Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
13
Chapter 3 ลิมิตและความต่อเนื่อง
3.1 ลิมิต
3.2 ลิมิตอนันต ์
3.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
…………………………………………………………………………………..
3.1 ลิมิต
ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต
1. lim𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ
2. lim𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
ถ้า lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = L และ lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀 แล้ว
3. lim𝑥→𝑎
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿
4. lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)] = 𝐿 ±𝑀
5. lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)] = 𝐿 ∙ 𝑀
6. lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] =
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)] =
𝐿
𝑀 เม่ือ 𝑀 ≠ 0
7. lim𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)𝑛 = √lim
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿
𝑛
ทฤษฎีบท 3.1 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) หาค่าได้เม่ือ lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
14
Ex. 1 จงหาค่าของ lim𝑥→1
(3𝑥2+2𝑥+2
𝑥+1)
Ex. 2 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2+4
𝑥+2)
Ex. 3 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2+4
𝑥−2)
Ex. 4 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2−4
𝑥+2)
Ex. 5 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2− 4
𝑥− 2)
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
15
เทคนิค การหาลิมิต lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) กรณีท่ีอยู่ในรูปแบบไม่ก าหนด (
𝟎
𝟎)
วิธีที่ 1 เทคนิคการแยกตัวประกอบ ใช้เมื่อ f(x) และ g(x) เปน็ฟังก์ชันพหุนาม
Ex. 6 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2− 4
𝑥− 2)
Ex. 7 จงหาค่าของ lim𝑥→2
(𝑥2− 5𝑥+6
𝑥2−𝑥− 2)
Ex. 8 จงหาค่าของ lim𝑥→−3
(2𝑥2− 18
𝑥+3)
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
16
วิธีที่ 2 เทคนิคการคูณด้วยสังยุคทั้งเศษและส่วน ใช้เมื่อมรีากที่สองเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
วิธีที่ 3 เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
17
การหาลมิิตฟังก์ชันแยกนิยาม
ตัวอย่าง ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {1
𝑥+2 ถ้า 𝑥 > −2
𝑥 + 1 ถ้า 𝑥 ≤ −2
จงพจิารณาว่า lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) หาค่าได้หรือไม่เพราะเหตุใด ถ้าหาได้ lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) มีค่าเท่ากับ เท่าใด
ตัวอย่าง ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {
𝑥2+4𝑥+3
𝑥+1 ถ้า 𝑥 > 1
𝑥3−1
𝑥2−1 ถ้า 𝑥 ≤ 1
จงพจิารณาว่า lim𝑥→1
𝑓(𝑥) หาค่าได้หรือไม่เพราะเหตุใด ถ้าหาได้ lim𝑥→1
𝑓(𝑥) มีค่าเท่ากับ เท่าใด
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
18
3.2 ลิมิตอนันต์ ( เมื่อ 𝑥 → ∞ และ 𝑥 → −∞ )
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
หมายเหต ุ ทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับลมิิตเมื่อ 𝑥 → 𝑎 ยังใช้ได้ปกต ิ
ทฤษฎีบท
1. lim𝑥→∞
1
𝑥𝑛= 0 เมื่อ p เป็นจ านวนจรงิบวก ( n > 0 )
2. lim𝑥→∞
(1 +𝑥
𝑛)𝑛 = 𝑒𝑥 โดยที่ x เป็นจ านวนจริงใด ๆ
3. lim𝑥→∞
𝑘𝑥 = 0 เมื่อ |k| < 1
4. lim𝑥→∞
𝑘𝑥 = ∞ เมื่อ |k| > 1
5. lim𝑥→∞
𝑥𝑛 = ∞
Ex. 1 จงหาค่าของ lim𝑥→∞
(5𝑥3
2−𝑥)
Ex. 2 จงหาค่าของ lim𝑥→∞
(5𝑥2
2−𝑥3)
Ex. 3 จงหาค่าของ lim𝑥→∞
(5𝑥3
2−4𝑥3)
Ex. 4 จงหาค่าของ lim𝑥→−∞
(√𝑥2+4
𝑥+2)
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
19
3.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน
บทนิยาม
ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ x = a ก็ต่อเมือ่
1. 𝑓(𝑎) หาค่าได้
2. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) หาค่าได ้
และ 3. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
20
ตัวอย่าง1 ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = {3𝑥2 + 3𝑥 + 2, 𝑥 < 0
8 − 𝑥2 , 0 < 𝑥 ≤ 11−𝑥
𝑥−3, 1 < 𝑥 ≤ 3
จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่ เพราะเหตุใด
จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด
จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่ เพราะเหตุใด
Math1 By พี่ทรติวเตอร ์
21 ตัวอย่าง2 ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) =
{
(𝑥−1)(√𝑥+1)
(√𝑥−1), 𝑥 < 1
4𝑥2+12𝑥+8
𝑥2+5𝑥+6, 1 ≤ 𝑥 < 2
1
𝑥−1, 𝑥 ≥ 2
ข้อสอบปี 2554 (7 คะแนน)
จงพจิารณาว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด