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Modelagem de Sistemas DinmicosAula 6

Prof. Daniel [email protected]

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas

Universidade Federal de Santa Catarina

PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.1/21

Sumrio

Mecnica Lagrangeana


Sumrio

Mecnica Lagrangeana

1. Introduo


Sumrio

Mecnica Lagrangeana

1. Introduo

2. Conceitos Preliminares


Sumrio

Mecnica Lagrangeana

1. Introduo


3. Lagrangeano


Sumrio

Mecnica Lagrangeana

1. Introduo


3. Lagrangeano

4. Equaes de Lagrange


Sumrio

Mecnica Lagrangeana

1. Introduo


3. Lagrangeano

4. Equaes de Lagrange

5. Exemplos


Introduo - I

A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.


Introduo - I


As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.


Introduo - I


As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.

Com a modelagem em termos de energia, o formalismo deLagrange capaz de evitar a utilizao de grandezasvetoriais como na mecnica Newtoniana.


Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:



1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).




2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas




2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas

3. O nmero de equaes geradas para a obteno de ummodelo matemtico da dinmica de um sistema menor ou no mximo igual.


Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual


Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual

O deslocamento virtual xi uma modificaoinfinitesimal nas coordenadas do sistema enquanto otempo mantido constante


Conceitos Preliminares - II

Trabalho Virtual



Trabalho Virtual

o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.



Trabalho Virtual

o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.

Considere uma partcula P que se move ao longo de umatrajetria r(t) do ponto A para B:

WAB =

r(t1)=Br(t0)=A

F dr =

t1t0

F v dt

onde v a velocidade.


Conceitos Preliminares - III

Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:

W =

BA

F d(r+ r) =

t1t0

F (v + r) dt


Conceitos Preliminares - III

Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:

W =

BA

F d(r+ r) =

t1t0

F (v + r) dt

O trabalho virtual W a variao do trabalho realizadoconsiderando o deslocamento virtual r:

W = W WAB =

t1t0

(F r

)dt


Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas



um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.




O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.




O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.

O nmero de coordenadas generalizadas igual ao nmerode graus de liberdade de um corpo.


Exemplo 1 Um pndulo duplo restrito a se mover no plano pode ser descrito

pelas coordenadas Cartesianas {x1, y1, x2, y2}.

Pode ser representado por coordenadas generalizadas {1, 2}.


Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as

foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.

i

(Fi miai

)Tri = 0




i

(Fi miai

)Tri = 0

A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).




i

(Fi miai

)Tri = 0

A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).

Na demonstrao, introduz-se o conceito da fora inercial(ou fora auxiliar dAlembert): FT = ma.


Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo

que define o comportamento dinmico desse sistema.




O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:

L = Ec Ep




O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:

L = Ec Ep

Em geral, o Lagrangeano definido em termos decoordenadas generalizadas q1, . . . , qf assumindo a seguinteforma:

L = L(q1, . . . , qf , q1, . . . , qf , t)


Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema

composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.




Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).




Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).

Esta tarefa pode ser facilitada se utilizarmos f coordenadasgeneralizadas para representar o vetor de coordenadasespaciais ri:

ri = ri(q1, . . . , qf )


Equaes de Lagrange - II

O deslocamento virtual ri assume a seguinte forma:

ri =ri

q1q1 + +

ri

qfqf =

j

ri

qjqj


Equaes de Lagrange - II

O deslocamento virtual ri assume a seguinte forma:

ri =ri

q1q1 + +

ri

qfqf =

j

ri

qjqj

A partir da relao acima, pode-se reformular o princpiode dAlembert:

i

[(Fi mri)

T

(j

ri

qjqj

)]= 0


Equaes de Lagrange - III Manipulando a expresso anterior (ver Isermann, 2005), chega-se

a equao de Lagrange:

d

dt

(L

qj

)

L

qj=

d

dt

(Ec

qj

)Ec

qj+Ep

qj= Qj , Qj =

Wj

qj




d

dt

(L

qj

)

L

qj=

d

dt

(Ec

qj

)Ec

qj+Ep

qj= Qj , Qj =

Wj

qj

onde:Ec a energia cinticaEp a energia potencialQj a fora generalizada responsvel pelo trabalho virtual Wjem relao ao deslocamento virtual qj realizado pela foraaplicada Fi.




d

dt

(L

qj

)

L

qj=

d

dt

(Ec

qj

)Ec

qj+Ep

qj= Qj , Qj =

Wj

qj

onde:Ec a energia cinticaEp a energia potencialQj a fora generalizada responsvel pelo trabalho virtual Wjem relao ao deslocamento virtual qj realizado pela foraaplicada Fi.

Dissipao de energia (D): ddt

(Ecqj

) Ec

qj+

Dqj

+Epqj

= Qj


Exemplo 2 - I Considere o seguinte sistema massa-mola-amortecedor.


Exemplo 2 - II Para obter a equao do movimento utilizando a Equao

de Lagrange, define y como a coordenada generalizada pois o nico grau de liberdade do movimento e portanto

Ec =1

2my2 e Ep =

1

2k(u y)2




Ec =1

2my2 e Ep =

1

2k(u y)2

Derivadas parciais:

Ec

y= my ,

Ec

y= 0 ,

Ep

y= k(u y)




Ec =1

2my2 e Ep =

1

2k(u y)2

Derivadas parciais:

Ec

y= my ,

Ec

y= 0 ,

Ep

y= k(u y)

Energia dissipada

D =W

y= b(y u)


Exemplo 2 - III

Pela equao de Lagrange:

my k(u y) + b(y u) = 0


Exemplo 2 - III


my k(u y) + b(y u) = 0

Portanto:my + by + ky = bu+ ku


Exemplo 2 - III


my k(u y) + b(y u) = 0

Portanto:my + by + ky = bu+ ku

Funo de transferncia:

G(s) =Y (s)

U(s)=

bs+ k

s2 + bs+ k


Exemplo 3 - I Considere um pndulo de massa m e tamanho l acoplado a

massa mvel M que se move na direo x sem atrito.


Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e .


Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e . Energia cintica:

Ec =12Mx2 + 1

2m(x2pend + y

2pend

)= 1

2Mx2 + 1

2m[(x+ l cos()

)2+(l sin()

)2]



Ec =12Mx2 + 1

2m(x2pend + y

2pend

)= 1

2Mx2 + 1

2m[(x+ l cos()

)2+(l sin()

)2] Energia Potencial:

Ep = mgypend = mgl cos()



Ec =12Mx2 + 1

2m(x2pend + y

2pend

)= 1

2Mx2 + 1

2m[(x+ l cos()

)2+(l sin()

)2] Energia Potencial:

Ep = mgypend = mgl cos()

Para cada coordenada generalizada gerada uma equaode Lagrange.


Exemplo 3 - III Lagrangeano:

L = EcEp =1

2(M+m)x2+mlx cos()+

1

2ml22+mgl cos()



L = EcEp =1

2(M+m)x2+mlx cos()+

1

2ml22+mgl cos()

Equaes de Lagrange:

d

dt

(L

qj

)

L

qj= 0 , j = 1, 2



L = EcEp =1

2(M+m)x2+mlx cos()+

1

2ml22+mgl cos()

Equaes de Lagrange:

d

dt

(L

qj

)

L

qj= 0 , j = 1, 2

Equao 1: (M +m)x+ml cos()ml2 sin() = 0.



L = EcEp =1

2(M+m)x2+mlx cos()+

1

2ml22+mgl cos()

Equaes de Lagrange:

d

dt

(L

qj

)

L

qj= 0 , j = 1, 2

Equao 1: (M +m)x+ml cos()ml2 sin() = 0.

Equao 2: l + x cos() + g sin() = 0.


Exerccio Considere o sistema composto por um disco (com mom. de

inrcia J), uma massa m e uma mola linear com constante k.Determine a equao do movimento do sistema considerando aEquao de Lagrange (B.C. Fabien, Analytical System Dynamics,2009).


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