TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TOÁN - TIN
BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 3
ĐỒNG THÁP - 2013
MỤC LỤC
1 Giới hạn và đạo hàm của hàm nhiều biến 4
1.1 Không gian Rn và hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Đạo hàm riêng và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Tích phân bội 10
2.1 Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn . . . . . . . . . 10
2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Tích phân 2 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2
2.2.2 Cách tính tích phân 2 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Tích phân 3 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Áp dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Áp dụng trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Tích phân đường và tích phân mặt 17
3.1 Lí thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Áp dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Áp dụng vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Tài liệu tham khảo 23
CHƯƠNG 1
GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN
1.1 Không gian Rn và hàm nhiều biến
1.1.1 Không gian Rn
1.1.2 Hàm nhiều biến
1.1.3 Bài tập
Bài 1.1.1. Chứng minh các giới hạn sau bằng định nghĩa
a) limn→+∞
( 1n,2
n
)= (0, 0). b) lim
n→∞(n+ 1
n,− 1
n,2
n) = (1, 0, 0).
Bài 1.1.2. Tính các giới hạn sau
a) limn→+∞
( 1nsinn,
n
2n+ 1
).
b) limn→+∞
((1 +
1
2n
)n,
1
2nπ
).
c) limn→+∞
(√n2 + 1
n,1
ncos
1
n,− 1
n
).
d) limn→+∞
(n(e
1n − 1
), 1,
3√n3 + n+ 1
1− 2n3
).
Bài 1.1.3. Tìm miền xác định của các hàm số sau
a) f(x, y) =x2 + y2
x2 − y2.
b) f(x, y) =x2 + y2
x+ y − 2.
c) f(x, y) =
√1−
x2
4−y2
9.
d) f(x, y) = ln(1− x2 − y2).
4
5 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
1.2 Giới hạn và sự liên tục của hàm nhiều biến
1.2.1 Giới hạn của hàm nhiều biến
1.2.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến
1.2.3 Bài tập
Bài 1.2.1. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại
a) lim(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y. b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2 + x− yx+ y
.
Bài 1.2.2. Tính các giới hạn hàm số sau
a) lim(x,y)→(3,+∞)
xy − 1
y + 1.
b) lim(x,y)→(2,0)
ln(x+ ey
)√x2 + y2
.
c) lim(x,y)→(0,1)
(x2 + y2
)x2y2.
d) lim(x,y)→(1,π)
x cosxy
x2 + y2.
Bài 1.2.3. Tính các giới hạn hàm số sau
a) lim(x,y)→(0,1)
sinxy
x.
b) lim(x,y)→(0,0)
xy√xy + 1− 1
.
c) lim(x,y)→(0,0)
1 + x2 + y2
x2(1− cos 2x).
d) lim(x,y)→(1,0)
ln(1 + sin xy)
y.
Bài 1.2.4. Tính các giới hạn hàm số sau
a) lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2.
b) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2.
c) lim(x,y)→(+∞,+∞)
(x2 + y2)e−(x+y).
d) lim(x,y)→(0,1)
x arctany
x.
Bài 1.2.5. Xét giới hạn lặp và giới hạn tại (0,0) của các hàm số sau
a) f(x, y) =x2y2
x2y2 + (x− y)2. b) f(x, y) =
(x+ y) cos(x+ y)
sin(x− y).
6 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
Bài 1.2.6. Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) f(x, y) =x+ y
x− 2y.
b) f(x, y) =√
4− x2 − y2 +√x2 + y2 − 1.
c) f(x, y) =
(x2 + y2) sin1
x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
.
d) f(x, y) =
2xy
x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
.
Bài 1.2.7. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại (0, 0)
a) f(x, y) =
1− cos(2x2 + 2y2)
x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)
a− 3 nếu (x, y) = (0, 0)
.
b) f(x, y) =
ln(1 + x2 + y2)
x2 + y2nếu (x, y) 6= (0, 0)
2a− 3 nếu (x, y) = (0, 0)
.
1.3 Đạo hàm riêng và vi phân
1.3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến
1.3.2 Vi phân của hàm nhiều biến
1.3.3 Bài tập
Bài 1.3.1. Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau
a) f(x, y) = ex(cos y + x sin y).
b) f(x, y) =xy√x2 + y2
.
c) f(x, y, z) = xey + yez + xex.
d) f(x, y, z) = x√x2 + y2 + z2.
Bài 1.3.2. Tính đạo hàm riêng các hàm số sau
7 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
a) f(x, y) =
2x3 − y3
x2 + 3y2nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
.
b) f(x, y) =
x3y − y3xx2 + y2
nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
.
Bài 1.3.3. Chứng minh rằng
a) z = y ln(x2 − y2) thoả mãn hệ thức1
xz′x +
1
yz′y =
z
y2.
b) z = x2 − y2 − 2xy thoả mãn hệ thức∂2z
∂x2+∂2z
∂y2= 0.
c) ln1√
x2 + y2với x2 + y2 6= 0 thoả mãn hệ thức
∂2z
∂x2+∂2z
∂y2= 0.
d) u = x2 + yz thoả mãn hệ thức x∂u
∂x+ y
∂u
∂y+ z
∂u
∂z= 2u.
Bài 1.3.4. Tính đạo hàm các hàm hợp sau
a) Cho z = ex−2y, x = sin t, y = t3. Tínhdz
dt.
b) z = x√
1 + y2, x = te2t, y = e−t. Tínhdz
dt.
c) z = x2 ln y, x =u
v, y = 3u− 2v. Tính
∂z
∂uvà
∂z
∂v.
d) z = ln(u2 + v2), u = xy, v =x
y. Tính
∂z
∂uvà
∂z
∂v.
Bài 1.3.5. Xét tính khả vi của các hàm số sau tại (0, 0)
a) f(x, y) =
x3 + y3√x4 + y4
nếu x2 + y2 > 0
0 nếu x2 + y2 = 0
.
b) f(x, y) =
{xy cos
√x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0
0 nếu x2 + y2 = 0.
8 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
1.4 Áp dụng
1.4.1 Khai triển Taylor của hàm nhiều biến
1.4.2 Cực trị của hàm nhiều biến
1.4.3 Bài tập
Bài 1.4.1. Áp dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau
a)√
(2, 01)2 + (1, 96)2.
b) (0, 97)1,05.
c) ln(√
1, 013 + 4√0, 98− 1).
d) 3√
1, 022 + 0, 052.
Bài 1.4.2. Khai triển Taylor của các hàm sau trong lân cận của điểm đã cho
a) f(x, y) = 2x2 − xy − y2 − 6x− 3y + 5 tại (1,−2).
b) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy tại (1, 1).
c) f(x, y) = sin(x2 + y2) tại (0, 0).
d) f(x, y) = ex cos y tại (0, 0).
Bài 1.4.3. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) f(x, y) = 2x2 + y2 − 4x+ 3.
b) f(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2.
c) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.
d) f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.
Bài 1.4.4. Tìm các cực trị có điều kiện của các hàm số sau
a) f(x, y) =√xy với điều kiện 2x+ y = 2.
b) f(x, y) = x2 + y2 với điều kiện x+ y = 1.
c) f(x, y) = x2 + 3xy − 5y2 với điều kiện 2x+ 3y = 6.
d) f(x, y) = xy với điều kiện x2 + y2 = 4.
Bài 1.4.5. a) Giá thuê lao động của một công ty được cho bởi hàm
f(x, y) = x2 + y3 − 6xy + 3x+ 6y − 5
9 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
trong đó x là số ngày làm việc của công nhân có tay nghề cao, y là số ngày
làm việc của công nhân có tay nghề thấp. Tìm giá trị x, y để giá thuê lao
động là thấp nhất.
b) Một trang trại muốn trồng hai loại cây A và B với số lượng là x triệu cây
và y triệu cây. Hàm lợi nhuận liên kết với số lượng hai loại cây là
f(x, y) = 60x+ 34y − 6x2 − 3y2 − 4xy.
Để đạt lợi nhuận cao nhất thì trang trại phải trồng mỗi loại bao nhiêu
cây ?
c) Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm với số lượng tương ứng của mỗi
loại là x và y. Hàm lợi nhuận liên kết giữa chúng được cho bởi
f(x, y) = x2 + 3xy − 6y.
Để đạt được lợi nhuận cao nhất thì bao nhiêu sản phẩm của mỗi loại cần
được sản xuất biết tổng số sản phẩm của nhà máy sản xuất ra là 42 sản
phẩm.
d) Một nông dân muốn dựng hai trại chăn nuôi có cùng kích thước dọc theo
bờ rào khu đất của ông ta. Nếu chỉ tìm được 720 m rào thì các kích thước
phải là bao nhiêu để diện tích toàn bộ khu trại là lớn nhất.
e) Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ
thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên truyền
hình (y phút) với hàm doanh thu như sau
f(x, y) = 320x− 2x2 − 3xy − 5y2 + 540y + 2000.
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng và
trên truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu
đồng. Tìm x và y để doanh thu của trung tâm thương mại là lớn nhất.
CHƯƠNG 2
TÍCH PHÂN BỘI
2.1 Tích phân phụ thuộc tham số
2.1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn
2.1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn
2.1.3 Bài tập
Bài 2.1.1. Tính các tích phân phụ thuộc tham số sau
a) I(y) =
∫ 1
0
sin(y2x)dx
b) I(x) =
∫ 1
0
yexydy.
c) I(x) =
∫ 1
0
(xy3 − 3x3y)dy.
d) I(y) =
∫ 1
0
x√
2x2y + y2 + 1dx.
Bài 2.1.2. Tính các giới hạn sau
a) lima→0
∫ 1+a
a
1
1 + x2 + a2dx.
b) lima→0
∫ 1
−1
√x2 + a2dx.
c) limn→+∞
∫ 1
0
1
1 +(1 +
x
x
)ndx.
d) lima→0
∫ e
1
ln(x+ x4 sin2 a)dx.
Bài 2.1.3. Tính đạo hàm các hàm số sau
a) F (x) =
∫ 1
0
e−xy2
dy. b) F (x) =
∫ cosx
sinx
ex√1−t2dt.
10
11 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c) F (x) =
∫ 2+x
1+x
sinxt
tdt. d) F (x) =
∫ x
0
ln(1 + xt)
tdt.
Bài 2.1.4. Xét sự hội tụ đều của các tích phân sau
a) f(x) =
∫ +∞
0
arctan(x+ y)
1 + y2dy với x ∈ R.
b) f(y) =
∫ +∞
−∞
cosxy
1 + x2dx với y ∈ R.
c) f(y) =
∫ +∞
0
xye−xdx với y ∈ [a, b].
d) f(y) =
∫ +∞
0
e−xy sinxdx với y ∈ [a,+∞) và a > 0.
Bài 2.1.5. Chứng minh rằng
a) f(x) =
∫ +∞
0
cos y
1 + (x+ y)2dy liên tục và khả vi trên (0,+∞).
b) f(x) =
∫ +∞
0
arctan(x+ y)
1 + y2dy liên tục và khả vi trên R.
2.2 Tích phân 2 lớp
2.2.1 Khái niệm và tính chất
2.2.2 Cách tính tích phân 2 lớp
2.2.3 Bài tập
Bài 2.2.1. Tính các tích phân sau
a)
∫∫D
ex+ydxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
b)
∫∫D
(2x2 + xy − 4y2)dxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.
12 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c)
∫∫D
2x(1 + 3y2)dxdy với D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
d)
∫∫D
x sin ydxdy với D ={(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤
π
2
}.
Bài 2.2.2. Tìm cận của tích phân
∫∫D
f(x, y)dxdy với miền D được xác định
như sau
a) x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 4.
b) x+ y ≤ 1, x− y ≤ 1, x ≥ 0.
c) x ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1.
d) x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x.
Bài 2.2.3. Tính các tích phân sau
a)
∫∫D
dxdy
(x+ y)3với D là miền xác định bởi x ≥ 1, y ≥ 1, x+ y ≤ 3.
b)
∫∫D
x2(y − x)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x2 và
x = y2.
c)
∫∫D
xydxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường xy = 1 và x+ y =5
2.
d)
∫∫D
(x − y)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = 2 − x2 và
y = 2x− 1.
Bài 2.2.4. Tính các tích phân sau
a)
∫∫D
(x+y)3(x−y)2dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường x+y = 1,
x− y = 1, x+ y = 3 và x− y = −1.
b)
∫∫D
xydxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y2 = x, y2 = 3x,
y = x và y = 2x.
13 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c)
∫∫D
(x + y)dxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x, y = 2x,
y = x+ 1 và y = 2x+ 1.
d)
∫∫D
xdxdy với D là miền được giới hạn bởi các đường y = x, y = 3 + x,
y = −2x+ 1 và y = −2x+ 5.
Bài 2.2.5. Tính các tích phân sau
a)
∫∫D
√1− x2 − y2dxdy với D là miền được xác định bởi x ≥ 0, y ≥ 0 và
x2 + y2 ≤ 1.
b)
∫∫D
xydxdy với D là miền được giới hạn bởi x2 + y2 = 9.
c)
∫∫D
√x2 + y2dxdy với D là miền được xác định bởi 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.
d)
∫∫D
(1 + x2 + y2)dxdy với D là miền được xác định bởi x2 + y2 − 2x = 0.
2.3 Tích phân 3 lớp
2.3.1 Khái niệm và tính chất
2.3.2 Cách tính tích phân 3 lớp
2.3.3 Bài tập
Bài 2.3.1. Tính các tích phân sau
a)
∫∫∫V
(x+y+z)dxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3
}.
b)
∫∫∫V
xyzdxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3
}.
14 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c)
∫∫∫V
z2 sinxdxdydz, V ={(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤
π
2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
}.
d)
∫∫∫V
dxdydz
1− x− y, V =
{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5, 2 ≤ z ≤ 4
}.
Bài 2.3.2. Tìm cận lấy tích phân của tích phân
∫∫∫V
f(x, y, z)dxdydz với V
được xác định bởi
a) x2 + y2 ≤ 4, z ≥ 0, z ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y và y ≤ x√3.
b) x2 + y2 ≤ 2x, z ≥ 0 và z ≤ x2 + y2.
c) x2 + y2 + z2 ≤ 8 và x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4.
d) x2 + y2 + z2 ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0.
Bài 2.3.3. Tính các tích phân sau
a)
∫∫∫V
xyzdxdydz với V là miền được giới hạn bởi x = 0, y = 0, z = 0 và
x+ y + z = 1.
b)
∫∫∫V
zdxdydz với V là miền được xác định bởi 0 ≤ x ≤1
4, x ≤ y ≤ 2x và
0 ≤ z ≤√
1− x2 − y2.
c)
∫∫∫V
(x2 + y2 + z2)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x = 0, y = 0,
z = 0 và x+ y + z = 1.
d)
∫∫∫V
(2x + 3y − z)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi z = 0, z = 1,
x = 0, y = 0 và x+ y = 1.
Bài 2.3.4. Tính các tích phân sau
a)
∫∫∫V
zdxdydz với V là miền được giới hạn bởi z =√x2 + y2 và z = 1.
15 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
b)
∫∫∫V
√x2 + y2dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2+y2 = z2 và z = 1.
c)
∫∫∫V
(x2 + y2)zdxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2 + y2 = 1, z = 0
và z = 2.
d)
∫∫∫V
(x2+ y2)dxdydz với V là miền được giới hạn bởi x2+ y2 = 2z và z = 2.
Bài 2.3.5. Tính các tích phân sau
a)
∫∫∫V
z2dxdydz với V là miền được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 9.
b)
∫∫∫V
xyzdxdydz với V là miền được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0,
y ≥ 0, z ≥ 0.
c)
∫∫∫V
√x2 + y2 + z2dxdydz với V là miền được xác định bởi x2+y2+z2 ≤ 2z.
d)
∫∫∫V
(x2 + y2)dxdydz với V là miền được xác định bởi 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4
và z ≥ 0.
2.4 Áp dụng
2.4.1 Áp dụng trong hình học
2.4.2 Áp dụng trong vật lí
2.4.3 Bài tập
Bài 2.4.1. Tính diện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi các đường
a) y = x2, y = 4− x2.
b) x = 4y − y2, x+ y = 6.
c) y = x, x = 2y, x+ y = 2, x+3y = 2.
d) y2 = x, y = x.
Bài 2.4.2. Tính thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các mặt sau
16 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
a) x2 + y2 = 1, z = 0, x+ y + z = 1.
b) z = x2 + y2 và z = 4.
c)x2
4+y2
9+z2
16= 1.
d) z =√x2 + y2 và z =
√1− x2 − y2.
Bài 2.4.3. Tính khối lượng của
a) Bản phẳng hình vuông S = [0, a] × [0, a] biết khối lượng riêng của nó tại
điểm (x, y) là ρ(x, y) = x+ y.
b) Bản phẳng hình tròn bán kính R biết khối lượng riêng của nó tại diểm
(x, y) là ρ(x, y) =√x2 + y2.
c) Vật thể được xác định bởi 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ a và khối lượng
riêng tại (x, y, z) là ρ(x, y, z) = x+ y + z.
d) Vật thể được xác định bởi x2 + y2 + z2 ≤ 2z và khối lượng riêng tại (x, y, z)
là ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Bài 2.4.4. Tính trọng tâm của các vật thể đồng chất sau
a) Một phần tư hình phẳng được giới hạn bởi elipx2
a2+y2
b2= 1 nằm trong góc
phần tư thứ nhất.
b) Hình phẳng được xác định bởi y = 4− x2 và trục Ox.
c) Vật thể được xác định bởi z = x2 + y2, z = 0, x = 0, y = 0 và x+ y = 1.
d) Vật thể được xác định bởix2
a2+y2
b2+z2
c2= 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Bài 2.4.5. Tìm moment quán tính của
a) Bản phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = 1 − x, x = 0, y = 0 đối với
trục Ox và Oy biết khối lượng riêng của nó tại (x, y) là ρ(x, y) = y.
b) Bản phẳng đồng chất được giới hạn bởi các đường x = 0,y = 0, x + y = 1
đối với gốc toạ độ O.
c) Vật thể đồng chất được xác định bởi 0 ≤ z ≤ 1 và x2 + y2 ≤ 2y đối với trục
Oz.
d) Vật thể đồng chất được xác định bởi x2 + y2 + z2 = 1 và z ≥ 0 đối với trục
Oy.
CHƯƠNG 3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
3.1 Lí thuyết trường
3.1.1 Trường vô hướng
3.1.2 Trường vectơ
Bài tập
Bài 3.1.1. Tính đạo hàm của các trường vô hướng sau tại điểm M và theo
hướng −→u
a) f(x, y) = x2 − y2, M(1, 1), −→u tạo với chiều dương Ox một góc 60◦.
b) f(x, y) = ln(x + y), M(1, 1), −→u theo hướng tiếp tuyến với parabol y = x2
tại M .
c) f(x, y, z) = xy3z3, M(3, 1, 2), −→u =MM1 với M1(5,−1, 3).
d) f(x, y, z) =x2 − y2
2+ z, M(2, 1, 1), −→u = (1, 0, 2).
Bài 3.1.2. Tìm gradient của các trường vô hướng F tại M .
a) F (x, y, z) = x2 + y2 + z2, M = (1, 1, 1).
b) F (x, y, z) = x sin y + y sin z + z sinx, M = (1, 2, 1).
c) F (x, y, z) = xyz, M = (−1, 0, 2).
d) F (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 + 1), M = (1, 1, 1).
17
18 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
Bài 3.1.3. Tìm divergence của trường vectơ F
a)−→F = x2y
−→i + xy2
−→j + z2
−→k tại P (1, 2,−1).
b)−→F = 3x2y3z
−→i + 3x3y2z
−→j + x3y3
−→k tại P (1,−1, 1).
c)−→F = y2z
−→i + xy
−→j + (x2 + y2)
−→k tại P (−1, 2, 3).
d)−→F = xey
−→i + xy
−→j + z
−→k tại P (1, 0, 1).
Bài 3.1.4. Tìm rota của−→F
a)−→F = x
−→i + y
−→j + z
−→k .
b)−→F = xyz(x
−→i + y
−→j + z
−→k ).
c)−→F = xy
−→i + (y2 − z2)−→j + yz
−→k .
d)−→F = xz
−→i + yz
−→j + xyz
−→k .
Bài 3.1.5. Chứng minh các trường vectơ sau là trường bảo toàn và tìm các
hàm thế vị của nó
a)−→F (x, y, z) = x
−→i − 2y
−→j + 3z
−→k .
b)−→F (x, y, z) = (2xy − z2)−→i + (2yz + x2)
−→j − (2xz − y2)
−→k .
c)−→F (x, y, z) = y2
−→i + (2xy + e3z)
−→j + (3ye3z
−→k .
d)−→F (x, y, z) = (y + z)
−→i + (z + x)
−→j + (x+ y)
−→k .
3.2 Tích phân đường
3.2.1 Tích phân đường loại 1
3.2.2 Tích phân đường loại 2
Bài tập
Bài 3.2.1. Tính các tích phân đường loại 1 sau
a)
∫AB
(x− y)ds với AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(1, 1) và B(3, 4).
b)
∫L
(x2 + y2)ds với L là biên của tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1) và B(1,−1).
19 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c)
∫L
xyds với L là cung đường elipx2
a2+y2
b2= 1 nằm phía trên Ox.
d)
∫L
xds với L là cung parabol y = x2 từ O(0, 0) đến A(1, 1).
Bài 3.2.2. Tính các tích phân đường loại 2 sau
a)
∫L
(xy − 1)dx+ x2ydy với L là đoạn thẳng nối A(1, 0) và B(0, 2).
b)
∫ABC
(x− y)2dx+ (x+ y)2dy với ABC là đường gấp khúc nối A(0, 0), B(2, 2)
và C(4, 0).
c)
∫L
(2a−y)dx+xdy với L là đường x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π,
a > 0.
d)
∫L
(x − y)dx + (x + y)dy với L là đường elipx2
y2+y2
b2= 1 ngược chiều kim
đồng hồ.
Bài 3.2.3. Tính các tích phân đường sau
a)
∫L
√2yds với L là đường x = t, y = 2t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ 2.
b)
∫L
(x+ y + z)ds với L là đoạn thẳng nối A(1, 1, 1) và B(1, 2, 0).
c)
∫L
(y2 − z2)dx + 2yzdy − x2dz với L là đường x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1
theo chiều tăng của tham số t.
d)
∫L
ydx + zdy + xdz với L là đường đinh ốc x = a cos t, y = a sin t, z = bt,
0 ≤ t ≤ 2π theo chiều tăng của tham số t.
Bài 3.2.4. Dùng công thức Green tính các tích phân đường loại 2 sau
a)
∮L
(1−x2)ydx+(1+y2)xdy với L là đường tròn x2+y2 = 1 theo chiều dương.
b)
∮L
xdy − ydxx2 + y2
với L là đường tròn (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1 theo chiều dương.
20 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
c)
∮L
(x+ y)2dx− (x2 + y2)dy với L là biên của tam giác ABC có đỉnh A(1, 1),
B(2, 3) và C(2, 5).
d)
∮L
(xy + x + y)dx − (xy + x − y)dy với L là biên của hình chữ nhật ABCD
có đỉnh A(0, 0), B(1, 0), C(1, 2), D(0, 2).
Bài 3.2.5. Tính các tích phân đường loại 2 sau
a)
∫ (2,3)
(−1,2)xdy + ydx.
b)
∫ (3,−4)
(0,1)
x2ydy + xy2dx.
c)
∫ (1,1)
(1,−1)(x− y)dx− (x− y)dy.
d)
∫ (1,π)
(0,0)
ex(x sin y + y cos y)dx+ ex(x cos y − y sin y)dy.
3.3 Tích phân mặt
3.3.1 Tích phân mặt loại 1
3.3.2 Tích phân mặt loại 2
Bài tập
Bài 3.3.1. Tính các tích phân mặt loại 1 sau
a)
∫∫S
ds
(1 + x+ z)2với S là mặt x+ y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất.
b)
∫∫S
(x+y+z)ds với S là nửa trên của mặt cầu tâm tại gốc toạ độ bán kính
1.
c)
∫∫S
(x2 + y2)ds với S là mặt nón z2 = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1.
21 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
d)
∫∫S
(x + y + z)ds với S là biên của hình lập phương 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
0 ≤ z ≤ 1.
Bài 3.3.2. Tính các tích phân mặt loại 2 sau
a)
∫∫S
xyzdxdy với S là mặt ngoài của hình cầu xác định bởi x2+ y2+ z2 = 1,
x ≥ 0 và y ≥ 0.
b)
∫∫S
xdydz + ydzdx + zdxdy với S là mặt ngoài của hình cầu xác định bởi
x2 + y2 + z2 = 1.
c)
∫∫S
(y− z)dydz+ (z− x)dzdx+ (x− y)dxdy với S là phía ngoài của mặt nón
xác định bởi x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1.
d)
∫∫S
x2dydz+ y2dzdx+ z2dxdy với S là phía ngoài của nửa trên mặt cầu xác
định bởi x2 + y2 + z2 = 1.
Bài 3.3.3. Áp dụng công thức Ostrogradski tính các tích phân mặt sau
a) Tính
∫∫S
xdydz + ydzdx+ zdxdy với S là mặt cong bao miền có thể tích là
V .
b)
∫∫S
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy với S là phía ngoài của biên hình hộp chữ
nhật 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c.
c)
∫∫S
x3dydz+y3dzdx+z3dxdy với S là phía ngoài của mặt cầu x2+y2+z2 = 1.
d)
∫∫S
xzdydz+yxdzdx+zydxdy với S là phía ngoài của biên hình chóp x ≥ 0,
y ≥ 0, z ≥ 0 và x+ y + z ≤ 1.
Bài 3.3.4. Áp dụng công thức Stokes tính các tích phân sau.
a) I =
∮C
ydx + zdy + xdz với C là đường x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0 chạy
ngược chiều kim đồng hồ.
22 BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 3
b) I =
∮C
(y− z)dx+ (z− x)dy+ (x− y)dz với C là đường x2 + y2 = 1, x+ z = 1
chạy ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía trục dương.
c) I =
∮L
x2y3dx+ dy + zdz với L là đường tròn x2 + y2 = 1, z = 0 chạy ngược
chiều kim đồng hồ.
d) I =
∮C
(z− y)dx+ (x+ z)dy− (x+ y)dz với C là đường z = 4− x2− y2, z = 0
chạy ngược chiều kim đồng hồ.
3.4 Áp dụng
3.4.1 Áp dụng hình học
3.4.2 Áp dụng vật lí
Bài tập
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đậu Thế Cấp (chủ biên), Giải tích toán học, Nhà xuất bản giáo dục, 2007.
[2] Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp phần giải tích, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2007.
[3] Trần Phước Đường (chủ biên), Bài giảng môn học vi tích phân B, Trường
Đại học Cần Thơ, Tài liệu lưu hành nội bộ, 2002.
[4] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển và Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học
hàm số một biến, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2005.
[5] Nguyễn Đình Phư và Nguyễn Văn Nguyên, Toán cao cấp, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia, 2009.
[6] Lê Đình Thuý, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nhà xuất bản Đại học
Kinh tế quốc dân.
[7] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Toán học cao cấp, Tập 3, Phép tính giải tích
nhiều biến số, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.
[8] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Bài tập Toán học cao cấp, Tập 3, Phép tính
giải tích nhiều biến số, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.
23