Download - aulatema0102 Eletromagnetismo
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
Análise VetorialIntrodução para Eletromagnetismo
Sérgio Antenor de Carvalho1
1Departamento de Engenharia de TeleinformáticaCentro de Tecnologia
Universidade Federal do Ceará
2010
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
Tópicos
1 Sistemas de Coordenadas
2 Sistema de Coordenadas Retangulares
3 Sumário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
Tópicos
1 Sistemas de Coordenadas
2 Sistema de Coordenadas Retangulares
3 Sumário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
Tópicos
1 Sistemas de Coordenadas
2 Sistema de Coordenadas Retangulares
3 Sumário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Necessidade de um sistema de coordenadas
para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial
todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas
Figura: Exemplos de geometrias de problemas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Necessidade de um sistema de coordenadas
para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial
todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas
Figura: Exemplos de geometrias de problemas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Necessidade de um sistema de coordenadas
para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial
todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas
Figura: Exemplos de geometrias de problemas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Objetivos
estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Objetivos
estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
SumárioIntrodução
Objetivos
estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Sistema de Coordenadas Retangulares
é o sistema de coordenadas mais simples
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Vetores Unitários Fundamentais
formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Vetores Unitários Fundamentais
formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Vetores Unitários Fundamentais
formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Variáveis independentes e vetores Unitários
variáveis independentes(x , y , z)
vetores base(~ax , ~ay , ~az)
vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az
Carvalho Análise Vetorial
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Variáveis independentes e vetores Unitários
variáveis independentes(x , y , z)
vetores base(~ax , ~ay , ~az)
vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Variáveis independentes e vetores Unitários
variáveis independentes(x , y , z)
vetores base(~ax , ~ay , ~az)
vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Variáveis independentes e vetores Unitários
variáveis independentes(x , y , z)
vetores base(~ax , ~ay , ~az)
vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
Variáveis independentes e vetores Unitários
variáveis independentes(x , y , z)
vetores base(~ax , ~ay , ~az)
vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
temos dos pontos P1 e P2 que definem o vetor−→V
−→V = (0− 4)~ax + (3− 0)~ay + (3, 5− 2)~az
= −4~ax + 3~ay + 1, 5~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
temos dos pontos P1 e P2 que definem o vetor−→V
−→V = (0− 4)~ax + (3− 0)~ay + (3, 5− 2)~az
= −4~ax + 3~ay + 1, 5~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
as componentes do vetor−→V são
−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az
= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az
módulo do vetor−→V
|−→V | =
√V 2
x + V 2y + V 2
z
≈ 5, 22
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
as componentes do vetor−→V são
−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az
= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az
módulo do vetor−→V
|−→V | =
√V 2
x + V 2y + V 2
z
≈ 5, 22
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
as componentes do vetor−→V são
−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az
= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az
módulo do vetor−→V
|−→V | =
√V 2
x + V 2y + V 2
z
≈ 5, 22
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
as componentes do vetor−→V são
−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az
= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az
módulo do vetor−→V
|−→V | =
√V 2
x + V 2y + V 2
z
≈ 5, 22
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
unitário do vetor−→V
−→u V =
−→V√
V 2x + V 2
y + V 2z
≈ −0, 77~ax + 0, 57~ay + 0, 29~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 1
unitário do vetor−→V
−→u V =
−→V√
V 2x + V 2
y + V 2z
≈ −0, 77~ax + 0, 57~ay + 0, 29~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 2
produto escalar entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ·
−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= 2 + 4, 5 = 6, 5
produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 2
produto escalar entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ·
−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= 2 + 4, 5 = 6, 5
produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 2
produto escalar entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ·
−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= 2 + 4, 5 = 6, 5
produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 2
produto escalar entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ·
−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= 2 + 4, 5 = 6, 5
produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 2
produto escalar entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ·
−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= 2 + 4, 5 = 6, 5
produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ×
−→B =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5
∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ×
−→B =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5
∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ×
−→B =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5
∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ×
−→B =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5
∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores−→A e
−→B
−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az
−→A ×
−→B =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5
∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az
~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0
~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay
~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax
~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax
Carvalho Análise Vetorial
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Sumário
IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az
~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0
~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay
~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax
~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az
~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0
~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay
~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax
~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az
~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0
~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay
~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax
~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax
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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos
exemplo de aplicação no 3
produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az
~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0
~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay
~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax
~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax
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Sumário
SumárioAnálise Vetorial
Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
SumárioAnálise Vetorial
Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
Sumário
SumárioAnálise Vetorial
Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
Carvalho Análise Vetorial
Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares
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SumárioAnálise Vetorial
Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
Carvalho Análise Vetorial
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Sumário
SumárioAnálise Vetorial
Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
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Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
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Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema
Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes
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