1
Participants au projet :
Le présent projet a été possible grâce à la collaboration des personnes suivantes :
Julie Cléroux, enseignante à l’école secondaire Pierre-‐Brosseau, CSMV Geneviève Rousselle, enseignante à la polyvalente Chanoine-‐Armand-‐Racicot, CSDHR Jean-‐Luc D’amour, enseignant à l’école Ste-‐Madeleine, CSTL Sarah Larochelle, enseignante à l’école Paul VI, CSP Èveline Labrie, enseignante à l’école Bonnier, CSDGS Benoit Brosseau, conseiller pédagogique, CSMV Jean-‐François Michaud, conseiller pédagogique, CSDHR Isabelle Gendron, conseillère pédagogique, CSTL Christian Bourbeau, conseiller pédagogique, CSP Jean-‐François Blanchet, conseiller pédagogique, CSDGS
2
Introduction
Les stratégies de calcul mental sont à la base de l’apprentissage en mathématiques. Elles permettent aux élèves de calculer, d’estimer ou de valider des opérations de façon efficiente. Au primaire, « Au fur et à mesure qu’il développe son sens du nombre et des opérations, l’élève sera appelé à construire des processus personnels et à utiliser des processus conventionnels pour effectuer diverses opérations… Il apprendra aussi, à partir de ces processus et des propriétés des opérations, à faire des approximations de résultats et à déterminer des résultats exacts, mentalement ou par écrit. » (progression des apprentissages au primaire p.11). Au secondaire, le programme de formation de l’école québécoise du premier cycle inclut aussi le calcul mental parmi les processus à utiliser afin de développer le sens du nombre. Les progressions des apprentissages au primaire et au secondaire font référence aux stratégies de calcul mental sans toutefois les décrire. Nous ne disposons donc d’aucun continuum de développement de stratégies de calcul mental. Dans ce document, vous trouverez des outils permettant aux enseignants de guider leurs élèves dans le développement de stratégies de calcul mental, et ce, principalement au deuxième cycle et au troisième cycle du primaire ainsi qu’au premier cycle du secondaire. Voici quelques définitions qui vous permettront de distinguer différents types de calculs mobilisés par les élèves :
Calcul posé : Calcul effectué par écrit à l'aide d'un algorithme, toujours le même quels que soient les nombres en jeu.
Calcul réfléchi : Calcul qui met en œuvre des procédures mentales personnelles, différentes du calcul posé.
Calcul automatisé : Mémorisation de résultats de base comme les tables de multiplication, les complémentaires, etc (répertoire mémorisé).
Calcul mental : Processus de calcul qui englobe le calcul réfléchi et le calcul automatisé.
Calcul instrumenté : Calcul effectué avec l'aide de la technologie (calculatrice, ordinateur, etc.)
Le présent ouvrage se concentrera sur le développement du calcul réfléchi, en tenant pour acquis que les élèves possèdent une base suffisante de calcul automatisé.
3
Pourquoi est-‐il important de développer ses compétences en calcul mental?
Dans le cadre de notre travail, de nos loisirs, des transactions que nous effectuons et d’autres situations de la vie de tous les jours, nous avons des calculs ou des estimations à effectuer. Le calcul mental devient alors un avantage de taille. En plus de nous permettre de gagner en rapidité, il nous affranchi du recours obligé à la calculatrice ou au papier-‐crayon qui ne sont pas toujours disponibles à portée de main. Selon Butlen et al (2000), « … le calcul mental permet d’enrichir les conceptions numériques des élèves. D’autre part, plusieurs de nos recherches ont montré qu’une pratique régulière de calcul mental peut aider à la résolution de problèmes numériques. » De plus, « … une pratique régulière de calcul mental libère de l’espace mental pour résoudre des problèmes. Elle permet d’accroître les capacités d’initiative des élèves : ceux-‐ci, en faisant des essais, peuvent explorer rapidement différentes voies de résolution d’un problème. » Le calcul mental permet aussi de développer le sens du nombre et des opérations et offre de belles occasions de voir l'utilité des propriétés des opérations (commutativité, distributivité et associativité). Selon le document Calcul mental, mathématiques-‐secondaire 1 produit par Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004 p. XI (ECJM), « Les capacités de calcul mental sont au cœur de la numératie. Les résultats de la recherche suggèrent qu'il existe des liens entre le calcul mental et le sens du nombre, particulièrement les propriétés des nombres de base, la valeur de position, l'estimation et les opérations mathématiques ». ECJM ajoute que «Ne connaissant pas bien les techniques du calcul mental, les élèves ont souvent tendance à utiliser des algorithmes typiquement reliés au calcul écrit. Or, ceux-‐ci sont souvent peu efficaces pour le calcul mental. »
Comment développer le calcul mental en classe?
« Le calcul mental exige une attention constante et ne peut pas se faire d'une manière mécanique, comme c'est souvent le cas dans le calcul écrit. […] C'est pourquoi les exercices de calcul mental devraient être fréquents et courts. Ils devraient être fréquents, vu leur grande utilité. Ils devraient être courts, à cause qu'ils exigent une attention soutenue. » (Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. X)
4
Lorsque l’élève effectue du calcul mental, il choisit une procédure plutôt qu’une autre dans un souci d’économie tenant compte de sa pratique et de sa familiarisation avec certains algorithmes. Comme les élèves utilisent des procédures personnelles, il est alors intéressant de comparer celles-‐ci lors de « … séances de réflexion et de discussion. Durant ces sessions, l'enseignant devrait inciter les élèves :
à présenter les diverses bonnes réponses possibles au même problème; à expliquer les différentes méthodes utilisées pour arriver à la bonne réponse; à présenter les stratégies qui n'ont pas fonctionnées et à expliquer pourquoi. »
(Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. XIII) Généralement, les exercices de calcul mental ne font pas l'objet d'une évaluation et ne sont pas utilisés pour déterminer la note des élèves au cours de mathématiques. Les exercices de calcul mental devraient se faire dans un climat de classe où les élèves se sentent à l'aise de prendre des risques sans avoir peur d'être pénalisés lorsqu'ils font des erreurs. L’emphase doit être mise sur le processus (comprendre comment on l’a trouvé) plutôt que sur la réponse. En cours d’apprentissage, il faut éviter de mettre l'accent sur la rapidité des calculs. C’est avec le temps et la pratique que l’élève sera en mesure d’améliorer son efficacité face à ces différentes stratégies. Il serait par ailleurs intéressant que l’élève soit en mesure d’évaluer sa progression dans la maitrise des stratégies expérimentées.
Suite aux expérimentations vécues en classe, voici trois phases que nous jugeons incontournables dans l’acquisition de stratégies de calcul mental :
1 La découverte par l’exploration et par l’explicitation des différentes stratégies; 2 L’appropriation des stratégies jugées les plus efficaces par les élèves; 3 L’entraînement afin d’augmenter l’efficacité.
Il est important de ne pas présenter les stratégies de calcul mental comme des « trucs » à mémoriser. Il faut offrir l’occasion aux élèves de construire leurs propres stratégies et de s’enrichir de celles de ses pairs et/ou de celles présentées par l’enseignant. L’enseignement des stratégies de calcul mental sera facilité si les élèves ont acquis le sens des opérations à l’aide de matériel de manipulation. L’enseignant pourra alors faire référence à ce matériel afin de donner du sens aux stratégies de calcul mental. Lorsque la complexité des calculs devient plus importante, le recours à l’algorithme conventionnel prend alors tout son sens.
5
Comme certains élèves éprouvent de la difficulté à choisir une stratégie plutôt qu'une autre face à un exemple donné, il est important d'insister sur les conditions qui font en sorte qu'une stratégie est plus efficiente (efficace et économique) qu'une autre.
Vous retrouverez aux pages suivantes une progression des stratégies de calcul mental échelonnée du primaire au secondaire ainsi qu’un continuum de développement. De plus, un répertoire de stratégies que nous avons jugées plus pertinentes d’utiliser avec des élèves vous est présenté. Ces dernières portent sur les 4 opérations de plusieurs ensembles de nombres.
Progression des stratégies de calcul mental
(primaire-secondaire)
PRIMAIRE SECONDAIRE
L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant. 2e cycle 3e cycle 1er cycle
L’élève le fait par lui-même à la fin de l’année scolaire.
L’élève réutilise cette connaissance 3e 4e 5e 6e 1re 2e
1. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers naturels (voir continuum)
2. Stratégies de calcul mental avec des fractions (addition et soustraction dont un des dénominateurs est un multiple de l’autre)
3. Stratégies de calcul mental avec des fractions (multiplication et division)
4. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers relatifs
5. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (addition, soustraction, multiplication d’un nombre décimal par un entier naturel et division d’un nombre décimal par un entier naturel)
6. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (multiplication et division de nombres décimaux)
7. Stratégies de calcul mental avec des pourcentages
6
CONTINUUM DE DÉVELOPPEMENT DU CALCUL MENTAL
LES NOMBRES NATURELS
LES NOMBRES DÉCIMAUX
Note : La division au primaire est une division par un nombre naturel inférieur à 10.
LES FRACTIONS
7
LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS
LES POURCENTAGES
Note : Le pourcentage d'un nombre au primaire est travaillé seulement avec des pourcentages remarquables (ex : 10%, 25%, etc.)
Les affiches qui suivent pourraient faire l’objet d’un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement
permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves.
8
EN RÉSUMÉ
LES EXERCICES DE CALCUL MENTAL DEVRAIENT :
• ÊTRE FRÉQUENTS ET COURTS
• FAVORISER LA MISE EN COMMUN DES STRATÉGIES
• PERMETTRE AUX ÉLÈVES DE COMPARER LEURS STRATÉGIES
• SE FAIRE AUX RYTHMES DES ÉLÈVES EN COURS D’APPRENTISSAGE
• ÉVITER DE METTRE L’EMPHASE SUR LA RAPIDITÉ
• ÊTRE ÉVALUÉES DE FAÇON FORMATIVE
• SE FAIRE PAR ÉCRIT AU DÉPART
• FAIRE PARTIE DU QUOTIDIEN (SAISIR LES OCCASIONS PLUTÔT QUE LES CRÉER)
10
Addition (Nombres naturels)
Additionner les parties
Compléter et réajuster
Additionner par la gauche
272 + 119 272 + 120 – 1
391
275 + 117 275 + 100 + 10 + 7
392
346 + 129 300 + 100 = 400 40 + 20 = 60 6 + 9 = 15
400 + 60 + 15 = 475
Faire le pont à la dizaine
47+38 47+3+35
85
Additionner par bonds
48+36 48+10+10+10+6
84
272 + 119 280 + 119 – 8
391
Créer des nombres compatibles
76+28 75+25+4 104
11
Soustraction (Nombres naturels)
Soustraire les parties 289 – 154
289 – 100 – 50 – 4 135
Soustraire par la gauche
463 – 132 400 – 100 60 – 30 3 – 2 331
Créer des nombres compatibles
85 – 56 85 – 55 – 1
29
Soustraire par bonds 136 – 27
136 – 10 – 10 – 7 109
Compléter et réajuster
187 – 66 187 – 67 + 1 120 + 1 121
Équilibrer les deux termes
48 – 37 48 + 2 37 + 2 50 – 39 11
Faire le pont à la dizaine
93 – 16 93 – 3 – 13 90 – 13 77
12
Multiplication (nombres naturels)
Distributivité (somme)
13 × 21 (10 + 3) × 21
(10 × 21) + (3 × 21) 210 + 63 273
Distributivité (différence)
26 × 19 26 × (20 – 1)
(26 × 20) – (26 × 1) 520 – 26 494
Par multiplications successives
16 × 8 16 × 2 × 2 × 2 32 × 2 × 2 64 × 2 128
Multiplier par la gauche
635 × 4 = ? 600 × 4 = 2400 30 × 4 = 120 5 × 4 = 20
2400 + 120 + 20 2540
13 × 21 13 × (20 + 1)
(13 × 20) + (13 × 1) 260 + 13 273
Distributivité
(partir d’un résultat connu)
12 × 13 12 × (12 + 1)
(12 × 12) + (12 × 1) 144 + 12 156
13
Multiplier par 5 : 5 est la moitié de 10
38 × 5 38 ÷ 2 × 10 19 × 10 190
Multiplier par 25 : 25 est le quart de 100
48 × 25 48 ÷ 4 × 100 12 × 100 1200
Couper et coller les zéros 120 × 500 = ?
12 × 5 et 3 zéros 60 et 3 zéros
60 000
Multiplication (nombres naturels)
14
Division (Nombres naturels)
Diviser les parties
840 ÷ 8 (800 ÷ 8) + (40 ÷ 8)
100 + 5 105
Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur (équivalent à
simplifier des fractions)
Diviser par divisions successives
840 ÷ 8 ((840 ÷ 2) ÷ 2) ÷ 2
(420 ÷ 2) ÷ 2 210 ÷ 2 105
Couper et coller les zéros
2400 ÷ 6 24 centaines ÷ 6 4 centaines
400
Diviser par un diviseur remarquable
135 ÷ 5 135 × 2 ÷ 10 270 ÷ 10
27
1440 ÷ 20 1440 ÷ 10 ÷ 2
144 ÷ 2 72
270 ÷ 18
90 ÷ 6
30 ÷ 2
15
15
4500 ÷ 50 450 ÷ 5 90
÷3
÷ 3
÷ 3
3 ÷ 3
16
Addition (Fractions décimales et nombres décimaux)
Additionner par la gauche
Compléter à l’entier le plus près et réajuster
16,65 + 2,99 16,65 + 3 – 0,01
19,64
25,6 + 13,7 20 + 10 = 30 5 + 3 = 8
6 7 3110 10 10
+ =
30 + 8 + 3110
39,3
Créer des nombres compatibles
4,74 + 1,37 4,74 + 1,26 + 0,11
6 + 0,11 6,11
16,460 + 1,989 16,460 + 2 – 0,011
18,449
6,257 + 13,71 6 + 13 = 19 2 7 910 10 10
+ =
5 1 6100 100 100
+ =
71000
19 + 9 6 710 100 1000
+ +
19,967
4,74 + 1,37 4,75 – 0,1 + 1,25 + 0,12 4,75 + 1,25 – 0,1 + 0,12
6 + 0,11 6,11
Additionner les parties
25,6 + 13,7 6 725 1310 10
+ +
6 73810 10
+
33910
39,3
Multiplier par 10, 100, 1000 puis diviser par
10, 100, 1000
1,7 + 2,2 1,7 ×1010
+ 2,2 ×1010
1710
+ 2210
17 + 2210
= 3910
3,9
25,6 + 13,7 25,6 + 13 + 0,7 38,6 + 0,7 39,3
17
Soustraction (Fractions décimales et nombres décimaux)
Soustraire par la gauche
3,39 – 2,54 3 – 2 = 1
0,30 – 0,50 = – 0,20 0,09 – 0,04 = 0,05
1 – 0,20 + 0,05 = 0,85
Compléter à l’entier le plus près et réajuster
18,761 – 3,998
18,761 – 4 + 0,002 14,761 + 0,002
14,763
3,8 – 2,5 3 – 2 = 1 810
− 510
= 310
1+ 310
= 1 310
= 1,3
12,99 – 8,45 13 – 0,01 – 8,45
13 – 8,46 13 – 8 – 0,46 5 – 0,46 4,54
Compléter
20 – 14,35 14,35 + ? = 20
14,35 + 0,65 = 15 15 + 5 = 20
0,65 + 5 = 5,65
7,6 – 2,8 2,8 + ? = 7,6 2,8 + 0,2 = 3 3 + 4 = 7
7 + 0,6 = 7,6 0,2 + 4 + 0,6 = 4,8
Créer des nombres compatibles
4,37 – 1,49 37 494 –1100 100
37 37 124 –1100 100 100
−
123100
−
882 2,88100
=
4,37 – 1,49 4,37 – 1,37 – 0,12
3 – 0,12 2,88
Soustraire les parties
3,89 – 2,54 3,89 – 2 – 0,50 – 0,04 1,89 – 0,50 – 0,04
1,39 – 0,04 1,35
3,5 – 2,8 5 83 210 10
− −
5 8110 10
−
3 71–10 10
= = 0,7
18
Distributivité (somme)
4,2 × 0,21 4,2 x (0,2 + 0,01) 42 2 42 110 10 10 100
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
84 42100 1000
+
840 42 8821000 1000 1000
+ =
0,882
Distributivité (différence)
2,96 × 7 (3 – 0,04) × 7
(3 × 7) – (0,04 × 7) 21 – 0,28 20,72
4,2 × 0,21 4,2 × (0,2 + 0,01)
(4,2 × 0,2) + (4,2 × 0,01) 0,84 + 0,042
0,882
Transformer en nombre naturels et replacer la
virgule
0,9 x 1,2 (2 chiffres) 9 x 12 108
1,08 (2 chiffres)
Transformer en fraction décimale ou réduite
2,96 × 0,5 12,962
×
2,96 ÷ 2 1,48
0,9 x 1,2 9 1210 10
×
108100
1,08
3,9 × 1,2 (4 − 0,1) × 1,2
(4 × 1,2) − (0,1 × 1,2) 12 1 12410 10 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
48 1210 100
−
480 12 468100 100 100
− =
4,68 Distributivité (partir d’un résultat
connu)
12 × 0,27 12 × (0,25 + 0,02)
12×14 + 12×
2100
3+24100
3 + 0,24 3,24
Multiplication (Fractions décimales et nombres décimaux)
19
Diviser les parties
4,6 ÷ 2 4 ÷ 2 = 2
0,6 ÷ 2 = 0,3 2 + 0,3 = 2,3
Multiplier le dividende et le diviseur par le même facteur
Diviser par un nombre décimal remarquable
(0,01; 0,05; 0,1; 0,125; 0,2; 0,25; 0,3; 0,5; 0,75; 0,8)
1,5 ÷ 0,01
1,5 ÷1100
1,5 × 100 150
22 ÷ 0,5
44 ÷ 1
44
2× 2×
Division (Fractions décimales et nombres décimaux)
4,6 ÷ 0,2
46 ÷ 2
23
10×3
10×3
1,5 ÷ 0,05
1,5 ÷120
1,5 × 20 30
1,5 ÷ 0,125
1,5 ÷18
1,5 × 8 12
1,5 ÷ 0,1
1,5 ÷110
1,5 × 10 15
1,2 ÷ 0,2
1,2 ÷15
1,2 × 5 6
1,5 ÷ 0,25
1,5 ÷14
1,5 × 4 6
1,5 ÷ 0,5
1,5 ÷12
1,5 × 2 3
1,5 ÷ 0,75
1,5 ÷34
1,5 ÷ 3 × 4 0,5 × 4 = 2
1,2 ÷ 0,8
1,5 ÷45
1,2 ÷ 4 × 5 0,3 × 5 = 1,5
1,5 ÷ 0,333…
1,5 ÷13
1,5 × 3 4,5
Exemple de verbalisation
Pour diviser un nombre par 0,5, il suffit de le multiplier par 2.
21
Les stratégies de calcul mental pour les nombres entiers relatifs sont les mêmes que pour les nombres naturels. Cependant, avant de référer aux différentes stratégies, l’emphase doit absolument être mise sur la compréhension du sens des opérations avec les nombres entiers relatifs. À cette fin, nous vous proposons différents modèles qui, nous l’espérons, permettra aux élèves de mieux s’approprier le sens des opérations pour les entiers relatifs :
Addition et soustraction :
• Méthode des jetons (vidéo de Gilles Jobin : « Les jobinneries »); • Méthode de la droite numérique ou du thermomètre.
Multiplication et division :
• Méthode des gains et des pertes; • Méthode de l’opposé; • Méthode des réservoirs.
Pour l’addition et la soustraction de deux fractions, l’algorithme conventionnel s’avers le processus le plus efficace.
Le calcul mental est à privilégier lorsque le dénominateur d’une fraction est un multiple du dénominateur de l'autre et que l’on demeure dans des cas simples.
Lorsque nous sommes en présence d’addition et de soustraction de nombres entiers fractionnaires, les stratégies suivantes peuvent être transférées avec les élèves.
Nombres entiers relatifs
Fractions
22
Addition (Fractions)
Additionner les parties
Créer des fractions compatibles pour faire le pont à
l'entier
𝟑𝟏𝟓+ 𝟏
𝟐𝟓
𝟑 + 𝟏 = 𝟒
𝟏𝟓+𝟐𝟓=𝟑𝟓
𝟒 +𝟑𝟓= 𝟒
𝟑𝟓
𝟑𝟒+𝟏𝟐
𝟑𝟒+𝟏𝟒+𝟏𝟒
𝟏 + 𝟏𝟒= 𝟏 𝟏
𝟒
𝟐𝟕𝟖+ 𝟑
𝟏𝟒
𝟐 + 𝟑 +𝟕𝟖+𝟏𝟒
𝟓 + 𝟕𝟖+ 𝟏
𝟖+ 𝟏
𝟖
𝟓 + 𝟏 + 𝟏𝟖= 𝟔 𝟏
𝟖
𝟐𝟕𝟖+ 𝟑
𝟏𝟒
𝟐 𝟕𝟖+ 𝟏
𝟖+ 𝟑 𝟏
𝟖
𝟑 + 𝟑 𝟏𝟖= 𝟔 𝟏
𝟖
23
Soustraction (Fractions)
Soustraire les parties
𝟒𝟒𝟓− 𝟏
𝟐𝟓
𝟒 − 𝟏 = 𝟑
𝟒𝟓−𝟐𝟓= 𝟐𝟓
𝟑 +𝟐𝟓
𝟑𝟐𝟓
Créer des fractions compatibles pour faire le pont à
l'entier
𝟏𝟑𝟒−𝟕𝟖
𝟏𝟑𝟒−𝟑𝟒−𝟏𝟖
𝟏 − 𝟏𝟖
𝟕𝟖
24
Pour la multiplication et la division de deux fractions, l’algorithme conventionnel s’avers le processus le plus efficace. Cependant, dans les cas où on multiplie ou divise par une fraction remarquable telles que ½, ¼, etc. il serait intéressant de faire remarquer à l’élève qu’il n’a qu’à diviser ou multiplier par l’inverse soit 2, 4, etc.
Lorsque nous sommes en présence de nombres entiers fractionnaires, il pourrait être intéressant de transférer les stratégies utilisant la distributivité.
Multiplication et division (Fractions)
Distributivité
3× 2 27
3× (2 + 27)
3 x 2 + 3× 27
6 67
Diviser par une fraction
remarquable
12 ÷14
12 ×4 48
26
Pourcentages
Pour calculer 25 % d’une quantité, il suffit de prendre le quart de cette
quantité
25% = !!
25 % de 56 = le quart de 56
= 564
= 56 ÷4 = 14
Pour calculer 50 % d’une quantité, il suffit de prendre la moitié de cette
quantité.
50% = !!
50 % de 34,5 = la moitié de 34,5
= 34,52
= 17,25
Pour calculer 75 % d’une quantité, il suffit de tripler les 25 % de cette quantité, soit tripler le quart de
cette quantité.
75% = 3 x 25% = !!
75 % de 48 = le triple de 25 % de 48 = le triple du quart de 48
= le triple de 484
= le triple de 12 = 3 × 12 =36
Pour calculer 100 % d’une quantité, il suffit de prendre cette quantité
100 % de 34 = 34
Pour calculer 1 % d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par
100 1% = !!""
1 % de 695
= 695100
= 6,95
27
Pourcentages
Pour calculer 33 !! % d’une quantité, il
suffit de prendre le tiers de cette quantité
33 !! % = 33,3 % =
!!
33 13 % de 21,3
= le tiers de 21,3
= 21,33
= 7,1
Pour calculer 10 % d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par 10
10% = !!"
10 % de 695
= 69510
= 69,5
Pour calculer 5 % d’une quantité, il suffit de prendre la moitié de 10 %
de cette quantité 5% est la moitié de 10%.
5 % de 340 = la moitié de 10 % de 340
= la moitié de 34
= 342
= 17
Pour calculer 15 % d’une quantité, il suffit de prendre 10 % de cette quantité et 5 % de cette quantité
15% = 10% + 5%
15 % de 23 = 10 % de 23 + 5 % de 23
= 2,30 + 2,302
= 2,30 + 1,15 = 3,45
Pour calculer 66 !! % d’une quantité, il
suffit de doubler le tiers de cette quantité
66 !! % = 2 x 33 !
! % =
!!
66 !! % de 21,3
= 2 fois le tiers de 21,3
= 2 x 21,33
= 2 x 7,1 = 14,2
28
Pour calculer 20 % d’une quantité, il suffit de doubler les
10 % de cette quantité 20% = 2 x 10%
20 % de 420 = le double de 10 % de 420
= le double de 42 = 84
Pourcentages
Pour calculer un %, décomposer le % donné en un % clé qui facilite les
calculs
30 % de 400 = 3 × 10 % de 400
= 3 × 40 = 120
90 % de 340 = 100 % de 340 – 10 % de 340
= 340 – 34 = 306
26 % de 800 = 25 % de 800 + 1 % de 800
= 8004
+ 800100
= 200 + 8 = 208
Pour calculer un %, on peut utiliser la propriété suivante :
a % de b = b % de a Commutativité de la multiplication
32 % de 25 = 25 % de 32
= 324
= 8
29
CONCLUSION : Tel que mentionné dans nos intentions de départ, nous avons été en mesure de constater que les stratégies de calcul mental sont très peu connues et enseignées par les enseignants. Nous savions que le calcul mental est à la base de l’apprentissage des mathématiques mais ce projet nous a permis de constater à quel point celui-‐ci vient consolider le sens du nombre et des opérations. Nous sommes même en mesure d’affirmer que le calcul mental devrait se développer de lui-‐même à travers diverses activités permettant la création de processus personnels des élèves dans l’apprentissage du sens des opérations. L’enseignement précoce d’algorithmes peut nuire au développement des processus de calcul mental des élèves. Pour cette raison le calcul mental devrait précéder l’enseignement d’algorithmes. Comme mentionné précédemment à la page 7, les affiches qui ont été produites peuvent faire l’objet d’un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves. Le temps consacré à ce projet nous a permis de produire un répertoire de stratégies destiné aux enseignants, mais aussi d’accompagner ceux-‐ci en classe avec les élèves dans la découverte et l’appropriation de ces stratégies. Cette expérimentation nous a permis de constater la puissance d’une telle pratique sur la compétence et la fluidité des élèves en calcul mental, et ce, à très court terme.
30
Bibliographie : Butlen, D et al (2000). Calcul mental et résolution de problèmes numériques au début
du Collège, REPERES -‐ IREM . N° 41 -‐ octobre 2000, télé-‐accessible au http://www.univ-‐irem.fr/commissions/reperes/consulter/41butlen.pdf
Daoui, A et al (2004). Calcul mental – mathématiques secondaire 1. Éducation,
Citoyenneté et Jeunesse Manitoba. Télé-‐accessible au http://www.cbv.ns.ca/math7-‐12/jrhighfiles/Math/manitoba_calcul_mental.pdf
Fontaine E, 2004-‐2005. Acquérir des compétences en calcul mental grâce au jeu. Académie de Caen. Télé-‐accessible au http://www.caen.iufm.fr/memoires/PEC05040.pdf
EXEMPLES DE SITES INTERNETS PERTINENTS POUR L’EXERCICE DU CALCUL MENTAL :
1 http://www.automaths.com/index.php?rub=1923
2 http://mathenpoche.sesamath.net/ceintures/challenge.php?cid=12&mode=passage&iframe
3 http://www.jeux-‐fr.net/game/725/jeu-‐de-‐calcul-‐mental-‐gratuit-‐calculations.html
4 http://mathenpoche.sesamath.net/6eme/pages/numerique/chap2/serie1/index.html
5 http://www.alloprof.qc.ca/rep_jeux/meteormath.aspx
6 http://www.gomaths.ch/index.php
7 http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-‐add.html
8 http://ejoffrin.pbworks.com/w/page/32822638/STRAT%C3%89GIES%20CALCUL%20MENTAL
9 http://www.aidemoi.net/calcul_mental_sans_chrono.html
10 http://www.mathplayground.com/index.html
11 http://calculatice.ac-‐lille.fr/calculatice/spip.php?rubrique2
12 http://calculatice.ac-‐lille.fr/calculatice/serveur/main.php?init=1
13 http://www.clubic.com/telecharger-‐fiche248538-‐tuxmath.html
14 http://www.alloprof.qc.ca/rep_jeux/finlapin-‐aventure.aspx
Autres ouvrages intéressants:
La collection Calcul en tête de Jack A. Hope, Barbara J. Reys, Robert E. Reys, 2006. Chenelière éducation
32
Addition
Additionner les parties
Compléter et réajuster
Ta stratégie
…
Additionner par la gauche
272 + 119
272 + 120 – 1
391
272 + 119
272 + 100 + 10 + 9
391
346 + 29
300 + 0 = 300
40 + 20 = 60
6 + 9 = 15
300 + 60 + 15 = 375
33
Bibliographie
Soustraction
Soustraire les parties
463 – 132 463 – 100 – 30 – 2
131
Soustraire par la
gauche
463 – 132 400 – 100 60 – 30 3 – 2 131
Créer des nombres
compatibles
85 – 56 85 – 55 – 1
29
Ta stratégie
…
34
Multiplication
Distributivité 12 × 13
(12 × 10) + (12 × 3) 120 + 36 156
Multiplications successives
26 × 4 26 × 2 × 2 52 × 2 104
5 est la moitié de 10
78 × 5 78 ÷ 2 × 10 39 × 10 390
Ta stratégie
….
35
Division
Diviser les parties
840 ÷ 8 (800 + 40) ÷ 8
(800 ÷ 8) + (40 ÷ 8) 100 + 5 105
Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur
(simplifier des fractions)
270 ÷ 18
90 ÷ 6
30 ÷ 2
15
15
4500 ÷ 50 450 ÷ 5 90
÷3
÷ 3
÷ 3
3 ÷ 3
Couper et coller les zéros
2400 ÷ 6 24 centaines ÷ 6 4 centaines
400
Diviser par un diviseur remarquable
135 ÷ 5 135 × 2 ÷ 10 270 ÷ 10
27
1440 ÷ 20 1440 ÷ 10 ÷ 2
144 ÷ 2 72
Ta stratégie
….