Arthur CayleyArthur Cayley

“Kao i za sve drugo, tako i za matematičku teoriju vrijedi: ljepota se može spoznati, ali ne objasniti.”

Arthur CayleyArthur CayleyRođen 16.8.1821. u

Engleskoj1838. upisao studij

matematikeBio je pravnikObjavio 967

matematičkih radova

Bio je najmlađi profesor u Cambridgeu u 19. st.

Arthur CayleyArthur CayleyPokret za

sveučilišno obrazovanje žena

Umro je za vrijeme uređivanja svojih sabranih dijela 26.1.1895.

Dao svoje doprinose u različitim granama matematike

Cayleyjev radCayleyjev rad

Uspostavio teoriju grafova kao samostalnu matematičku disciplinu

Primjene u kemiji

Bavio se posebnom vrstom grafova – stablima

PrimjerPrimjerCrteži kemijskih

molekulaMolekulu

prikazujemografom na sljedećinačin:

Molekula vode H2O.

H — O — H

Imamo 3 vrha povezana s 2 brida

2 vrha predstavljaju atome vodika, a jedan vrh atom kisika

U geometriji...U geometriji...Cayley je razvio geometriju u n

dimenzija

Njegov rad primjenjen je na proučavanje kontinuuma prostor – vrijeme

Predložio da se euklidska i neeuklidske geometrije promatraju kao posebni tipovi geometrija

Veliki doprinosVeliki doprinos

Osim u teoriji grafova i geometriji, imao je veliki značaj u teoriji grupa

Postavio je temelje modernoj teoriji matrica

Veliki doprinosVeliki doprinos

Po Cayleyu je nazvano mnogo matematičkih pojmova, posebno u algebri

Neki od njih su:

- Cayleyjev teorem- Cayleyjeve tablice- Cayley – Hamiltonov teorem

Cayleyjev teoremCayleyjev teoremSvaka konačna grupa izomorfna je

nekoj grupi permutacija.Jednostavnije, konačna grupa je neki

konačan skup na kojem je definirana neka operacija.

Ta operacija mora imati svojstva:- zatvorenost- asocijativnost- ima neutralni element- svaki element ima inverzni

PrimjerPrimjerSkup {1,2,...,12} (sati) uz

operaciju “zbrajanje na satu”.Vidimo da operacija “zbrajanje na

satu” ima sva potrebna svojstva:

tu je 1+2=3, ali također 5+10=3neutralni element je 1210+2=12 – inverzni element od 10 je 2

Cayleyjeve tabliceCayleyjeve tabliceIzomorfnost dviju grupa znači da se

te grupe razlikuju samo po karakteru ili imenima operacija i elemenata.

Kada njihova pravila upišemo u “tablicu zbrajanja”, izgedat će jednako

Pogledajmo to na primjeru

PrimjerPrimjerGrupa {0,1} s operacijom

binarnog zbrajanja ima tablicu:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

Grupa s elementima ∆ i i s operacijom takva je njezina tablica ovakva:

∆

∆ ∆

∆

Vidimo da se te tablice razlikuju samo po oznakama, ali ne i po smislu, tj. one predstavljaju izomorfne grupe.

Cayleyjevi rezultati su bili previše ispred vremena pa u tom trenutku nisu imali bitnog utjecaja. Kasnije su bitno unaprijedili teoriju grupa.

MatriceMatriceCayley je postavio temelje

modernoj teoriji matricaNjegov rad poslužio je kao temelj

kvantne mehanikePrvi je dao apstraktnu definiciju

matriceDefinirao je operacije s

matricamaPrvi uveo množenje matrica

Cayley – Hamiltonov Cayley – Hamiltonov teoremteoremSvaka kvadratna matrica

zadovoljava svoju kvadratnu jednadžbu.

Karakteristična jednadžba matrice je jednadžba det(A-xI)=0, gdje je I jedinična matrica s istim brojem redaka i stupaca kao A, a x nepoznanica.

PrimjerPrimjerZa A= je

A-xI= pa je

Det(A-xI) = x2-2x+1, tj. karakteristična

jednadžba je x2-2x+1 = 0.

01

12

x

x

1

12

Cayley-Hamiltonov teorem kaže da A možemo uvrstiti na mjesto x te da, ako slobodni član shvatimo kao slobodni član puta jedinična matrica, dobit ćemoistinitu matričnu jednakost:

A2 − 2A + 1· I = 0

Problem četiri bojeProblem četiri boje

Problem: Može li se bilo koja karta obojiti četirima bojama tako da susjedne države budu različito obojene?

Problem četiri bojeProblem četiri boje

Cayley je jedan od mnogih matematičara koji se bavio ovim, naizgled jednostavnim problemom

nije uspio dokazati teorem, ali došao je do nekih vrlo važnih zaključaka

1. zaključak1. zaključak

Ako je proizvoljna karta, koja se sastoji od

n država, već obojena s četiri boje i ako toj

karti dodamo jednu državu, tada se i nova

karta od n+1 država može obojiti četirima

bojama.

2. zaključak2. zaključakCayley je zaključio kako je dovoljnopromatrati samo karte kod kojih se u svakomčvoru dodiruju točno tri države, tzv. kubnekarte.Naime, ako se u nekom čvoru susreće višeod triju država, tada se na taj čvor postavimala kružna “zakrpa”, oboji se tako dobivena kubna karta, a zatim se zakrpa jednostavno ukloni.

2. zaključak2. zaključakDodavanje i izbacivanje zakrpe:

3. zaključak3. zaključak

Ako je Teorem o četiri boje istinit, tada se

bojenje karata uvijek može izvesti na takav

način da se sve države koje leže uz rub

karte mogu obojiti najviše trima bojama.

Rješenje problema:Rješenje problema:

Cayley je pokušao riješiti ovaj problem na razne načine:

- Metodom matematičke indukcije- Metodom kontradikcije

Rješenje metodom Rješenje metodom matematičke indukcijematematičke indukcijeProblem se javio zbog toga što postoji bezbrojnačina na koje se nekoj karti može dodati još

jednadržava.

Kako odrediti kojom bojom treba obojiti tu dodanu

državu?

U nekim situacijama je to lako, no sigurno imaslučajeva kad to nije jednostavno jer je

potrebnopromijeniti boju cijelom nizu prethodno obojenihdržava.

Rješenje metodom Rješenje metodom kontadikcijekontadikcijeZamislimo da je Teorem lažan i da postoje nekekarte koje se ne mogu obojiti samo četirimabojama.

Među svim takvim uljezima za koje je potrebno 5 ili

više boja, izaberimo onu s najmanjim brojem država.

Nazovimo je najmanjim uljezom.

Dokazati Teorem o 4 boje,sada znači dokazati da najmanji uljezi ne

postoje.

Rješenje metodom Rješenje metodom kontadikcijekontadikcijeMetoda je zakazala već kod

promatranja država s 4, 5 ili više bridova (Cayley ju je pokazao za 3 brida).

Teorem o šest bojaTeorem o šest bojaIako nije uspio dokazati tvrdnju, njegova ideja se pokazala korisnom: njome se

mogla dokazati slabija tvrdnja:

Svaka karta može se obojiti sa šest boja

tako da susjedne države budu obojenerazličito.

ZaključakZaključakCayley je bio vrlo svestran

matematičarbio je najmlađi profesor na Cambridgeu

u 19. stoljećuautor je 967 matematičkih radova iz

raznih područjabavio se geometrijom, teorijom

grafova, teorijom grupa, matricama i drugim matematičkim problemima

dao je veliki doprinos u raznim granama matematike, posebno u algebri

LiteraturaLiteratura

S. Gračan: “Četiri su dovoljne!”, Matka, broj 41 / godina 9. / 2007.

Franka Miriam Brückler: Povijest matematike II

Hvala na pažnji!Hvala na pažnji!

Katica BabićAnita JukićManuela Pavić