28/03/2013
1
Engenharia EconômicaEngenharia Econômica
Juros e FunçõesJuros e FunçõesEquivalência de TaxasEquivalência de Taxas
Curso: Engenharia CivilDisciplina: Engenharia EconômicaProfª: Dra. Felícia Rocha
�� JurosJuros SimplesSimples – os juros serão obtidos emfunção do tempo de aplicação através daequação:
J = C.i.n
Vamos considerar um capital de R$ 200,00 aplicadoa juros simples à taxa de 10% ao mês e o prazo emmeses:n = 0 ⇒ J = 200. 0,1.0 = 0,n = 1 ⇒ J = 200. 0,1.1 = 20,n = 2 ⇒ J = 200. 0,1.2 = 40,n = 3 ⇒ J = 200. 0,1.3 = 60
n (meses) J (R$)
0 0
1 20
2 40
3 60
Os juros estãorelacionados por umafunção linear:
J = 20nJ = 20n
� Como o montante é dado por MM == CC ++ JJ , essarelação também segue uma função linear
0
1000
2000
3000
0 2 4
Juro
s (R
$)
Período (meses)
150
200
250
0 2 4
Mo
nta
nte
(R$
)
Período (meses)
28/03/2013
2
� Juros compostos – no sistema de juroscompostos, o montante é obtido em função dotempo por meio da equação:
M = C (1 + i)M = C (1 + i)nn
Vamos considerar um capital de R$ 400,00 aplicadoa juros compostos à taxa de 80% ao ano e o prazoem anos:n = 0 ⇒ M = 400.(1 + 0,80)0 = 400n = 1 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)1= 720n = 2 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)2 = 1296n = 3 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)3= 2332,8
n (anos) M (R$)
0 400
1 720
2 1296
3 2332,8
Os juros estãorelacionados por umafunção exponencial:
M = 400.1,8M = 400.1,8nn
150
650
1150
1650
2150
0 1 2 3 4
Mo
nta
nte
(R
$)
Período (meses)
Taxas EquivalentesTaxas Equivalentes
Se aplicarmos $50.000,00 durante 3 meses a umataxa de 10% a.m, o montante será o mesmo que oproduzido por uma taxa trimestral de 30%? Para jurossimples , a resposta seria sim. Mas e para juroscompostos?
SituaçãoSituação 11:: i = 10%, n = 3M1 = 50.000.(1 + 0,1)3 = 66.550
SituaçãoSituação 22:: i = 30%, n = 1M2 = 50.000.(1 + 0,3)1 = 65.000
28/03/2013
3
Para que M1 fosse igual a M2 deveríamos aumentar asegunda taxa. Essa taxa obtida seria equivalenteequivalente àprimeira e chamada de efetivaefetiva.
33,1% ou ,i,i
.
.i.)i(.
331033111
00050
55066150066100050
=⇒=+
=+⇒=+=
Diz-se que a taxa mensal iimm é equivalente a taxaanual iiaa quando:
1211 )i(C)i(CM ma +=+=
Duas ou mais taxastaxas referenciadas a períodos unitáriosdistintos sãosão equivalentesequivalentes quando produzem o mesmomesmomontantemontante no final de determinado tempo, pelaaplicação de um mesmo capital inicial.
Expressão da taxa mensal quando se conhece a taxa anualExpressão da taxa mensal quando se conhece a taxa anual
Portanto a taxa mensal iimm é:
12
12
11
11
)i()i(
)i()i(
am
ma
+=+
+=+
11 12 −+= )i(i ma
Expressão da taxa anual quando se conhece a taxa mensalExpressão da taxa anual quando se conhece a taxa mensal
11 121
−+= )i(i am
28/03/2013
4
Como no dia a dia os períodos a que se referem astaxas que se tem e as taxas que se quer são osmais variados, tem-se a fórmula genérica paraqualquer caso:
11 −+= tq
)i(i tq
Onde:
iq = taxa para o prazo que se quer
it = taxa para o prazo que se temq = prazo que se quert = prazo que se tem
1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,13% aoano.
3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442%ao dia.
4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,75%em dois anos.
5. Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13%ao trimestre.
6. Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5%ao mês.
7. Dada a taxa de 9% por trimestre, calcule a taxamensal equivalente de juros compostos.
8. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por$10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerádentro de três meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 40% ao ano,determinar o seu valor presente.
9. Uma pessoa aplica $15.000,00 num título de rendafixa com vencimento no final de 61 dias, a umataxa de 30% ao ano. Calcular o seu valor deresgate.
10. Qual a taxa mensal de juros cobrada numempréstimo de $64.000,00 para se quitado por$79.600,00 no prazo de 117 dias?
28/03/2013
5
11. Supondo que um capital de $1.200,00 vai seraplicado à taxa de juros compostos por trimestreou 70% ao ano. Qual será a melhor aplicação?