Aula 01- Funções
Definição de função, representação de funções, função crescente e
decrescente, função linear e polinomial
Definição de Funções
Dados A e B dois conjuntos de :
uma função é uma relação ou correspondência que a cada elemento de A associa um único elemento de B.
As funções servem para descrever o mundo real em termos matemáticos.
R:f A B
Domínio e Imagem
Seja f uma função. O conjunto de todos os que satisfazem a definição da f é chamado domínio da f e denotado por . O conjunto de todos os tais que y = f (x), onde , é chamado imagem da f e denotado por .
f
xR
( )D f
yR( )x D f
Im( )f
x ( )f x
entrada
Domínio saída
Imagem
Idéia de função
1
243 9
x
2x
2( )f x x
Idéia de função
1
21
23 1
31
5
5
1( )f x
x
0
Exemplos
1) ( ) 2f x x ( ) Im( )D f f R22) ( )f x x ( ) Im( ) [0, ) e D f f R
13) ( )f x
x *( ) Im( ) D f f R
4) ( ) 4f x x ( ) ; 4 D f x x R
Im( ) [0, )e f
2
15) ( )
1f x
x
*( ) 1, 1 , Im( )D f f R R
Plano Cartesiano
O plano cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais tal que:
( , )x y ( , ) / ,x y x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
O plano cartesiano é representado por duas retas numéricas reais que se interceptam a um ângulo de 900.
90º
Plano Cartesiano
O plano cartesiano é utilizado como sistema de referência para localizar pontos em um plano.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3
Origemx(Eixo das abscissas)
(Eixo das ordenadas)y
o1 quadrante
(I)
o2 quadrante
(II)
o3 quadrante
(III)
o4 quadrante
(IV)
Plano Cartesiano
A forma geral de um par ordenado é: (abscissa,ordenada).
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4y
x
A (2, 3)B (-2, 4)C (-3, -2)D (1, -3)E (2, 0)F (0, -1)
A (2, 3)B (-2, 4)
C (-3, -2)D (1, -3)
E (2, 0)
F (0, -1)
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função y = f (x) é o seguinte subconjunto do plano x0y
( ) , ( ) ; ( )G f x f x x D f
variável
independente variável
dependente
Gráficos de funções
1)
x ( )f x0 0
1 2
01
2
y
x
2y x
Os exemplos
2)
x
y 2y x x ( )f x
0
1
1
2
0
1
1
4
1
2
4
1
1
0
Função do 1º grau ou Afim
Esta função é definida por:
onde . Notemos que:
1) 2) é chamado coeficiente angular3) é o coeficiente linear
( ) .f x a x b ,a bR
( ) Im( )D f f Rab
Gráfico da função afim
4) Uma função afim pode ser determinada se dois de seus valores são conhecidos.
Exemplo: Dados temos
Logo .
(1) 12 e (2) 14f f
( ) .f x a x b
(1) 12
2. (2) 14
a b f
a b f
( ) 2. 10f x x
2 e 10a b
Gráfico de uma função afim
5) O gráfico é uma reta que passa pelos pontos
ou seja, . Logo, se temos
P (0, ) e Q ( / )b b a
0 e 0a b
Q
P
y
x
. ( 0, 0)y a x b a b
(0) , ( / ) 0f b f b a
Função do 1º grau ou Afim
6) Além disso como vale
De um modo geral para
(1) .1f a b a b
(1) (0)1 0
f fa b b a
1 2
1 2
( ) ( )f x f xx x
1 2 1 2, comx x x x R
1 2
1 2
. ( . )a x b a x bx x
1 2
1 2
.( )a x xx x
a
taxa de variação
Casos especiais
Seja
1. Se então (constante)
2. Se e então (linear) Para temos a função identidade.
( ) .f x a x b
0a ( )f x b
1a 0b ( ) .f x a x0a
Gráficos dos casos especiais
1. Função afim Constante:
0y b
0y b 0y b
( )y f x b
Gráficos dos casos especiais
2. Função linear: ( ) .y f x a x
y
x
. ( 0)y a x a
. ( 0)y a x a
Gráficos dos casos especiais
Função Identidade:
1 e 0a b
( )y f x x
y x
x
y
Função Quadrática
Sejam , com . A função
tal que , para
todo , é chamada função quadrática ou
função polinomial do segundo grau.
:f 2f x ax bx c
, ,a b c 0a
x
Atividade 1
Em cada uma das funções quadráticas
definidas abaixo, determine seus
coeficientes.
a) b)
c) d)
e) f)
22 4 5f x x x
24 3f x x x 24 2f x x x
22 5f x x
22 5 4f x x x
23
4f x x
Gráfico de uma função quadrática
Sendo uma função quadrática
definida por , esboce o seu gráfico.
:f
2f x x
Para resolver este problema, vamos,
inicialmente, construir uma tabela,
escolhendo alguns valores para e
encontrando os correspondentes para .
Desta forma, determinaremos pares
ordenados . ,x y
x
y
Gráfico de uma função quadrática
Gráfico de uma função quadrática
x 2y x ,x y
43
2
34
16 4,16
16 4,16
9
9
3,9
3,9
4 2,4
2 4 2,4
1 1
11 1,1
1,100 0,0
Sendo uma função quadrática
definida por , esboce o seu
gráfico.
:f
2 1f x x
Gráfico de uma função quadrática
Gráfico de uma função quadrática
x 2 1y x ,x y
43
2
3
4
17 4,17
17 4,17
10
10
3,10
3,10
5 2,5
2 5 2,5
1 2
21 1,2
1,2
10 0,1
Sendo uma função quadrática
definida por , esboce o seu
gráfico.
:f
2 1f x x
Gráfico de uma função quadrática
Gráfico de uma função quadrática
x 2 1y x ,x y
43
2
34
15 4,15
15 4,15
8
8
3,8
3,8
3 2,3
2 3 2,3
1 0
01 1,0
1,0
10 0, 1
Gráfico de uma função quadrática
Sendo uma função quadrática
definida por , esboce o seu gráfico.
:f
2f x x
Gráfico de uma função quadrática
x 2y x ,x y
4
3
2
3
4
16 4, 16
16 4, 16
9
9
3, 9
3, 9
4 2, 4
2 4 2, 4
1 1
11 1, 1
1, 1
00 0,0
Ponto Importante do Gráfico
• O vértice ( , )v vV x y
2v
bx
a
4vya
( , )v vV x y
vx
vy
Funções Crescentes e Decrescentes
Uma função é dita crescente, se
Uma função é dita decrescente, se
:f R R
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
:f R R
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
Exemplo
Função afim: ( )f x ax b
x
y0a
1x2x
1( )f x
2( )f x
crescente
x
y0a
1x2x
1( )f x2( )f x
decrescente
Função Sobrejetora
:f A B
fA B
é sobrejetoraf , talque ( ) y B x A f x y
Exemplo
1) : ; ( ) 3 1f f x x
f
1
y
x1
3
e CD( )f Note que o gráfico nos fornece
Im( )f
Logo, Im( ) CD( )f f
é sobrejetoraf
Exemplo22) : ; ( )f f x x
fy
x
e CD( )f Note que o gráfico nos fornece
Im( )f
Logo, Im( ) CD( )f f
não é sobrejetoraf
Exemplo23) : ; ( )f f x x
fy
x
e CD( )f Note que o gráfico nos fornece
Im( )f
Logo, Im( ) CD( )f f
é sobrejetoraf
Função Injetora
é injetora Ou equivalentemente, Esta definição é mais prática para os cálculos.
:f A B
fA B
f 1 2 1 2 1 2, , se ( ) ( )x x A x x f x f x
1 2 1 2se ( ) = ( ) .f x f x x x
Exemplo
31) : ; ( )f f x x y
x
3 3 3 32 1 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x x x
2 21 2 1 1 2 2( )( ) 0x x x x x x
é injetoraf
1 2x x 1 2 0x x
Exemplo22) : ; ( )f f x x
fy
x
22( ) 2 4f x
temos
não é injetora.f
214 ( 2) ( )f x 12 x 2 2,x Sendo
Pode-se mostrar a
graficamente . Basta traçar retas
horizontais no plano cartesiano
se uma reta tocar o gráfico em dois
pontos, então f não é injetiva
injetividade de uma função
Exemplo23) : ; ( )f f x x
y
é injetoraf
1 2Sejam , ex x R
1 2( ) ( )f x f x 2 21 2x x
1 2x x 1 2já que , x x R
Função Bijetora
é bijetora é sobrejetora e injetora Ou ainda: é bijetora:
fA B
f 1 2 1 2 1 2, , se ( ) ( )x x A x x f x f x
:f A B f
Im ( ) contradomínio f x B
Exemplo
1) : ; ( ) 3 1f f x x
f
1
y
x1
3
1 2Note que , temos:x x
Sabemos que é sobrejetora pois
Im( ) CD( )
f
f f
1 2x x
é Bijetoraf
Logo é injetorafComo é sobrejetora e injetoraf
1 23 3x x 1 23 1 3 1x x
1 2( ) ( )f x f x
Exemplo22) : ; ( )f f x x
fy
x
E como Im( ) CD( ) temos quef f
1 2Pois , temos x x 2
2 2( )f x x1x 2x 21 1( )x f x
Sabemos que é injetoraf
é sobrejetoraf
Como é sobrejetora e injetoraf
é Bijetoraf
Função Par
1) : ; ( ) é par poisf f x x
:f A B
Exemplos
f
y
x
( )f x
talque ( ) ( )f x f x x A
( )f x x x x
Obs.: O gráfico de é simétrico
em relação ao eixo .
f
y
22) : ; ( ) 1 é par pois,f f x x
f
y
x
Obs.: O gráfico de é simétrico
em relação ao eixo .
f
y
( )f x ( )f x x 2( ) 1x 2 1x
Função Ímpar
31) : ; ( ) é ímpar pois,f f x x
Exemplosy
x
:f A B talque ( ) ( )f x f x x A
Obs.: O gráfico de é simétrico
em relação à origem.
f0
( )f x ( )f x x 3( )x 3x f
2) : ; ( ) é ímpar pois,f f x x
Obs.: O gráfico de é simétrico
em relação à origem.
f
( )f x x
( )f x x
Logo,
( ) ( )f x f x x
y
x
0
f
Função que não é nem par e nem Ímpar2: ; ( )f f x x x
2x x x 2( )x x
( ) ( ) ef x f x f
y
xObs.: O gráfico de não é simétrico
nem em relação à origem,
nem em relação ao eixo .
f
y
0
2( ) ( )x x ( )f x
( )f x 2x x x
( ) ( )f x f x x
Obrigado !
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