Bilangan Rasional

Latar Belakang• Ada pengganti bilangan cacah x sehingga kalimat

36:9=x, 42:7=x, 27:3=x, menjadi kalimat-kalimat benar

• Tidak ada pengganti bilangan cacah x sehingga kalimat 3:2=x, 7:3=x dan 35:8=x

• Untuk mengganti nilai x dari sebarang kalimat p:q=x, dengan p dan q bilangan cacah, q tidak sama dengan nol, ditulis dalam bentuk Bentuk ini disebut pecahan dengan p disebut numerator(pembilang) dan q disebut denumerator(penyebut).

Definisi 1 (pecahan)

• Pecahan adalah suatu lambang yang memuat pasangan berurutan bilangan-bilangan bulat p dan q (q tidak nol) yang menyatakan p:q=x dan ditulis .

Definisi 2 (pecahan sama)

• Pecahan sama dengan , ditulis jika dan hanya jika ps = qr.

Definisi 3 (bilangan rasional)

• Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan dimana p dan q adalah bilangan-bilangan bulat (q tidak nol).

Definisi 4 (pecahan sederhana)

• Jika FPB dari p dan q sama dengan 1 (p,q)= 1, maka pecahan disebut sebagai pecahan sederhana

• Penyerhanaan pecahan dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan (p,q)

Definisi 5 (pecahan senilai) untuk semua bilangan bulat p, q dan r

tidak sama dengan nol

Definisi 6 (penjumlahan dan pengurangan bil rasional)

• Jika dan adalah sebarang bilangan rasional maka

• Sifat2 (tertutup, komutatif, assosiatif, identitas, invers)

• Operasi pengurangan?????

Definisi 7 (perkalian dan pembagian bil rasional)

• Jika dan adalah sebarang bilangan rasional maka

• Sifat2 (tertutup, komutatif, assosiatif, identitas, kecuali 0 semua bil. rasional memiliki invers, operasi x bersifat distributif terhadap penjumlahan)

• Operasi pembagian?????

Definisi 8 (urutan bil. rasional)

• Jika dan adalah sebarang dua bil. rasional yang penyebutnya positif, yaitu (q>0 dan s>0) maka:

• sama dengan jika dan hanya jika ps=qr• kurang dari jika dan hanya jika ps<qr

• Sifat-sifat urutan bilangan rasional• Trikotomi, transitif, density

Perluasan Nilai Tempat Desimal• Desimal???• Sistem numerasi hindu arab:

1. menggunakan sepuluh lambang, 0,1,…92. bilangan yang lebih dari 9 dinyatakan sebagai suku-suku penjumlahan perpangkatan 103. bersifat aditif dan posisional

Penulisan 345, 1237, dan 90861 disebut dalam bentuk baku, sedangkan jika dinyatakan sebagai suku penjumlahan perpangkatan 10 disebut sebagai bentuk panjangcontoh:

345 = 3 x 100 + 4 x 10 + 51237 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 790861 = 9

Perluasan Nilai Tempat Desimal cont..

Definisi 9 • Untuk , Z adalah himpunan

bilangan bulat:• n faktor, dan • b disebut basis

Perluasan Nilai Tempat Desimal cont..• Dalam sistem numerasi desimal yang diperluas, setiap

bilangan rasional dapat dinyatakan dalam notasi desimal yang disebaut sebagai pecahan desimal. Wujud bilangan rasional ini dapat dibedakan menjadi:

1. Desimal berakhir, yaitu desimal yang mengandung sejumlah terhingga angka, dan dapat dinyatakan dalam bentuk dengan m,n bilangan cacahcontoh:

2. Desimal berulang periodik, yaitu desimal yang mengandung serangkaian terhingga angka-angka yang berulang secara tak hinggaContoh:

2/15/2009 10

Perluasan Nilai Tempat Desimal cont..• Bilangan desimal 0,66666… mengandung satu angka berulang

tak terhingga ditulis . Bilangan desimal 0,454545… mengandung 2 angka berulang tak hingga ditulis

• Bilangan desimal berakhir dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang dengan menambahkan angka-angka nol setelah angka terakhir. Contoh 0,25 = 0,25000

• Bilangan desimal berakhir atau berulang dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional

• Contoh:

• Aturan pembulatan?• Untuk bilangan yang cukup kecil atau besar notasi ilmiah baku

digunakan sebagai penulisannya. Bentuk notasi

2/15/2009 11

Latihan

1. Nyatakan pecahan sederhana atau bukan sederhana, dan alasannya:

2. Sederhanakan pecahan berikut:3. Cari jumlah dan selisih

a. b. 4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan rasional

5. Buktikan sifat komutatif penjumlahan dan perkalian pada pecahan.

6. Tuliskan 1234,567 dalam bentuk: perluasan nilai tempat bilangan rasional, dan perluasan nilai tempat desimal.

2/15/2009 12

Latihan Cont…7. Carilah bentuk pecahan rasional dari:8. Tuliskan dalam bentuk baku:9. Nyatakan dalam bentuk desimal:10. Bulatkan 237561,54768

a. persepuluhan dan perseratusan b. peseribuan dan persepuluhribuan

11. Carilah 24,5 + 0,07 + 69,86 + 241, dengan desimal dan nilai tempat pecahan

12. Carilah:

13. Urutkan dari yang paling kecil