Download - Aula dezenove calculo um 2015 aluno
Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
DEZENOVE
FÓRMULA DE TAYLOR
A Fórmula de Taylor consiste num método de
aproximação de uma função por um
polinômio, com um erro possível de ser
estimado.
FÓRMULA DE TAYLOR
Definição
Seja f:I→R uma função que admite derivadas
até a ordem n num ponto c do intervalo I.
O polinômio de Taylor de ordem n de f no
ponto c, denotado por Pn (x), é dado por:
EXEMPLO
EXEMPLO
FÓRMULA DE TAYLOR
Dado um polinômio de Taylor de grau n de uma
função f(x), denotamos por Rn(x) a diferença
entre f(x) e Pn(x), isto é,
xPxfxR nn
FÓRMULA DE TAYLOR
Temos, então, que
f(x) =Pn(x) + Rn(x), ou mais explicitamente,
.
!
!2
´´´
2
xRcxn
cf
cxcf
cxcfcfxf
n
nn
FÓRMULA DE TAYLOR
Para valores de x nos quais Rn(x) é “pequeno”,
o polinômio Pn(x) dá uma boa aproximação de
f(x).
Por isso, Rn(x) chama-se resto.
O problema, agora, consiste em determinar uma
fórmula para Rn(x) de tal modo que ele possa
ser avaliado.
Temos a seguinte proposição.
FÓRMULA DE TAYLOR
Proposição (Fórmula de Taylor)
Seja f:[a,b] → R uma função definida num
intervalo [a,b].
Suponha que as derivadas f´, f´´, ...,f(n) existam e
sejam contínuas em [a,b] e que f(n+1) exista em
(a,b).
Seja c um ponto qualquer fixado em [a,b].
Então, para cada x ϵ [a,b], x ≠ c, existe um ponto
z entre c e x tal que:
FÓRMULA DE TAYLOR
Quando c=0, a Fórmula de Taylor fica
Recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin.
.!1!
!2
´´´
11
2
nn
nn
cxn
zfcx
n
cf
cxcf
cxcfcfxf
1
1
!1!
00´0
n
nn
n
xn
zfx
n
fxffxf
FÓRMULA DE TAYLOR
é chamada Fórmula de Lagrange do resto.
A forma:
11
!1
n
n
n xn
zfxR
Exemplo 1
Determinar os polinômios de Taylor de grau 2 e
de grau 4 da função f(x) = cos x, no ponto c = 0.
Esboçar o gráfico de f e dos polinômios
encontrados.
Usando o polinômio P4(x) para determinar um
valor aproximado para cos (π/6), o que se pode
afirmar sobre o erro cometido?
Solução
Para determinar os polinômios pedidos,
necessitamos do valor de f e de suas derivadas
até ordem 4, no ponto c = 0.
Solução
Solução
Solução
A Figura mostra o gráfico
de f(x), P2(x) e P4(x).
Comparando esses
gráficos, podemos
observar que o gráfico de
P4(x) está mais próximo
do gráfico de f(x).
Se aumentarmos n, o gráfico de Pn(x) se
aproxima cada vez mais do gráfico de f(x).
Solução
Usando o polinômio P4(x)
para determinar um valor
aproximado de cos (π/6),
pela Fórmula de Taylor,
temos:
Solução
Solução
Exemplo 2
Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da
função f(x) = sen 2x no ponto c = π/4. Usar este
polinômio para determinar um valor aproximado
para sen π/3. Fazer uma estimativa para o
erro.
Solução
Solução
Solução
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FÓRMULA DE TAYLOR
Logo, usando o polinômio P6(x) obtemos
sen(π/3) = 0,86602526 e o erro cometido,
em módulo, será inferior a 2,1407•10-26.
Usando a Fórmula de Taylor, pode-se
demonstrar a seguinte proposição que nos
dá mais um critério para determinação de
máximos e mínimos de uma função.
FÓRMULA DE TAYLOR
FÓRMULA DE TAYLOR
Então
FÓRMULA DE TAYLOR
FÓRMULA DE TAYLOR
FÓRMULA DE TAYLOR
FÓRMULA DE TAYLOR
EXERCÍCIO 1
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
DEZENOVE
