![Page 1: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/1.jpg)
Arreglos de hiperplanos
Mariano Suárez-Alvarez
Encuentro Rioplatense de Álgebra y Geometría AlgebraicaMarzo 2008, Buenos Aires
![Page 2: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/2.jpg)
Deconificación
![Page 3: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/3.jpg)
Deconificación
![Page 4: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/4.jpg)
Deconificación
![Page 5: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/5.jpg)
Equivalencia combinatoria
A
L(A) ∼= L(A′)
A′
Dos arreglos no afínmente equivalentes con el mismo poset deintersección.
![Page 6: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/6.jpg)
Equivalencia combinatoria
A L(A) ∼= L(A′) A′
Dos arreglos no afínmente equivalentes con el mismo poset deintersección.
![Page 7: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/7.jpg)
Arreglos en posición general
![Page 8: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/8.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
![Page 9: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/9.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
![Page 10: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/10.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
P1 = (a1 : b1), . . . , P4 = (a4 : b4) ∈ P1(k)
λ = (P1, P2; P3, P4) =
∣∣∣∣a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a4b2 b4
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a4b1 b4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ρ(A) = {λ,
1λ
,1
1− λ, 1− λ,
λ
1− λ,
1− λ
λ} ⊆ k∪ {∞}.
![Page 11: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/11.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
P1 = (a1 : b1), . . . , P4 = (a4 : b4) ∈ P1(k)
λ = (P1, P2; P3, P4) =
∣∣∣∣a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a4b2 b4
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a4b1 b4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a3b2 b3
∣∣∣∣
ρ(A) = {λ,1λ
,1
1− λ, 1− λ,
λ
1− λ,
1− λ
λ} ⊆ k∪ {∞}.
![Page 12: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/12.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
P1 = (a1 : b1), . . . , P4 = (a4 : b4) ∈ P1(k)
λ = (P1, P2; P3, P4) =
∣∣∣∣a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a4b2 b4
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a4b1 b4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ρ(A) = {λ,
1λ
,1
1− λ, 1− λ,
λ
1− λ,
1− λ
λ} ⊆ k∪ {∞}.
![Page 13: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/13.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
Q(A) = xy(x + y)(x√
2− y)
ρ(A) 3√
2
∴ A no es racional sobre Q
![Page 14: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/14.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
Q(A) = xy(x + y)(x√
2− y)
ρ(A) 3√
2
∴ A no es racional sobre Q
![Page 15: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/15.jpg)
Racionalidad
Q(A) = ∏4i=1(aix− biy)
Q(A) = xy(x + y)(x√
2− y)
ρ(A) 3√
2
∴ A no es racional sobre Q
![Page 16: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/16.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
Un tipo combinatorio definido sobre Q(√
2) pero no sobre Q
![Page 17: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/17.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
Un tipo combinatorio definido sobre Q(√
2) pero no sobre Q
![Page 18: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/18.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
Un tipo combinatorio definido sobre Q(√
2) pero no sobre Q
![Page 19: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/19.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]
I = [0 : 1 : λ]E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 20: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/20.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 21: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/21.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]
F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 22: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/22.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]
G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 23: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/23.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]
H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 24: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/24.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]
J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]
DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 25: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/25.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 26: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/26.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]
DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 27: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/27.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 28: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/28.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
A = [1 : 0 : 0]B = [0 : 1 : 0]C = [0 : 0 : 1]D = [1 : 1 : 1]I = [0 : 1 : λ]
E = AB∩ CD = [1 : 1 : 0]F = AC∩ BD = [1 : 0 : 1]G = AD∩ EF = [2 : 1 : 1]H = AB∩ CG = [2 : 1 : 0]J = AD∩HI = [2λ− 2 : λ : λ]
K = AB∩ CJ = [2λ− 2 : λ : 0]DI = [λ− 1 : −λ : 1]
K ∈ DI ⇐⇒ λ2 − 4λ− 2 = 0 ⇐⇒ (λ− 2)2 = 2
![Page 29: Arreglos de hiperplanos - mate.dm.uba.armate.dm.uba.ar/~aldoc9/Publicaciones/Slides/arreglos-erp-2008.pdf · Arreglos de hiperplanos Mariano Suárez-Alvarez Encuentro Rioplatense](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042506/5f684978d408de067075e220/html5/thumbnails/29.jpg)
Racionalidad: tipos combinatorios
Un tipo combinatorio definido sobre Q(√
5) pero no sobre Q