Auditorne vježbe # 4: Sinteza estimatora stanja i
primjene u regulaciji
� Projektirati će se regulator stanja elektromotornog pogona sa složenom
dinamikom radnog mehanizma (koja uključuje dvije zamašne mase i elastičnu
vezu) proširen estimatorom varijabli stanja punog reda.
� Estimator stanja punog reda proširiti će se modelom poremećajne veličine radi
postizanja statički točne procjene svih varijabli stanja.
� Nadalje, projektirati će se estimator momenta tereta (kao poremećaja) u sustavu
regulacije brzine vrtnje, te će se tako dobivena procjena momenta tereta koristiti
za unaprijednu kompenzaciju udarnog opterećenja
Literatura:
[1] K. J. Aström, B. Wittenmark: "Computer Controlled Systems", Prentice-Hall, London, 1984.
[2] R. Isermann: “Digital Control Systems", Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[3] D. Pavković, N. Perić, J. Deur: “Speed Control of Electrical Drives with Elastic Transmission
Utilizing State Estimators and Controllers", Proc. of 11th EDPE, Dubrovnik, Croatia, 2000.
[4] D. Pavković, J. Deur, I. Kolmanovsky: “Adaptive Kalman Filter-Based Load Torque
Compensator for Improved SI Engine Idle Speed Control”, IEEE Transactions on Control
Systems Technology, Vol. 17, No. 1, pp. 98 – 110, 2009.
Elektromotorni pogon s dvije zamašne mase i elastičnom vezom
� Pretpostavlja se da je pogonski istosmjerni elektromotor upravljan po struji armature.
Elektromotorni pogon s dvije koncentrirane zamašne mase i elastičnom vezom upravljan po struji:
principna shema (a) i blokovski dijagram modela procesa (b).
a
b
• Parametri pogona i elektromotora:
J1 = 0.02 kgm2 c = 100 Nm/rad Km = 1 Nm/A
J2 = 0.02 kgm2 d = 0.02 Nms/rad Kei = 1 Tei = 2 ms
M
1m
m
1ω 1α
c
dm
2m
2ω 2α
1J 2J
u
Chopper
Regulator
struje
aRi
ami
sT
K
ei
ei
+1mK
sJ1
1
s
1c
d
sJ2
1
+-
+ +
+
+-
-ai 1m 1ω 2ω
m2m
α∆ω∆
2ω
maRi
Reg. krug
struje
� Zanemarujemo utjecaj momenta tereta m2 (nemodelirani poremećaj) te se dobije model
procesa s jednim ulazom i jednim izlazom:
� Ekvivalentni vremenski-diskretni model u prostoru stanja dan je sljedećim izrazima:
gdje se uz uz pretpostavku ZOH na ulazu vremenski kontinuiranog modela procesa
pretpostavku i det(Ac) ≠ 0, parametri vremenski diskretnog modela procesa mogu odrediti
na sljedeći način (T – vrijeme uzorkovanja, I – jedinična matrica):
Jednadžba stanja
u
T
KKi
J
d
J
c
J
d
J
d
J
c
J
d
J
K
T
KK
Ti
c
c
a
ach
a
m
a
ea
aa
43421321
44444 344444 21
321&
&
&
&
&b
x
2
1
A
222
1111
x
2
1
0
0
0
0
1010
001
+
∆
−
−
−−
−−
=
∆
ω
α
ω
ω
α
ω
[ ]
321
4434421
x
2
1
c
2 1000
∆==
ω
α
ωω
ai
y
T
c
Jednadžba izlazaucc
bxAx +=& xcT
cy =
)(b)(xA)1(x kukk +=+ )(xc)( kkyT
=
TceA=A
T
c
Tcc =
c
T
cce b)I(Ab
-1−= A
Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja.
� Za modificirani sustav regulacije pojačanja po varijablama stanja i pojačanje
integrirajućeg elementa dobiju se na sljedeći način:
� Regulacijski sustav s PI regulatorom varijabli stanja može se prikazati sljedećim
blokovskim dijagramom (yR = ω2R , y = ω2):
Struktura regulacijskog kruga s PI regulatorom stanja
gdje su:
Karakteristični polinom P(z) koji opisuje željenu
dinamiku zatvorenog regulacijskog kruga (npr.
prema optimumu dvostrukog odnosa)
1
1
−z
[ ][ ] ( )*1*1****
1 Ab)A(bAb100]k[ Pkn
n
T −−+ =− LL
=
−=
0
bb
1
0AA
**
Tc
Estimator varijabli stanja punog reda
� Estimator varijabli stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju objekta upravljanja
proširenu povratnom vezom po mjerenjima (izlazima).
� Za realizaciju estimatora stanja punog
reda potrebno je poznavati sve parametre
procesa (tj. matrice A, b i cT).
Dinamički model SISO sustava i pripadajući estimator
stanja punog reda u sustavu regulacije stanja.
� Povratna veza po izlazima (pojačanja h)
osigurava točno slijeđenje stanja procesa.
� Dinamika estimatora stanja opisuje se
sljedećim izrazima:
)(x̂c)()(ˆ)()(
)(h)(b)(x̂A)1(x̂
kkykykyke
kekukk
T−=−=∆
∆++=+
� Kako je y(k) = cTx(k), dobije se sljedeći
izraz za dinamičko vladanje estimatora:
)(xch)(b)(x̂)chA()1(x̂ kkukkTT
++−=+
� Estimatori varijabli stanja važni su sa stanovišta regulacije varijabli stanja, jer u većini
slučajeva varijable stanja nisu izravno mjerljive.
� Iz navedenog se dobije sljedeći izraz za dinamiku pogreške estimacije:
)(xch)(b)(x̂)chA()(b)(xA)1(x̂)1(x)1(x~ kkukkukkkkTT
−−−−+=+−+=+
)(x~)chA())(x̂)(x)(chA()1(x~ kkkkTT
−=−−=+
� Prema tome, pogreška estimacije stanja mora težiti k nuli ako su moduli svojstvenih
vrijednosti matrice A – h.cT su manji od jedinice (uvjet stabilnog vladanja estimatora).
� Izraz za pojačanja estimatora može se prikladnim matričnim manipulacijama svesti na
oblik u kojem figuriraju izvorne matrice sustava u prostoru stanja:
� Podešavanje estimatora varijabli stanja može se opet provesti prema Ackermannovoj
formuli, no uvrštavaju se transponirane matrice sustava A i cT, te je rezultirajuća matrica
pojačanja estimatora h također transponirana:
[ ] ( )T
s
TP AQ100h
-1L=
( )
=
−
− 1
0
0
A
AAh
1
1
MMnT
T
T
c
c
c
P
Matrica osmotrivosti
]c)A(cAc[Q 1−= nTT
sL TT
)c(c =
� Sinteza estimatora stanja punog reda može provesti neovisno od sinteze regulacijskog
kruga zahvaljujući takozvanom principu odvojivosti (engl. separation principle).
� Dinamika estimatora stanja se obično izabire da bude 2 – 6 puta brža od željene dinamike
zatvorenog kruga s regulatorom stanja (ovisno o zahtjevima na potiskivanje šuma).
Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s
regulatorom varijabli stanja i estimatorom.
−−
−=
+
+
)(x̂
)(x
chkbAch
kbA
)1(x̂
)1(x
k
k
k
kTTT
T
� Supstitucija:
(dinamika pogreške estimacije)
)(x̂)(x)(x~ kkk −=
−
−=
+
+
)(x~)(x
chA0
kbkbA
)1(x~)1(x
k
k
k
kT
TT
Dinamika regulacijskog
kruga bez estimatoraDinamika pogreške
estimacije (stabilna)
[ ] [ ]TT
T
TT
zz
z
z
chAIdetkbAIdet
chA0
kbkbA
I0
0Idet
+−⋅+−=
=
−
−−
Dinamika estimatora je odvojena od dinamike
regulacijskog kruga s regulatorom stanja
Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja i
estimatorom stanja punog reda.
� Primjer: PI regulator varijabli stanja elektromotornog pogona s dvije zamašne mase i
elastičnom osovinom uz primjenu estimatora stanja (Tee = 10 ms).
� Pretpostavlja se da se mjeri samo brzina vrtnje na strani motora (čest slučaj u praksi).
Odatle slijedi da je matrica cT = [0 1 0 0].
b
A
+
+
u(k)Iz-1 cT
kT
-
y(k)x(k)x(k+1)
+
h
+
-
e(k)
b
A
++
Iz-1 cTy(k)x(k)x(k+1)
+ˆˆˆ
x(k)
Objekt
upravljanja
Estimator
stanja
punog reda
+
yR(k)
-
1
1
−zkn+1
xn+1
� Proračun pojačanja PI regulatora stanja i estimatora stanja:
% vremenski-kontinuirani model pogona u prostoru stanja
Ac = [-1/Tei 0 0 0;Km/J1 -d/J1 -c/J1 d/J1;0 1 0 -1;0 d/J2 c/J2 -d/J2]; bc = [Kei/Tei;0;0;0]; cTc = [0 1 0 0]; dc = 0;
% vremenski-diskretni model pogona u prostoru stanja
T = 2e-3; % vrijeme uzorkovanja T = 2 ms
[A,b,cT, d_] = c2dm(Ac,bc,cTc,dc,T,'zoh');
A_ = [A zeros(length(A),1); -cT 1]; % formiranje sistemske matrice objekta upravljanja s integratorom
b_ = [b;0]; % formiranje matrice ulaza objekta upravljanja s integratorom
D2 = 0.5 ; D3 = 0.5; D4 = 0.5; D5 = 0.5; Te = 50e-3; % dinamika zatvorenog regulacijskog kruga prema
% optimumu dvostrukog odnosa, Te = 50 ms
num = 1; den = [D5*D4^2*D3^3*D2^4*Te^5 D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1];
[numd,dend] = c2dm(num,den,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma zatvorenog reg. kruga
% regulator
P = roots(dend); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga
kT_ = place(A_, b_, P); kT = kT_(1:4), knp1 = -kT_(5); % pojačanja P regulatora stanja i integratora
% estimator
Tee = 10e-3; % dinamika estimatora prema optimumu dvostrukog odnosa, Te = 10 ms
nume = 1; dene = [D4*D3^2*D2^3*Tee^4 D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1]; % integrator nije dio procesa
[numed,dened] = c2dm(nume,dene,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma estimatora
Pe = roots(dened); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga
h_ = place(A’, cT’, Pe); % pojačanja estimatora ... uočite da se za sintezu rabe transponirane matrice A i cT
h = h_’; % Ackermannova formula vraća transponiranu matricu pojačanja za estimator
Usporedni odzivi brzina vrtnje (a), torzijskog
momenta i reference struje armature (b), te
usporedba položaja polova regulacijskog
sustava s PI regulatorom varijabli stanja i
estimatorom stanja (c) (Tee = 10 ms).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
20
40
60
80
100
120
n1 [
1/m
in]
Te = 30 ms, T
ee = 10 ms
Te = 50 ms, T
ee = 10 ms
Te = 70 ms, T
ee = 10 ms
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
20
40
60
80
100
120
n2 [
1/m
in]
t [s]
ωR
ωR
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-2
0
2
4
6
8
m [
Nm
]
Te = 30 ms, T
ee = 10 ms
Te = 50 ms, T
ee = 10 ms
Te = 70 ms, T
ee = 10 ms
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-3
0
3
6
9
12
i aR [
A]
t [s]
mt
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Re(z)
Im(z
)
Process
CTRL. Te = 30 ms, T
ee = 10 ms
CTRL. Te = 50 ms, T
ee = 10 ms
CTRL. Te = 70 ms, T
ee = 10 ms
|z| = 1
(ζ = 0)
ζ = 0.707
Estimator poles(T
ee = 10 ms)
c
a b
Usporedni odzivi brzina vrtnje (a), te položaji polova (b) regulacijskog sustava s PI regulatorom
varijabli stanja sa i bez estimatora (Te = 30 ms, Tee = 10 ms).
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Re(z)
Im(z
)
State ctrl., Te = 30 ms
State ctrl., Te = 30 ms + estimator (T
ee = 10 ms)
|z| = 1
(ζ = 0)
ζ = 0.707
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
20
40
60
80
100
120n
1 [
1/m
in]
State controller, Te = 30 ms
State controller with estimator: Te = 30 ms, Tee = 10 ms
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
20
40
60
80
100
120
n2 [
1/m
in]
t [s]
ωR
ωR
a b
� PI regulator varijabli stanja s estimatorom varijabli stanja lošije potiskuje poremećaj
(moment tereta m2) u odnosu na regulator s izravnim mjerenjem svih varijabli stanja.
Dinamika s obzirom na skokovitu promjenu reference ωR je identična.
� Uzrok tome je inherentno kašnjenje estimatora (Tee = 10 ms), uslijed kojeg regulator ne
može odmah reagirati na promjenu brzine vrtnje tereta ω2, odnosno treba proći neko
vrijeme da se utjecaj poremećaja manifestira u estimiranim varijablama stanja.
Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u
regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 50 ms) i estimatorom stanja (Tee = 10 ms).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
20
40
60
80
100
120n
1 [
min
-1]
Process (measurement)
Estimator
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
20
40
60
80
100
120
n2 [
min
-1]
∆mt = 5 Nm
t [s]
t [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-1
0
1
2
3
4
∆α
[°]
Process (measurement)
Estimator
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-2
0
2
4
6
8
i a [
A]
∆mt = 5 Nm
t [s]
t [s]
� Pojavljuje se stacionarna pogreška estimacije varijabli stanja vezanih okretni moment
pogona (struje armature motora i kuta torzije osovine).
� Problematično sa stanovišta dijagnostike pogona.
� Primjena estimatora stanja koji ne uzima u obzir djelovanje poremećajne veličine
(utjecaj momenta tereta m2) ima za posljedicu stacionarnu pogrešku varijabli stanja.
� Primjenom estimatora varijabli stanja moguće je izbjeći mjerenje svih varijabli stanja,
odnosno za regulacijske svrhe mogu se koristiti samo one procesne varijable koje se
standardno mjere.
� Pri tome estimator varijabli stanja, koji je podešen za razmjerno brzi odziv (Tee = Te/6 -
Te/2) unosi razmjerno malo kašnjenje u odziv varijabli stanja u usporedbi sa slučajem
kada se regulator stanja zasniva na mjerenju svih varijabli stanja.
� Estimator varijabli stanja također nema nepovoljnog utjecaja na stabilnost regulacijskog
sustava, odnosno prigušenje odziva (što je posljedica principa separacije).
� S druge strane, regulacija zasnovana na takvom estimatoru jest statički točna zbog
primjene regulatora stanja proširenog s integrirajućim djelovanjem (PI regulator stanja).
Estimacija poremećajne varijable (estimator poremećaja)
� Ukoliko je neka od ulaznih varijabli objekta upravljanja (procesa) nemjerljiva i nije
moguće utjecati na nju, tada govorimo o poremećajnoj varijabli.
� Utjecaj poremećajnih varijabli moguće je u sustavu regulacije ukloniti korištenjem
integracijskog djelovanja u regulatoru stanja kako je već prije pokazano.
� No poremećajne varijable mogu prouzročiti značajnu statičku i dinamičku pogrešku
estimacije varijabli stanja, što može biti nepovoljno sa stanovišta dijagnostike sustava i
praćenja teško mjerljivih varijabli stanja primjenom estimatora.
� Stoga je potrebno estimator varijabli stanja proširiti odgovarajućim modelom
poremećajne veličine.
� Neka je razmatrani SISO objekt upravljanja opisan sljedećim modelom u prostoru stanja
(ξ(k) je poremećajna varijabla konstantnog iznosa koja djeluje na ulazu u proces):
{
[ ]
=
+
=
+
+
+
)(
)(x0c)(
)(0
b
)(
)(x
10
bA
)1(
)1(x
*
****
c
b)(xA)1(x
k
kky
kuk
k
k
k
T
T
kk
ξ
ξξ
321
3214342143421
)(xc)(
)(b)(b)(xA)1(x
kky
kkukk
T=
++=+ ξ
� Model procesa:
)()1( kk ξξ =+
� Model konstantnog poremećaja:
� Na osnovi tako zadanog modela procesa projektira se estimator varijabli stanja i
poremećaja, i to na sličan način kao i kod klasičnog estimatora, npr. postavljanjem
polova estimatora primjenom Ackermannove formule:
� Ovakav estimator se može primijeniti u regulaciji kako je prikazano ispod.
Regulacijski SISO sustav s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom varijabli stanja i poremećaja.
[ ] ( )T
s
TP
*-1*AQ100)h( L=
= − *1****
c)A(cAcQ nTT
sL TT
)c(c**
=TT)A(A
**=
++
(k+1)x (k)x
-
+ y(k)yR(k)
-
u(k)
+
+
+
Iz-1
h*+
-
e(k)
+
Objekt upravljanja
Estimator
stanja i
poremećaja
x*(k+1)^
-
(k)
x*(k)^
cT
A
b
10
bA
0
b]0c[
T
]1k[T
b
Iz-1
1
1
−zkn+1
xn+1
� Pritom se povratna veza po varijablama stanja x dovodi preko matrice (vektora) pojačanja
regulatora [kT -kn+1] dobivenog postupkom sinteze bez uzimanja u obzir poremećaja.
� Unaprijedno kompenzacijsko djelovanje proslijeđuje se izravno na ulaz procesa,
to jest na mjesto djelovanja poremećaja.
� Primjer: Estimator varijabli stanja dvomasenog sustava s elastičnom vezom sa
zanamarivom dinamikom momenta motora i estimatorom poremećaja na strani motora.
� Ovdje valja napomenuti da uslijed spregnutosti izvornih varijabli stanja procesa x i
poremećaja ξ unutar estimatora više ne vrijedi princip odvojivosti (separacije) varijabli,
odnosno dinamika estimatora poremećaja isprepletena je s dinamikom regulatora stanja.
( )
( )21
2
2
1
1
1
)(1
1
ωωωα
ωαω
ω
−=∆=∆
∆+∆=
−−=
&
&
&
dcJ
mmmJ
T
)(
0
0
1
101 1
1
2
1
222
111
2
1
Tmm
J
J
d
J
c
J
d
J
d
J
c
J
d
−
+
∆
−−
−−
=
∆
ω
α
ω
ω
α
ω
&
&
&
=>
b
Poremećaj (teret)
ξ
% vremenski-kontinuirani model pogona u prostoru stanja
Ac = [-d/J1 -c/J1 d/J1;1 0 -1;d/J2 c/J2 -d/J2]; bc = [1/J1;0;0]; bc_ = –bc ; cTc = [1 0 0]; dc = 0;
% vremenski-diskretni model pogona u prostoru stanja
T = 2e-3; % vrijeme uzorkovanja T = 2 ms
[A,b,cT,d_] = c2dm(A,b,cTc,dc,T,'zoh');
A_ = [A zeros(length(A),1); -cT 1]; % formiranje sistemske matrice objekta upravljanja s integratorom
b_ = [b;0]; % formiranje matrice ulaza objekta upravljanja s integratorom
D2 = 0.5 ; D3 = 0.5; D4 = 0.5; D5 = 0.5; Te = 40e-3; % dinamika prema optimumu dv. odnosa, Te = 40 ms
num = 1; den = [D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1];
[numd,dend] = c2dm(num,den,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma zatvorenog reg. kruga
% regulator
P = roots(dend); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga
kT_ = place(A_, b_, P); kT = kT_(1:3), knp1 = -kT_(4); % pojačanja P regulatora stanja i integratora
kT_d = [kT 1.0]; % vektor pojačanja po stanjima + kompenzacija poremećaja na ulazu
% estimator
Tee = 16e-3; D2e = 0.5; D3e = 0.5; D4e = 0.5;
nume = 1; dene = [D4e*D3e^2*D2e^3*Tee^4 D3e*D2e^2*Tee^3 D2e*Tee^2 Tee 1];
[numed,dened] = c2dm(nume,dene,T,’zoh’); % određivanje karakterističnog polinoma estimatora
Ae = [A -b;zeros(1,length(A)) 1]; % Predznak minus jer poremećaj djeluje na ulazu s negativnim predznakom
be = [b;0]; cTe = [cT 0];
Pe = roots(dened); % polovi (željena dinamika) zatvorenog kruga
he_ = place(Ae’, cTe’, Pe); % pojačanja estimatora proširenog modelom poremećaja
he = he_’;
Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u
regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 40 ms) i estimatorom stanja (Tee = 16 ms)
bez uključenog modela poremećaja (momenta tereta mT).
� Na skokovitu promjenu reference brzine postiže se očekivano stacionarno točno vladanje
regulacijskog kruga (podešenog za dobro prigušen odziv).
� Kao i u prethodnom slučaju, rezultati estimacije varijabli stanja karakterizirani su
značajnim statičkim pogreškama nakon udarnog opterećenja na strani motora zbog
nepoznavanja vanjskog poremećaja.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
50
100
150n
1 [
1/m
in]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
50
100
150
n2 [
1/m
in]
t [s]
Stvarni
Estimirani
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
0
2
4
∆α
[deg]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
mT [
Nm
]
t [s]
Stvarni
Estimirani
Usporedni odzivi stvarnih i estimiranih varijabli stanja dvomasenog pogona s elastičnom vezom u
regulacijskom sustavu s PI regulatorom varijabli stanja (Te = 40 ms) i estimatorom stanja (Tee = 16 ms)
proširenim modelom poremećaja (momenta tereta mT).
� Estimacija varijabli stanja je sada statički točna nakon djelovanja poremećaja, te je
moguće primijeniti ovakav estimator u dijagnostici pogona (npr. za detekciju mogućeg
prekoračenja maksimalnog dozvoljenog momenta motora ili kuta torzije osovine).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
50
100
150
n1 [
1/m
in]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
50
100
150
n2 [
1/m
in]
t [s]
Stvarni
Estimirani
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2
0
2
4
∆α
[deg]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5
0
5
10
mt [
Nm
]
t [s]
Stvarni
Estimirani
� Primjer: Estimator momenta tereta Ottovog motora kao poremećajne varijable pogona.
� Ottov motor se regulira PI regulatorom brzine vrtnje (jednostavna implementacija –
klasičan pristup za praktične primjene), te se proširuje kompenzatorom momenta
tereta zasnovanim na estimatoru momenta tereta.
� U ovom slučaju se neće estimirati sve varijable stanja objekta upravljanja, već samo
poremećajna veličina (moment tereta).
� PI regulator brzine vrtnje se podešava za dobro prigušen odziv regulacijskog kruga
brzine vrtnje motora, dok se kompenzacijskim djelovanjem po estimiranom momentu
tereta koristi u svrhu potiskivanja poremećaja (npr. kod udarnog opterećenja).
� Estimator momenta tereta zasniva se na sljedećem jednostavnom modelu rotacijske
dinamike Ottovog motora:
[ ]bMpMJdt
d−= ),(
1ω
ωM, Mb - razvijeni moment motora i moment tereta,
ω - brzina vrtnje motora,
p - tlak zraka u usisnoj grani motora.
� Pretpostavlja se da je moguće rekonstruirati razvijeni moment motora iz standardno
mjerljivih signala ω i p.
� Model rotacijske dinamike proširuje se linearnim dinamičkim modelom poremećaja.
� Ukoliko je potrebno ostvariti stacionarnu točnost estimacije sporih promjena
momenta tereta (konstantan moment tereta) odabire se model poremećaja prvog reda.
� S druge strane, ukoliko je potrebno ostvariti točno praćenje nagibnih promjena
momenta tereta (rampi momenta tereta) odabire se model poremećaja drugog reda.
0
)(1
=
=
−=
dt
Md
Mdt
dM
MMJdt
d
b
bb
b
&
&
ω
Model poremećaja
drugog reda.
)(xc)(
)(b)(xA)1(x
kky
kMkk
T=
+=+
=
b
b
M
M
&
ω
x
−−
=++++=
100
10
)2/(/1
!3
A
!2
AAIA
2
3322
T
JTJTTT
T ccc L
=
+++=
0
0
/
b!3
A
!2
AIb
22JT
TTT
c
cc L [ ]001c =T
� Sretna okolnost je da su potencije sistemske matrice Ac vremenski kontinuiranog
sustava reda većeg od 2 jednake nuli (otud egzaktna rješenja za matrice A i b).
−
=
000
100
0/10
A
J
c
=
0
0
/1
b
J
c
NP filtar
444 3444 21
bM
−−= )(
)1()()()(ˆ z
T
zJzMzGzM Mb ω
012
23
0 )()(
MMM
MeM
azazaz
bzKzG
+++
−=
� Primjenom odgovarajućih matričnih manipulacija može se pokazati da estimator
momenta tereta zapravo predstavlja niskopropusni filtar primijenjen na “sirovu”
rekonstrukciju momenta tereta iz rekonstrukcije momenta motora i brzine vrtnje:
J
KT
J
KTKa
J
KT
J
KTKaKa
K
KTb
J
TKK
MMM
MMMM
M
MMMe
21
2233
1
20
212
0
&
&
&
−−+=
−−−=−=
−=−=
ω
ωω
))(x̂c)((h)(b)(x̂A)1(x̂ kkkMkkT
−++=+ ω
)(h)(b)(x̂)chA()(x̂I zzMzzzT ω++−=
� Struktura estimatora momenta tereta opisana je sljedećom dinamičkom jednadžbom u
prostoru stanja:
� Ovaj model se može prebaciti u z-područje čime se dobije:
T
MM KKK ][h &ω=
Matricu pojačanja h = [Kω KM KM] moguće
je odrediti rješavajući sustav jednadžbi (bez
primjene Ackermannove formule)
.
Sirova rekonstrukcija
momenta tereta
� Izrazi za pojačanja estimatora glase:
)1()53(2
3 21022102 MMMMMMMMM aaaT
JKaaa
T
JKaK +++−=−−−=+= &ω
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t [s]
Unit s
tep r
esponse
Tee
= 0.25 s
Tee
= 0.40 s
Tee
= 0.60 s
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Re [z]
Im(z
)
Tee
= 0.25 s
Tee
= 0.40 s
Tee
= 0.60 s|z| = 1(ζ = 0)
ζ = 0.71
Usporedni odzivi estimatora poremećaja na jediničnu skokovitu promjenu momenta tereta (a), i položaji polova
estimatora (b) za različite izbore ekvivalentnih vremenskih konstanti Tee.
a b
� Odzivi estimatora su karakterizirani nadvišenjem (oko 45%), no ipak dobro prigušeni.
� Osjetno nadvišenje je posljedica nule bM0 u prijenosnoj funkciji estimatora (potrebna
da bi se moglo ostvariti dobo slijeđenje nagibnih promjena momenta tereta)
[ ]6.01.0
)/(exp
)/exp(
1
11
K=
−=
−=
−
−=
Σ
Σ
v
vTTz
TTz
z
z
KKK
fF
f
f
fF
tm
f
� Struktura regulacijskog kruga brzine vrtnje:
1
1
+sTθ
RK
-
+ Rθ
-
+Rω
PI regulator brzine vrtnje motora
-
+θ
1+sT
K
m
mtK
p
1
1
+sTd
M
Is
1
bM
ω
pK
ETC
Linearizirani model motora
-+eω
ZOH
T
T
1−z
zT
T
K s
I
R
Blokovski dijagram lineariziranog regulacijskog sustava brzine vrtnje Ottovog motora u
praznom hodu s PI regulatorom i kompenzatorom momenta tereta
fF
f
fzz
zzK
−
−
Rfθ
+
Ts
Pretkompenzator
Estimator
poremećaja
bM̂
))((ˆdTtpM −
M̂T
Tmω
ˆ
s estimatorom poremećaja.
� PI regulator se podešava primjenom kriterija optimuma dvostrukog odnosa:
1...)( 222
12
21 ++++⋅⋅⋅= −
− sTsTDsTDDDsA eenn
en
nnc
D2 = ... = Dn = 0.5 => optimalno prigušenje (ζ = 0.707)
Te - određuje brzinu odziva (osjetljivost na šum)
ptms
mdsminee
KKKTTI
TTTT
DD
ITT
)(ˆ
ˆ
32
,++
+++=≥
θ
θ
−
++= 1
ˆ
22 e
sp
tme
RTD
TTK
KKTD
IK θ
1
1
−
+=
R
peI
K
KTT
}
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24800
1000
1200
1400
1600
t [s]
ω [
rpm
]PI ctrl. only
PI + fast comp. (Tee
= 0.25 s)
PI + slow comp. (Tee
= 0.6 s)
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240
1
2
3
4
t[s]
θR [
deg]
ωR
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24800
1000
1200
1400
1600
t [s]
ωe [
rpm
]
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24-2
0
2
4
6
8
t[s]
Mbe [
Nm
]
PI ctrl. only
PI + fast comp.
PI + slow comp.
Mb
Usporedni odzivi brzine vrtnje i referentnog iznosa kuta zaklopke (a), te estimirane brzine vrtnje i momenta
tereta (poremećaja) (b) u regulacijskom krugu s PI regulatorom i kompenzatorom momenta tereta
zasnovanim na primjeni estimatora poremećaja.
a b
