![Page 1: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/1.jpg)
BROJEVIBROJEVIBROJEVIBROJEVI
![Page 2: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematički pojmovi• DEFINICIJA – određivanje nekog matematičkog pojma pomoću pojmova koji se
smatraju poznatima.
Definicija: Kvadrat je četverokut kojemu su stranice jednake, a kutovi pravi.
• AKSIOMI (praistina) – osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koje se smatra istinitom i
ne dokazuje se.
Aksiom: Broj 1 je prirodan broj.
• LEMA – pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji.
Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji spajaju vrhove
trokuta sa središtem suprotne stranice.
• TEOREM (poučak) – izjava čija se istinitost može utvrditi dokazom.
Teorem:
![Page 3: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/3.jpg)
• KOROLAR (posljedica) – tvrdanja čija se istinitost utvrđuje iz istinitosti tvrdnje
nekog teorema.
Korolar: Zbroj kutova trokuta jest 180°.
• DOKAZ – utvrđivanje istinitosti neke matematičke činjenice iz nekih drugih
matematičkih činjenica, rasuđivanjem po određenim pravilima.
Tri vrste dokazivanja:
– Izravni dokaz
– Neizravni dokaz
– Dokaz potpunom indukcijom.
– (Konstruktivni dokaz)
![Page 4: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematičke oznake
![Page 5: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/6.jpg)
Skup• Georg Cantor (1845.-1918.) osnivač teorije skupova.
• Skup se ne definira, to je osnovni pojam.
• Skupove označavamo slovima A, B, …, N, …, X, Y, Z.
• Relaciju ‘’biti element’’ označavamo oznakom ∈∈∈∈.
• Vennovi dijagrami – metoda grafičkog prikaza skupovnih operacija.
![Page 7: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/7.jpg)
Prirodni brojevi (skup N)• skup N = {1, 2, 3, ...} (lat. naturalis)
• Peanovi aksiomi:
I. 1 ∈∈∈∈ N
II. ako je n ∈∈∈∈ N , onda je i n + 1 ∈∈∈∈ N
III. ako je n +1 = m + 1, onda je m = n
IV. nema prirodnog broja da je 1 = n + 1
V. ako je M ⊆⊆⊆⊆ N i ako vrijedi:
i. 1 ⊆⊆⊆⊆ M
ii. ako je n ∈∈∈∈ M, onda je n + 1 ∈∈∈∈ M. Tada je M = N .
• Skup N je beskonačan.
• Temelj za izgradnju svih ostalih brojeva.
![Page 8: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/8.jpg)
• Prosti (prim) brojevi su brojevi koji maju samo dva djelitelja, broj 1 i sebe
samoga (2, 3, 5,7, …).
• Osnovni teorem aritmetike:
– Svaki se prirodan broj može jednoznačno napisati kao umnožak prostih brojeva.
• Euklid, Eratosten, Fermat, Merssenne…
• Skup N je zatvoren na operacije zbrajanja i množenja i vrijede svojstva:
– komutativnost zbrajanja:
– asocijativnost zbrajanja:
– komutativnost množenja:
– asocijativnost množenja:
– neutralni element za množenje:
– distributivnost množenja prema zbrajanju:
• Skup N je uređen skup.
xyyx +=+
xyyx ⋅=⋅
zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅ )()(
xxx =⋅=⋅ 11
zxyxzyx ⋅+⋅=+⋅ )(
zyxzyx ++=++ )()(
![Page 9: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/10.jpg)
Cijeli brojevi (skup Z)•
• skup Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Cijeli broj – prirodan broj, broj suprotan prirodnom broju ili nula.
• Apsolutna vrijednost:
• Oduzimanje:
• Skup Z je zatvoren na operacije zbrajanje i množenje, vrijede sva svojstva kao i u skupu N te još dva svojstva:
• Neutralni element za zbrajanje:
• Postojanje suprotnog broja za zbrajanje:
Nmnxmnx ∈∀=+ ,,,
<−
≥=
0:
,0:
xx
xxx
xxx =+=+ 00
0)()( =+−=−+ xxxx
)(: xyxy −+=−
![Page 11: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/11.jpg)
Racionalni brojevi (skup Q)•
• Racionalan broj – količnik cijelog broja m (brojnik) i prirodnog broja n (nazivnik).
•
• Racionalni brojevi zapisuju se kao i decimalni brojevi:
– konačni
– čisto periodički
– mješovito periodični
• Skup Q je uređen, prebrojiv i gust.
n
m
24
353
1
∈Ζ∈= Nnmn
mQ ,:
Zmnxmnx ∈∀=⋅ ,,,
2
1
![Page 12: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/12.jpg)
Aksiomi:
1. asocijativnost zbrajanja
2. postojanje neutralnog elementa za zbrajanje
3. postojanje inverznog elementa za zbrajanje
4. komutativnost zbrajanja
Qzyxzyxzyx ∈∀++=++ ,,);()(
xxxQQx =+=+∈∃∈∀ 00:0!
0)()(:)(! =+−=−+∈−∃∈∀ xxxxQxQx
Qyxxyyx ∈∀+=+ ,;
![Page 13: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/13.jpg)
5. asocijativnost množenja
6. postojanje neutralnog elementa za množenje
7. postojanje inverznog elementa za množenje
8. komutativnost množenja
9. distributivnost množenja prema zbrajanju
• Skup Q čini polje.
Qzyxzyxzyx ∈∀⋅⋅=⋅⋅ ,,);()(
xxxQQx =⋅=⋅∈∃∈∀ 11:1!,
1:}0{\!111
=⋅=⋅∈∃∈∀−−− xxxxQxQx
Qyxyxxy ∈∀= ,,
( ) Qzyxxzxyzyx ∈∀+=+⋅ ,,,
![Page 14: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/14.jpg)
10. x ≤ y ili y ≤ x, ∀ x,y ∈ Q
11. x ≤ y i y ≤ x ⇔ x = y, ∀ x,y ∈ Q
12. ako je x ≤ y i y ≤ z ⇒ x ≤ z, ∀ x,y,z ∈ Q
13. ako je x ≤ y, onda ∀ z ∈ R ⇒ x + z ≤ y + z
14. ako je 0 ≤ x i 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy
• Skup Q čini uređeno polje.
![Page 15: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/15.jpg)
Iracionalni brojevi (skup I)
•
• Volovi ne vole matematiku!
• skup I
•
• Uređen skup
• Gust skup
• Neprebrojiv skup (ima više iracionalnih nego racionalnih brojeva!)
• Beskonačni neperiodski decimalni zapis
,...,,2,3,22
eπ
![Page 16: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/16.jpg)
Definicija1:
Skup svih realnih brojeva x za koje vrijedi nejednakost gdje su
zove se otvoreni (zatvoreni) interval i označava se ili , odnosno .
Definicija2:
Poluotvorenim (poluzatvorenim) intervalom nazivamo skup svih
realnih brojeva x za koje vrijedi:
( )bxabxa ≤≤<<
R∈ba, ( )ba, ba, [ ]ba,
( )bxabxa <≤≤<
] [( )baba ,,
Neki jednostavni skupovi
![Page 17: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/17.jpg)
Definicija3:
Beskonačnim intervalima nazivamo skupove:
{ }
{ }
{ } ]
{ } [
{ } RRR
RR
RR
RR
RR
=+∞∞−=∈∞<<−∞∈
∞+=∈≥∈
∞−=∈≤∈
+∞=∈>∈
∞−=∈<∈
,,:
,,:
,,:
,,:
,,:
axx
aaaxx
aaaxx
aaaxx
aaaxx
![Page 18: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/18.jpg)
Primjer1:
Skupovi: <1, 5>, [1, 5], <1, 5] i [1, 5> su ograničeni.
Primjer2:
Skup [2, +∞> je neograničen jer nije ograničen odozgo.
Primjer3:
Skup je ograničen jer je
= ,...1
,...3
1,
2
1,1
nS [ ]1,0⊂S
![Page 19: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/19.jpg)
• Skup S ⊂ R je odozgo omeđen (ograničen) ako postoji realan broj M takav da je
x ≤ M, ∀ x ∈ S. M je gornja međa (ograda) ili majoranta.
• Skup S ⊂ R je odozdo omeđen (ograničen) ako postoji realan broj m takav da je
m ≤ x, ∀ x ∈ S. m je donja međa(ograda) ili minoranta.
• Najmanja gornja(najveća donja) međa skupa S zove se supremum (infimum) i
označava se sup S (inf S).
• Primjer4:
• Primjer5:
• Primjer6:
Supremum i infimum
{ }20: <≤∈= xxS R
{ }5,7,3,1=S
{ }4:2
<∈= xxS R
![Page 20: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/20.jpg)
Realni brojevi (skup R)
• Skup R = Q U I
• Vrijedi svih 14 aksioma skupa Q, i aksiom neprekidnosti (Dedekindov aksiom):
15. Ako je S neprazan podskup realnih brojeva, ograničen odozgo (odozdo), onda S ima
supremum (infimum) u R.
![Page 21: Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050323/5f7c7e09ffc09d5c80797bdf/html5/thumbnails/21.jpg)