Temos ento:

OA =2

3 2

3

2=

2

3

3.

Assim, o raio da circunferncia grande

R =2

3

3+ 1 =

2

3 + 3

3.

A rea S da regio central igual rea do tringulo ABC sub-

trada de trs setores de 60o. Mas, esses trs setores formam um

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semicrculo. Ento,

S =22

3

4 pi1

2

2=

3 pi2.

O triplo da rea A assinalada na figura igual rea do crculo

grande subtrada dos trs crculos pequenos e da regio central.

Portanto,

A =

(piR2 3pi

(3 pi

2

))3

.

Substituindo o valor de R, isto d, aps alguns clculos,

A =1

18

((8

3 1)

pi 6

3)

.

27)

Sejam M e N os centros das semicircunferncias, seja P o centro

da circunferncia e seja PR = PS = PT = x o seu raio. fcil

ver que MA = MR = 2, MN = 1 e NT = 3x. O semipermetrodo tringulo MNP

p =2 + x + 3 x + 1

2= 3.

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Podemos ento calcular a rea do tringulo MNP de duas formas:

pela frmula de Heron e pela metade do produto da base MN pela

altura PS. Assim,

3(3 2 x)(3 3 + x)(3 1) = 1 x

2.

Da, 3(1 x)x 2 = x2

4e, consequentemente, x =

24

25= 0,96.

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Para saber maisWAGNER, E. Construes Geomtricas SBM.

Aborda as construes elementares, mtodo dos lugares geomtricos,

mtodo algbrico, reas, construes aproximadas, transformaes

geomtricas e traz um apndice onde se mostra quais so as cons-

trues possveis com rgua e compasso.

LIMA, Elon Meu professor de Matemtica SBM.

Coleo de artigos interessantssimos sobre assuntos diversos da mate-

mtica elementar incluindo o Teorema de Pitgoras e aplicaes.

WAGNER, E. Usando reas RPM 21.

Mostra diversas demonstraes de propriedades geomtricas usando

reas, incluindo o teorema da bissetriz e frmulas trigonomtricas.

Na internet

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem

Contm diversas demonstraes do Teorema de Pitgoras incluindo

a mais antiga, que aparece no livro de Euclides (Os Elementos, sc 3

a.C.)

http://www.frontiernet.net/ imaging/pythagorean.html

Contm a demonstrao de Perigal (1873) que a forma mais econmi-

ca de dividir o quadrado construdo sobre a hipotenusa em partes que

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preenchem os dois quadrados menores. Pode ser manipulado.

http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythathr/pythathr.html

Possui diversas aplicaes interessantes e interativas, permitindo a

manipulao do usurio em problemas como: a menor distncia entre

pontos da superfcie de um paraleleppedo, o problema de Hipcrates,

o teorema da mediana de um tringulo qualquer, fractais com Pit-

goras e muito mais.

http://www.jimloy.com/geometry/construc.htm

Mostra as construes elementares com rgua e compasso. timo pa-

ra o iniciante.

http://www.nvcc.edu/home/tstreilein/constructions/Circle/circle4.htm

Mostra diversas construes elementares (e outras nem tanto) com a

possibilidade de usar um programa de geometria dinmica. Muito

educativo e interessante.

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Download - Apostila3-Teorema de Pitagoras

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