Download - bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik
![Page 1: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/1.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat dalam Komputasi Numerik (Lanjutan)
• Notasi Ilmiah
• Titik Mengambang
• Galat dalam Komputasi Numerik
• Angka Signifikan
• Machine epsilon
• Satuan Pembulatan
• Pemangkasan dan Pembulatan
• Loss of significant error
• Perambatan Galat
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 1
![Page 2: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Notasi Ilmiah (Scientific Notation)
• Cara baku untuk menyajikan bilangan real �disebut notasi ilmiah, dapat dinyatakan dalam
bentuk
� = ±� × 10�; 1 ≤ � ≤ 10.Dengan � disebut mantissa (mantis) dan disebut exponent (pangkat).
Contoh: 0.000342 = 3.42 × 10��
13.642 = 1.3642 × 10�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 2
![Page 3: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang (Floating Point)
• Setiap bilangan � dalam sistem titik
mengambang direpresentasikan sebagai:
� = ± �� + ��� + ��
�� + ⋯ + �������� �� ,
0 ≤ �� ≤ � − 1; = 0, … , " − 1; # ≤ $ ≤ %dengan ���� ⋯ ���� disebut mantissa dan $disebut exponent.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 3
![Page 4: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
� Base or radix
" Precision (the number of digits from
which a value is expressed).
[#, %] Exponent range
Contoh:
IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 4
System ( " # %IEEE SP
IEEE DP
Cray
HP calculator
IBM mainframe
2
2
2
10
16
24
53
48
12
6
-126
-1,022
-16,383
-499
-64
-127
-1,023
-16,384
499
63
![Page 5: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang Desimal
(Decimal Floating Point)
� = ) ∙ + ∙ 10� , ) = ±1; 1 ≤ + < 10; $ ∈ ℤ
Contoh:
503 = (1.66666 ⋯ )��∙ 10�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 5
![Page 6: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Titik Mengambang Normal
(Normalized Floating Point)
• Decimal Floating Point
• Binary Floating Point
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 6
![Page 7: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/7.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Decimal Floating Point:
� = ) ∙ + ∙ 10� , ) = ±1; 0.1 ≤ + < 1; $ ∈ ℤContoh:• 3.4108 = 0.34108 ∙ 10�• 13.642 = 0.13642 ∙ 10�
• Binary Floating Point:
� = ) ∙ + ∙ 2� , ) = ±1; 0.5 ≤ + < 1; $ ∈ ℤContoh:• 53/24 = 0.110101 = 0.1101 ∙ 2�• 1/10 = 0.000110011 = 0.1101 ∙ 2�4
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 7
![Page 8: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
IEEE Floating Point Standard
• Dengan presisi tunggal (single precision/SP),
suatu bilangan � dapat dituliskan dalam bentuk :
56 � = ) ∙ 1. 7�7� ⋯ 7�4 � ∙ 2�
Mantissa or Significand
+ = 1. 7�7� ⋯ 7�4 �; 1 ≤ + < 2
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 8
![Page 9: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/9.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Untuk memahami limit dari $ serta bilangan biner
yang dipilih untuk merepresentasikan + perlu
diketahui bagaimana bilangan � tersebut
disimpan dalam komputer
• Pada dasarnya ) disimpan sebagai 1 bit,
significand + dalam 23 bits, serta exponent $yang dapat berupa bilangan bulat positif atau
negatif menempati 8 bits sisanya.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 9
![Page 10: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Dengan demikian, $ haruslah memenuhi
− 1111111 � ≤ $ ≤ 1111111 �−127 ≤ $ ≤ 127
Namun dalam prakteknya
−126 ≤ $ ≤ 127untuk alasan penyimpanan bilangan nol atau
takhingga.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 10
![Page 11: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat (kesalahan) dalam Proses Komputasi Numerik
• Kesalahan dapat terjadi akibat adanya
perbedaan antara bilangan � dan
representasinya dalam komputer, 56(�). • Kesalahan ini dapat dihindari, $9 = � − 56 � = 0,
bila � dapat direpresentasikan dalam komputer
tanpa mengubah apapun.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 11
![Page 12: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Definisi Galat (Error)
• Andaikan �: adalah nilai bilangan yang
sebenarnya dan �; adalah nilai hasil
representasinya, maka suatu kesalahan di �;dituliskan sebagai :
$<<=< �; = �: − �;dan kesalahan relatifnya dituliskan dalam bentuk:
<$6 �; = $<<=< �;�:
= �: − �;�:
= 1 − �;�:
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 12
![Page 13: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/13.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
Jika �: = > dan �; = �?@ , maka
$<<=< �?@ = $ − �?
@ = 0.003996dan
<$6 �?@ = 0.00147
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 13
![Page 14: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Angka Signifikan (Significant Digit)
• Misalkan suatu hampiran bilangan � dinyatakan
sebagai:
�; = ±������ ⋯ ����. ������ ⋯ ��B
= ± C �D10D�
DE�BJika �D > 0 dan �G = 0 untuk H > I, maka digit-
digit �D , �D��, … , ��B dikatakan angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 14
![Page 15: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/15.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Bilangan 25.047 memiliki 5 angka signifikan.
• Bilangan -0.00250 memiliki 3 angka signifikan.
• Bilangan 0.000068 memiliki 2 angka signifikan.
• Bilangan 0.100068 memiliki 6 angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 15
![Page 16: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/16.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Misalkan � adalah nilai eksak. Hampiran �̅ untuk
�, dikatakan menghampiri � sampai I angka
signifikan jika I adalah bilangan bulat positif
terbesar yang memenuhi
$9̅� = � − �̅
� < 10�D2 .
Contoh:
� = 3.141592 dan �̅ = 3.14, maka
� − �̅� = 0.000507 ≈ 10�4
2Jadi, �̅ menghampiri � sampai 3 angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 16
![Page 17: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/17.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
L = 1000000 dihampiri oleh LM = 999996, maka
L − LML = 0.000004 ≈ 10�N
2Jadi, LM menghampiri L sampai 5 angka signifikan.
Contoh:
O = 0.000012 dihampiri oleh O̅ = 0.000009, maka
O − O̅O = 0.25 ≈ 10��
2Jadi, hampiran O̅ tidak memiliki angka signifikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 17
![Page 18: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Machine Epsilon
• Andaikan L adalah bilangan terkecil yang lebih
dari 1 yang dapat direpresentasikan dalam suatu
komputer aritmatika, maka P = L − 1 disebut
machine epsilon.
• Ini digunakan sebagai ukuran akurasi untuk
merepresentasikan bilangan dalam komputer.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 18
![Page 19: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/19.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Bilangan 1 memiliki representasi floating point
yang sederhana sebagai berikut :
1 = (1.000 ⋯ 0)�∙ 2�
• Bilangan terkecil yang > 1 adalah :
1 + 2��4 = (1.00 ⋯ 01)�∙ 2� > 1• Dengan demikian, machine epsilon dalam IEEE
floating point presisi tunggal adalah :
P = 2��4 = 1.19 ∙ 10�@
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 19
![Page 20: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/20.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Satuan Pembulatan
• Andaikan Q > 0 adalah bilangan terkecil yang
dapat direpresentasikan dalam mesin komputer,
serta 1 + Q > 1 dalam aritmatika mesin.
• Untuk sembarang 0 < R < Q, maka hasil dari
1 + R = 1 dalam aritmatika mesin.
• Dengan demikian, dalam representasi floating
point pada mesin, R dapat diabaikan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 20
![Page 21: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/21.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Tidaklah sulit untuk menentukan besarnya Q.
Angka 1 memiliki representasi floating point
berikut :
1 = (1.000 ⋯ 0)�∙ 2�
• Bilangan terkecil yang dapat ditambahkan ke
angka 1 tanpa dapat diabaikan adalah :
1 + 2��4 = (1.00 ⋯ 01)�∙ 2� > 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 21
![Page 22: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/22.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Pada tahap ini perlu ditentukan apakah akan
digunakan aritmatika pemangkasan (chopping)
atau pembulatan (rounding).
• Dengan pemangkasan diperoleh:
Q = 2��4
• sedangkan dengan pembulatan diperoleh:
Q = 2���
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 22
![Page 23: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/23.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pemangkasan dan Pembulatan dalam Sistem Desimal
• Andaikan O adalah suatu bilangan desimal
dengan representasi dalam floating point seperti
berikut :
O = ) ∙ + ∙ 10� = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10�
dengan 7� ≠ 0sehingga terdapat digit desimal
pada significand
+ = 7�. 7� ⋯ 7� ��
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 23
![Page 24: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/24.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Secara umum, bila diberikan suatu bilangan
� = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� ⋯ �� ∙ 10� , 7� ≠ 0Penulisan � perlu dibuat lebih pendek agar muat
dalam komputer. Hal ini dapat dilakukan melalui
proses pemangkasan atau pembulatan.
• Bila dilakukan pemangkasan, maka representasi
floating point dari � adalah :
56 � = ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10� , 7� ≠ 0
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 24
![Page 25: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/25.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Bila dilakukan pembulatan, maka perlu
diputuskan pembulatan ke atas atau ke bawah.
• Formula yang sederhana adalah sebagai berikut:
56 � = T ) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� ∙ 10� , 7�U� < 5) ∙ 7�. 7� ⋯ 7� �� + 0.0 ⋯ 1 �� ∙ 10� , 7�U� ≥ 5
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 25
![Page 26: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Pemangkasan dan Pembulatan dalam Sistem Biner
• Andaikan
� = ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� ⋯ � ∙ 2�
dengan 7� = 0atau 7� = 1, maka pemangkasan
yang dilakukan pada � menghasilkan bilangan
dalam floating point berikut :
56 � = ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � ∙ 2�
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 26
![Page 27: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Pembulatan ke atas atau ke bawah yang
dilakukan pada � menghasilkan bilangan dalam
floating point berikut :
56 � = T ) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � ∙ 2� , 7�U� = 0) ∙ 1. 7� ⋯ 7� � + 0.0 ⋯ 1 � ∙ 2� , 7�U� = 1
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 27
![Page 28: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/28.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Loss of Significant Error
• Kesalahan ini dapat terjadi sebagai akibat dari
keterbatasan kalkulator atau komputer yang kita
miliki.
• Sebagai contoh, didefinisikan fungsi berikut :
5 � = � W�<" � + 1 − W�<" �• Fungsi tersebut akan dievaluasi di kalkulator
dengan 6 digit desimal yang menggunakan
sistem aritmatika pembulatan.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 28
![Page 29: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/29.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Hasilnya diberikan pada tabel berikut :
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 29
X Computed Y(X) True Y(X)1
10
100
1000
10000
100000
.414210
1.54340
4.99000
15.8000
50.0000
100.000
.414214
1.54347
4.98756
15.8074
49.9988
158.113
![Page 30: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/30.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Contoh:
• Penyelesaian persamaan �� − 26� + 1 = 0adalah
�:(�) = 13 + W�<" 168 ,
�:(�) = 13 − W�<" 168
dengan W�<"(168) = 12.961 (benar sampai 5
digit). Ini berarti:
W�<" 168 − 12.961 ≤ .0005
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 30
![Page 31: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/31.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• selanjutnya, didefinisikan:
�;(�) = 13 + 12.961 = 25.961,�;
(�) = 13 − 12.961 = .039• Untuk kedua akar persamaan tersebut berlaku:
�: − �; ≤ .0005• Namun demikian, kesalahan relatifnya:
Z$6 �;(�) ≤ .0005
25.9605 = 3.13 × 10�N
Z$6 �;(�) ≤ .0005
.0385 = .0130James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 31
![Page 32: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/32.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Ini dapat terjadi karena loss of significant error
pada proses perhitungannya yang dapat
diperkecil dengan mengambil :
�;(�) = 1
13 + W�<"(168) = 125.961
• Bila suatu bilangan dikurangi dengan bilangan
yang hampir sama, akan terjadi loss of significant
error pada proses perhitungannya.
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 32
![Page 33: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/33.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
Perambatan (Propagasi) Galat
• Evaluasi suatu fungsi 5(�) pada mesin seringkali
tidak menghasilkan 5(�) melainkan suatu nilai
hampirannya, 5[(�)• Kemudian andaikan, �; ≈ �: , maka untuk
mengevaluasi 5(�:), bisa jadi kita menghitung
5[(�;).• Dengan demikian terjadi kesalahan sebesar :
5 �: − 5[ �; = 5 �: − 5 �; + 5 �; − 5[ �;
James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 33
![Page 34: bahan ajar pertemuan ke_2 metode numerik](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/54a34affac7959d7708b47c2/html5/thumbnails/34.jpg)
1. Galat dalam Komputasi Numerik
• Besaran 5 �; − 5[ �; biasanya disebut noise,
sedangkan besaran 5 �: − 5 �; disebut
kesalahan karena propagasi.
• Bila 5 adalah fungsi yang mempunyai turunan,
maka dengan menggunakan teorema nilai
tengah diperoleh :
5 �: − 5 �; = 5\ ] (�: − �;)• Atau karena ] terletak di antara �: dan �;,
sedangkan �: sedemikian dekat dengan �;,
maka :
5 �: − 5 �; ≈ 5\ �: (�: − �;)James U.L. Mangobi Jurusan Matematika Unima 34