Download - Calculation of 7T to 100,000 Decimals
Calculation of 7T to 100,000 Decimals
By Daniel Shanks and John W. Wrench, Jr.
1. Introduction. The following comparison of the previous calculations of x per-
formed on electronic computers shows the rapid increase in computational speeds
which has taken place.
Au thor
Reitwiesner [1]Nicholson & Jeenel [2]Felton [3]Genuys [4]Unpublished [5]
Machine
ENIACNORCPegasusIBM 704IBM 704
Date
19491954195819581959
Precision
2037D3089D
10000D10000D16167D
70 hours13 min.33 hours
100 min.4.3 hours
All these computations, except Felton's, used Machin's formula :
(1) x = 16 tan-1 i - 4 tan-1 ^.
Other things being equal, that is, assuming the use of the same machine and the
same program, an increase in precision by a factor / requires / times as much
memory, and f times as much machine time. For example, a hypothetical com-
putation of x to 100,O00D using Genuys' program would require 167 hours on an
IBM 704 system and more than 38,000 words of core memory. However, since the
latter is not available, the program would require modification, and this would ex-
tend the running time. Further, since the probability of a machine error would be
more than 100 times that during Genuys' computation, prudence would require
still other program modifications, and, therefore, still more machine time.
2. A New Program. We discuss here a computation of x to more than 100,000D,
which required 8 hours 43 minutes on an IBM 7090 system. This increase in speed
by a factor of about 20 is largely due to the increased speed of the 7090 (it is about
7 times as fast as a 704), but substantial gains were also obtained by programming
changes.
The formula we used, namely,
(2) x = 24 tan ' £ + 8 tan " -fr + 4 tan ' ^,
is due to Stornier [6], and has not been previously used in high-precision computa-
tion. The computation time breaks down as follows:
8 tan-1 -¿i : 3 hours 7 minutes
4 tan-1 yj^: 2 hours 20 minutes
24 tan-1 $■: 2 hours 34 minutes
Received September 7, 1961.
76
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS 77
Conversion (binary-to-decimal): 42 minutes.
To obtain these favorable times, two devices were used.
a) Instead of evaluating the Taylor series
(V\ A ton-1 l - V (-DhAm[ó) AUn m * tí (2fc + l)m*<*+»
term by term, one may compute two terms at a time by using
U) Ai ->± =Y ¿W(4fc + 3)m2 - (4fc + 1)]
tl m ¿o (16fc2 + 16A; + 3)m4<*+1) '
This substitutes 2 (multi-precision) divisions, 1 multiplication, and 1 addition for
4 divisions, 1 subtraction, and 1 addition, and this eliminates 27% of the computa-
tion time. Further improvement in this direction, i.e., three terms at a time, is not
possible here, since the divisors in (4), m* and (16fc2 + 16k + 3), already tend to
fill a 7090 word, whose maximum numerical size is 235 — 1.
b) Since the 7090 is a binary machine, the (multi-precision) division by m4 and
the multiplication by [(4fc + 3)m2 — (4A; + 1)] may be replaced by a simple shift-
ing operation for the case m = 8 in 24 tan-1 £. Had this not been done the 2 hours
34 minutes listed above would be, instead, 6 hours 7 minutes with the double-term
formula, (4), or 8 hours 21 minutes with (3).
The program using (4) requires three blocks of storage, one for the current
Am/mi(k+1), one for the current term, and one for the partial sum. Since a 7090 word
is equivalent to 10.536 decimal digits, the working storage for an iV-place x is
3ÍV/10.536. Therefore, a core memory of 32,768 easily suffices for a computation
to more than 100,000D.
3. The Check. Inasmuch as such a computation requires billions of (arithmetical)
operations, it is clear that a check is necessary. This was obtained with Gauss's
formula [7]:
(5) x = 48 tan-1 tV + 32 tan-1 -fr - 20 tan-1 ^.
During the computation, using (2), the numbers
A = 8 tan- -£?
andB = 8 tan-1 -^ + 4 tan-1 ?$?
were written on tape. At the start of the check A and B were read into memory
and 9^1 — 57? = 32 tan- ^V — 20 tan- ^^ was computed (in 1 second). To this
difference was added the new number 48 tan-1 xV, which was computed by (4) in
4 hours 22 minutes. The check, therefore, takes less time than the original run
(8 hours 1 minute), and is perfectly valid, since an error in any of the four arc-
tangents will lead to a discrepancy between the results of (2) and (5).
4. The Result. The run and the check were both made on July 29, 1961, and
such a discrepancy did in fact occur. The two values of x, in binary form, were com-
pared by the machine in £ second, and were found to agree to only 234,848 bits. This
is equivalent to 70,695 decimal places. Subsequently the error was isolated. It
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
78 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
was found to have occurred in the computation of 24 tan-1 £. The second value of
x, computed using (5), was therefore correct throughout. When 24 tan-1 \ was
recomputed, the two values of x agreed up to the last word. This comprised 333,075
bits, or 100,265 decimal places. The first 100,000 of these are given here.
The computation was of such a character that it was known a priori that the
term involving tan-1 ^4^ contains most of the round-off and truncation error, and
consequently that we have the inequalities:
x computed by (2) <x<x computed by (5).
Thus the check and the computation give upper and lower bounds respectively,
and, to the extent that they agree, x is determined absolutely.
Care has been taken in the output routines—in writing and printing—and, since
the reproduction here is photographic, we believe that this value is entirely free
from error.
5. A Million Decimals? Can x be computed to 1,000,000 decimals with the com-
puters of today? From the remarks in the first section we see that the program which
we have described would require times of the order of months. But since the memory
of a 7090 is too small, by a factor of ten, a modified program, which writes and reads
partial results, would take longer still. One would really want a computer 100 times
as fast, 100 times as reliable, and with a memory 10 times as large. No such machine
now exists.
There are, of course, many other formulas similar to (1), (2), and (5), and other
programming devices are also possible, but it seems unlikely that any such modifica-
tion can lead to more than a rather small improvement.
Are there entirely different procedures? This is, of course, possible. We cite the
following: compute 1/x and then take its reciprocal. This sounds fantastic, but,
in fact, it can be faster than the use of equation (2). One can compute 1/x by
Ramanujan's formula [8] :
(R) 1 = 1 A123 _ 22583 I !l? i 44043 hi i"3"5"7W x 4\882 8823 2 ' 42 8826 2-4' 42-82
The first factors here are given by ( —1)* (1123 + 21460&). A binary value of 1/x
equivalent to 100,000D, can be computed on a 7090 using equation (6) in 6 hours
instead of the 8 hours required for the application of equation (2).* To reciprocate
this value of 1/x would take about 1 hour. Thus, we can reduce the time required
by (2) by an hour. But unfortunately we lose our overlapping check, and, in any
case, this small gain is quite inadequate for the present question.
One could hope for a theoretical approach to this question of optimization—a
theory of the "depth" of numbers—but no such theory now exists. One can guess
that e is not as "deep" as x,t but try to prove it!
Such a theory would, of course, take years to develop. In the meantime—say,
in 5 to 7 years—such a computer as we suggested above (100 times as fast, 100
times as reliable, and with 10 times the memory) will, no doubt, become a reality.
At that time a computation of x to 1,000,000D will not be difficult.
* We have computed 1/ir by (6) to over 5000D in less than a minute.
t We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program. This takes 2.5
hours instead of the 8-hour run for t by (2).
■
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS 79
6. Acknowledgement. We wish to thank the IBM Corporation for its generosity
in allowing us to use, free of charge, the 7090 in the IBM Data Processing Center,
New York, for the computation described above.
Applied Mathematics Laboratory
David Taylor Model Basin
Washington 7, D. C.
1. G. Reitwiesner, "An ENIAC determination of x and e to more than 2000 decimalplaces," MTAC, v. 4, 1950, p. 11-15.
2. S. C, Nicholson & J. Jeenel, "Some comments on a NORC computation of x," MTAC,v. 9, 1955, p. 162-164.
3. G. E. Felton, "Electronic computers and mathematicians," Abbreviated Proceedingsof the Oxford Mathematical Conference for Schoolteachers and Industrialists at Trinity College,Oxford, April 8-18, 1957, p. 12-17, footnote p. 12-53. This published result is correct to only7480D, as was established by Felton in a second calculation, using formula (5), completed in1958 but apparently unpublished. For a detailed account of calculations of x see J. W. Wrench,Jr., "The evolution of extended decimal approximations to x," The Mathematics Teacher,v. 53, 1960, p. 644-650.
4. F. Genuys, "Dix milles decimales de x," Chiffres, v. 1, 1958, p. 17-22.5. This unpublished value of x to 16167D was computed on an IBM 704 system at the
Commissariat à l'Energie Atomique in Paris, by means of the program of Genuys.6. C. Stürmer, "Sur l'application de la théorie des nombres entiers complexes à la solu-
tion en nombres rationnels, xi, xt , ■■• , x» , Ci , c2 , • • • , Cn , k de l'équation c¡. arctg xi + etarctg Xï + • • ■ + Cn arctg x* = for/4," Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, v. 19, 1896,
p. 69.7. C. F. Gauss, Werke, Göttingen, 1863; 2nd ed., 1876, v. 2, p. 499-502.8. S. Ramanujan, "Modular equations and approximations to x," Quart. J. Pure Appl.
Math., v. 45, 1914, p. 350-372; Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge, 1927, p.23-39.
Note added in proof, December 1, 1981. J. M. Gerard of IBM United Kingdom Limited,who was then unaware of the computation described above, computed x to 20,000 D on the7090 in the London Data Centre on July 31, 1961. His program used Machin's formula, (1),and required 39 minutes running time. His result agrees with ours to that number of deci-mals.
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
so DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
OOPOdNNmOPOOr-^r-O-^fOfOl/IOtDo — noo — Ncoroo
,- o — — •- d m o — cm•-room-ONOodojod — o-ooooojidNdroocooo-rO>nOO,COr-"0'-ri>CM
tnoo— — -oocosom eo n m oo jí f» cm ̂ oa» jso-focoMinNOdOo<oo — nn — mK)fM'Orfri»toef'»-'OC^ONfO- NdNPOO —cooodNNONN —Ndrnoo — -omod-•o jroioo-jom- oCO O — — CO CO — O CQ O
O» > N N rf rO N <-omcotnNNroin« in ^-o M/urt o>o*tn -ootMi»-©»NOOdinOUld
oo — ro N m — d coNNdcoeoromNomincDcoo<oo-OOD^d — NdN
d m•o o
CO o
O NPOOCM —Od-in CD
CO COO NCM CMro oro —m or- oto roin —
omino«- no«— oroNoroco«OrOS- ro co CO OcomoNdONcodorn-momoromoNmoNNomdOoocoNo — Nmdoro —d — NinNOcoNMO'OorgjNr
j. o o- o o no m o m N CMtf =*«OlflO
o>"-coi/ioroO — d CM d d
+ CM — O O d O• co co un co n o
m m d -s- n o -o
H O CO — O CO CO
t_« m-OrfirlNa. s(DO"Oco«-
m o — rn — cmO d o m — oO o CM — LD NMlfC-r-OOo m n — — o«tflNO-fO«-
— POo —o —O CMj»Sd oco n* GOd —
fO CM•-mpo mooO COON— No m— co
r--OtDN00 on e>— os m
co n«- in•r o
n d <
f- CM
f-r-o —— md CMCO CMCO COcm mo oin m
o inr- oCM Om «
ir)4m coj* mo oCM O
inooN-MnirtOdNiOONrON-l/lf"SOOOC0mCM'-rf-OCMiflNCOO-OCNJO-OCOrONNNNOOmOinocommN — dmCONOONOOdNN « — m m o m com o-co-o Nin ro œ
momdN—mmNNNOdOON-OC00r""Jt'O,,"C0C0J-O — O — dONONorONdrooinmco-NfONinN--Ni/IO(M0»dcoNOcodinincoajxs-ocM1-NiOCOSCO J<-
« N — N m O N Orfj-o- m m co oCOOdCOO-tfOOKl-O J tO ^"O-O-n o io m o-o tn (MmmminmmmoONO — OOOONcommmoNNoN*o-ONdin —m fo<i o íi í-î (M
«o mCMP-O COro oCO do mo m-osdODm cm
m —m minoo cocm oO COm j*
LO O -oh- « mo» o oo o n— s-CMCOCONco m m•MJOd NfOdNro
cm — — m j*o p- — m om cm -o d o*m — m o d-p» co o* m rn•o<oo>jtmmm — * cmm o o cm coCD O CM O Oo o j* in m
— CM CMm — —— o oro d d— NOO CD -OP- CD Oj- d Oro co mco o* CM
o in o ms- m o mcm o» o PON N 00 dO O PO —O PO O do o n oCM O CM POd m p- no h- p- o
PO PO oco o oPO co od — oco — mnonm o cmco o oO p- CO■OfMS
CM Oin onoP- PO
cm —S- No od —CM O
or-co CMPO o— oJ- oo do om oCM O
cm mo mPO CMP- op" —«n roo oO POco oO d
oooomomoNdNOOONNNmsmioo Jin-corom^tf Ni-s— « m n n o — oOdNOOOOOONpomcopoooroeomNdroNO-coKii-jmmioo«o co o* cm in-o <- m
ÍOC*CO CM N•OSO■O CM —
J* O CMO O NCO — CMO d >CM — OO O O
d PO -O•o -o mj- cm oPO PO om p- op- ¿* CMJt -ooo o o
o p- m
<- J» coP- CM COjt o mCD d1 JS-o -o oCM S- d-p- co m*mop- m mp*- ro co
P- O CO CM *r- ro p- cm oO CM — O Oo po o in mO PO P— 00 POC0 CM CM CM —cm m po in coP» CD cm *o in«O PO P- o oJ* a CM — O
sco-o jmm o co cm JtNieoj>o— O O O CMJJ4>Olflco co o in co«--co=*inCO J- -o o o*- P- O -O 00in m jî cm o
m p- ro o ocm d- m co co•o ro -o co roto po — jt *-N»-OC0rfCM CM O CM CMmin^'-'Ocm m o jt o^ cm a co roin m o o P-
o r-oo ina -oCO Jto -oCM P-O P»PO «O
cm fO wt •- inmcoi <-=»o o p- in s-■"Oroiooo m co o cmPO P- P- — 00o o -o o —po o p- m -oCM C0 O — COCO CO Jt CO CM
O CO CMm ¿t ¿tm m min oo cmP- 'OOp- m mo po mP- P- CMJ* O P-PO — CM
— P-•- CDm cmo r-CM —m ocm p-
•o mo mp» ooCMP-00 CM— P-00 —ro -oro oom -o
■-•-no
ro po o mO PO •- oin m co cmo o — oCO CM O >—CO 00 *— CMsosincm m j* p-
o ro o cooo o po —O 00 O CO— in tn co■o o •- o04.K1-m cm -o —m o 00 om «o m oo ^o.* x
J» J* cm -oj- co j- ro— _ o oj- cm o m— CMO OO CM 00 OU1 o o oro — o OCM cm m -OP- 00 co
cm in h- o o ro -o j* o -o ro -o — cm ro •-ON-O-OfCM co N- 10 co r-i-inMJ* O CM CD PO •«o ro ro a 00 r— CM P- O 00 ¿(MO<-<OI»1<
ro o o-o in-oo o om -o -oco o -ost m p-m — oo ^ P-o m ro— d- *o
d- p* -o cm m m mO — OO ro O ¿t<-rfin-cooocm ro m o o o d-inoNio-c•- O CM CM *- Jt —o o o m m m oCO O CM j* cm J- roO PO P- — o — oco -o co -O CO CO CM
OCMincM — 0"--0'OCM(Mjrooco jo<--o«p-<MOp-p-;*o.*p-eotnp»<op-.d-m<ocMOP~cMin — ointno«oP"CMinto-ororo-oss-orfOd-ro — cm — j* p- o d-or-coroco — ̂ oj-s-s-coininrop-cM — mcM^oroincooorocojj-coo
ro cmo cocm ro00 —•o 00o -om d-o flOro cmm o
m rojt mp* p»PO —
A —o oro po*o opo 00
co-oinco J-jCO O CM lO O J-ro m — 00 ro rojj- 00 — po .* oCM CM ■* O PO O— O CM Jt CM P-m -O PO CM O CMo m s co d ocoiP-r-s>o co — — ro m
o md- CMp- Jt•o oO dCO o
•o m co oo om od- r-
CN co— jtO oo coo coO ACM CD-O CM
O Om cmm o
cm ro -o com o * —— d* — P-m in o oa -o o o— p- p- oj* in po d--Oíino0"-oa)p- o o d-
— ocMcopnoro — — p-Od-cMinoeoCM — 000d-incMCMOo-oroN-j-mON--CCMOC0 — COCOCMcMOrocMdcMin — jf —ocMP-p--ooinp-ooop-oomp-inm — -oOP»rOCMd- — P-OOCMOCOONr-ON^'-Jomroí seo jcom-
•o o m mp- m -o mJt 00 00 PO— 00 d- *0O P- 00 O■o o m j-cm m o coCOOOÍd- — d- 0000 d d in
in o O dO PO S- CMro ro cm incm o d o-o in — cmco — o dco O d dd — *0 —in o m ropo o P* CM
m mdP-00 <o— dCM —O CDPO p-d 0o ino o
-o p- ocm 00 roco rOP-P- CD CMd mr-o co 00— 00p- o in-o p- dcm m co
P--0p- m coo p- *od -o do d cmco -o ind o cmNONCM — Om cm o
m <om —co —o <oco od mo -o« m•- dd o
m m «o m —o 00 ro ro od d m d m0-000 —COOO-OfOd 00 o m p-N m m n oco -o ro 00 roCM CM p- -o coCM CM CM 00 O
d 00 N P- OO O -O 00 *-00 ro co d «oON<0>0o 00 ro co —*. r-*- t> p-O CM O O CMO P- O CM dc\i -O-OCOfO— -o m -o —
m —d CMdo
CM COPO —fOP-
OCMdO-Od — — COPOCMP-OOd — CMrO-OCMOrO — P-iOrocOCMO —cMorop-oodincom(MOdOOOOCOOddcoinoodoP-rocONmtMininini-oNp.rocMoorocMNCMinddoomrodCMo — roco*oO-Otn — IONPONOO
o oN Oin —o om oCM COm oro cmco do —
o o co 00 o d cin *o ro ao co m rdm — cv— ro :CM — CM CM 00 — ¿m n m m n d rCM N CM CM O — Co o m o d — pm n o d m m cm o 00 o m o <CO CD CO (O O ■— *
POPO — NNOrOCMCM-OOOdOCMOO — COCO■O — OON-iTiON-O —
dinmN<o<ocMoOdo<oinodomcom —•00 — dNocomm-oCMOdtn«o — o<ocoo-roNONinmtMNNmoNPOCMdNmmmOdCM — mo«oooo
00 Nn —o md d■OCM
n mm cm•o -od oo d
dd-d N oo d o d o00 cm ro o o«o — n -o doo m cm o —m * * <ot*CO O CO N O■00*00000 po — m oo d o — o
N — Od PO rodN Od O NCD O Om cm-00 d —NNOdm —m o 00
inoNONtnmocoo— ino — — roNmmocMcoo — dtnooorodO-ON — comNNO— Mlfl-Oifl-ONiilOooomoooromomooN — Neo — ro^— NO — — dNOCM —OmCOONOCDN — —OONOONNOrON
O OO rom mn dO —m mn o00 o— dN O
N dN POO Nd —
N OO 00n do o
ro nro NO NN md OO OO o
d oro mro m
— om —n roo roo 00
m m o N. CM (
— NN mn oo om o— om no dm dN o
N— o —
— mcm md dd rod N— CDo roO NN 00CD O
— N CO NN — N Nm d d Nn d 00 mm n o oO ro 00 N00 d n m00 N N Od m in —d co o o
n o co No 00 ro oo m co —O N O Nro ro o nd o o mO O N No d ro ro— NONCD CD O CD
O NO 00ro 00d do co
00 o o ro m oo m o o 00 dO CON N d dro o N ro d o— 00 o o d —m o co m n o— o — co d —O O N 00 00 —n o ro ro o dm d o •- o d
O NO Oo oo —ro ooo co
00 NN roN —PO NO OCO OPOO00o o
LOCO- ooco — oo — dcoo — dmmmomroo — ninNONinNcoocopón — romd«0NNOOoomroro o co co o n — o— mN—NroodNCOO-OmdONON — NPO — NO
— No ro
ro 0000 coo o— mN O— mm mn —n mm ro
r- 00 — mo n m *—d d — OO — N COin d ro —00 O O POO O N Nd po o om 00 d 00o m d n
o oo 00— N— CNO O— N— NN POONN N
N d O 00m d m —on d o00 — —N d N 00d — m n— ONOO N m Npo m o roo n d m
CO NO— — On m mCO CD Nn o mN — NN — Opo m d00 — om m n
m o oN — «-m o do co PO— PO j-— ONo ro oPO ro nN o d00 N O
— ocoocoodpoooooomroNd — ooroo00OO — NOOOO— OPOOPONNNNdOPOodNd — omm — oO — d — N — OOOOPO— dNmoOONNOrommNomooro — coCMOfO — m — ON — —mo-OPOPoropomNd
NN — NNOOPOPOOdNOOOCO — oorooroONO — OPONddromoONooorodNdmdodN — — coonomoommNONoddNm — eoroNON— pooopoomo — ponmNmooooNomONONOOOCOOdCO
odo — oOdOdOoodoro — omNdN000 — o co o co N ro inNfOCONOO — ONOmoocooPOooNddoomm- — Norodoommo — NNO —NOOON — POPOOPOorooroNNoroco —mO»-NNOCON — N
mooro — — rooro —dOPONONOO — NococoooinocMinN— oomoo — ONrodoooNinNNddONdNOdPOrOONO— — C0N — rOOOON— ooOOOroOCOroOONOOdOOPO —comNinmino — Od
d dO —n m00 No om oo No oo ooro m
N mo —N NO dC0 -OCD —m nd OO rod — d N
ro dN mm 00o doo m— N
m d
ro d d Nro o o cod N N Oco 00 O CON o m coo o o coO 00 d od — m om — ro oO N 00 CD
OOOOdONdNNON — OOdO — — NONrodinrON — roocoOdincONNooinoOddCMONindrON*-Jtp~C4p-t^Jt004p~ooroooONdO — oroindoNoodNinom — O — ONONPONooorooNdddNd
— 00mo ro o nn m o oO CO N Oo o ro dm d ro —po m n coo o d mco o m —m N co o
ro o m 00 o co— n o n o —N — O N O dd ro 00 o m dO — O O — NO N co n m Nro N ro o h- roO N N O O Nd d co m ro dO — d n o d
O — NN d Om m dN O O— OOro N oo m no m nf- jt —d co —
N ro N N Om o — d oin o d m coO CD O N Nd d o o o— — — o o— -o O O CON O 00 — C0O O d N coN N O N C0
N d— roCD OO —rOdn mm oN OOd N
ooNd — oodoomooin — ooNforoomdNom — NNONin — inmcoo'OdoocoroNdom — mm00 — ^NNOO — dON•—ÑOPO — ONONPOONinOONNONOOCOd — NOO — — dONNONNNNNON
m o o mo N 00 do m ro moo o m oo n o No o po o— O N OPO PO N dm o o no 00 m m
d O PO N N Om d n m o cod — N CD C0 No m o po — 00O — O "O PO OO O CD N O d00000mN 00 N 00 d Oco o o — o oN — N O O O
O O O N —N o n m mao — a o No d o o mo d n m rod o d ro —ro d o o mo N d co NN PO N o <po m n 00 m
ro coo o roo — n m pon m — — porO N N O Oo *— m m com n -o o dn ro o m dd ro o o do o o d com o ro — o
ion- mocoroN^oflOONrONNdOmroNC0 — N — CO O O N minoointnNmromomNdomoeomNdomdroNNinoopoo—.0 roco — dNPOrom— POf-OOOPOO — —N — OONO— dNOd — mmrONoo — 000
m o oN dNO PO NO O 00ro mNN C0 POm co nm d oo ro ooro n
00 N — CO NN d —NNco m — CM om o ro d m00 o — —■ oN N N O Nro O O O Od o co ro oro o ro m nO O o co o
n mN —PO NO No d— Nf N
N N— NO O
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 81
mNooNNNmmmom--mmooo — — N-odONmNO — dNdn — o — «omroNNcocomom — OdmN
Q d oo d — d n o — m No o m meo o n m o m coo o — n n d o d d o-oo d o d co n ro n m ro oo oodcoo — o — o m
OCOdOOOdNOdoNmmoommoNoo
o comoON- roromotnh- OmdONCONONO
ooo — — ooomma oo oo o o m o o — co m— NNCoodroNdomo con — m — omrod —o m — dOONOONrom NmmNdOOroco —
COO — ONmOOOdNN — dOOOrOtONN
X oNmomoNoomO Od — drood — dmOS NONOdNd — ddu. oNinco — »doom
ONONOOOmNNdoom — ooN—moomOOdOONNdOONoindONONtncoo
o —00 oo oo mm Nd om coo od nn m
moNdincooomoom — nooCN — NrONOO —Nmco — oom —OOdOONONONOmmNNNOo — ooomNmroomoooONOoONCOON — moN — mNOmoN
ocoooNOONcommcsim — o — o — cooooNNdON — pon-odmmNd — NmmNNomNmNOdoodNCOONinNCOONOooooomdN — dNOOOONN — mcocodN — ONN — — NiONdNOmNmNdcoN
O NN 00NON mO N— Od-roNNO NC4jt
— m nm d oo m mO O d— m od d mn m mN N ON O 00N N N
m N O N Om n m n m00 O — O Nm — o m oO O N O dC^ 04 Jt Oi jfN N — CD Om co m d -od n «- onN N O N O
— OONOOOdflOdN00N — NNmcONNOroNto —NinNinNmmommdNcomN —mo«ddom«-ooNOdmin^d — moon — NmdNdcom—omNoodomdmodcommoomooommoooNoo —
— o n om co m coo n o m— m noCO N N —om NNmd on— N N Nm o — No o m n
nn d co co oo n o o m om m m n oo nm n o — o dr^- st ^ iño^-04 \n t<i <o c^t jto n o m m oo on n o —o m n o o m
NOONm oN OOm mdooooo dm —
o —— O
— o mco o oN CO COd d OO — OO CO Na — rod m o mro —— —mo o co
N —co —m d n mm m m mNOONo o m nNd O —0ON O On o o mm — — dm m m o
O CM CM O COm n — o mm co m o noo N n n on d d m oo d o m nd — d o co
■ co r m
n m o om o co nm — m o— m oooo o co dm d m ooo o n mo m o od m m ooo co o d
m n m om m d —d n n mn — co oom n o mm o d mo o d con — oo —d — N 00O N — CO
N Od —o om nCO Nm oo m
cm r
d oN —— oo oN ON Om oN Od Oo o
N d coco — mm m —o — oO CO NPO N NONNO O —oo — moo o d
— oO 00m oo oO 00O NO Oco d
m —co —o Nd coco mo mro om ooo om co
— — o-o o cod d oro m mco N oo — mn m om n nOONm m m
— r>- ¿t r-o — o om o m com — d Nco n m oo d — oO N O dco m ro Om CM N NO O o co
in o — nd N N Om n d oomm —o oo m nm n n —m n m ood o n on m m om o* m m
m d o no d m oom m m oo m co do o m oo m d mO d N oo m d oo n n m— o m m
oo mN NO NN Om nN dco oon mm o
roNooo — oooroNNdOooomNroNONrooroNOmNOOOOONinoomNOmooNincod —OON — o ro m —eo^-NNmm — —oinroNOinmconoo — o — ddN
O N Od 00 Nm co —n — mm m oo m ood co m— o oo n mo oo m
r- — jtNOOm n mmomm n nd m mo n ooooo om o —o n m
— o ooooo n mNOOo —o— o mo ——n m md n otrtro —
d d m m n m mm o n d d o oN m — o o n mO O N O O O —O d O o — oo do o co d d o —CD N N m O O No co n co n m m— CM 00 O O 00 No oo n m — oo co
00 om coN Om p~m rod NJt r^
o o m o oo o n — md n — o md o — o md o n m mtn in co N mo m o N ojt jt ro o C4d mco d no m n m o
o o o n o o ooo o d o — o cooo m m d m o om d m o m d nO 00 N O O — No — m oo m m mo m n o o oo dd m N — N o coO — O — 00 d Nd N 00 co o n m
o o— roN ON —m —N ON Om —Nd
oooo — mmoNNd — NOO00OddNomoNinNdrocoNdin —d — mmodco —n — — mom — mONNinooaocon — ooo — oo — mNOmOOOONOmmomoomNo
mom — mo — coî«momoNm—i— — oNind — o.O — OONOONrOio — d — eomorofdNooNomoo.Nmomo — dPOtmmooaooom — ro — ooodm — o.Nmomoooo-r
Odo —N O00 O— OON— Oodo mN N
NcommNNdoNNCOmNOOOdNOOONPONCD- mOdNNPO«NdOOONtnn — m o m m — mdorn — pon — ocoooo — ooo — —nono — mNinN — CMdNONO
ao mCD COO Nd OO 00
j m CD O NJ O d CO o. o m d co> N O — O
r+- — j* —n m co on — o mco d d cm— — fO jTro m — j*
m nn mO roco —N dd mm —
n mN Om nm od —— oO Nm om moo o
o oN NC0 CDd mo dm oN CDO Od NO N
00 OO CON m— od NN Om mo —d —— o
O NN OO 00N mO on dN Od —P- oo m
o m dm m mm o d— o oco — dm N dm n mo o dm m n— o o
o coo o— oo mo Nd oo dN OO Opo m
o coo oo mco Noo mn ooco oo —m on —
N Om —d nd m
o o N NN n m Nm o — —n o m o— d o mn co n oo co o m— N N Nro O co do m m co
m o n nn o co on — — mmoom— NNONONOCO O 00 dm o d —m o n om oo d o
o co m o om o co — no m n o dd co o cm o— N O — Nm n o o oo — o co mO O N N COo m o m oooomm
n o — n mo n o o mn oo — m d
O d N Nm — m no o m no — N Nm — m oN CD N Od O N N
NOOdNOOdm o m o m o* mm— m«— ONOlONNNroNin — mNOdmmdmmomomNoooNmoi—ocomocoO — OCOrONCDCOoooo — md — n— mommooNoo
co o co m — m — drodroNNN — NinmooNOONOOOOOt-«-mmmNOdoo — dopONintnr-roNdONco — m — mmmooooO — — dOdd — onCOONPON — dOONoomNOdO — no— NNNomdmt-m
co mN 00N Om no mo m¿toiON— 00o d
o mo md No do dN COm on mo —d m
m od mao Nn com d— o— N00 O— OCO CD
00 O N O— N 00 OO d CM com m o oO — O dn d o mmoomO CM O Od N O G0O O N O
ONoroNPOmincoNO — NddmNNONNrororomN — oonOONO — N — NOOOmNNmooNdONinN N dm N O d N o —dOOONOmcON — dNm — oodooommmooN — od — doNinNOOOdO — NO
oom — o — dOdodNmmmomNoocoinNiniONdNNNdooommNomomm — NNO — roNmoOdddmmNm—nOOflOCOm — NONOinCOOdPONONON— OO — dOOOGONOddONNdNCON
dommd — OONOONNinNoodomdmdOOOPONNrONm — oooooooNinoomo — rodNdOO — ONNCO — dOdONOOdOdaoOrONNNNOOOOjCO — NNN — CM — lOdmoNNmo — oo
) — o oo-OON1 N O N■oooî — O —» m m oo> o m nî — co —i o d m) m cm m
co oo oO NO —N NO Om mn dN dm m
n n n m— n — dn m o mn — n oco m oo n— n d om o n oN O O COoo co o mo m d n
o oo mm om n— om oo dco do oo d
N O — N o mm — o o n o— n m o o od O O N N Od N O O O Om m n d o ooo m n — co mm co o — d coN N N O d —— O N O O C0
— ooNomooNino — dinopoNinomm — coo— OOOONOOddm — j-omNmoNOdOoaoomp«- — NNcoromoroNmo — Nom— dooo — mNomooNNOO
N On m— od OO ON O00 N— ON mm o
m —o oN COm do mo om o
— o — mmNmmNO00 CM — NOOOdOjfdo — o — o -o o — — -Qin n o — oinroddOdODN — mNO — ooOOOmON — — ONONinNNNNOOOmooommeodoo — moinoPON — oddoNd — OdPOOONdO
d — —dNmooNOoocooaodococodOPOd — COCOrONNNtnNNONCONdOinm — inooomdomNoooN — omdddNNNdoooooommoOOmOOddNNOdmommcoNoooONNd — tnoroNN
m mm n•-mo o
OCOOdNO — ONiONmNNdinommo — NomNdONOCONNood — mmooO00 — mNONONmroNin— codn — omomroN— — dooomcooon-mooi/io
o con oo oN N
p-^-momNcoodNOCOONfOONdOOONinrocoN — rodommNNcooomocodoomNOcoNmooeomroddddNOddNrnod — N — — omOO00 — NOlONPONCOOdNCOOCONNOC0NON — dm— — o
ddrOdNdinNmoomo — dO-NorONNdPOtnNooNmoommcomomm — NeodNooomomm —oomdNmoooodmdcoNomaoommNmm — dN — NmcodNtnmmNco — d o —cooNroNrodOom
m o d d oo d o o —m — o o oo — o o mo n o cm oo o o n mco o n m mo co m m mo o d o oN N 00 N —
NN O ———■ — CO O Nd o m m nm — o n mn m o o co— on — —o o d n md o m d ooco o m n mO O N N N
NOPONOiON — oood — omm — coooodOOO — NPO — O — OoooooNtninmNooNNONONONOmdoomNOommoo— co — rodcoroNOONNOOdOdONOON — — NNdONdNmmoocomdNNo
— NO —co do od mN mN dn mco —o o
d dm mn om coo mco dN md ao— oN —
o O —oo m dO d —NNOm d nOddO d Nco o dOONON —
m o NNONCD N ON O do m om co mmNOm co oNN-dON
— o dCO N OONONn n mm m n
co m — aod N O Noo o o ojt o n mO CO CO Nn o m mN j* O O— d o mo m d No co — m
m o o o mm n o o ooo m in n —m m o — oo n m o —O O N O Oo m m d O— oooo
■ cm r
m coCO Nco om cod om nn m
m —o oo mm nd Od mco N— o
N CDO No m— m— NN Od Om —n ooo m
m no —d ON Noo md od m
omNO — ONNmo — mNromooOONCOmONOOdocoomo — dOdONOOO — NmooNinodcommONdoomNONTO — moomoNommmodOOONNNN
m
co - CMoo d omodn o ooo d o
d N N O O
O O d d Nr-. p«. P-- d- cno o o o mm m o o —O O O O 00a- — n m aoo o o d oco —■ 00 o of^ m h- ro \nm n o m o
n n m m od m o m mO d N O Nn m m co nm d — o oO CO 00 o com o o m om o o m ooo m m o om m n d o
m co oo o dmNONONNomoo m ooo n dn d dm o —omm
o oom jtd OCD Nd —N Oo —— oN JT
o — n o m d com oo — n o N mm m d o — n nN d — o m O nm d N N O O N«- d o o oo — oom — m d N o oo■— o o co m d on oo — m m n dm oo — d d o n
m od no do —o moo om om n
— OO N Oo co oo mm co o do o d mN N CD Nm n n —o n m ooN n m oo o d —co m m co
— n m mm o m ino m o od o — NO O d N— m m on o — no d m mo m o om o n o
Jt'-NN'-OOailO"-ddOONNNNOmmNomoaoaoomoOONOdNmdNNONNOOdONNm— oomcom — n m jtNOCOcOOOCOddOOOOd — NNNinNNdNOOdNOONNmmmo — ooNoo
ooddNmmmoooNm — m m m o n —O — «CONOONONdOooroNOdNinoon — o — oomoocodmNOOOdomeomoooooommmNmocommcON — NdomcooooodoNNm — d — Nommom
mroNNO — doooNOONNOOm^-NOomm — ococo — o —o — o — oo — o — oh- — — ooomN-dOOdNNNin — o— ocooNoomoodomCOONdd — OCONdmooNmmmooooooNNm — mmN
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
82 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
m — inomocoroj*1 —Nd — dNdOCOONNoom-omooNNooindommmNinm — oo — o m o co comomNinmdocoNmNdommmmmNNmNmmo — omdmmoNmomNdoNddomoocooro
dmmONoomNOdoo — mmoommoNNomoooooNodmN — oomomooo — ddm — mo — dON— NOmNN — OomNmmmmoocodNmooo — coocoomNOONdOd — CO —NO— doco — mNCD
omNONm — odocsijtjtr^t>-*-jt — dmNONGDOmONOinmNOdmoomomm — ooNONcomNdN — ooNN — moommmo — dGONmcoNoro — mooONodmNdmodO—mmoNromdNmin
o oN —CO dO on mm om oo on md m
o oo oO dm oo moo Nd oom nd Od m
m — oOONmomo m coo m nn m m— o om o —m m nd m o
m n o No o d md CD N No n m om m o no d o Nm d o oon o n coN o — mo m n m
m co m nco o m md O d omoomN N N dd co n mo m d mO — N Ojt o o moooo
d dd nN CDo oN COm nd mm on mo d
m o oo— ONm m dO N Oo n md conJt *- Jtm m mm o nm d n
o o 00co n —m n doooN O COd o on m ooooo o dd co o
Oddd N mNONm o nO d Nco o o0> — —d N Od d o— t-^ Jt
o m d om o n oo d o No o m nO N N O— d o —m m o —N 00 00 N— O N do d n m
m od nd coN dco —— Nm mN No om o
d om oco mm mm dco oco md —00 od N
O on mN —co dN Om oco oco NO d— O
o oO NN ON CDN —N do mo om n
NONd o om — oo — omomNONco d oo d oo oo o— o m
— Nm o— No «N Od oo o00 oo oco o
00 NCO Nd dm on —o mN Nm mo on N N o
— NOONOm o oco n mco co mo N dco co coco o doooo — m
o on coN CON COm no mo mm m
m coco No —co o
o NN dm om nn m
o oco dm mm mn oo mN Nm oN Nd N
N o m No — d od o o oN O 00 Nd O O om N m nN d N OO — CO NN « d Oo d m d
d O O Nm o co or^ jt r~- c^io m o oo n m do o m mm m co oco o — oo o n mOONO
CON — ONNdinom — drooo —O — ONNOdO— NmOOONdNJTCOOOCOONOoodoomONodmmom — oocooN — ommmmoNcoddod — — O JT d N O
ONNlONPOCOOOONOONPONNONOOOrOOOOOcOdOOmd— — oo — oodooomdOdomooooNmoNOddm — ONcoNdino — dmd — comooom
co od do —N No mN Om —N Nco d— N
m — — NONinoNcoO-dNOdNONOCOcomodomooomm — dcoroNNindoNrocorod — NinomOCONPOdOPONNfOd — NOOOON — ONoocoocomdNd —mocooNmoooommomcoN — dmco
NdOCOdcoinNdo— droocooNO — coNooNininjTNinom— NdCONOOON —ddo — OdON — moroNNOod — oommd — Nm — ooodONdocoodinooommdNOOCOdcoN- — Nommoomco
omom — co — moo— mmoN — dcoooo00 — — NOPOdOOO— Ndomco — — nooOOtON — NNNdOom — oomdd — oN—mmNNOOOONcooooomcONinodNOO — dNNCONmcorn — moodNom
^- d n m — N — N — NNNOCONindNOmddm — n — oodcodomcoNCoo — mmi-NNfON'-'-COeONmNO — dN —ONmmmo—mmNdOdinoNco — inoN — mdOmommcoNomOCONO — ONO — m
dmdmoommd—OdNOjTNOmNdOdmdo — ddddOONCOd — NOdOOOOddO — NCONoooroo — — oom— OOOOOOOdONcood — poNNminin— ooooNoo — dm— dNOONmcodco
— o —m m om m oooo m mo o oo— m oCO co oco n md n mo N d
N N— Nm do oo o00 CDN O— No mo o
m m d — oNmooom o m n nm — co p- —d o — m —o n — o mo o m m m— m o d oo m co m nm oo d m m
n o n n mm m o n com oo o o o— d o o —d o co n —o d m o coo m o d oo m m m dm n o — dd d n o o
o d co d mco m o o Nn m N N dm oo — co om d co m m— momom n N -o do o o n or^ Jt Jt — jt— omom
co co n o coo o co n mo o o d NN N O O 00o o — o oO O CO N Om oo oo — m00 O — O 00o o n m oO N N O O
N O d O Nd n m m nf^ — r- n nm m co co mn o co d mm o n o ood m m m mm d n N —m o n O Nm m — oo —
m m mm co —N N —N co dN N dd d o— ONONNO CD jTd m o
o CO coro m ooco m n— o mm m mm m oo n —n — mNomd m m
o mm mn mm nn mco mn oN ON Od d
d m m oco N n Nd co d nO N CD —N O O dco o o dn m o mO N O 00d O O Oo m o n
ONmo — co— o mm m oo co mn n mOONco o —o co —
m dm no mN NN OO 00N ON d
■ mco n m in —
n o m NN N O —n m N oO N N —o o m coj- r- — mco n m oj- p- — oO ■— N 00m — o m
o — o oo n m N— oood CD O om n m oo co d mN d O NCD — O 00O N N mNOO —
— m n co com n d — mo co in o mm n o — —co n d — cop- r*~ t^ Jt —o m o n —n m m o oco o — — com n m n o
o mm nn o— mo om co— com oco Nm o
o oN NN Nm —m m— oco NO Nm oo o
— No mm mco coin nm —o oo oo oN N
m co o oco co m cod — n om n d oco n d —d N O do cm co mco m N COO d N N— N N CO
N mCD 00CD Od —O 00o oo on mo om n
N N Om n ood o md o —N m mmNOddmm m N-— m o*o o jt
o m o co nONN««d d m n m« d co n d— N N CD On oo m co cocm in « « —O N « N Om n o — coO N CO 00 —
dNd — codoo«mno — dmm — ONNoooomNOOomNmo — coodoomoNdNN — NomNomNoo — NN — mmNdocoooroN — co — m —mmmoomddomC0C0NOO — — OCONNNOdommd — n
m o m m m « «m co d n oo d mo co o d d — —d o d n o o NN O — N N oo m« CO N N N O Nm oo n d m m oco o o — o m nn m m — d m do o d o n d o
m — nm d nco o ooN d No co oo d oco — od o coO CD O— N CO
domoNNroeoooNONd« — ««NOOd«Ncocoo — dmmomotnN«ONinNodOdoomoNO— m — Ndoo — Nmm — oo — m n d m Ninoood — inoNmooNd — oomoNN«rONindNNN —
OdCONjTNONNdroNroNN — ooo — orodONro — — o — mmOOOON — «NONNONOmmm«moOO — «ONNN — —dNON«mmmdN— NONOONNOCONNmoNmooodocoooNmrON — Nm
NooNmmmo — NNCMO — ONOOO — O— oinrouioo — Od— m — moo — oooo —d — ooaorONmomocodcor-o — — — —oomocomoN — oCOdOOOO— — co n momdooo — rONdoooo — Nm — mm —
o Nm dm m
o co— oN on md oO Nco om mm oo co
d mo mo com mn mO No —d o« m« N
o m jt dn m m mm co — ooo m oo od m n com o oo nn n o od — m mm — o cocm — o co
m coCO NO d— dn mN dm —o o
oo do —o od do md OJtt-N Od oO N
— mo —N NO Om on od oo o
o moo —m —r- —o oN «00 oo m« on m
NOO —d m d mn o o m— ONOo m d m(MO « —jt <vr*-r-cm m o —O CO d ooco m m n
m o o dCM O N —— m o Nm m co o« — m o— m m mo n o Noo d n mao m oo o— n o d
o m m mmomom o oo oo m o «m — m oofO o n on o m om o n md o m oo o m o
m on «m «d om mm ñn om m« do o
d co n mo « m n— — 00 oom « o nn m 00 No m NdN 00 O O— m o nco O « «CO 00 O N
N — N Om n m nm — o nN d « coo n m Non m mn m m o« m o «co — — NO O « N
N n m oN — OO Nm o m mm — « mo o o com co m oo*- N d dO d oo oo n m on oo co d
comoo — dNNNNtndommNddmcod — d —meo — — — oo —coooo- dO — Noominmo — modNO — mNONooco — moco— — oooo — Nm — OONrONtn
o om oo ooN Od —— N— dm —m oo N
O CD OO d Om o coCM — OONmco m on o co— o coN « dN m o
d m oo oo oo — o« d N om o — o
o m co mao m N mo oo oo mo o co —o d o m
n o m m n o oo m o o d o mm d m m o — dm — — m m o n— o m co m o od n n d o — oo m n n o o oo co n o o n mn co n d « m mN N CD N O O m
o — oco m «m m n— — mdmNmmd— O dO — «m m «o m —— N No o do m oONm— o dm d o— mmo d mm d om o n
n-NmoNNmmmdmmNdom-noNNNdNm — oooaomocoNONNd«NdcodooooN«m«moinrodONincoNNONO — modcooocom«dmdON««OOCOdOCO — — cooOfONO — NON — m
OdNNNmdNNOONNococom — OCO— ooorodcooNdodmNNomodNorno — mdocoooNmomomcoodom— coNOdmcOdmcoooocoooNomoONinoNN«ooomNmomoom — o
OdNNO — m — dd— COCOONONNPOOmm — roNNNroNrooom — om — — — oNCOONNfO — od —dd — Noom — NdmodNmoNOdoNCOONNNCOOOdNmoocoNocom —dNmomminNoo
N dco on mO N00 om mm —— do mn m
co oco oco aom do —O COn mN 00N dm m
o ooo NO NN OO NN —o mm dN N— o
m jt o moo o m nm o o nn d no— — oo oo m o nO CO CO Nd o m dN O CO COd d — o
Oddr- Jt roco oo NddmONmONOm m oo o —o o dco d o
d dCO NN C0ao Nao mN CDm doo om coo m
m oom oo mco m— mN NO d00 om mn o
o m p-mNOo oo o\n — r^O — 00m — dm Jtrod n o— o coO d N
N — O N CDd N co m oo m n m mN — o m —m m o — —o o n m mo — co — om d o m —co m n m no o o co m
m n d m mm o o o om — m n md — n o Ncm o n co oo — m o ooro Jt ro \n Jtco m N d Nm m — m dco m co m oo
doot-NNN omd o o o n m o dNNoomom NNOdcoNinN mdNdroNOin dmoddmo— omco N n N — m NNO N O N «O N O N ip- m m o ,
d o— con m
rOOCONNOOCONmmNNNCOOdON — NdNNNOdONPOOOOdONNNmONOONNOinN— Nd — cONddOdOdO — ONmooddNdComdrod — Ninoo
N N 00G0 d do m no co m— m o— co coomdommoo o mmoo
o o o oo n m oon n co o m d mo co n m n m —o n d o o d md n m n m n —n o m o m o nn o m — n o mco co o o m o no « n d « — —m d « d n o —
N — dmN — — — mo— dOdN — roromm— m — « — mocom«oocodm — o«noodcomdOdNooddooocoo — comorodmm«ONNm«moNrodcom — « — jt JtOdNcomodm«omcomN — dNdNd
oo n mN n —00 O N— Jt ONOO« N NN N m— O ON N m— N «
m m mN d ojt -oroN o d« « cooo m —m n mn m oco d —m m n
o — o oOON —OOOOoom —d co o cooo o O dn m o —n m o om o — mn m o «
Ndocom — o — NOmd — rodoin — noOOCOONNOOOOomNNNmmmmco— d — moommoooocooo — aomcoNroco — rONOONminNoco — oocooNinompoddOOONOronoo-cocoocooco
COONNOmONd —oaûNdOOoo— mdNrnoNNGO — — o r-OOOOdCON — OOPONONOONNOdNOininmoddo — odNmmmodNOooodoo — modocoommmo — ooo — n —— mocodomdooN
o do No mO Nd nN Om dm o— >co N
o on do on mo —
co »o o —o — —m o con oo m
— — n d mo coo NO N— o
— o mONmO CO Nc4 in r*^
ONmm co nd CD NCD O Nm m oN O COd O NON —
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF If TO 100,000 DECIMALS 83
O
OOm
o —o —ojmd»cococo «mo
Odo ddojtrooo«mo —n m
— PONOONNOON — On meo— — oNOOd m oNdPOV4\f,f-
jt m om « «m m nd m droto too cm mN O dm m mco m —m oo m
o — co d mN dd meom m o o mn co Jt d mro « n o oeod —co oo m n n —d n co m om o n n —p- d m o «
m o o o nd ON O —d O O O NO d*C0NNN — O ONooo o — mN —NO Nm o m d dopon O dm mN o oo
m m no —Nn co mOONo —d00 O No — oNNOm d mmom
m n — mco o m nO N O NOOONmd — o— mN No co o mIHN — OdNNOOO — O N
o m ooo o dN OOOONNNOOd Odo d oOtt) jTo mNmod
Nmn mmN— d-o oo« mcm cm•— ««No m
oiodinmcodroON — OO»—ON —jTN-r-mroNOinddmooNoomomONUiNNddorooodOOdoomo — — N —m n o m — o co JtddfONOON —poodd — — oo
ooo dmN — dcoO d N No m o oN d Odm m m do m n mN d ooom d dmd — o m
moomCM m — N— d m oO N NNOOO«00 d d OmmN dd m co mo (M — oNNO —
NN
NO
NOOm noo mo m
o n d om d o mm d co oo co m mo d m mNOONo m — om n co mN o d 00o o — —
— m N dn m « mn « n on d m o— m n —d d « ON(MO-m m o mm d n md mN o
m m — oo m m nro — « oo— oo « o— o m dm o o od O N On m o mo O « 00
m m n m oO N « 00 NCD O — O d— O CO co om m o d nn m n m —m d o o of- o m o no o m m «m m n oo m
m do md mo mm dm con m
co o omoo« « mco o o— oo «n dm— « dr- — mo m oco o «
m jt Jto o oom — co00 o —NO«OOOONOn m coo oo oCM« —
m co m n m d00 « N « N 00m o d — co om d m o — —d m o m n no n m n m «00 N 00 O — om co n N d —to d n m m No o co d — Jt
o o —oomn m nmmdOONN o mm m oNm on — m00 o o
m m mJt C4 Jt— d flOOONN — «r- Jt Jto oo om o nm oo oNNO
N O —N O 00OOOooon m mn m dOONoomo o oo— O —
n mn mN Om om ooo oo on md ojt Jt
N m mn n mmmNo o —co o odo —d— NmNOo d oco m co
— o co o md m d co oo o — n mO 00 — N 00n o m o mm m o co —n m o m oN d co o mn m O N on — n m d
— d CON ON O O O 00O N N O Nn m m m mm n m.co non Odrnm o — — md n n co dN O N 00 No d m o m
— n « n mm oo o o dO d o o on m N O No m o o oo — oo m nn o o d dO N O d Nm m m m —d oo d O O
mmN Nd ocomomoon on mdoo m
m n n m — m n— o — oo co d No o d m m m n— n oo m d m mm oo — o n o Nm m — m m — m— O m o o co mO N N o n m od m dN do ooco m m o o m n
NinNcocoommNomdONm—NmooomNNmomooodcotnocomdrON«OON — ONONOCOCOOPOd — Nmmooomodm— n o oo n m d NNooNONmmo
r^ — jto — oom co od o mOONOONN m mco d —oo o Noom
ooroN — oomNm— nconoo — mm — om o — o m d d n n mO — OONNCONCONNOO — co — Nmooon — mmdNoooNdooooomoocommpoooNN — mcooo^-NmNNOmmomo — moomONdmm
mooooNdmooomNONin — NOdmPOOdNNNONinmdNOOOOOONdONmoo — n — mmcoNo«NNooomm — «oNmodNmco«NNmmcoNN«moNmo — ooo- — omo— ocommooommo
m — N — OdONNO•-mmoNomooddco — ooNin — moomm — OONPOOOONODmoom — jrmm — d —dinNocoomommCOONONdOOOONNooooo — — m —PO — — ONNNin — NJT — COdONdOOCOd
— mmd — ommmmom — coon — mmdcoooomodOdcooooomdNcoom— Jt m — co co d m n —mN — ooNin — — — oONO — mON — ONoinroNcocoo — comroNONCO — N — NOooooomNOdm —
— o oN N —Jt — Jto — —ONNOONco d domo— 04 Jtm m —
co d o m m d dn d — — m m oN — — CD O Jt N— CO flO N O N O— O O N O OO Nm o o — o n con co o o m co om n o n — o oo m m o o — oo o — m — o m
m m— m— oONO N— mto-ro mco moo
— m oONNco m nONN— — NOddONNONOm o mONO
n m m co dO O — 00 Nd m oo d do o m m oOONO —co m o co nd — O O Nm m o o nN d CD O 00CM N — O 00
N o m— o om o dco d Nco o ooomo o «•o Jt roONOm « m
n n o mm n o oomomn o — mr^ ro Jt —m d oo dm n o NN N N —m m o nooo —
o m coo d mN d —ooooooCD CD —oomO CO NmooONO
m — « — mooo m — — d oo o o n m o— dmN omm — m NNoo m oo co co oo m o o oo oo— m m o m om — m n oo om CO N N N 00
m o d do co o on m o —— mNOo oo m om n o oooo mNcm « co —m m n —N 00 N O
NCO«rOONOOcomoocomdONO — N O « O Om — od«Ninm«POPO — dPOOmoorodON — nom — om — o n coNO — NOONNOm — — oom — NNmmoooNm — m
n om nm —— mo N
«o— No m
oomNco — omocommmoommdomdNcooinocooflON —ooo« — COdNmONno- n- mdcoocoNfl0««ocoindinco«Ncocomm — mm«oodm — com — poncoocoNdooomdflONmoooo«dmoom
ooNrooNind — mm«NmNomooodoo«moNO — m«md — meo — moNNoco«mdoOd — omeooN — dNin — ooooo — d — n m o —ONONOONGOOdmooNOO« — «oomoooooodind
« — COOdOONONOOOOOOmONdNON«ONP0in«o«m*- in m — o — «dmm— ooo — n« — com —NNNomooN — dNinm«NNin — moNmm«mdmmmoom — doomo«ddNdoddNm — d d o
oo oo N— coo ooo ooo NNNO CD«NN 00
— NIo m 'o co i00 « ICO CO I— mim o im o i« «<
ONO— dmoo o mONmn m coco n —o o «momNNONOO
O 00 N— m «CD 00 NmNON 00 —COTNlm d Nd m oco m oo d N
> o m• co co■ n m> om■ o n■ — m■ o m> o —i m o• ON
n co o m —d o N oom co n d oco N O d od m o o mCM N CO O OO N N m ON d n m om d oo d mo — « m o
o o o o o— n n m mo — m o —o m o o —O O N N Oo o o m —o N m m dco m o oo oo n co — mN o m n o
N o o n mm — o n oco n m O N— d m o no o oo m oO N d N Oo o o — moo o d m om m d o mo o m n o
o om od coN oo —m no —N Oo mo o
n ooN Nd No om om on do o
— 00 oC4t- Jtd o mo — No — oO N 00Odrnn co oOONin m —
o n m m mm n oo d ncm m n n oro n — — oo— m — o coo m m o —o m m d cooo o o m ooo co n o mn o o n m
— d o mo d o coo co n mn — — mCO — N —d N O dd d dco« o — mn o oo mn m « —
00 N — CD— d — om n m mO N « Nd m n mo d o N« n m dn n m mf* r^ Jt r^
— «m nco «n mm do «— Nn dN coCO N
— «o mo N coCD N —d do— o moo m mmNO— — om o dd o —
n m m mN oo co don o cod co N m— omon d mon m noom d oo on o « —« « o o
N N N« n mm o nm —no NOOm n nm m o— d od oo «m co o
mommood«« — NmcomNmom — oom — N«rod — odNdmcoN — ooo — — N— «mcodN«coinmNNOOCOm — COCON«d«C0C0««dNN— ONdOONmNNOOocoPONinNOOom«ON — — NOmN-
ONddNOOOONmO«C0NNOOOdCOONOCONdONmom — oomcoNoeomNooooNmmNNdddNOONNCOd— doco — mom — dOOd — NdN — CMCD— tO — NPOd«d«Noo — oooodmmm
doom- — con- m —ONmo — md*mNNpONOdomom — —Od — dOCON — NOOooomoddoomoddomdmNdmoocoN«oommmmo««o«NOdomOdO — NONmoo«mmmmNmommN
N — d «com n o d ooo o m m oo — n m moo — n o ooo n o m Oooo o o m —m m m m m— m n o dco o o m —
NN m o No m d « dn — o n md m o Nmm co n oo m« N « N Nm n m co n« o «d d— m m o dd d co n oo
N oN O— CDo dm mm oo oCO Nm —
m nd cod O« NN ON dNNn m« o— d
N co oo m cod CD Om d oodmmmd —d « oN 00 NdmmN N N
m m md o oON«o m nn m mn — NNomoo m n« m om d «
om — ooo — omtONdo«dmN«NCOdNONO— o oo o oo m n oo«m — N««Nin■o t*-o jt t^-1^- — dmcoinNdPOOcoNroooomcoom— c4^ro--OOt^-Nd — ONOON
m N dd co ooodON«N m —N N 00to « m« m n
d o n oo mo co o m nn o o o mo d oo co —jt r~ Jt ^ o>O N « N COo m n co mjt CMior^ ao « co o con m — m n
N CO NCO CD Od N ro00 o «d n mmoom — nco co mONNCO N N
n o o mn o o mN N d Nd N O Nmomo— N O CO— co m mo m oo nm o d mo m « «
— mo mo mm «m o« dn «o od n— m
N N O N Om — m o oon d m o nn m m —■ mn m o n oo m n n mÍNÍNJ— O O CD JTm — m — do m o N N
oo o— mo o— o— COdcod mo dd mo o
« N d ON O « 00to co m oo n m do d « om — — on o o oco — o oO N O Oo m n o
d n m coco o o mp- r- Jt —momoO CM O —— o o con m d mN d O N00 N O NN CD — m
NON 00O 00NNo d— mCONmmo oo
n « — no « — coNddONm — n« — ooooo —Nmdoodom«dlOOPONNin— m«C0 — «NNNO — OdNOOd — oooomomN«N — modoocodtnocoo
) N O d O N■ mo m — nt — d NON»odO oo. m o n m m» d m m co oo» o « m o m. o o co — o' m — d co m■ o « n n m
n «mNNOoo —co m od o o— Nm« o «oo m nNN «CO 00 O
O N 00« N moodO CD —N 00 Oroto —mooN O 00m n mm co o
N oo dNON —dm — oom co N NNOO N COON o dmN« do m o no « co oCO d CM co
omo —oo d dOONO«moodO N —o m d ooooo«d m oooo«O N O O
o — co — oo o d coomoNcommNdutNOdO — NCOOO — — NOONcodNcomo — oococo — ocomdod«m — omNNmCONN — oo —No««m«««»-ONm — dm —
o —r^r-— moooo coo Nn md om nNN
n in n —mmoNo m — con n n mNm m dN m m coNNO —CO O N ON m O mO CO N —
O o o dNOd dN o m Nm Nm mo co n mN N O Nm m o nd o m do m oo om oo o m
•- m — no o d mcm m N CM— Nd o— ddmm — n nn o o mmoomO N d ON n m co
«NOO— o d moo n o oN N d On co m N— — — o« N N <Do m n ooo o « oom oo d m
O — NOo m n oo o oo oO CO N No ooo dm m n moo o m on n oo m— ooon o m N
o m m oo n n oONONONO«« O N dd m d mN N N Om co o na — jt Jtco « o —
— N— «o o00 —N COd «m om n
N dNN— oNOOm —NNO N— o« N« —
Jtt^m mn mmN
ONONo om oOON
dinorONNPOeoco —oocooNO — omooooroNdm — noon — — omd — ddmNooNdmNomoddNONdNdONOmdom — tooN — mooN — dmdmo«ON — mOONOOONddoodoooodom
o co o No d oo om n m moo n o —00 N d No — m mN N O Nd N d om o n oomom
f». O O No N oodm n m om m o oo co o m— co n mONONooooi/) tO — Nm m o N
« —O Nm nN ON dm —md-m dm mmN
— CN
m oo oo mm «m n
o co od o cod « o— o dt^ Jt Jt
O — Nn o mm o dm d on oo N
oo m m « o« o co m —o m m d oo N N N N— m d o nO O N — NN n m O N* N O — Nm — d m No oo — — o
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
84 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
ON — OOOdNPONcoom — — «mNO —m«moNNcoooomNNmmooocoNoooomN — oodoommomm—NNONmoooooodNdoONdo co — to — NomoodomNNmcooom-»-md — on — o — o
N —— om dm njttí>co do ooo m«mm oo
ONmo n dONOco m NN 00 «— O ON 00 dJt — JtO N 00m o n
m o o o dco o n m dn — m m nN o n — m— m « co nm co o n dn « — m mo m o co m— — momo o d m o
N m U"> NdO ONoo — m mco o — Nn dco oON O Om O N No m m oCM N CO NNOO d
O dNm — mn m oN m con m coOON« — Om m m« NNm m o
m oo mo «jtf*'
d —co dd dmNNO
NNd OO«OOomn dcod-o Nm mON
o mON— on mm —NCON —OOcom
o comooONtrtc4n mo oo od od —oo «
d o m o d— h- N N —00 O d 00 oo m n o oJt iO- — 04m m n — ood o m « co— « N CD «d o commo d o d N
omm«OONoo m N«dmo — —md om oo Nm o «n m com oo m
n n mOONm d nm — omN nm o «mN m— o coN N «oo mm
m m n oooooooooom o onO ONNd no doo n d on o « mo o« —m co o o
N — N 00— 00 N Om m d oo« N N «oo m « moo o « m«moo« oo d mo m oo nn « m o
mdm«NNmcD©NommNCONNm — — d co m mtn«N«OOOONo« — «Nm — moNNNdcomm« — dcoroN — dNN00OOO — m— mNoomo«oNcoflOomo —
NNoocodomm— co o n o « co comoo« — PONcoodcoNin«oomONdinoom —co — omcomddo — coorod — oooomcoomd«•- — mooooN«dooorodo
NOdin — o« — NNPONNNinddNcoindddm — coNroNdmmNNmmommo— NKiinONincoo«N«NrndC0 — om«mmd«mmdoroN•-»-mcoroNinoNNdm«Ncommodm— cootooNmmoco
d o « d «o m d « com n m n —N O N n mN — d 00 Nd d N « do o d O N— omo«o n « m No o d o —
o o n m mn — n o on oo co — dd o n o moo o d o mco m m oo do n n m —OPON — —d « o m mco n m o N
ommo m «m — om — o«NmmNooo — oto jtr-o o dN o d
O N O CO «m n o o om m « n m04 Jt 04t^ Jtn n m — mm N CD CD —04t^ t^ Jt O-— O N NNd O N N «m n o o —
m dco oco mao «— Nd o00 oo md «o m
m n com « coo — ooooONON m oNN moomn — m©•m m
m —a jtm cm— «— mm dCD «co «N Om m
m n — NNN 00 O O N\nt* c4f* Jtm — «d oO O OlONo co co co «« n o « mo - m co nN m NONco — — « d
m n m o co o «o oo — o o n O« — — d « co N« m co o m o nJt Jt — p-* 04 t" \0OO N ON N Oo m N — m m od m o co o m mn n oo co o co «o n d o co o oo
ONNm « no co md n ojtt^Jt« N CD00 — ooNOOoomd oo
d — o oo OONo m n om d N Om — n mon n omdmN« n n —m m n od — N N
— oo «m o djt jt —NNO« — N— 04t*-d N COoo « mO « N« «o
m « «NN mo d N« o mcorn«mN m— t^ ton d mOO —— — m
m no m« m— d
oo
« «d mm ooo «NOm ooo con mCMN— d
m m— mN COo mN N— Oo m
r~-o^>rojtt^jtt~mminorOdPOdd — n « N jt m «ojTcommooo«moN — o — odOCOdOONOCOdooo — o — oOC0NON- OOm«« — ddNNm — ocomoom
o mO No dm oN No mN NCO ooo— m
O Nr- JtN Om oO NN Om coo Nm mn o
m n d do oo n coo o m m00 00 o comdmNm co N NO — CO Nmoo —N « — «00 N n m
o « m n «040 Jt Jt Jtm n — m mm co n o o« d o — oO 00 « CO C0N O O d «04 Jtt» — -« d d o d— OON —
o — dm d dmomOONdmNco d mn m nm« o«co o
« Nd —co dm no —o oo —
O Nm —m co— mm nd n— mo —
m co
— p«- mo oo dNO«— O «N CO O— m nco co om o «moo do o —
« N dNOOn m mm oo «d oo oONOm o «o — od co Nco d o
m o no o —NO«d — «« m doooN « NONON 00 CDO d N
N — N n md o N o m— n m d coo « n m om n m — nco co o m mn co m co mO O O « Nm co « m no — « m d
« o m dd m o «m m o —oo « m coco — « —CO 00 N COm m n ooN « N N— oo m —n o — m
m n — «m n n mo oo o coco o « oco o n mm « co —N o o mcm oo n o
o m o od o m mm o n —omo —ro cm m nO CO N Nd o n mo o m mco o m —« on «
co o —N — OO — NN O do m nooom n no co oN N PO04 jt r*
N ON N COd do o m O O N NN NO «CO— —m m — m n d mo o m n n m om mm m — d nm co o n n oo —N d — NO —00o m m n n m nN d ON O— O
00 Om «m coN N«00co co— com m
OONmdNO—mOONCM — — oomodcom ——odo — do — mno — ommooomom — NmoddNOdinoNinC0ONC0 — OONONomdONd-— NONJdOON
NNm — dooco — coNmdomoNoocoddoo — noo — mdNOOOCONNdOO-Nm — momm — docororodroindinroNommmdmm — dNOOmNNOOOOOdOOOOCO — fONNPOO«omNmmNm — «
mmeodNmeom — dddNOmcocoNNdm«NCOONdO«co— omeo«oNmN —NNco — OdNm«mmoood^NdoocomodONdNmoo— d O N — CON — — Nno — ineoodoomoOO — — GONOCOCO —
NO —ONO« o m— m nm m om co «— « on o dommN m —
d m m co oo d md m « o m o o— n n mN ON— — d d co — om N d o o n oo d oo co o m dd N N m O N Nm n o o o o «— N N d N — CDjT O O — O N O
— m n m— NCO coo m o nO dO Nd dmN— — ONmomon d o ooo — dm m — o
o oo o on oo o dm o N N— momd dN«ooood o o oO O O N« n — mm o — co
«d — o— N CMO— o dcom o o dmN o od — NOoooom m o o— moddNoo m
mddNN n« 00— odo« oJt ooo mN m
« o m m o do «o —oo m d— « N
i m . co
.f ooco CO oomojt Jt Jtm co nomo
momd ONn m moto odco m— dmd o-oo d N
• m
m nN do coo md —N m
O dN Oco oN Oo mm oo od om —d d
co o o mco o o oo m co ncm m oo —O O CO dO N O 00co d d Om n o om o — nm — o o
oNmroNNminco m' n m m d n mcoNNinoco — ommmotoNo —mo — — wmo —ocommoomN— Nooo — comcono — o d d cor- o jt jt 04 — o —o — OONO — m
N NO NN d— mm No oo mo o— om n
m m m dm n m mNONOo o n mo co d om m m oo N d Noooo« — o oo m — oo
o o coo o —ONmO « NoooN 00 dm n mo co on m mo m n
— on —d om om on —o mm od m
co m mOONOdOoomm m oo n domoo — mm o nONO
NcodONinmdNOmo — oNomomooodNOO — — mmmcomococoNooNNOdoodNm — codmdooNommdoooooomoommoONN — mocooomoNflOON — no — comOOdNOOOO — C0ON
mm«N O dON00— oo coGO d ooo —ONO— d —— mmodo
ooomommommooon d
o d co o NN — NinNo j* Jt doon m —Nm m — o od m o — nd"iNin-om o — m oco « m — od-m —o m
— o— 00m oN —O NNOmdo —Ndoo
co jCO N OO O —O 00 ocom d
00ON00 dCMN d cooo « mN JttONOON O mCO CO Nm « coon d
Odo«cm o — Nm dd «m m n —N dN ON — d Ooom —— m « oo m «Nn m o m
mdm o— «o —n omo— NN dO N— O
— co d N ON m m co o— n d ooo o — — o«O N NOm m o n ndo «moN O d O Nm o co « co— n m n o
n m m co o«mN dcoN n « m —n m o o od o d o nn m co m om o m o n« m N m nN m o co «N m O — —
ooNOco dd Ommm ooo on oo
m d
« d co n o mo n n — m «d m o d m oco o « — d con d o o n o— o o n — moo co m m d oNPOCM — o mn m — o co om n — o o —
— ifr— tO —O d 00 o oO d o — oo d d d on m co m m— n « m —N « N d CDm o o oo dd o — m mo m d o n
n — — m oN O O CO —m o m oo oco co — n mN O O N OCO O N CD dco o — m mn co o o mON O d —N m N o d
O —NNOOO O do o coNO-ON—o o —N O dO O dmd o
mommoo m o om d o mdd ooro co o —N n « mo m o nmoom— N m nm « « «
n m nn m oONNO JT N— N NoomOdrno o dd — oo — d
NommmNNooNomp-omNdco — ocoNNNroN — — omcooomooooNNoon — — ooNmoomooNPOoinNincocoo«Jt — NrONON — NNcoopooroNdNPOcoCONPOCO — — O — OO— N — — NNONlOd
m m oo — mNO —— o mjtt-rom o dm oo dco — JToomco m co
d n — m oo m mcm o o — d — cm« n m n — o ojt T^ ro ro — — Jt— « d — o o m« — n m o n mo co n oo N m mm — d « n n «o m o m o d dm m co o d co m
o ooo oco Nm m« —N —N OCD dm mn o
co do com on do mo nd om oONd n
n d —ONNd 00 Nn m mm n nco co od o oco o o— o om o co
o o d— mmn m om to mm o con d coco co mNomNONm o d
— o dd n oo m do m —o m domon m n
ON —N d Nm — mco — oNOOOOOm — —N N 00— O 00m m m
«NOO— oood n d oo o o —— — o mn m o on o — dco — o dco co m —m — d o
CMNO «m oNOO o— oJt04O o00 oo o
d oco Jt —co o m — oco n — m mo n o co om o o o —m n o o mco co oo m jto m o n mm m — o —— m o co d
CD N NOONO O 00O O0000 O N— o mooom —oom . m— o o
m co dCO O Nd m oONOoooo —om o —N f CO
m mn Noo —Jt oCD OO CON doo mNOm m
m o o o om m d o om d co in —o o o oo md co d co om m o n on co o — mo n m o Nm co — oo nm o d n m
NOdONNinNCO —mdo — o — mdNcoOmoo — NOOONoomdNmNmmNo — oommdNdNo— N — NONOC0C0ONoo — NN — omm —ddoNomo — mNNdNcoo — mroddNNOd — comcocoo
— — n — mN m o m mn o n omm n — n mo n o — m— n m m nn — oodm m o o nco o NOO— O N N OO
m o m d o— o d o o« m — — no — o n m« n o m No o co m «« co o m mn o o d mn o m n «« oo n m co
«dOOddmmcoNm«NNNd« — o —— dNmmoddco«•o Jt to — con — NmmdinrodNcopN- —r* rot*- Jt— «n — ooNNNO« — coocomoocoo — m — — mmNooinoNNPominmN«d«NOO00C0C0
Nm — NN — dm«cococoomoNrooo — ocodNCOOOOCOjT — ONCOOddNNNNrOdNOroodmmmmoONo— — N00OONNommn — moo— rodrocoorocD
co o- om m— No on dm nN —o mo m
— mJt t*-
— oco mco N— mo dm dO N« d
m om om —n mn oo —— N— NN-
docoommNNoooomdN«cocomcodNNOmro — moNNN —o — doo — OdONNNOdOOONNCONNddNintno — inNNdONONom—com — ddOmN
— mo — Ncoo —ddONinooN— oommdocoOmOCONNONomdomcooomn — inmtncoroNOdooodmoCONNONrONONm — coocom«o — commomd
«ONino«rodinmo — mooooooNNomNom — OONNcomm — NNdPomooomooooco — mdPOddN- ON — CONNN — NdPOCOOOCONmm — codommNONNOd — COdONroNNO — — mm — o
mmocomomtooN— oNddm — oooNOO — COdOOmjTCOONNO — m co o —ONomoooo — oNm« — — — no — mOdNd — — N«m«ONOC0«C0C0dNdooocommmoooNooomo — oooodm
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF TV TO 100,000 DECIMALS 85
jt o d o mO OPONGON GO o o mo co d d mm cooxo om m n n»m o m o no « d co —d o — o mo co o d m
m d md Jt>JtO N 00coco dm d ooommeo o— Jt Jt— — jtd N o
O CDONm —Od-NOmNd No mo o
tomroNrod — NdommdNO — — Nm —NcommdcomNNmONroodONcoincoCONGO- OOOOd —— mmmNO — — — nONinNOOOOCOOomooN — ininNcoomoomN — oo — ocomdNNONNin —
oomoomNoocomommmmcoN—coonOONNCOOOdOdNmNNO — — NO00N— — o — dN — — corncorn« — roNONomNOdOGONdOOONdN — dmdN — ocoomdmocoocooONC0C0NNG0NN —
N dN Om m— No mo coco —co oCO NN CO
omN — odoo— NNNPOmmoom»— npoopopoNOdO — NPOCOONinONN — d— cooooddNNNCONPONd —ON-o — m n N mro o o o m n — odNmdm — — —
NOOOdOOOCDmcomdNdONmN — ocomcomcMoco — momommom — codo— ONCOOOCOdmoooN — — —— — co — ONm —omomoNN—N—NOONON
N NN NN O— N— ON Om om mN d
oo oo o m — on m N d — mn n d m — oo m o o n —-o ro Jt — jt o.m d d co o —m o o m — com n m o o on co o N d do oo o d oo o
m o — om d o om n m om d m mo — n mn o o oo — co doo oo — nO CO N Od — oo
m no —n do mo —d do oo oCO N
inNoroNommm — NNOomj-NominrododNoommoNdddm — dONomood — NONm— t>r*~t^Jtt^otoNN— ONOOOO— dmNNcomco— moomooo
ONNOO — NdOOdNONNOOOOOdcorn — dcoNdNomomNNtnNcood —oomm — omoiONOOdNNdOdOOOdCOOdNN — ONmONO — dOOOOCOCON — OmNNO — NomocoOdONNm
O 00 N— o momm00 o oO — NQ ro jtmNOco n m— ONJt N N
00 —O dm mo oN dO No —N ON —d d
o oo o— mo oo mCD Oco mm mco oo o
O 00 Nm m od N o— m o— NO— NNmooco m tomNOd — o
O d O N dN d m d mn — d o —o — m n ooO 00 N CD ON d O N COo o 00 CO COn m N C0 Om d d o oco oo m — d
o o o m om m o n dm n n m on m d m oo o n d coo — — d —— o — co om n o n oN N co m No m o n m
N m od jttooo o oommoomd n oNmm« O —N O dJt ro ro
ONNtoro —Oddm — ooood d ooooOddOO-OOd
m — m n— m m mn m o on d cd md ON —d N O NONONo o m dCM O O Od O N —
o o m nd — dmo — o oNN — do co O OCD d co —n — d mmo — ooo d m oco o m m
m n —ommn o —n o —t^ — 04— O COoooco — ooooco m o
oommN mo co oo co mN CO NNmmmoomNOo m —ONm
ooo-NdNommNmo — — — — NNCOO— — modOdNOOOddOcodNNOmNN— co — OOddOomcommroNNinNoo — OddOm — noocONOmmddNdONdNNNNKl — OCOon — mmoNdNoo
ooooooONN— Jt 04— ONco co od O NNONdco —NOO
n o m m— d N OO N O d— d N CDm d o com N co NmoomN CO O NCO O O CMm n o m
OONo md-OO 00 NooomNOO 00 dN d comoon n mOO O N
— opoNinmdPONNOOOOjTNCO — dNN — dlONN — OOOOdNdomom — moONNNo — omooocoomoddmpoinddmo — — co — conOCONOOmONOOmNNmcod — Nmmo — — corn»— oooo —
mooco o o— ONn m od o do m nN CD CON O 00m m ommd
o od Od Oo oo —m momN N00 00— m
O O N N On m oo m oco co m m nON d o om d n o mN 00 — O On d m n mm d o oo om n co o m— oo m n o
mooNOorodONodo — NcodmmmoroNin — otoN — oOOCOOOOONOONinOdO—N — mNNOcoeooNoNomdO— podinmomcoo —inmcoNrodod — oNinooNdomcotomrONCoodOdNin
00 NO ON Om nN OONd aoCO Oco do —
o o— oN OO Nm oo mo —N N— O
00 00— dN OdoJtrom oo mo ooo oro Jt
O ON —m n m mmNNOao m o oo o o coN d O —n m — momoom m m o— n m o
co o d om m m md n d md O — oOONOoommo n <o cod N d oo oo o mm o co n
o n n m oO N d O N— m o — mm co n o dm om n oo n — m —o n — N dO CD N C0 —«oommm o o co m
m m oN o dro jt r*-— m coo — oN N N— CM OmmNONmN N m
dmmcm — oO O dr~- t^-t*-o o oo d commNJt 00 Oco m o— o m
— N d co d— — o co om m n d coo m n n mo o — o oo m m m coo m m n —co m N co oO G0 N O Oo n m o d
o —n mo oN —— mm on mco mm —o d
O oO Nm —— mo oON
d mm —n m— oOdN do aoco oN —ON
m m n mn d m oN N d —— n d mo d — Nm o n commomomoo— O 00 00m m o n
— n- — Nm— PO N N NNmNinmcooNdoo — — oooNOdmNmoodNdNdoOmONNO — ONdNOdmmo — omm— tONOONOPOincOddONdmoOdOoooomco — co — omodcomcocoNNd
m m mO d OONON O —m oo n— ONco co mN co mn m od n m
OONN N dommO oo —r*. r- —omoOONOdOd — oNOCO
N « N NN O — Od 00 — dm m d nN d d OJT « N 00m — co dm co n mo m m com m — n
Nom«— co n mN O — —co — m N— o o —« N 00 ON 00 O —co o m «o « — coN CO — N
NON —d N O NCO O N «d m co com o o —— ONO— co d o— N OCOO — — No o m o
n m ooo — o mm m co dd n m nco co — momoon m o dm o oo dn — d om o N co
CM — CDoo d mo o dn n mn m —m — momom oo m— — CMm d —
o o coO 00 00oooOdod — —NomO d coN. N- —d O mm n m
N — o N m dd o m o — om d o n n —ONOOOOco N d m m d— O N — — N« m m o n om n m — n oO O N CO N Nd o o co — o
m — n co«oomO O N Nomomm o N No m n md 00 co dco o m n— CM O ON N O N
CO GOm mN N— oO GON d— do oo oO O
NinooroN — mcodoodmcoomoom — m— — o — mmdmNOo — m — d — non —mooroN — m — nnnNNONNNCOmOmmcodNNN«m«dNcocomNommmNco«ooooooodmNcoooomoo«dco
« N N O O N Nm o n co m co no d m m d m nCM N — O O — COO — N O — d —— n n o m m om N N N O O No o oo m m — —m oo m m — — oO O O d « O O
o m00 oco con dN Nd —m no coco om m
d con mO NO Oo mo N
oo om dn om nm mo oo om Jtm mm m
o om nN Od oO dn mo oCO ON Om n
N o « dm o d coo o o dn — m «on d m— co d NCO — CN NO O N CD— d OO0> — O N
CO O OONdO 00 COdmNoo o dmom— o om o no o —d m o
m n m nm o oo dm o d con o m —o m n o— m m mco m d n— NOO— Jt Jt Jt
o — co d
CM O — NCO N N d— N — OO m N Nm — o oo o m oo o d mCN O O COO O 00 00« d d n
omooONONoo n m o— N 00 0000 00 N —— — m —o m oo nN 00 n mn o « md d NGO
O COO ON —m no mo dco o00 com dd o
m « n mNNO —m d m «m o d mo « d mm o o do o — —m N N Nm « m oN co m o
— N« mm —« dm om no oo —« oJt o
N 00m dd nm nm md do om mO 00N O
O Nm md mm oo —o oN d— om —mm
o o codoo— O —— NOO CO —co m oo m nd co Nn — oONN
NomN d o— m nn d mmomo — dCO — Nd o dN 00 Om m m
m n mmomONmNmmo m nONOomm— m nn co moo o m
m d o o oo m m o o
m m omooomo
— coN d00 Nn md m— oN N
m r NNmmoo n oo o coNom
O« N N — OO O N d Nm m o o dn m m co om oo co d dn co o m GOm o m o om o m n on o d m mnon« —
ooommCM N N O NO o o co mO d d — Nm CO O N Nm o n m oCO O O d —— m m d mo m n d mCO — O N N
N N O d —00 d O O Nm d m n —ro n n m on d o oo dO O O N Nm co m n oco co o o —O d o co oo m o n co
m m n o oo o — co JTN d O O NN d — o od o m m dn m m m od O CO N Nd oo m m dN o m N NO O N d o
d N o ooCO O N Od o m n— m « o«ONN« m d —mmomco co m dN « co mn o o m
o mN Oo mo mm om coco N— 00o —GO O
m o n o— 00 O 00N N N 00O N d mm — n do m n dO O O Nm n m o«ON —N n m m
omom n m— co oo co mO O dn m com m md co oN m o00 N —
n d m oO N d OCM — O Om o — o— m — mo o o mm d m coo oo o —Jt o o oo m n o
ooooo m —CD O OONNNONOOOO GO O— N 00Nmmm d o
n oN CO00 o— coN NN ON ON OO —
o m j— m tco dO NO NN Oco dN O00 Nm o
o oo d
d — O— o4 JtO 00 —N 00 NN — Ot- t^ Jto m dOONd o dd o m
— o — co Nd o — o oo m n o —— NONON CO 00 — On d co — m— OON —o o o m co— o o o m« co o o —
N OO Nc —m o00 Om —o m
O COo md CON NO Nm dm mgo md ooCM —
d o m mn m o om o m nN O — —co — m od o m nm o o n« m — on o m oO N N O
m . mn m —go m NN O COoomm n n— ON— O Oooo
O oN dd dn mm no od Nm oN No m
o — m n mn m m oo o— N N O ON d 00 G0 00d o m o mm m o n ooCO O N O 00O O — N —m — o — oN Jt Jt O N
coo — POOdNincocomcoocommNOdNn — dNmNO — cod— dmNCOdN — CONCMNN — CO0OdN«COroNm — oooomo«00 — d — 00« — N —oodN—«ONmmNdNO — dOOOdoooocoocoocoo
CO N Omoo00 00 —m co oONdd N 00n o mn — mOddo m n
d n m m o o on- m o — o o oco d o — o — oo o o —md muin n oinmom m — mm m mo m m d — co o— oo n o m o on n m co n o nN d O O O 00 00
dm — — oommo— OOOinNNOroNmodN — —NNNommN—minoNro — — n— moommcoNONON — OOCDOdOmddNdNmONOPON — —NinjT — ooom
— NN —N NN NO G0O Nm mm nN —o m
n oo m— CM 00m o mN ——— O ON CO NO 00 Nm — dd o oN 00 N
oo m mo m ooN O 00d n mmomONO— NONOOONOm N co
omm— 00 o— — Nmoom o «GO d —NONmoon m n« m oo
co o « Nm m « d« N « 00o o m oo d — oon o m coo co m nd N N Od OO N NN m N N
cm o o — o m mo — O N d — ooo o — co m o co— O d N Jt N dO O O N o m N— o m m n o no — — o d m —o o o m o o nN d N O N — No « o m m « n
« m m o «o m o co nn o m — NO 00 N d No N — m oo m d m dN N O N Om N N O Nm o o m md — CD N O
d m o — —d m m — oCN N N N 00— d o — moo n d d mn n m o oo m N N NN N O O Nm d 00 N No d o m o
ON— Nd mo mm o
d o N Nmoomco co m on n co mm m o oo— — o mco m m dN O N do d m oo— — d o
m d — oo m mjt ro \0 t^ Jt rrt— o co o co coO — — m o —o o o o m do o — « o mn N o m d od m o m n mm n o co o mm m o co o co
cm — jt « m — nm m « n o n co— o — m m « mco o n m n « od m o d — — —co o — o o — Nd d d — o o —o co n d m n «« « m m o n m— o co o m m —
o d o N« O CO No o m d(O N « NN d O 00N 00 N 00d o — om o m n— — N OOm N O GO
o — o oN d N N— m d nCM O CD Om — n nN N O No d m dCO O N —o d d dco m m oo
— o mNNO— 00 JTd N OO PO —OOON — Oco m —^— jtjt — r*
Nocommmmo — mmoooooN — — mNNdODO — ON — CONOtiONNONromooOdGONNNNdOm«m — N — NN — oo— dNNroNmaooomOdmoGO — 00NONd«mjT — mo — o«O — NNromodm
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
om
86 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
— m o — n — co — — n do — d m n co d o o oo « o o — in noo o o « go o o oo o m o noo n o co n d co — n co n— n m co o o co oo o m o m n m o co n n n o co m d m — m n m — m n N d o m o d o m o moooNNmmomoo m o o « n o co — o m n m m — — m d d oo d o n o — m oo m d n — m co n d — « d n d — n m o o in m « — «n o n m m o n oo oo oo n d m co m m m n o n m d d m m m d co o m m d o m m « o n n co o n m n co o oo m m—«omocoddoodo co — mmmNomcoco ocoomNoommN mdoommNNNO NoocooocoNNm— NPOmcOOmOON NNdO— «OCONCO — N«cOOmrONPO— m0000dm««ONd dd — — NC0NO — «d m m co — m — « « o mmo —mmomom o n in in — o«Nmo o o « m oo m — oo o « m o o o co d — m m nNONOoomeoo — — dmo«moNmmo incoco — oooomNd NNddmoNNmN d«dNootnm — «n«rONomodNON —oooo — omdmcoo «ococoom« — ooo — ot Jt — m o o co o cm mcoNom««NONmmNdNmNmdm NmNmmoo«o— ONNm — con- com mmmNd — « — dm —oocomcoo —o —
d N o o o d — co — N N — CO d — CD N N o N o d — o N m o — co m o m co O O O N N O N co CO N « N N N N n mmooNooNcoNcoN om — m — ONmom o — m — noo — no mm — o « d o n n d «N«coNdNPONNco o oo « o — co — n n mo —o —No« —« o o m co d o m — co o o — o n o o m m o oo ro « m d m d — mooooNNNmmco — om ocooo — n co o n m « ocoNddincodu-iN mN — — moddNco NmNNod«roNOcoNooooodmN o —mmoooomoN mNONm —mcood oomNdO —dod ooN.d —— NNindn o o in d m o o n d 04 ot ^ r^ o Jt r>~ t^ t- ro in ooo Ncom d m o m mmmmco — m o d — o co o n m n o m n —— co co o « m — ooN oo««mmoomm— «oco-n<dn««o Ncomo — ̂ tomooo —omNcodoo — n.—. A. ai j~* _*. fc^-s ^~y K^. #—% hS\ h- __ — _*. k_ lA .rt f^ r*- r^ **~* /■*. h. f~\ m . n i—^ -*- * /-* K_ iw*% rr% -i-i r—\ «*. ij*\ v\ yrt f^. -f-\ m . r^ *—. ^ __ mm -b Al ^ .r>
j —■ ni ni w vu v ui w r* nui w r" m '— u p w w ¿*>j n d n « d n n n m m o oo n oo m d m o mio««mmoomm— «oco — n<dn««o- — — d N m o oo o o o o N o n m o d in n»N- dOrOdN«GO to — COmmNCONNO
— luWwni^iruiN w ir> il v ni ni w m ni ■- «v v» wj — piur»Mvu diu ui w^- ==r w ui u>w "-•yuir*Uiii=rv'*ir*»NooNOdmoNom n — — d n m o oo o o ooNONmodmN m oo o o co m m co o o Nood —— dNdO— NroNdinN- «o on — domdN«oo to — commNcoNNo n — on — NNmmm oodN — dNN«oONNNNNO«NCO — N— OinmrO — Od mdmONNNNmN N — NOmONN«N POOPONCO««ONCO
mdo — m«ooNNd moooNcoddN« moo«mNOdmNm n « «NinroNooo o — n — «o«codNommNddom —m m m « o « — « « m d o oo n o n « m — d « n oo n n n « m n n m — m — mN — m n o «— oomoco — noo — m mcoom« — omN« — mooNNoNcoNN o«nn«««onco «roNocoNNomNn«co — Nmm — n— oocoooNNNmd mNmcodo«mooN Noooo««dd0oco NONmocoomdino « — n n « m m o — —ooood —noo o n — n n « n « co m NONdNO —ooo o co o m m m n n o mn co m — — co o o o d «dOPONNN« — m NN — d m o — omm « m n m m n o m « co n o m « n m co oo m goco n n o n o m m — « ONoomco«NNN «cM.mdON —oom « m o — n m co « d « m n d n o m m — m comoco — ommmmco Nco«m — mooo« oo— ocoNOd«— oinocor-ococoo« NNoocoNdm — —momo — omcood ooo — — NOONin — domomcoodm NtnjiN-cocoNocoN oooo — Nomomooco — mcomNNcoooo dcooNOONomo coNdmcoomNNo oooomNmmcod- mcodmd — mNN —
NNooom — oooo — NN odroodNN —mmodommoco opooncoonn — m oomcodNoomNOON N m m — co m o o o co n n d d d N o n co oNNomoNd — n n co o co n m n — — co mdOdd — n N in—cooNONom — — n ONONNOONmco d — dONd — — n— oood — dN — mo— mmo — dONm — oro t- ro to to t- — no— coococodoomoN ocoomcodoooo oocoooddooN NNNm — ONONmOdo — mN — oooo NomcoomoooNm n — ooNom — no Ninmd — omocoN ONOomooNNomdNNONmoNmm — o o — d d m n o co co n m n m d m o o m domodo —oom o — m m m co n — — on in n d d N m in n n n — n n m co — n o m m o o — co n o o n m m m ao o d o o o o d jt o — d m co o o n —cONCDOOo — d — oo domdNo — dinco — roNddcooodO codmoNO — NNm noono — o — condocoooommood ononpo — moo — oo n — oco — — Nrocom — doo — cocon — ooo dNNcoNNommN— ommmmdNNN moNmmmmcoom ONddm — — oon —moNmmmNom NdCOoroNcooNO
dNdNm — Ncom— md — modm — oo NdomNroroNOd nuinponoonno ONmoNdNOomon m o O o d d n d co oo o co n co o n o o n m m o m o N d n o o o n m n n o o o o co n d m d m o d o d coomcomNOco — om NmmcoooddNO — oo — oodtoNmN tomoNtoNoo — oo omNON — omoomOd — cocoomorom on — coooo — Nmo m — mo — commcom dONmoomdNm o — ommN — ommNNOONONN — n — ro Jt N n n oo co m m d — oo — m m d m — o n o co o o n o o d m o —Ndom —ddO— ooooNcoooooo roNOOooinco — mo NNNOooomcoNd — NromNcoco«coN o — omoNOCONmCO — OdNOfONNO GOOOdNNNO — O OOmN — NCO00NN NCONOOONCOdO OOOONO — ONmNN —momoNom n « m n co n o n o n n « oo o n d n — o n dNo —o —dONN in o m o m o n d o omdodocomdoo omo«omNOO« NmcoNom — NNm n — mooo — oooo coomoooocodmdm« — « co o d oo d d«o — NNOONd m«oo«ooood- o mo — modomco« NONNm«coomm
— d«coo«N-m«o oon — N« — romeo modNddNPOcoN oN«dcomcoocoo NNNommmNONNNNm — «NmoN Nomm««Nomm o«oommmmNm cococomcoNo — o« —domoom — d«o«Noo«o«mm« ocod«coN — «d« NN««omNNd« dmomomNNoo —mNdoodN — o— — co — co — o co m — n d m — d n o o n co o d m o m « n o o — n N d o d n o « co o roN««ONOOdomNNPO — o«mmo omdoONco — — m mcommNoo — omo inococoNdom — — mmddmm — ooodmdcoococodNN oco —,o m co oo co — N «oo«poncono« aod«ONOONO« dcomoco — — « — «moooNooco«— oomdmoNOdo mcooNmm — mmd mNmomdcoNNoo —dmmmoNNNOo m co n m o o — — o « co m m « « n o o m co « o n « co o o m o n in d m o o o « « n co « n co n co n — n d«mo««ommom o — n — Nomooco co — ocoono-aoo cooNNm«o — — — dNd«N — NOdodddomeoroN«d NdcocoN«ONON odoommmmoN NmmmoNcommd ommcodmo« — o
Nodmmm«ddd o — — d m m co — o o m m n co N m o n o « n n « « — n d d m m m o co m « o o o d—jtN- o«moco«o NNomom — n — n Ncomco«Nm« — co co — mNdNd« — oo «dm — mo«NooONOomin — — ooo —ONooodmmo oodoocoo — mm oodNooNdoN mo — coooocoomr>^ t-— n —oroNdin m — mmmdmmcoo mNomoodcoN— — moN — o — mmm ooo —odrn-nnno — o o d m o o o m o m o m o oo n — n —moo — NONdm o n o n n oo — o o o N o n co o o o m n coNNN — mocoNmd —ommmodooN nconn — doN — co —nnnoooono« NNcococod — «mm— n o n o n oo « m d «NdNONddO« d m to d d N — — co « no —— omoomm — oponoon- d —n n d o d « co o o n — — — in o d n o — m o o m m d d m N n o m n « n d n o m — o to ^o jt r- — n m n n nmmmmcoNO —oo mmoo —oeomeo— «o —o«dmcoN« m oo « m co m o n o o NO«meo«mocoNm o co n m « o n m d o n o o m © in n o o m o n o — — m co d — n o n in o n n d — m m n o o m — o m m d
ooNdmocoPONd noon — NiONom mommoNNooom oNocomoincooo d — ooom« — omNgooonon- codN NmNNmNONmo mmtoo«m«- — co NmooNNdmm« — d — oo«m — mcoNmmootDNOooo oodmNNdm — no omNcoooo — n— dco«Nmm — dmN do — NcodcomdNomoo — coNNdoo ONNdNOO — o« — oin — «NNmNd ONomdm«NN— o — doom — otnoNd«domNdcomN meoom«mNNmN oomocomNNom— o — mmm — mcoNco ooocoo««mm —ONNdPONdN — m domdN — mdOd m — — rodmom — — Nmodo — m«mo d — m — n d oo o « —NOd«NNcodo« — NONinm«m«co mm — oNmmocom NcodNONONmo codorno-ooo«coom«moN — «oo co — «NmmNNmd co«ocommNaomco OdNONmmNm— coododNmmeocooommoN — ONd ood — «dNmmN m — m — oo«d — o« —«no — cM«oom — ommooeomoeo —oooNoo««mNm npocoo — Ncod«N mNm«NmmcocoN n — « — «onnpopo NcoNooNcoom —
cocomooNNm«N moNooooNON cocoNcorocoNooco ddNNNOdomd comeo-mocoodcoNoo — NcodNNoo ooodmmmdNo Ncoodo — o — mo mNmdooNoco— — moNN — m — cooodNONdN — do o — Odommaomm mmmoomcooNmm n — mocoNdomo nnono — oonnj — CMN-— n — mdo dON — omo — dm comdONON«-n coNmN-dmcocom moNmoommoooinmcodmdmN — co oNommNONm— o — mdN — doood NdoooooNdco NNOOd — cooodmmomeo — o — moo m — — m — — oonn mmmoNNmoNoo mNoomcommod noo — coNoocommmmcoNcocodmN —ddNmNdcodN Ncocod«domd— —dN« — Nm« — m orn«cooroN« — ocomNdm — mmod ommoNdd — om mNNO — moooo— omNNN — oocooo NdNONNONoodoooodmdOcooNO ommmcoomNNm oddcoooo — on coNONmmNmoN oon — onooooodmmoN — — on coNOdcoococomo — ooNNmo — oo coNNONmmdom n — n — mdmNoom
— dNNOoomcoo« dooodmcocojT — m — NdcoooN — m— — NindrONroNNin NmdOd«oco — ooomodd — NNm ONm — NdNm — o ONmmN«odco« onnponn- noo omoN — mNNNNomNdOomNNN domomooomo omNOddoo — o on — Nmo — moo mo — commdcoNdmNN — — NmmoN mco — noo — Nmo mmm — moomoo ONcomcoomdoco ncoo — m — o — onodOddooomod NNmNONOcomd oojromNcocommN mmoo — dmN — n ONONcommNNcoo m o m o o « oo o oo «mNroN — onno *-n m co o n co « m co moodOdONNN d co n m o o d o m dNOONN«omNm NNmmoN«co — o oN«dooomo — m Nmdooto — noo — o od — mcommmmmNcoeo — dN« — mN Ncom — Noomoo coooNm — mo — o —oonn — dONm —mo — d — Nmmmmo — omomaooN NOONm — omoo m — Ncodm — dcoN omNdmoomoo NNomooaodN —mmeo — codoomm nn Nmooococooo mNcoo«mNOmm momo«mdmcoco comdmmomdco —
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF IT TO 100,000 DECIMALS 87
o«oomoN«od— Ncodromin«ONo««Ndooom—— mood««oNOmoNNdooNmmNd« — momodNCOONCOdOCONdCO— ON«m«ONN —omNNcoinoomocomoGomddddo
mocoNcocooocooN — OOCO — ddONdooocoNcoomm —— oooo — m — mdoOdNNdNO — do— — om — lONomdNOmdNNmNNO«dmco««oodOddONmNooNm —O — NONOOO — O —
— comdcom — — — mPOiOdONNNPOOOCOd — NCOOONNOdOocoN — NdomoommmddNincoeodONNmNNO — N
— dNOddCOOO —NdNommomoN
inNONONNtnNOdoomeoommdoo — dNmomNOddNcooo — — ocomNmNmNNoONmN— COCONin — OOONcocoooNNmmdom — co — mmd — n —o — oodcommmmo — cooNomoNm
coNNcoN — mNomcomooNdNNmmOONNN-COdN-mONdNNcomoNNdOdmNNm«mo — NOdomoo«ooooddcod — mmNroNcoinNinindcoooooroNocococo —mcom« — NmdmN
ddcooooooodooddcommNmm — — o— — mmNomNO«dN — — — «omo —OOONmN — o co «dinroininddpoNroN«d«ddmNNNomN«««OdNmmomNdOONNNo — doomooo-— —
CMNNO — ooommo— N — NdmcoomNnoo — mNO«mNOOOO — N«00OOdOOOONOOONmooNO — mNO — ooorooco — d — — mood— OdNN — NNCOOomNm — oo — coodmomddmd — Od
jt m m o o o o n.co —cod — omodoomoomo — — mm« —ONO — mdNONCONdNNm«ococommodmmd«««dN — ocoomocoNN— «NcoommNmd— moomodo«mONomNNinNN —
moco — mrododomooo- «oco — mmcomNm — — omocoO — oodm — moom— d«««oopoNro«omNm — ommNmdCOGONdNdONno — omNOomNoo — NOd — mooocoo — codooomN
mOONNdNNOOOoocomNdNmcocoOOOOOOdmNONCOommocooNmmNCONONPONinNCO —oNOOdONdOdmoooomdmmmmONdONOCO — ocoooo — dmoodm— OOON— dCONN
— oomomtnNoooodmNommcocoinNcoNNNm — mocMOoo — mmNomNONmo — Ndommomoo — ooindcomdomNN — — «C0«ONdNNmON«omdNONm«NOmC0«NONNC0C0
Ndmmoom — dmon — cooooo — oOCO — NNm — N 00- dooinroNdNcocoin00 — NOONO — N —om«Nm — coo«nOdNUlNddNONNOmOOdNNO«Ndmoo«ommmoOO — OONNdOO
NmoNmomodNcocoNNommNddNONoeodmmdOdommNinmoinNNOOOmONNONdNoomcomdoo —— Od — pooinddNOOONOdONOOOO— O00«N — OONomcoo — NdNOd
— C0ON — mocooNOCONCONNO — — OONOddNOdomCOOOO — COON — ONONONONdOdOcoom — coco — dNinCOmNNN — N — dOoomoeoNdmoN— mmmdNmodNNdomdommoo
«« — «o — cooN-moo — ocom — n — omcoodocodco« —NONommmmm—dorn — — dooom«OdO«NONdNOo co n « « — omdddNm«dmNmmodNOdmNO«0«mdoocooNdm — o
mcooNm««NNddNcomdONmN«dcooNd — mmoNmm — OON«NNNomm«m« — — dd«o — do — Nmmoomo«Ncom — N —«inNNONNOOONONN — «m — — NmNPOcomoo — NdN
md«oomdm — dNO — OO — — O — NNNNdONOdmco —m — mNomNmmmminmNNCON — NmN — — mmcoo«NNmddONOOOOCONNoooomdomomooodNinroN —ocommNmmNOd
NmoNmNmdNOmNdd — ONNmNomom — on — coooomNooomoN — oñoco — mcodcocoNmN — oooommNmooomodmmNNNNincOCOCOOONmmmNcodNmmNNNN — OOOd — NO
omNcoodmcoNOm — — om — n — nnom — dodcooomonoo — momeo —ommNmNONNNNNdmmococoo —o—oNmommooon — o — ocommmNOOONOdOCOmO— mmocooomom
dNcooNomomomodcoNNO — meo«inNNNmmNcooNcomoooocoNm«o«NmNomm«mdNomo — onooOOOOONONO—OONNNmdOCONcomNNommdooo o co co n o — moo
oom — mo-oo«minorodro — noooNdONoodmooeoNmooomON«odmdaod«mNNdONOdmomcooo —««oNmm«o — nNrooomNinocoNNmdmoNOdNoomd — NtoNNNdd
om — d«ommodNdomoo — coorodm«coooNm«ON— cocomommNON«om«NO — «NeoN — mNdNNomoco — — «mmcocooNcodoocododdodcom — dOONm-oomNNcodo — d
OdomNd — mcoN— d — COCOONdOOdmcoo — NoNdOONdmoNmoN—omomNdOcoomomoNNmj-ocoNdNdONONmomdCOOO — NONO —doeoco — — domocommm««oo — n
Ndco — mmNcomoOO««NO00NOONomdcoocMm — oNNOooNm — — m— dNroNOomomCOONON — ddNOOcomdommmoN«modON — NOincomoommoo — m««coONmco — ooo
cONmdmN — dodd — o« — ONdNoo—NOmmmmdom— Nmo — N««NOONd« — o — dd —mmdNOONOoooNOC0C0O«C0ddN— mmocoNooomdN« — — C0d«C0O«NCM«OC0C0dON
ONdom — NmdNNmNom — m — nomNmom- — o — dOONOOdNmNNddooNmmmmmo•—ONomomod«« — ONmNoomo«cONmoNCM — mooC0d«d«O — «ONO«C0ONOC0NON
NmNNNONCOdOmdm — ON«oeommmNmmomoom— meo« — «NO — Nocoomcoom«oNNmdNOom — NmcomeommNN — momN — oooo — NNmN — — m co co n o co —oco — moocom«m
— m — N — CONNPO —m«oo«mcocoN- co«mcomooooocom— ocoN«odomconn — NinNdto«mdd«oON«oomoocoon — oo — mm — — o o o d m d —NNCOOOONCONmCOmeo — doomm«m
momoN — odNOto^Q-t+pto — — t-m —OdOOCOONtO — ocoooooNm — dm«OCONddOONCO —dmoom««dNOONdNddcoo« — minNOONNcOOO —O« — omONONN— om — oomm — oo
roNmcod — o«noocoo — Nm — — meo«ooNmmNm«o«mdNomo«ooNmo on « o o d doodmNomdONON — OO —«NN«NCONOiONCOininNNONmddomoon — odmoocomN
coN«NN-mo — «— OdOONPOmPOPONoooomoomdmdNtoomcoNm«NooOONO — C0OONC0— o««oom — m«mm — ocomNNNddcod — NNm« — nmcoooomdm«NONNdNN««NrOO
NdmmN«m«ooco m N O N 00 — co « ooddNrnomoNONOCONdONNmeOcoNmmcooNooNd — ONNNinoO —rONN — N — OdONCONOCOCONOOOdominroNindOdcoCOddCOOONOONO
N — docoN«om«m — Nmdmmd — nm — NNdd«mNOddNrONdino«dmommcomm — odONC000NNNO — m— — oocodmo — oN«OC0 — 0«ON —— — dONNCOOO —Ncoommomodco
Nm — inNNinNinNo — o — ONd — mocon — oooomNNONm — modcoNNOcoooo — NNmmmd— — ONOcoco — momNNmNdmmmodNomooco — noNO — N — PONNOCOOd — como — o — m
Nd — oNomNOddNdOcoomo — d— NCONNdmONOeooNOo — doocoNO«NdmodONOmCOCONNd — ONONdco«moocoNNoommo — dcomONm — coNooomNONOmON — ooo
NinmcoNroNNoooooomdooNmdmmoN — m — dcoNco«mmoo«oo«mNNmmooococo —mmo — o — — NNOomd«NinNC0Nöoommommoo«NN«« — doddoo— ddNinçM — oo to m
oomo — dmmmoNmoo — NONO — d— NcomON — o — on n « o « — rnNdtnCO — NNN««« — mm — oco — dNco — mN«mmNNmddmm«coodom — nnN«indcom — m — omON — — NCMOCON
N — NNm — OONOmNNOO — d — NOocoNmoodNmooooodcomNdNmmoocONO — — oomcooocooeoco — n«N«0 — ONNNONNmodeomcom«ONNindCONNN —oooocooodmo — o
coo — mN — mmmd— dNOdmONNNf^^fw. — CONOONOoooocom — Nmdco — oNmmN — mNm — OdOONrooindNm«ddOd — «md — dONNommdNdOcoodomddm — meo — «NNo
NpoomrodinodmCOOdNGONNm- odmoNdeooommmoo — roNincooNCO — O — COCOOONNdNCONOmoomNNO — dC0NOC0««C0omoodooooomcoo— — omooNNdmmocoomocomoo
oooooNoom—m — — — doo«Nin— dNNNmNCOO«Noooocojrmo-noo — ONoommNmoom — odmococood — ««no« — mmeo — d««NONN«oco — mmcoo-d— coNomcomd — n
om — d— «NNdmOC0Nd«N«NinNoNNd«NNm«mdoco« — mmN — mPONmNOOONN-moo«mo«moNOdO — mmmcoo«O«OmONdC0NNNN«ocomNm — mmcoNoNNmm — co
PONCOOd — ONNOdmmooodNdddomNcoommo —— o — ONdmdocommoNoomd — NN Jt co — ■— n o o o oco»— meo — — NoomNindOONdroN —o — mmomoodcoOPOindlONNCONCO
NdcoodooommodNNNOOdmo—00 — NdNN«m««NOtn«co«oinNmmmdoo — co««o«mN«ON«om«do — — mmo«md«NcomdNOomNNNOONOONtnONmNNNOcommo
mm«NcocoNNmmNNNONmOO««— ddo — omNcodm«ooroNinNN«04 — «mN«dmmNdocoo«NmoNmdNNcomco — oo — —mO — « — NPON — omdNmmmdNcoo«ooNddocomm
COCOONOOdCDONN — omNmNNOd— morONrooooco— r-Nco«odOcoooon — mcoodNoooooom — o — oco— m oo o m o o n n oCMinO — ONNOONcooNN — mdOdcoOmNOOOOdONCO
CONNmcOmOONNNcododcoommmNomcooocoNdcoNNmmcoommmcoNmd — ONPOOroorOdmOdinddiOinoco — oocoNNmmo — dNmm — mNoNomoooNdmonn — omdomoco
Od«ooeo«oN — coNmmdmcoo — mmocoocommoodco— oNomNNOdmmooo — coooodmNCDdON-mdONmNdOOCOOOdNmocod — odmmdmNNoodomomNmomommdN — oo
m — — commmomomoNomNN — Jt —omoocoNmmmmmooNooNcodmoNNNNNN — mOOmo — ONmodNOmmNON«om«—— ood — Nom — NdmoodN«dOommco — Noodcoo —
— OdNO — moNN— on«on — orneoNOomommdNNGOGOO««mNOCO-coommo — dmcomONONNO — OOOOddmoNN — mmodOOdCONtnoON —codNmm — — — dmdmoNdmo—no
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
88 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
m oco on co« m« NN NO dN CONOm m
o n n n m m N NONNC0«00mdn — coocomcod— odeoooood — omdomomoNNONinin«COOO — NNdmNO — NNNm»-dm — mN« —oo«oom«m«
d — o m m do o — — o do m N d d ooo o oo n d mo m co oo n oo m o co « NO d C0 N — Om m n n n od m o n o mo o — oo d co
o N— oo oN O— Odom n— dN 0000 O
o mO NN On md mN —O Om oo Nm p
— mo dm om no o« N0ONm nd «m «
o «N NO do mm do com ooO 00m —m d
oo dco coo con d— mm d— oo oCO NO O
« dO Nm om oco om nd mN NN NN 00
N N CO NN,ro d OmNNOm m d oON««co o o —m n m mco m n nNO© —oo m n o
m o m nN O N N»- — o mn o m m— mood o o o— dmNo — o om d m mm d — o
— o co oo oo o m— o — o— n co mco o o mo m N Njt N co m— d jt nco — d mm d n o
cm n o oO O O Nd oo o oN n m coo o — o— o — mco o o coo d n m— ON 00o m — co
m d oo m com o dm — nco d oC0 N «n « m© N —O — «O O «
o d com — mmmNmmN« o —ONOmoom o nONNo d m
O — — NOOO — NCOnn — mmmNmmcocomNdo- oomooooononn — mooo©dooo«omoomco«NNNNmCONNNO«NrOOO«00- OON — — «NOONONC0ON«N00ONNrOdPONNPOd
dinddNoooooN —NOoo — ©mo« — oNNmœm« — — no©dindmcooN — nmmomoNco — om« — ©OrONN©N-d©NO«d-©NmococococMcocMmomo©d©dON — dOmoœmN«oroNin
md«OdN«Nd©o — ommNin — omNN©©o©mmooNmON©©NdNdNo — domONO« —n« — oo—dm«mco©n — m©m«o«oo© — «Nd«m —0©rOd — OOONNNd© — mmodm«
noo — mm©©o©ONdNO — ro Jt — N
mmdmmommoominmpON©OmO — ONNNd«mNP0d«NOONN — — N©NdOdOOm—CONO — ©OONcod — mo©oo
N Nn mNNo oœ d— do —o d
— omo — mmoooodONOo — moom — œo — — ©do©— o©oœoddmo0©«NNU"IN©inOo — mœNOdONOoodoomm — moNOomm©oN — noomm — NONm©— — o — Nmo — od
© oN mn d© om mONN dN O© O
g mo
m oN —d —— oN OO ON d
O Nn mm ©o mm d
N Nd dm n
OOONNOONm o o d — ONdN«O0 — NN©ooNinomNNNOmNdPO — Nmraodmoo—drooooONN©m — ONNdNNmommomoNOdd©OOd
p- o — inNOdd— o — no — mmo — o — omo —NONOoœmNO — dO — ONdlOdNONOO©Ndd — ©OO©mmomooo — —mdoodNN—noo — momm
NNo ©N Od do —— m© No —to ©m o
m No do»- mm mm oo m— md mm on m
o © m mm m co ©m n co Nn o N do m — mroto m —d N o om o n o©ooom © m m
-NmdtO N d■NNN• ONm) oo o dI O O N■ — © N
> oo m m n■ n N m d■ o n œ N
t^ — ro JtoomoN d o oO O O N— m n dm o n mo o d œ
o oo ©© ©m nn om ©N N— om om d
m mn mœ mm m© om o— d« N— NO ©
co oo m« ©N mm mm «o d
N OO «« d« ON N— mœ md o— O« d
d N m «o — o Jto d « NN d m —o © o om © m mo n « mm © n nN O N —O © N d
O O ©o o ©O « NNO —moo— — -ovrt ro —© — mOdOo o co
d NN Om n— mN Nd oN Nd NN O
m d oNON— O 00Odooooro n mdmN© o ©m © ©omo
œ d on © doom— o m— NO— OOm ra —— N©m o ©ooo
o o n d o o md m n n — Jt Jtm n n o m n dm m n n n o ©d o m m d o oco — -o to Jt t- Jtm n n — m © —o m d m n o —n © d m © © oo — — « « o o
momo — oo —d — o n n m d —ommodd©—rooOdmNNOooo©«dNNOOdO©« — N«dO©N — — N —dNP0©oNmmmONOON««Odmd — md©
— Nm mN Od m« dœ no —o mN N© N
O « © © ©->-NNOt Jt ror^ Jtro o4 Jt Jt oon o m m o« n o m mm — © n oCM O O O Oo d m © ©mo m d d
— m d nOdNOd d O ©n o o mON© —o m N om n m oN m n dONOO— d o —
JT — NON —N — NoomommCM — —O © Od © odmmm© n
omdoN©d — «ocopom©dd©ooinNmoooœNommoomd — — moN — oNomm — OŒdNOno — ddmdNO —om©©©rodom©oo© — m© — omm— mN — omo — oon — — ONm — mom
d — mmNommommNOOOO — ©o«ONON©mmmmmO — — — « — ©N — Nomomo — n©©oooNOd-omo- oNNNmm — NOd —mmomooNmooOONN«N — — dNmmmmo — n©n —
«o — NOdNmm©N«do©oNomœOdWNOinrONdNdNiON — m- n — mOd«ON — »mo©NinroNm©«©ooo — ««domoN«O — OŒNdNNdddm«©Nmœ — NmdOdNo — © — Nm
Odod m od o oo © NNONin n mn © mO N —iO- Jtomo
o o o m o o om n o o o d od — o o o — mœ © n — o — od n « m n m mo m m m — o om n o n d n —m d o o m o mN O O — 00 N dm o o o o m n
— oNNinNromœNNm — oœ — m m n mon — m o œ © o — ©mod- oroNoromommNONNomNo — domoNd — «««©NOdOOOOom — NNNroro — d— dorn- o cm m o moom©NoomNN
OdNd«m — oOO© — NNNO— ONPONNOinNNOomo©oNNomoœooONPOOinONONNNm — NONmomooNœm©NOOOOOd— mmm« — n©
• N
o m
N«-O NN d O O «NNmineoNPO«« —NNdo«NdmdodoNONmrONdmd n o N — # r- — «n«ONNinNro — ©moodNinmo©omOdOOOONOOdinodd — moNONdo©ooo — inNtn
o — NommœmooNrooorom©N©oNoOdPOPOONOON— N — OOd — © — O— mmNo — «moNNood«N©mœomomNNOomo««oomd — d©mNinmoNONNdrodN«m — o© — dorn
ooodmooooomNmmmmNmmmd — Nomom — o©NdONNCD©NON© — moddONmœrOPONddNNONOdN — od — ddtnmNONOOdNNOmN©d©NjTON©©— mddONooNo
n mN —o ©«N— ©NO« mo «
m «oo oN —« N« NN O— o« mm dm ©
d m oNomoodm o nNomoomo © dOddror* tao d «
N Oo mn m
o o m o mo o © o oo o n o mo m d d ©m o o d mm m m © momm — ©o m n o NNNNmmo m o o n
n ro —N Om oON— No o
— NN dO —— œo co— Nd ©« Nm o— ©
moomm m — dN N O ON m N dm cm o on © m oooooOONO— N O COo m — ©
«ONromomo — —Nmoœ«N©m«mm«Nm — d — mooOONNNinO — o«inrOddmom©©dNtndomoineMoroO — OON — dN«ddN«ON©m««dœm©oN — in d n —dOdNdomo©m
NNNO©m — d o dm o — — n— o m m oo m m m dn m — © mn o n © m© n © m ©o d m o mo o n m o
o — m m dN N O O Om n m o —— o o ra oo m œ — m©©NNOO N N « ON d © — mn m « « «— d O «N
mminroNNO«© —r-- — — omo — ro co oNooomomommm o n « o — mmoooNON©omoo—oo — Nmo — dornoomoomNmo—NNOroroNininooœ — ONNœdd — ooo — Jt a> ro — ra d —
d m© o— on œd œ— — m —
— do oo oo mn mo mm n— ©d ©O N
m ©m od m
m n mommdmN— mm© m o— o omom— © œoomœ o m
N d d — om m o o nœ m n m ©m o © n —m d © d do — n o ©O — © N No o o o dN N — O Nn o m m o
d nmom o
N NdO© —
O Od ©d n
NONN©0 — ©OONNOO©mddNdŒNOO— momoommm©momooNo m d n d o O mNrorodOinm —©o — d©NN —mommoNN©rONNNOd© —
Nd — ©NN — OOfONdOONOONP0©©inmomp-o — d — NdNO — NOO — ddOdNmmroNOd©iONOdmooœmmNmmm©OOONNG0o — d n n m o o
o d n mn o o m— © o om o o domomu) m N Nd O © o© © © dn m m md o m o
n d d d n nm o — o m —m o n n — —o m o n m or- jt to r- ^ t^-o m m m m m—omoo©m o o n d on n d o o œo m m o o n
m do mm oo œn o© mN Om mN —N m
oo o moooO d N— « m— œ omoooomomdn m œo d «
N O N N «O © N d «« © m d dm n m o o« — m n —« — n m n«omom« o © n o— d o — oN N © d «
NNinNNdO©ONN© — oo©m«o —— mdOdNONd —N©NOd© — ©dNdorON«o — o«NdO — 04 Jt Jt — ©dOmoNinNd«mom«NN«ommmo«©dooNOdNd©dOdONOomoo
n mm oo mn mN N— oN Od —d No m
m —m mo —m —O dco oo mm m— do d
© mo —N Nn mN NN O© mm nN —d o
ONONm n m nO © N ©m n o m©ONOo m © con n m mn œ © mo m ra oo — ra o
mmd — odminNNNinmNN —mraoooodo— — — NNO ino"-nn- Ndm©romdmdd — no©Œd — «NN— Noommomn— d o « © d Norom«oo — —
d od mO ©m od mm o
— O JT
m n moodooooomoomooomooooom ra m
mmoo©ommm n o md O — NO O © ©— ©N ©— O « NONN©m O N —N o d O
— ONN o mmmmNNmomom — nONO© co omNNooo
m dm no —© —o ©oo m— o« —N Oo d
o mo om oo oJt Jto od md ©o mœ d
o oN ddOo mm nm oo —O Nd OI*- O
f- — Jt CO— œ o od n m no © o mn n d —oo d o on o m No — o mm — o mo n o m
m o ©— o md o oOdOoOdoooNO©ONmomNNmo
o n d do d o dm d © ©m n o —OONOo © d mONO©— NNOt^tOJt —m m o oo
œ n —o m —Nmmœ œ —d o Nomm— m —NmmoooONO
O ©m mm oo «O Nm nO N« ©« d
« © oN © —m o nON«— N mNOO» N «©— Nd — ©O O —
o m d « djt o o o mm o © m om co m — «NOON«d n m o dN N O © Nm N d O Nm n m — no m n n m
n m © © © o Nœ o m m m o m— o m n o n mt- ro r- Jt — Jt coo © n o d — oo m d œ « « mm N d O N N do « n m m m no n m d — d oN o — — m « o
o « mn © moom© m nNNNON —mmoOdOn © oNNd
mmm©NOmmom d oo — o©NO— — NNmom n jtm « «
© m om ra mn — ©© ra omooo œ dn m œco Jt romomd n m
d œ m mmoo —œ — — nN m — ©N d © dn m o—m d d oN « O N« © © «d m « N
- ro r
m mm md «N N© O— m
N ©O OO N
N N
ONON m N— NOn m nN d —ON©ra o —d m nN ra mood
O » NNNOCO CO —d ra rao oo omooo — oO © NNmmood
O O O — NO O N © NO © N O No — — o mm m — m dm m o n nd o o © om N — N oo n n m oo o m m m
« o o m nœ o N d d— N O N No d m — œn « © n m© « n m n©ooood n œ o oCM — — N Oo o © o —
n — mmomon —— — on m «N© Od m oONdd N Om o d
Nmon m nra o odmmo — ©— f^. p-O N OJT O ONmmONO
n d o œœ n © oo n m ón — o mo — m roo o o œ© m — ommooo n m oomd©
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 89
N CO N NN— © © O O© m © CMNN ONO —o m m m m— m m m o— m — m oo — o «dm o © d mm m o o m
o — ©oo — o« œ moom— N —moo— o —o d «mN «œ n n
o od dd œ© NONN NO Nd oco od —
NNm no —Jt Jto oo mooœ oo od «
m oo —— mN Oœ nm mo —« on moo m
m d noom— « oo © No d NNmmm © m©ONd — Nm — o
omomm o — —ro n — —N N © Nomom©omoco o « dNNO©Jt co to —oomm
co d — — ©œ — m o n— « d o m© — d m o« — dm«dN o — No m n n oN N N © Oo — o o ©N n m o o
— o o — o— œ o o oo o o m n— •-Nmmo o d m o— o n m on o m o oœ o o © nœ n — n om n o n ra
mooONPOoraNONNŒOO—mmoo — m — m —dinmmraoroNinmmoomm©OONPOOOdOOPONON© — —«NmodinNOoomomoONr0N©inmd©O
o o —© o od o dm — mn — md m dodoo d oœ n nN n o
r m r
Nmm d©r» o © n —o n n o roo ra o m nœ o n d do n rot- dm d o o n© o m ra od o m — œd œ o o m
Nm m m do O d NmNO«— jt Jt Jtn o d d-CM N O Od o o cmro Jt 04 r-o m jt jt
NONONmm © mmmmm — ©N © dN N —oomNNOd N m
— d — N O Oœ •— © n m oom o o n n mn o m n m œn m o n m md — o — o o— o — o n ©O O O O N O— N © — N Jtn m o o d m
m n <d o— do dJt ¿to N©dm o
o ra m o n om — « « — mo m n on —m m o n m o— n « m « od- — m no «— o m m o «o m « m o do — — o o N
NrodNNro©©
N Om om mn mo «n «d mm om —N N
m o o m od — o œ ojt — n n mn « m o mm — d n on « n © ra© o © n mn m — m om d co ra md mo — N
ra d o — —m ra œ o ra— © — — oo m — o m— — Jt CO CMm d o o nO « N © NN O « O Oo o m m m— n © m m
jt Jtt-o o on m nmomm N dommNOOra © no © oON —
— — o n m m mo n — — n m md n o o © o o— m m o m — n04-o 04 t— t— — t—ra m — d o n dO d O N O © dm m n N o n —m o d o d d om d d m m d o
d mN O© Nm —
ooNmNNininN©dOdN©o©NtnmONNNm — NO©dNdm — r--mo — dodoom — © —«o©N«d©dm — NmmoN —mom«omomOOONdNN —
N O d Oo m « mm o m —o © o «om d —d o — dmd d Nd n © mn « — mmmo —
« NN «OOd dd Nd No «« om «m —
© m — mn m m —m d — —© mNind m n oOON —— NO«omomt— t- to jto « n o
NdOd©dm©m©codNOdO— m — mmdroNmomN©N — —mddOdm©ot—jtt—tDtooioo>©No — — omooœmm©o — mo — NmNooran©n« — m©©
o ©m o« m— dN NN d— NO N
m © d o o— m — n —œ n m d momN — «œ n d n o— r» p- o mra m o d o04Í-CD © dm — © m m— O N N O
o o m o om — « n —N m O PO —o — © n mo o n o m— d m n nN © N O N© n « œ nN o o n mN — d N N
N
N œ —NOOm « o© oo dcot- toœ « mo m «— œ mt— 04 —* jt —
«NOoooJt Jt ^ONmo m —N « oo œ oNOOo m ©ON ©
CO Jt ^© o m« N dt- ao t-m o ndmm— m «ON©t^ Jt com œ d
oon ram oom n« NN Nm nco «m nm d
m o d nd m n o— ooom n m —j O N —m œ œ —«oomcm o « —Nd d o«ON«
m œ n mN n o mo n o mm m d m«momd O O Nm m m mNONO©mNod — o N
Jt t— 04*- »^N Nm © dn m o o mœ m m m o— dm don © o n om o m n «m © o m nm o Jt — mn © m n o
— «OdOo m o n —•— © o — mm o d « »m o « d o— « © œ d— n o ro —o o m n oo © o © No o o n o
m n d m— © o mmmomd — NOm o o do m © no o d d— n œ oo — oncm o o d
d m n n d Nn o © m o oo n m © — oo œ d o o o— — n œ n —o d d m — n00 O — N N ON O O N — mm © n m n om « m d m n
omn om nN ON OO N— NJt*—— No d
inNONOdind— n œ © n m m mon — — mod©oNNininoN©NNONO© — «rON — OONO©— dNiON — NONinmd — dm©m — NflOd — o«mN — NNCOd«
« o — œ mo o o « mn m O N o©ONONm — o œ dm o o — ndm on o— omomm n — d dm o n o m
n o d N Nd o d m ©« d d m oN m N N oh* Jt co co —m « O N Nm jt n — om n © — ©m n d « oN — N d O
d « m« d on œ —m © ©m d moomNmooo — «NNm— N N
d — o*T) t- Jtmom« m N— C4tO— t004— « Oo m N© n dOdo
CM — O Om o m nm o m nd m d dNNO«m « o d— modo d o oooo«d m © m
jt Jt t« « mo o —OON— m doood — oONmooo« m —
m d o— N mm o nTO <Ot-n « œN ——N O dm d dt- — 04Odo
© O — oœ n o do mm mo o n mo — o on o m —d n d mNNNOm o œ no n co —
OOdOOdONNONcoNNintnmodoœm«oNdmoNNdooNdoœmmmNdON — o — ©raoodo« — NNraoodN©Oddm«NN«ONcomœ — NPONdraooN — — œddd— — ONOlONlOOO
o o« œ« oo mn mo ©jt —Jt Ncm mm m
N No mm on ©m no no oœ oo oo o
— ©N ON On mONco «— «O »-n mN O
«mmn — mmmNo œ oJt <o t—NOOoomooooono ra m
m o n ra no n n o mO O — O Nd o mo-rn ra n © dm o © m mo m o n md — o o oo n m O N©NONO
ONONd © d mo — o on m o om m d om o m dN n — o©oommmomro o — m
— Jt — om d ra od n n do © d od n o om — © on © ONOONO©ONmœ o coo
oinNtndinoNmomoœdNNdoœomomoO — ON©ONinm o o d n o — ©inoNOdino —od — — om — ra<i jt t^ Jt t*"- Jt roNONOONOdocod©m©©o
NNO©d NOOo n o mœ md ora m n mœ n d oN OdOn © o mn — mmo m — o
— ONra m nmmoœ m oONOn o mmNNd N ONmm
m — n© o omNNmooONOON©© o —m ddOdOm o —
omNNmo— NOm o moomONNm dmn m nd NNJt O4t0
o dmmom©ON
m o nmNOONOo o —ON —— o moom— NOd omjtmio
o n o —d m n ooo NOOn m N NmdmNo n n o— o ra —m © n on o m oNNd©
■ mo o ©O — NNOOdmNd NOomm
N O N —O d © —mNNON m O NO O © Noommm m m nd O © NmN d om o — ©
dPO NN O ©omoNomd © om — mo — dd o oNmmmom
n d© om o© ©n m© Nm nm on mO N
N mN do mooo ©— mo o— Nm md —
d o o d o mm m n m d m— d d o — —o o o o m mN o © o d Nd © o d m mm o œ — n om m d o n dœ — d © d mN © O O O O
mNN — oœomoomdmomcoONOddNO—©m©o — ©moOONONOO©OOdNO — oo— d©NPom— d— oooo — mœONNPOONOOocoNmd — Jt Jt
— mo om m
— NN d— N— m
o o
O N— JtO NN NO NO OO ON O
O N O d N»- — omm— d o m om o o n ©© o n m —n n ra © oCO — CO co oo n o d m— d tot- ©n m o d o
o m ©omod — od m o— — oo m ©NONmNOjt — jto m«
o — m© o mo — oNm —ONNodrnn n œoo do o ©Nd o
d d oONNONmOON— mdmmmcm — NNNN
om onm n o mN O — O©ONNm o n©o — o mm o — m— n œ —m o ra o— N o d
o«o — — o d m m —m«oo« — «poNmdmNO—OO — NdNmNNdOoomd—oo — dcoNNm — od©œo — ©on — o©NOdmOOON©NNNNmoœocoinomooom-NdOmmdm — — o«n«
o —o —« romd«NN —n md dœ —ON
o mm nd Nœ o— mœ oo ©d no Nm ©
— on do oo ©
o mo md No on mtotoo —N N
m m— N© mo co© oO NO —m oo mdo
dmm©cm n o o— n m n— iO Jt —— o œ d»-moraœ m n md d o ran œ n oo m m n
m o o N No o N m dra m — m —n m N N Nd m o ra no o n d oN © n m om o — n JtN — — N ©— cm — m N
CO N —— o om o dm o cocot- Jtrot- Jtoomo œ —— m —m n m
t- — too o domNoooOONd N N— t-Jt
d — o©NOOdOm j
o m o m o n nn m d o o n oOO — dN ©Oo o d © N N Nn co d m o n mm nn o — d oto \n co ro t— o r—m n n — o m mN o d © o o oo — d d N o o
m d o m œo n m © oo ra n n dm n d o nm © d m m© — © o —N O O O N— m m n oo o n m oO © O N O
© O —© m o— d —d o oo — œN © OJt 04T0ommm n œm œ m
o — œt- t- con m nomo© o om n m— o ©dN NoooC0t-iO
m o œ n d im n m m m r© o o m o ro m m n n œ nn o o n n •o m n © n eN N o o m e© o © o d •m ro oo o © iO d N O N i
■ CO
I © oI © o• — oi m o• m ©
N ON NO ©O Omon oo mn m— œd o
o ra o© o om 04TO00 O Nd o mON©d o oo — om o nomm
m o m ro ora d o m com o m o œo o n d mo n m — oO — N O Nm N o o ooomo —d n n ra mo o ra oo m
mNo— ro rnoomONmo — ora m m— rotooomNmomoo
d m d omomon — n œO N N Nm — o mOON —œ d o nd m ra —©N o d— m o —
o ra oOONo — mœ o o© œ omomOONo — o© o dN lO d
o o n mm ©o o œ n © dN N dO N Om m Jt N — do o m n m nN N N N © On — in in o no m n m m œd — œ m — ra— m d o o d
n — n — n oo œ m o o —o n m o o rann m JttOtOro — N « d dm m ONN nœ n d d o om — m Jt o dm n n m m mn o m m © o
oo© —om o dN — Jt oo © — oo © d- mm o NNNOOdin — © nm o n mn m m o
o n o d© d- © nd — d oo © © oN m m oNm ON— (OJtOt— m — mmNNOn o o —
to-ro NO No m
m oo ©œ o
— om ©0410m mm m
t- — \oOONNomm © oNO©N © —momn m œoodm © o
©ON— mdON©Od —cot—t—ONdm r mO © NONONNm
m n m — o© — NdOm m o d oœ © o m —m n m n ©mm n o —© © d ror-m o d o no o m n —d o o o —
© m m n —m o o N Nn o o © dd — d o —n N m o oo © o m m© m d o dm o — n o© o — © m— d m o m
— ooo — no — omdd — dommomoo — dmœm — ©odoONindm — mNrooom©m — — ©onoponon — oraoooOO — ©©NNNdNNOmmodo©mm©NOOdN — — doo — droinoN — oo
d m m o dco © o — on o o o moo n n n ran o n m d— N d N Oro ott- jt inm o d N Nm o d m nm d o n o
n m o o md œ — m mt-torojt<oo o © o mo — o — mcm o o o mn m n œ oO dNO oo n n m om N d N —
oo — o — ommoo— dNmomNmmoint-r— ©n o n d n ©©o©m — omd — nooomo©©ONoinONN — ©NO- dpoNromodooNNO — NOd — NOOONm — ©ooo — mmONOOONNNmd
omorot— —ra ra nomNm d nN © NNomO © NNOO— o d
N © No m nt— tocoONNOOOOONOdO— ON— mmo d N
©ONdN m N omNN©O O N doomo©dmmo d o m©omom n o o— ooo
omm ©o d— oœ —
œ o— oo —
N ©O Nd oN Om no —— mm ©m nN O
NomNdmœ—ra — o — o — ON— Nmo — mNomodo — mNOmooNOcoNdN — Nom©dNoNœdONmm— m — ddo — ononio — — moco — t—xfiT—Tororo
mooo— omN©mm©— Jt ^t-N m d o— NOO— moom n d nd o m od o n ©
NNNmd © — oO © © Nm œ n nm m m mm d m oo m n dra n m œco — t— \rtNO© —
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
90 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
odmmod — ONoood — mroNNOd— — lONdd — PONON — m©Nmmo© —©OdNNOPONON
Q oraom — ©ram — no m — ra — d o o o o mO NOmON — NNO —o — o m n œ m o m in om om — oœ — ^oN —m
N N — N —o o n m m
o o © — m —n o — d n —
© N N O —O d — O d d— d m d o mo m n d n œo d o N n mo o m o © n
n n m n r
o oo m— Nn mNOm oO NN Nm NO O
O NN «d ON NN md on moo mo om o
o oo dO NN N— md mo NO NN O
— oN Oo om o
O No oo mm nn md —m om do dn m
o om o— dN —— No radmra oo oO d
d Nra raN Nm oo o00 —m ram oN NO ©
N N mm — nm m od m coNomo m on o dcm . m
o ro o«o — cmœ d oo ro mdm©o m —m m oo oo— m n— m oo
n m — m mn o to — od n o n raO N N — Nn o — d mn m n — œ04 Jt — CO JtN d m o oco — ra o mo m o d «
d n m ra do d N o N— — m m d« n n m om m n o no n « — N— o o n œo m d co co— o ra œ ram o n o N
« — m n ooo « © m md d © d nro — o oo oo n m m on m n n oN « o m d« o © m om d m jt —n o — — m
m d« dm md nd NN NN O— mO N© O
N O d« — Nm m nO O Nd d OO d No o —d O No m md m o
Nom— o mO JT Nm o Nm — o©ONm d N— N mo œ no o N
o m do m no ra no o —cm co —N N No m —O © Nm — oo m ©
m p». n o Nm © © o œro o m o om — o d oo © m jt on o o m Nm d n m —m o d m m— o © n dm n — m d
o d o oo d — mn m N dn © o om co — —ra ra m —NONOm o co n« m m do — « m
m m m œo d n on — m ©N d m om o o mCO lO d N©mm©m n o md m © mn — o o
o o n om o o on m m on o — oo o m mœ n d om m o od « © ooo o —-- — — r^
m m o on « d Nm o — nd œ m mo o — mn d — oN N O O— œ o o© m n ©— — o o
© o o © m© o d d dd © m o —o o m © m©mm© —n o o — mo m n n om © m o mm m © d œ© — — © —
t-t-TO— m oo m œn © oNONm o om m nO N dco d m— o —
00 N —co o d— — r-o m no n dm n rao — mONOONOm ra n
n m m— cm om m o— m mNONd N No m oo n m04TO dJT N —
m o m —— ra o no o m mO N d od O N oo m n mmom©d d © mm n — om d no
m nco om n— dN Oco mm ora oJt N
■ N Cm d© NO —O NO —d ON Oo m
co coo od mN No md mm m
N o m on ra cm mo o oo —N o — oo n m dN o o do « m oo m — œ© o n cmo o « o
o — —NO —ra n o— t- —N CM 00o n mON-©— N —d O No o d
N N d o m o om — « m m o «o o « co m m nm m o m n n «— n o « © d do — d n d m —n © m n m o nn o co m m m op- in r— o n n —N m co m o o m
N dm mn mo Nd Nm m« on œo —© N
O Nm no coN «N ©d —m —
« œ nin in —— m nra o do m mn m œ04 — Jtn ro om o nm m ra
© — m«NO— N No o mra m N— o mo co m© d —o « dn m o
©NOo o oNom— m mœ m do m nm n ©m © om — oo m d
d mm —o dd —« oO dN Od m
m m in jt oin © — m do m m d oo © m — oo m © n «ra jt ra — od d d © oin in m œ nm m — n «m © o — o
o n o © do o m n mN on — —m o o d œm o — m —— o o d dm o d o non««©— m o — «o « d — ©
o jt m o Jtn n m o —œ — o m Noo m n n oo o o m ojt m m m oo o o m dN O d O Od « O d Nm m n — N
— «m od md —N m«N— ©00 o— «« o
o on mm o— mm oo —o No Nn œo ra
oo on m© Jt— NCM Om mm no m— N— m
n n mm ro —Nomo co on o d— t- JtJt 04 —d o mra « raroo4t-
m om com —m od «d o— dm ran —o o
© d ro nm n o oo m m —o — d oin m N —»-m — ©— N O Or*- N m mN n n oo m m o
on©©©— N — m ojt co — m or- o o r- t-N — n « N— o « m nN O N d «jt o o o m— d « m mm « o m «
©©«NONNOdrO— mdmmooNmm— — mmoomNN —dm — on — o«NddtONin — o« — — nd — Nooromm — m«NNrodm«NromdN«ddoN©o«— o — Nd — «oomNoomooodoo
mooNdmmra — oinmocoddrONNrom©ONOoom«oC0OON — N©dN —N — dONdNNrOO«mraoraom — Nmo — rOd«Nd — d —O — NONrOONNNOd©dN — 04 — N —— ©NoomNinrom
o mco m— mo —o ©m ©© oN OdN em m i
o No oo o— Nn mn m© o
— — mm o om o om o on m —N d do — o.O N do © ©O O N
m — om n oo o om o coo d om o œo N do m ©jt ro 04©m ©
d rao om —m nm —N Nm mm ©m n« o
n md om mN Nm om ©d md «m mo d
© o— «« No ra« mcm —N «O dm om o
n od jtN d» d— 00CD ON ON —N NO O
O Nm no —o oO NO oœ —co o— o— N
d od rod oo om md mn oo om oo —
m rao —o oo oo md o— N— oN —N —
N Od OO Oo —N ON md on m
n m— Nd mra no mn o
• m d— Nm dra m
o o —— dmœ n nm n omomd m mo o Nd o o— d ©m o ©
m © m no m o nm o — —d m o oo m m nn m o om m n —co — o om m © oo o — N
doomm — o ©o © o mco m n mco — o mco m m mn n n ©© o m mo m o do o m o
o o m n on- n o © mm o m o noo d n d —n — m n oo m n o dd m o N mo m oo m oo o n — m— d n o ra
»-m — o — — — ddN»-OOC0OC0N — 00ddomom — — Nood — to Jt co t— oommoONNmo — dNm«NONinorora — o— — NPoooroN — mN — eoNd — rocoNN©NO©dNomdOo — Jt co — — oNtno
œ n o oo o n m— n o oN © O N— m n mt- CO 04 —m — m nO O N Om jt n do o o o
O N n mm m — oN o o oo n n mN O © Oo — d oo — m oo o o om n o oo n ra N
d œo oo on oN ©n mm mo md mm n
n m ©— NOd o mra m nm n mNOOn m m— ONjt t- —— — jt
d o m— NOd ra —N m oN » dN © «N d n«mm© — mm n o
n m o — —ra d d m mn n n m oO O d d Nd m — jt ran n o m œo n n n m— N O N CM— n — r- d« m n o o
o m o n mo — m — mm n n — dm m m « m— o o o —m m — © no m — o on — m — mn N m n o— d n n o
o om o— o© od —Jt Nm nN ©— Nm m
n —N dm mm jt— m« mœ nœ m« o© N
n mm do Nn dœ oo oN NO mn m
— N m nd o o o— n n mn ra m N-— o o n©Nomo o ro mo n o om o — mo m ra n
mo — — o — NoramoooroNinoinoN— moNONmooodONNNO© — NOO— rororOdOrON — —NONOotnd — conCON — NN — mmONco — n T-.ro o o m m do©Nooooo©mmoNNN — oomN
d —m oo oo md Nm nn —n do d
— m mON©m m nro o —m m od o mm — oO O dd m do © «
— md ©o m— dm nO Nm nm n
œ no m— o— om nm nm oo N— mm m
— oo —© dN Od N© —N Jtm oN ©— N
— NOOd N O Om jt m oo — m n-© — o Nd m o nn n © oO O O ONONOn d o ra
o n o œ mO O O — Nm n o m om n o o —d n o o —© N o m N— o m — nCM O N — dn o o m —o r- o n o
r- n m— m ©m « m© N N— NOœ o ©n m m— m no © nm n o
— m —04*- Jtm o —d m mm n Nn « do n m— n mC4t- co
cm o o o d m n© o œ — o N mn d n n — œ on n © œ o o dd N m in d O roo m m m © — m— o n m m m o© d — m o o —o o n n o d ©œ © © d n m n
NO©m n oo n mmomo m dCO Jt Jtm m m— NOm œ nm n m
N mm on oJt N— ON dO NO ON N© m
m —o mN No m© oo oN NO ©O Nm ra
n mm nm mN nd Nm oo oN N
N N mo N mO O NONOo O d« d ©n n mNO«N m oNOO
m œ —noo— m•- o
— Nm ra© m© or~ m
N —N —m m© no oN N© O
O Nm —o o
co co.o— jt o©ONd o od N On m —N d Od O On œ nœ o m
O O NO O N
o mN do om oo mo N© mn ©
m o o— d —NONm m oNONm m d— © Nm — m— n raco — o
m o œ om o n —o n — Nm m n oo — m m— m m —— m m œ— — d oO O N —m ra m ra
o d o on m d nto 04 ro —m d o no n m mm m o on n m ©© m o ©— n © Nm m o o
d o m ooom©m n © on n o oo © m oo co o on n o mN N N œN o m Nn m — o
d N ON— œ jt —m d © mo m © o© d d mo n n dO N N NN m m mm o — no o m n
n m o o mo N d © N— m m o rao d m © n© m m — mm n m o do © m m nn o m m jto — o ra do « « « CM
o © m nn n ro dm n o ©o mm dm mo —— ora —ra ©
n oo mN do md —
© —Jt om ©m m
n md ©o od —co m
co on o© Nm —m n© No ©o dn —m O
o oo orOd© —m nd oo —N —m m
o — mo N Nd o on o —O O Nm o od n oo m n© m od o —
m — o md n n od n n mm d m od n o on m n Nra N m nN — — œo m o mjt — Jt Jt
O N Jt — Od — o o —o o — m oN N O O No m ra o ora n n n mm n d « oo d — m mo ra d n ©m n m m m
o No md —— dn mN No r*N ON N
d œ œ ©co « — od N d Nn © m o— o m n© « N mt- >o Jt Jto o m n
— t- Jt (O ot—« m « © o «
N d co m »m « c« m ro m t
n o m— N «N N N— d Om d m— oo o© n mO N Nd N —d N N
m © m o raO N O N —œ m n N —ra m d m mcm © n o ©© m d d dm n o n oJT — « «NO N N — « m «N © N m O N N
d o© Nm mN N— OO N
jt©oonn — oooOOO — NdONtONdNdmo — mo — dmOdfOOd — — odm — NO — OOOONdOd — dNcomoNmNOONNinmradmmm — oodrorodN— — Nm — — ON00©— «N«0«dN — N
o —m oo mO Nn mo «N Nd mN Nra ©
d œn «N dN Nm om mm mm oN O
O —— œo mm mm od m— «co r
> m œJ © oi — o> N O■ m n• o m■ o o
d œm oJt oo —— ©d Om mo mm om œ
o dO dm —o dd dn od mONo mm o
o mO Nd o— NN œ— m— dco —— ra
m o oo œ ra— m dd — m00 d No n moomco o on m rao m m
m d oNONm m nm n ©N — »jtr-too n mJt Jt coœ m on m d
œ nd om ©m o— od mo ©N N— O— o
d Om mN ON Nd md om mo ©m mn n
n dm do oo mm oo on mra ©o om m
o m o mo o n oO O N No d N mo n o mO © N Nœ d d on m o od N N Nd N — m
m d œ o— d o om © m mr*- — o oo o n œn o m Nn m o do o n mm n n m© N O d
m m — on n o n— o n mN N O dra o — oN N O —o — m on m o mm d — mm — d o
NOO — Od — — NCMoommoNO©NO©odmmmdONooo©n — NOdinOOdONNdNrONOo — oomodmmNmomoNdmoddNŒdNOdNdPO —N — dNN — mdm©o — rararaoNindin
m n nm n nONOo m nmdmm d raNONro — nm m mo m oo
— oo Nn o ooro jt Jto n dm d dm— dm m mNOO— — r-.N d —
ra ra m od o o oo m o oN d N Oo m •- o© « O dN o m —« N N No m N Nm — o m
d — N — — — m in n —NNNO«N©NinoodOOdNOom—— œ — mNN — — onONdind — N — NinNOcomomNONOmo — Od — dinNPO©mmoomNNOdOdNN — N©m©NOP0Nin©N — odm
o m mm o —NOOo m ©co r»- nNONooo04\f) —O d od O o
© o œ m m n nra o m n n n ora m m o — ra mo n ra t— n o oo m — — o œ —m O N N O CO No N « m d n —N — N « n m —o ra o o n d mo d — — do ra
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 91
POOOOdNNdNNdNddmdmmmomNNOi-©oo — moom — ©in — oomino4to — tocoojt'~JtmNmo©mo — — mmoNmœ — mNomomrw — oNNmm —ONON«dO — «NOOfONNNmd — —
od© — «NNNino«oNm«NNoommomNd — «© — ©mo«««mNomo«©©dOdN© — «NNOOdONNmm —omr-mo — dmNommo — omomNoNdmoooraooo©ONOomodNm
m — N©mdNmœmddmmod©dOOOOOdfOO- OdOdNmo©mo©Nm©mdNdmocooNm — mood« — Jt —mNoo©oomm«dooN — mooo — —Nomm — m©oodmm©©N — Oonn
m n o N mN d — d mn d m «coœ m d o md « jt ra Nn n n o mo — n d Nm d o o n— N d O OPO N N d d
n œ « n mm d « o «d ottoto mo « « d ©m m m — —m n — d od m o n mn m m « dœ m m © n« œ n m «
tot- tora n om m m— oomomo — No d Nd — —o ra oo « «
d m com o oN m mo m dJttOt-oo© om o nt-Jt —tor-to— — m
m n « jtN d N Orot— m ©m © o om m N om o N dO N O NN d N O« œ m —n m m o
d mN Nm mn md©
— NNd-ONinom,mNm©mN —CONNPOO©ONOrONOOOPONmod — ONom©no-mmmm0©0 — NNNd-OCONNO — ONNinm — ro 04 — t—NNmœo — œo
^t— Nro rot-eo Jt toO N 00N m on œ mo© do o «NCMNtO*— 04
o o m m n o nN N O O N — mto ro ro o4 04 to t-«N « O N d ©m o o o n œ mO — — O N N No d o — m o o— O 04 Jt Jt •Ot—n m N O N d oo o m o m o o
iNOinomNPONd-OO — — NONON-OOOmrONONO-«n« — — Ndom30NO — dNO— «ïN©mmm — ooNtmommm«NmœiNNN«©mddo-oo — o — mm — nîdmoNmmN©©
m mN«m o© d— œd —NN© ON do ©
o N m d m on — m d n —o © © o m —o m n m — —m o © m m —« m n d o nN O N « d ©— N© O O Nn m o d o mo o m N n n
N dm oo mm n
© NO ©© dO O
oNmNN©od©mN — ©N©OONPOO— ooNmmooNNONommd — NOOoo©mONONin©NON«m©odmo— dodmNroNNOoomNd — oo©nOflO — — C0«PON — N« — moooomdm
dmroNocoNoooN — — mmo00 — N — OOO«omoNmdocoo*o — m n d m mOOOm — NNdONmmroNONomoN©o — oj-NNdNmœmNodom — omo
o dn —© mN On dm œ« o« dm oo o
N — m — ONONPOOoNOd — Nd««mONO — «Nd — — mn«pon — ©«m«oomdNO — ©omomomddNmmoNrOddNoœm — — oO — — ONPO — ©NOœodo — orao — «cMNooomoNmra
— n r— œ jo oNOa©« mm mm mo dd «
OONt— Jt <SlN « —oomo m domooomo œ n— m mo d —
© o om n mm o nm
O O N N CO Od m O d N o— © m — m o
OdinNindm —ooœmNoo©omœmo — ©oN — ©dONOdinrainroNoooNmNomodmo©nooono
o o n o m d Nt- Jt Jt J- rn 04 Om d o o o o nra ra o m ra n om d o — o n oo m n « n m nm o m n n n —m n o o d d oo — œ — m n mm o o o © © —
d d m oo ra N roco œ O N O O N
.. o d m n d m d-.-tNinœoinodNoo — ONommoojt Jt — Neood — moomoN — m — oodNOommdcONOOd — — NcomoNNNNOomdNmmcom
modoomdmmNmn ut m d » N n dornNO©omNomo—Nom©N©m — oo©dmd — — dorn©NOO — — ONPONO— œo — jt — o o © oPONdNNO — © m NONmmmmmoNOj*N*-N««N©«N
©mNO — ©«d©oN©omoo«tnomdOdOddNmdNomoo« — mm — mOd«©ONOONddN — ©Nd — oood©mNO — doNm©ONO — NdPOONdO©NN — m©omm©œ««N«d-dO
GOmNNONNm« —mN©d©ONmmNd©omo — — m — omddN — d « o © Noommm — NooodNoommNoradN©ONNOOdN-OOONNOONinNindNdflOdOONOdjTNm — Nmmom«
— — Nm n ©Jt<DJt— « om « m© d nm m mNOOn m n©NO
« N ©NO —O O ©^r— JtN — «NOO© N mram©O « doom
œ on dm © m om n © m©mmoN d o ooom©m n — dm o n md o — o© m n d
NNm nm ©m —œ nn œro oo mo m
o n o œ Nm o œ n m00 N N N OO O N N O© m o o mm d m n oo o o — —c4io t— œ —m n © o om © d o o
N m om o nd œ ©mmoro — oN n Nooo« o —o m —OON
©ONOOOdN—OON«« — «OOOdNO©œmo — mœ©odom — o — — oo— oooraooooNNOOON — N PO © «OOOPOdNOtndNomNON — N©moN — dOONCOOO —o — — omcON — Od
N NO oo mra ©d m— dd mm ©N Od m
m dœ dm ©n ra— mN NO 00N N
O OO —n mm om NN d
O d Nra n —d o ram co md d mOONm o oco m n— o oNom
ra o — n ©ro o o o od d n œ om o — N dO O N O O©NOONN O O O —O — O — —o m m m oo o m d n
o n o m NO O O N —cm o o o mO N O O Nm n ra n mm o m d om o m m mn — N o do œ © m jtn — m o —
œ o —n m dO — NO — OOONN œ —m d oo d mœ o mo m m
■ N
NNNramroNinjTommoNmra0©ON©0©Nd©NO — NNPOmmœm©moNcoN»modNmoodoœmooo — t-t- — Jt tot—oom — mmoodmN©NC0NO
m n —m o omomra o oOON© N N© o o— ood m no d©
N m —— d œNOOd p0 dmmo04 Jt JtNNOON©oomJt a Jt
m d oNOON © m— o do © ©© o mJt t—roa Jt Jtro ro Jto N N
o co m o n — oN 00 N CD — N NO O N N O m NC0 GO — N N N Nd o œ — — ra oo n o o ra d on m o o m o on © d n © m —o o n o m n m•o jt o ro Jt jt ro
— — m d om n © N Nm n d n tn— N « © «œ © N — m« ra d m mm n N m dœ m m m m© — m o ««©«ON
o —n mm n«N« mn ©o «N N© NN O
m «d m« oN Nn œd mm m« Nm no —
©dmm n nn m mm — mra « mn m o© o «O N dco m ommo
— m o oo d m do d m mO O N d— — jt r-m o d ©o o o m© o o do m m o— © œ o
dd m o dn d o o oo o o m «««ooocm o o o m— N O O O— m o n oN O O O ©d © — N oN N © N O
m o— mO N© oO No oO N
— o —m m mm o d* UÎ —n œ od o mm m «*•ON dtO 04TOm m m
o d on œ ©d in n© d o©ONNNOco m oo o rammommo
m o radNO— oo mm oo ooraoN d ONONrot- dm — œoo œ —
n d m o œra n œ d m© o © n —d © n © —d © o o oN o o o dm m m o nm m d o Nm d n n o© d m o o
— © o d oO N O d Nin d — m —o m o n mra m o o oo m d o no o — m n— ra — ra od — o m —o o o o m
N ON 00m ram ram om ora o
m mm do oo om oo Nd n
m mN ON ON O— Om om nO d— dN d
— Nœ mra mn mo —m nN do —o ©m —
NOOm © mo © oo m mon —m o oro © oooom n mn o —
m o © o mnoon —N d © O Nd m n m oo o — m od m œ — —m n o o do m o m nm n m o oN N O — O
N do dN —© d
— o
ra o m —©ooo— n m oco o — om N O No m o mo m ra ooo m — mn- m o «odd«
© NO OO NO ON mN —N mO Nm —— o
O Œ O ©m t— t— Jtm o m md ra m nm m o no o n md o n ra— NO —o — o od m o o
m œ »n — »N —N ONN00 NO Om do rao o
m «N mœ rad mm N
oo — — m©« — mmNONNoommm©OdNNN — — O — OminmmNNro©oœNdŒNNNNNO©o©o-oom — odNNdONOONOOdmomoœmocMom— NONiONOOO«œoooooNNNin
d m n mn m m oo co d raOONNra n d —O N — Ooo«d« o œ nNOO«n © n œ
ra m ©m o nNO©o — ©N © N— m nm — om — on m m— N —
œ d o m — m md — o œ n o oJt 04 to ro jt Jt mm o m n m — mo © m n œ m on o o o m N Nn n © d — m —d o o o — o oO © N N © o —m — m d o m œ
œ o ©m o om — o— mmd — oo — md o mm — —— jt ram — n
o © —mmoo m —o — —o m —mNO— o mm d on m œN O —
jt oí ^ — — roo m m n m oo — m n o mœ m — o — mm n ra n o om m n m o mo — n n co mo m N N — om r^ jt m o do m o o d —
o © m no o — œn © m ©m o © dd o n mm m — on n m oœ n d o— n m œ© d o o
o © oœ o —n d on m mm d om o n— ONmdmo o do o œ
jt jtt-Jt O NN N —— N NdmdN « Oo œ om — oNONNON
m o o —œ o — n— oooN d N Nmmoom — n oo m d —©no —m m o nn o — œ
n o œ— N m— o moom^ — to— o od m m
o oo mo o— m© N— om mN ON Om n
N o n m om o o o nn m © o oN O — O Nmom© —o m o d nm m n o nm o n d mra o n m mo d d n «
— « N 00 N« m o N «m — œ © mo « o m mo n d d o© o o © om N N N oo m ra o —m œ o n nCM O O O O
— m — d —m m œ m ojt Jt t- t— jtm o m m on o d ra —— ON ONd N O d ON N o — mN m m d oo o o o m
o — mmNO— — Nœ m mNomOONo m mroto do N NO N N
o <o ro t- 04 04 Jto » o N d m od — — m ra o o— — r*. m— o ©O d O © O O NN — O N d m Nn n m n jt — m— o — m o d ©m o m n m n mn n o n n d m
o © m ©m m d —— n m om m n nn m o —— t—04 ©d o — «d N N Om n o ooom —
N Om mN NO N© od ©m ©O NO —o —
— O © N N ©o o m o n —jt t-to 040 r—n o m O N Nco © m n- d dn o m n m mo © o m o mœ m — m n nn o o m m oo o n o m d
o m raon —— jt Jt
o m dmodomomodto to tocor—mm o ©
o mm oo coN Nn ra— No mN do oœ œ
mmooo œ o om o m do d m nmooono o om — m om — t- om ra m om n — —
n ra ra ramomod © o nO N d ©n m — nd m o ©d — o om © o m« m — oo o m m
n N « o md « — o mo « m © nJt 04 CO t— 00m o m m ©o d m — nd d m — om o m n ©n n © n om © p»- — m
o « — md- — co no o o N«mm©r- cm o com œ n mm o N N© n — mNONOo m m m
d n o —— oo o n © m ran d o m n no o ra n — mm n — o o do ra o — œ raN N N O O Nm co co — cm ind ra d m ra o— co m — m n
O NN —d mo mm nd dm mO No do m
n œ o ra nm m o o oN O O — Nm o N o do n m n dra — o — mo o m o dm d m — rao n o o no m n oo o
d co NO O dd — «o d —œ o dra n oo d oON —m o nOON
N — O O NN m CD O Nd d o n©d d o © md d — o mn m o m m« o o o —d n m o —»w oo « — nm « n o o
m d m o —m d n o no d •- o o© m n d oO © N d dm o n cm —O N N O ©O O d N No o m n —O N O — JT
— m nNONco © ©d N NO O do o —NNOO404 Jtoomd O O
oomm n nm © no m md — mn o —mNom o oo — —ooo
m o — oO — O Nmoooo m œ mo o — ommooo ra ra om o — cmo N N Nm o © d
o©modoNdONON©odoomoo— roN — dmNNN —NN©roNroinommNindomroN — onQj^wOM-mroCMOoo«oomdmNm— jtJtroiot—04TO<¡roOON — mcONOrONrodroin — ©ONOON
OOd — NNOjTONOOONONOON—NNO©©N©©ONOOON — rOCOONOCMOO — dNOdO —oddNmoraodraONNONdmNNNrao©oomN«mmNmcodNOdramom©Nd©©mrao—
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
92 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
m
d mo mm dN «n «m ©o «— dm nm o
m —o m
o o mn o d
o oa d o— m «o ono rarao m no
— dm —
x m oo — oae ©ou. o©
o o— Nd d© O
ooNNomœoomoNOo»—NOd© — ©NNONmcMorOdin©dNoœoN—©NNOONONoomNroorodm — 0©ONONOdNPOOOO©©m — — mo — n
dorn — dNrooNŒONON — ©POdO©©PONOooomdONdOOdmoorOd©ONmmoNNm©dN©oorammNGONmo —NroNO©omN©oomdONN
coNomooo —d — — mNONin— mmo — dNNNoooocoomraoomcodraoNoœdraomm©ONNOOOONN — ©OO— NNNomdmo — mNNPONCONON
o oo mn oo ra
d rao No mO 00
O NN Nd rara —o on œn œN NN Nm d
©dmNONNNrowOdNOdOOOdNNodN — OON — moooodmmd — mo —jt — ©omP0N©dinomoo©œoomin©«©o©No©roNomNO«dm — dmmN©dN«©«ddm n o o m — mom©
©NNmmmomo©n — nn — oœ«dNO — — d04 Jt — r- r-too jt©«OmN«NOdfOdmcoNNd«dPO«PON — oom«omooN— moNNd — «NddONmN©
o © o © ©O N n m N© N O — 00m — o m o0 — 000o o m © nO O © N Nroo « o d©oommN O O d ©
m dm nn oON
o m© NONn d
N N d — Oo n o m oO O N — O© m m m —o n m © —© o m m mm — o d nm o œ m —ra ra m m n© © o m o
dooom© — ro co Jtom — mooœmmdommoraoo — moodmomomm — —omo©NmN©d©NomddOomN©— o — mNOdmoNrONNOd©Nm« —mNO©NmœmN©© — — © — — n — mo
©00©©ONdON00 — mmodNN —ommNN — as 04 Jt roro Jt t— 04 — do — ONONlONdNOtnoO— NOoracMomœ©00OONOOON© —omooo©«©©«m©«Od — — n©nd-N-— — «N« — N
©©OOinrONO«oNom — omN — — ©moooo — © d « oo — dN©mo©©o«©mNmmN©mmNdNNN — omoomNm«N©N — — ONNinodN — dm — ©— o — NNdraoœo©00 — ©N — «NO
d on mCMNCM Om n•—©rONm mmoo m
ONO — n — mod©©mom—No — m — do — momoNmNONPONmNO©Nmmdd — domm0©0 — — NOOco — «« — ©00n — m n o d N Nomod«o — n
œ m —d o No m d© d ©m n mra co nm n —o « m© d on © o
© d © o o■o t- co Jt com m — o dd m m o nd o o n mo o m o o— on o mO N O O N© o © m —o m d m o
dmodaoomdlONONm— o —cm — mNomN-©NmmmNNmmN — mN — Nd— mONNONOONindPOOONdmoNONomdNmmd — mo00 — 00N — m
o m «©00000d O OO N N00 N Ot- t- —— O Om o ©N N N
— O O00 o od o —œ d oN PO N© O d— © oNO —o d œo — m
000mn o o oo — d NO N » N— OONo m m mm n m œm m d dn d m nO N N N
rodO©N — — dmjrmomomoo — dNrodro©OOT-Nmo — droNNdONmoomodmmoNOOOO — OdNco ro Jt co — ©o©NN Jt rot— OPON«NN©-dd«
o oo mN dm o
o œ
moomoNNNino— mN — n — © — doN©ood©ooomNinNdNNN — mm©mm©dmNONOdrONNON — orodOm — N O N d O N NoodOdmomooo o d m m — NmmmONO — m — moN«
cora©- — NOdommdNinoOindNm0©«Ndd«ONN— mcommoooNNnon — NommmoomNmN©©o — —NNmNONNO©N«©m — N© — ON«mmmo — — © — nnoNdmmmoomd
o©mddOomm©ONONmmdoro©r»moNNNNOdoNOdm©NNfO — mNOd© — o n m o ©mdom — ©Od — o©oo-o©nnoo©©N©ramom©Nd — nn— dmoodN©moO — — OON
o mo —N Om nd do od Oco —N O
m oo md d
m oo mm o© o© oo d
d o N©00OdNOONOONNNOm© —— « oi^ro Jtoom
o N dmmom n no — ©— o —d o d— ^04O © N©N «m o m
Nm«m — « d o © dom«©N«ON — o©mOOO — OdNNroNomoooo — ono-mo — N — NO©n- — o om n d —o — — mo — «mm©0000 — mmd©NJTN — moooN©«o©nnn — omoo
NomNNomoddooddON©Nmao— dmooNinmm©© — Oddo — — moNN©OdNN«ON000 — dm — — — ©m — Ndm — NmNdO© — 04 TO G t—04 ro 04OONddNNONOddmdm©ONmm
mo — oommoddNOO — — co ro t- co JtmomoNdm©mm— omoo — — d©oo — droN©©oodroNOomram — oraOdNdOON — 00POONPOOdONdNNONOfOdN© — mOOœO-rNN- NO
n n m m— d O N— TO Jt JtNONOm n n ©dmd©mmo©© o — ©n o m NN N N d
— o m0 — 0— o ©CO tO TOomoNOOONOo — mm n nJt t- 04
OONm n dt- Jt —mmoNdmd o Nm © oOONn n m— n m
mooNONom — n©ONro — oOdNindO©©modNOdm — Nm©mNNNPOt- ao 04 — t-t- — t ro jttnorON©«dONddNdN©mo©mdn© — o«omo«mN©NON — OO — N— dNNONmOOO
©N«NdO — NommmroNNinommino«NNomooNmd©d©d-no — ©mNOoNmo© — ©m — ommom — omommodmmNNOmdomoodomoOdmNPOora — 00NONOONNOONmN
Odd— © Nm go dm — «n otroOONt- — M1
O ©NO m moom
O O © N Nm d O m dn m m n mN O O d N© n o m ©m o o © oN N d — NO O © N No m m m no m m m —
00m —o oo oo œo dn o00— o
n n m oO N N OOON©N m o omNO©d o « om — d do — m nO N N «m — m n
m m m— m oo m doomd o m© m m0 — 0©mmn — o000
O NN— OO— m —n « mm o nN N N
OdNO © Om n m
n nN Nn md ©O GOo mN —m —m «— 00
— mn m— coroton mN N« Nm m00 Nœ o
« Nm nm mm nm mNOm ©© mNOO ©
o — mmo««©m©o — mooo« m« « d mN —«md«©mm©0000N — oodN« — — md — o«m«m«ON—«m«od — Ndram«omNom©Nom — Nmo
d om —— N© —© «o mn mO N© md «
m nN N© «o mo mo oo om mo «m n
o « m do n o mm m « mo in m —CM d N ©o © o mJT N — N— ON CMN o m Nm — m n
ro t— Jt ro Jt t— t- 04mm — m o © m o— © — mabONOOrONNN© — Nm — droomoNOm — N — dONd©©NmOONNNOmOdN—NNmo«NO0md — ©mmom
dNdœoooo©—oooNmomNmNmoroNNroooramm — mo©©ONN —OdO — ONNdO©doinom — ponponONOOP0OONNP0— O d O O — — — ©No — — Nrod — omoCOOOOd— NON —
omœooœraNNeo — rooNNroNdONraoomOPONONOONmodin — n — n— ddmN©Nmo — mmœmmN— oN©mm©raomooœmom— ocMmom — o
N dm on —o mo —m od —— NO —— O
© NO OO OO OO N— Nn m— m
N No mm ©N NN Nm ©œ o— md Nm o
O — O N N Nd o m m d 00n n n — m oN N O O — Om o d o n mra m n o n co00 d o ra N Nm n d o m do m o n o Nd n N m o d
0000N0 — œ — o— N — NtnOOŒNNoooNNNmmoo— oom©odoodNN — dN©©NOOdorn-mdNm — m»dNONNOoroo©NNtnmNOOONroNO©ommN©m©odONmoNdo
dNmNN — Nd© —oomoNN — — m —ddom — o — — mmmo© — m — NdomOOWd — NOOOOOOdPO© — ©N — Jt©mNO — dNPOdrnmOd — ONO — N©dNoomoom — ©o d N o n 00 o © d
— 0©NNON©0©— ONtOommrONNjt t— — moomoNodOONONON©Nom — Nooco — mraOd — mmdNNomnon — mdN — NmNd — — »o© — ©mooNOOoodOmOOONOOdtnN —
m m n nO N « NOO — —omoom o n mN NN Nm 00 nm © — ©o — m ©O © — N
n © mPO N «mdmmmoo d md © mm « njtt—<oN — «N NN
m N JTd m jtm o o© m jt« o m— m nm « coN © —NNOm n ©
m d © — n— ON — —N N N O Om d © o dd o m m oO N o m NO N N © No d — o mO N NN Nm m n m o
— d d o mN O N N ©o N m o Nr- m n n —»—©omoo o n o oO © d N —o 00 n m00000O N O O N
Nm©moooNd co o — oorodo«NNNtnm —mN©Nmooo— d©mm©o —NmoomNmdO © o © o d — dONomoooN0©d©NNO-d«ddONrON
o m— oN ON —m o— aoN ©O No oN 0
00ONo oN NNON —— Jtroo4o mo d
o —— dN —d —© dN dd oo —NNN O
m mm mm —o dm mo o— oo o00d m
© ©O Nm mm nm oGO Nm oo ©m —n o
n © m na — o —œ m o nd o n —t— CO t— t-d m m 00o d m mm o © oomooo © — o
— NON© — NONPOorodN«oNNinomoraodrodomœmNoo©oooooo — — n — moNaoracod — corONroNONd©omm — 00 — d o m— n — © o o o N
n mm oN Om mm —©N© ©m ©o —© ©— NN —N ©o mONN d— oo œ
o d— m— dN N— mm —d o
© 00d dOOo —o om md do Nm om n
d m o nO O PO ocm o m ©o m o mm © m mo — d Nm — d od d o no o m n
f^^mNmm-ono — d©oom—o m o © o o —oomN — n©o000 — — o — odON — ro m n —— — d©omooNNrONinOddmoN©N© — do©Odin — d©
n — o n — o© d m m m ©m o o n o Noua n d m NO N O d N ©N N O N d Oo o o 0 d oo d N d © ©n o o m n om n © — m —
m « « n— o d «m © m om d © no m « nm © o r*d m n oo d o mn o o ommo©
— O O d N O No o o m o m ©o o n o o m mm o n o o o —m © o m o — om o m n o © —m m o d o o oo 04 jt m t-ro t-o n m d m © dœ o o © m o n
© d Nm jt —N n mt— r- co00©o n dd m oO N d
ram — — — © — OdNOdPON — OdPOdroONOON — Noomd©NOHlNONinoNdNNmmodN—— — OONNONromoodmdNoooNoNorad — mora-no — mmNNinoinmmraodNtnNmrao
mdm n— NNNO N© m— dn mN ©d o
— dmrod — o©— ddmœoomoNommdömomm — 0000COOOON — OONn — oomodro— ON©NNmdraomoraNooinNON — Jt t- 04— N — Od©ON
NdONN — — OO©ddromNm©mo©ommmoN©©mmONm — N-mNN — on — mraomo©©-d — NmmNdoœddmmmmom — morONONtnmroNNNNNmmOONdNNo©NinNNoomd
ONm — OON©OONOmO — NmO — — ONNNdONOOOdmOdromo — n —dOdmomomoomNdmoomdm — NmooNmmo — do —— omraNNdd
o om no d© oN Nm nm oo oNN© N
— mooramNNm —NNNNmoNomdrodNmroNmoraraodom — o 00 m jt doodN©domooNOdinoNOd— —Nm — omoNNNmJt t— — — ONomo©C0N©mO©OOON00 — Nooooœo
NNO — moNroooN — NmmommmommoNdON©dmomcommdomrao— omNdoomooOOOONNOO— dO — ONdNNOOd— Nm — ooNommmm — roN©No©roNN©NOdOd©od
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 93
_ — t- oO — O Oo « © mm « o nd « o Nd — N «d © o m— o d —o « m o— m d ra
N d o« m nm m mo m «d m o— co ©d « mco ro t—o m m— — N
d mNn n ©NOdm n «— o ©m o ©t- — mm d no n dn « —
— Nd«dN«NoOmOdO©dN«ONmomo«NONN©©Nm — «m« — onm — NinmNmNONNOO — ONm«o —mN — NNNNOdOd©mo — n — oroNN — PO©OONPONNNroo — © o © o œ —
© O O d Nd m n o —o m d m nm d o m om d o o ©ON —— NOON N —— m m o mm d m n oro O CM O —
n o m o o© o © m —© m — m nœ d o m ©© o — m ©o o on —O O N O NO — N t- Jtm n d o oN N o m o
CO tO Jt — t— 04— tO04 O* — TO t- t- Jt CONdO©rONNNm — ©om — nnroNommoNommoONONOdKiNNONOOro«dNom«mmdmNmoNN«oNN©ONom
d oo mo mONO Oœ —m —o N— dm n
moNON»rONONdmmmm — ddo —— ONNCOmNNNNNNN — mmoNtooœoo — — d m n o nNinOPONOONOOm — mooN — NfOOn — oroomNNwm— œommN© — nooœommoN©Nd
n m n n oN O — O ©N — O O ©œ m œ m no m n n oO N O O NN O — — 00d — o d mo m m m «o m m n «
o n œ o o— o d m ©d m m o o— O O O dm d m o ©m n m o mn m n m oo « — o md o d m «m o œ — o
— dorn — — o d « ddNmoNdOommNN — © N N O PO O —ONcommdmoNinincoNmomomcoodooomNcoo — —0©NNiOONN«domrooo-N«ddoomm — NNro — odomNinNinN«o
NinoraroNCOdmoN — NNoinmmooodddodNNmomNomooNo«oONOO — O « O«m — © © O N Nm©Nmo — — œ© — omoN©No — NomNm^
— od mo NN —N N— œo «— dONm d
ra —N Om mN No m« œn m© mm œ« ©
m n© ©N N— N— OO «— o— om œO N
d m oo — mNOOo m m© « mmomm o dco iO rom m no m m
o — n o mm « o « dd © © N Nm m o n mn n « m o© m m n «n — d m od o n o oJt >Ti 04t— TO— o o « d
OdŒNNOddmoNPONinomm — ©NN«©NNOO«0«Ninoœ — m« — noNN — N«ONdjt — on — Nomm©iON© — o —ON«NNOd«m«o©mooo
m© od m m— O dd m oONmo « m« N No m Nn m d© o ©
n n — d d n m—©««omoo m n d — d om o — d m o nœ o o o d o o— œ — N N O Nd m — n n œ mN m O d N O No œ m o o o d— m o m ra o n
o Nd o— oN OONN Od o
o md mo mra n« oN COo m
■ — Nt m mr « m
n o — «m n o Nn œ n md o « ©© n — do o o om o n mn œ d oN m © mmo — o
o o m od N d mt- (O Jt Jt— t- 04 COd d o m« m o nd — m m» n m mo d — Nm n o N
d œo No mm no —o mœ od —o œm o
d m md O ©o m nn m m— n mo o —m n «NONd m mo d œ
NO«o Jt rod o mœ o m— œ mramod o ommoœ o nr- jt o
©N-m — Nm© — «— OPOd — NPO««0— m»— NNCO — CON —nn — momodN —«ooom — ooo««dmœm«N — ©« —«moN — t- Jt -ot- JtmN — ©n — ON©m«m«NNNOOONOON« — O CM © o m «
N o n mm d m oO ONOn m m on o m oCM O CM —m ra m mo o o «m d ra mNm o œ
o do mO No —O NO od Oo mra-ro—
o o— mo mo dN —o oN NCO Nm dN d
m o omNOOdNNOO— N NO — NmNON — ONOOd — —
— N N d mo n o m o— d d o mn m o n œm o o — mm o o o od n o m ©m m o © dd o n o m© N d O —
O NCM —m od mo NN od N— dn œ
N —© ©d o— mm o
o O O d N od o © o— dm m o © o —d O O N N Od- o m © N- NN — — N O dm m d o — nœ o d o — om m o m o oint— Jt m — n
N N N d— OONo d m od d m ©jt m n no œ m rao o — o© o © ©o o m nO d O d
— — O ©o m m nn œ N Nn oœ omoo dn — o ©o m d mn m o mONO ©n o m o
o o dmoo— TO04m — nNO©NONN O —d o —d N mm d o
NNOn © oo © dd o ©O N N© O Od O Oo m d— o oO — N
momm n nNNNm m mo n —OONmood m m© m Jt— — t-
N m© m© oo do o— NN ON Om mo o
o d o m mm — o © dœ o n m oo o m m no n m n oo m — o oo o m ra oo ra o n om m — n mm n o m ra
ONOcomoomraœ©ooONroNinod©œm — on© — t- romooNPO — m — o©NOO©ommN©mN — o — — omoommNN©OdN«omNOdomom©dNNGO-œoo — NN —mm — ONmo — do
ONN© — O — NOOom© — mmoo©NNOdmdNœoOdro — t-JtJtocoo-Jtr—cocMf © — d d © o mmom — «œ — m — nm — œomommœ —dNNmoo — ooorodo — moNNtnot— — od©oraœoN
— m —ON©© o œt— ro coONN00 d Nm n mN m dro — on m o
œooooodm©— © No © œt— cot-N m mNOOomom © ©
O N © N © N dt- O — Jt O* — Jtm o — o o d om m — m n m n— © n o d o —— t- 04t- O d —— — m — o o nN o d N © N o— o n N m m mra N — N o o o
m © n om — o dd o © mo o o om — o om n n oO N O dN — N dm n o otO^tOt-
m m œd o oo o d— o m— N NONON N —©dmoooOON
O —o od —N Om œn dd m— ©« d
oœraorammoddooodmoNNmoNcomco— n nn jt t— m —NNiOPOdO — Noo — omm — mt— 04 04 T- 04 Jt — JtNdOddNN©ONO — Ndroom — mooodm
t- Jt — N m PO O N d NdNNOomœmd©moœooomdo-— NP0Nmm©N — nNN — — N©©oom©NmommmdONommdO—Nddomroddmoomooo — dOooNomœomm — mN — OONO
n mrotom —d mN No od NN Om om o
O N N On o m on m m mm n m d©NNOO O © —o m n mo — m oo d m —© d d m
¿r m N N© o m —m o o mn © œ no — d om — œ o— d œ ©ONmoo m m oo d m o
oo — NON — ©N©momropnroN — nom n m m m n — m — m— mOOCONdCONNoraom — Nooraoo— moramoeodcoNNONommmmœo— dm — oNo — 04 JtdONNin — m o d —N — œ©N©o — œo
— œ — omNco — ©nm©mNN — rONNONdm — — N N O N —ONdONO — oœoooœmNOdONmdtno©m©ONOdmmNPONOooinomod — d©NinmNNinoNomodON— mmoomcoNON
— t— T— — — NON©NroNN — omoN — N— ©OOOOrONNNOOOOOd©NdNomoomod©o—mmmd — mmmo —oo©omNdP0dNœmdœomNONdoo — odo — oraoœo©Nm-ooNm
OO — ONOOdOOora — oradONO-Nflom — ooo — m —omoo — mdNmm04 ro — OOm — SCOTm — momm — NmommNin — rodNdinrammmdcDNOONrodrom — mNm©oNomoN — moNO
n mo o© oO Nd mo om nœ —o ocm —
raraoooNOd— ddNOOOOrOt'04Jt.t04JtJt— NNNNOOOmdmomoommNmino©rOdmdmom©dm©O©OOP0NOOdOOdindNmmoom — no
jt — mNoodNdOdmoNNmoommooNNOtnONffiN© —mmooN©©mn — doom — mdOONOOOOmmNOmom©d-0©d — — OO— o N © d O O d
O Nm mo oN Nn mN Om mm no oo m
n d
m nN NO dm no oœ nd —m o
œ nm oo om mo md N— m
m m— mœ m
o oo do —o on mNmœ om dn omd
© o© mo om —d mN ©O —O oo oo o
m nO NCD N
n ©o dm om o
m o d ram o — oo ra o raOONOd o N Nm N N oJtCOjtJto o d oN N O Oao Jt mro
© © — o om m o m on d © m oo n o o Nn — m — —o o ooon m — d nm o m m nm — œ o do n o — n
NOOm n —m o nn m m— — oN d om o no m nn m —n m m
t-r-as jtn © m nTOiA Jt in© d o mm m m nn o © m— o o —NO © Nm jtt-f-m n m o
o m d nm d o mra o d om ra m ot— t— — —n o n ran m m dJt 04t0 —o œ — mcm — m co
oramNNdcooOOmNONONdNNNOOOO—«©«—mmo©œo«tnNdmm©N©«m — NOo — moN« — dmmm — — no —NNONmm — mœ«nm — dN«
— NOOdPOONNcorON — ro t- t—m — orocoracoNN — NtON — OOOOPOPONrONNmNO — odmoon — omœ — nC0m©NNddNoorooooNOommooomN
o dm o— mn o— «« —N dN Nm o
o — rodONrnodOONrooorod«NONommN© — m«Nno — ©Nminoœm«o©n — omm«m— n©oo — dNinoNdoo — dmmoojrmN — d m o © n ©rONNONmrodrommm©dNONON—
m —d no No mONm nN —O NN O— N
oœ — OdinNdoooNinmd —on œmN Jt jt roœmmdmœœddmoNOoeoNo — ONm — © —Ninm — omoNNomm — o — ot- 0>i 04 t- O Jt 04 ^o œ o o n © — o
d — m n ocm m — O No m © d oO n o d d— m d © œcm o o œ —m o © © o© o m o nn m © o —n d n m ©
Jt Jt co — —O O O N dN O O O ©m m ra d md o n o —m m o n no « — o dm o d o nn n d © mn o d œ N
co o©ONmN © NN N dJt Jt rooomONN04t-<0o m —NN O
O O N N md — o m om o m m m— m — o oo o o m nm Nm omo n m m no © o N NN O — N Om m — o n
O — ONONm©d — ONONom— — — mommoomoœmNd-dNmomœNOO — NONOOinomomoinrONNOONOœCOdON©000©0t- — t— Jt 04040 —
m nN Oo oo oœ oo ©o —
— oN —n mn mœ nm nm n— mm dd —
©omm©œoo©©O — dd©0©NNOroroo*-04 — jt^omt-nooo©oooo©©dO©ON©OON— m — — Nm — mœoNmo —©o — NO©NONNOmrodOoOONON — NO©dddOdNOOOoo
mmomomoœoNNNrONm — omoodrOdON — omooooommroNoom— o — oo©noonœooNOtnNmoNmoOÔONNON©*-JtJttDJtJtiOtOO^NdN«N©momN©NOdomodom
— — md« — N«ONmmm — md — Nm«— ONd — — OONOommooommm©o©œpoNmmmodm© — o — ooo — dNNOdC0O©©©m©NNmoœmoœodoodo — omd —O — ONddNONN
podoooo — o — mONmmNoo — o —omomdmNoœmoo — — o jt m œ o omoNd©©o-dodOtn©mNP0o©oœoooocooNNmmmraraodONNooNddmoNdN—m m n — do — ONm
ooNooNodom —— oodinœmoddomooooNo — NNPONNONdCO — ora— — no — odroinroOd — OONCONOOooNommoinrodoom- coNcoinNinmra — NmmoNdmmNONUtO — — N — d
CO 004T- 04 ap- O ON NN© N O N PO d— o o d œ —o — © o o mm © d d o on m o m o oo n o d o No o n œ o mo o œ m — n
d o o oON— dm m d md m n —— NOOd O O Od n o mn — m —O NC0 NN O 00 O
Nmod O OtO—04N GO dm o dN Jtro— N —d o œo m raONN
© o — © on o m d mm o o m oo n m — do o — N NN o n m dn n© m —N O N — O© œ o n md o m N o
m oo d— om no mm mm o
NmraodoomooNOdNKlN — NNmNo©dm — mom —NNNOmNdOOOmmmNddN — ©oNdONdmœmom— ©©NOdinom —ONd©dm — d © oNdoo — mommroNON — OONrOOd
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
94 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
dNmmdoooNPOONPomopOd — ooNOdrodOOONdd©o©OdNNNu-tdNmoo — ommoOddNmON — 04 Jtjt 04 04 Jt iO — — momNcoo — m — mNooGONmNomoNOddooeoNmoNmom
mooo co No m œ— m mto Jt t—CO N —CO — O»ONco d —oom
mmoONmONmco t— ton o mm ono o rad o oONN© © N
o o o mco m © omomo— t— otroN N N NJt CO t- 04o o m dm n o ocm n m —m — © œ
oNPomoom — omN©m©«« — mdmjt — Nooomo««OONON— — NdOON« — NNinNiOdO©NO — — lOdNONNOOONONNOmoroNin — omdomNmoNN — m — — onn-mooNorao
o d œm © oN © ONOOOOOm n m©NON m nd œ ommm
— d o œ nn o o N NN N © O No © o m nd N — O OO N O O Ora o d o ram ra m o mo — m o oœ œ o n m
o oONN NO d— mm mo mn mn oo œ
o n m N d o No m d o œ o oo m © o o n oo — o n m d oœ n m œ n o no m m — m o moo — — o o ©d d d n o o on — o m d — o— n d d © m —
Nomo m ©— ooO N do m —omoo — oN N —Jt mroONO
n o m NO d OOm n — oNON©o d m mOOO —© © © t—N n m oo m N N©moo
N o — m — oJtt- o o o —o o N m ra ©m n d d mdm d — d jt om d © n m n— d N CM O Nm © o o m oo — m m ra dn o o o m N
ONNo d ©d d mm n noddn m noomta Jt —Jt 04 Jtn n m
O O N Nm — o mco o — mm © o oo dm dm o — —d o n od n — —n o m mo o — N
ooo— o —04 00 04d m —OddmNOd — nd n mm co omoo
d «o mdmm —m om no No do mo m
co dt—r-o om oo —ooœ do om oo —
md o do m m mN O O O— 00 O —O — o dN © m mN N O ON O © ONO Ndd « mo
© om om —o o© oo om nooNNN O
o — m©dN — omon — NNœdrn — ©m— m©o — m — NoommooNd©moNmmo»©omo — do««««dOdmo« — ooNmm©d —orodd — NmmmoommdNddmNoooooddmram—
— ojt*-— mo ©N —m »n —
œ dn m© ora ra— oo mco mo md mra «
momm d ra© n «N © OONO00 — N«mmt— ro t—n n m© o o
Nmom m n«NO— — NN 00 «n oo ro00 N dœ m mNONn « m
mNm«oram«m«omN — coomN«ommmN«« — t— — mcodNdcodO — r- ro— ooN — œo«mmNmNooN — mmmN«©«ON«inONOONOmOdNOOOtn«tn«©ONinm«omooNO«orao
ra n o N— n « m« o d o— d d od — m «m ra n om ra o d«omoO — N Oo o o o
— N m n d —o o o — O 00n ra n m — —— n m o n oo n ra o n om m m o m mn o o n n mo ra m o n d04tOt—tOt—jtra d m o m ra
m d o nn o — com o ra o— o — Ncm m o om o o nt- 04 — —O N O Oto ao — mœ o o o
m o n o m nn m — — o oo d ra o d N— œ d « o mm n d o n ram n o m o ra— m o « m «o o o ra m nd N o o m —d œ d N o o
m©NmoradœooodindomNNNNO — mo— mmNONONmNddNodNco — dONinm —NdNOONdN— ©romoro — nodom — nodomm«mNNdo
n ©« «o oN m« mn mN —O «O NN O
N m N O «N o « m Nm o — — mCM O — O —m n © d mn o O d oJt t- C4TO —m d o m —o m d n oO O O N O
NomNC0 O04 — Jt— m «o o ©Jt Jt Om — oo o «momo d «
ON©NNN©ONOdroroNON — nooONON© — ONN —omd — inNoœoooramommod««O©«NONNmp0NONmNN©odd—O — ONm — NO — omOOONNOON—— oomm — do — d
o dN mm mn mn —d Oo —N OO NN O
modNdoo — — oNomm«mo — dm«oomNmmmd«o — ONfONinO — oN©d©©0 — NNino©omo«roNinin«NNN — omm — nONNdmmo — — dmNmoooom — «ON©o©OdNdd
ddNoN©mmooooNtn — omm©m©NinN — «mmomd©mN©N — ©mdd«mmdm©dONNdNNNOOOd—ro ott— — on «n mN— — m — d m o © m n«oNmmdddNOdoœ»-om — ©mo
n n — ra — o n m m o — om — ©ponooocm o o o o n d © m m — n n o m m n o o oONONN—n—o— doooNm—oomn d d m n n « m m © n « n n « o « « m m«nramdnoomn «o—©—mmmN«N « N 00 — N — 00 N N N « N © © O O tn O NmooN — OdOdd o « — o cm o m » o m— o — d o m o ro o n tot- — ©ddmo — ooomoomoN—n nn—ooonno©omdOdoooo — d NNOdOOONdm
n — om d od N Nn m mmoon © mo d —o d m— — md o m
©NOo © oOON© N —— 04 Jtm n dONmo — ©mom04CDt—
m o © m— do mn œ N No m © nOONOo o m o_ _ r*- oo N d dd d m mm o N m
œ nm od mo oo —— oo dœ —© —O N
odONONmmJT — NOONPONm — mmmmooon — — o — mo— N-OOdOOONœONdONNN©NNON©mdNino — ©Nmoo©©dO©—roN — mdNdN
mm©© — odNmo— Nommmddo —— NoœcoN — Nmom — moooNNooN04 t— — NONOOOOomom — — m — ommoomraomdoraooomoooNO—dmoommomdoinommmNomN©
04 Jt — oomNino©moomNNm — noommomoNinNo©NNdin — om — nNrONN©© — CO Jt Jtmmraooo — Nmoom — n n Jt Jt t—ro oJt Jt — NOOOONOora — raooooooo — orad — Nom —
o o m o m —o n o — o o oo d m n « n mm n — m « — —m o m m n m mo o — m — « no m m d m m dm m ra d « o —o œ n o m d od o o « d o o
d o d No m o nd — o oo o m nn o m oONONo o o mo ra m mO — O N— m o ©
ommm © nd o mNomo © mm ra mm n raO — dn m d© m ©
ommm m no — oooo— oo oN O —NONdNOm o n— rao
NOdn m rao ra no d mo « ra« lO d« « mmdmoomNON
N O — O Oin jt m o œCM O — 00 Ot- ^ Jt Jt \nm — m n dm d o ra Jt© m m © on o m m nm o o n mo ONm N
N o m O NOdN N.Nn œ m n oo n o © on n m m —— o o m n« © d n m© m m m oo © © m «d m m m d
on — — oinmrnroNrONO — «o— OONincONdO©NOPOdONCO— N O O © O N Nd®N — mNOd— m« — m — Nd— NNOiONN —doood©omoNNdmod-«
o ©œ mo ©d Nm om —n mn mm o
o n — m— — n ©o — o od o m do m o nd d o nONmom m d nd o N N— d mN
« m o —omoom o n nmmoon n d oo mN Nm o — n— ONOo n m —m n m n
— »— oo m— om n© Nd NO Nn m
m n «N N —N N dN in N© o —NON« « ON dONNN— mm
ro t- roN N «© N mN — ©tOOttOmm©O d —« © m©mmmoo
o « m —d m n «m « m «n o o racm — o oo o m nm n o Nt— — TO 04«ramoT-tOJtifí
— md or- —d «m —m dm «d mm do o
« o m— dmd — m« © «— m «n n mjt Jtt-m n oOON— m n
— m — n oN d n N mm m m ra od m m — oo m m o no o m o mo m n œ mO N — O Om o m o o— m — oo m
om — dd — no — ooooNN — oooomra— ra«NoocoNdm©ONomoomoodNOmN — NdN©no — «m«©©omm©d«moNoœ—oin««oorOd«ddmood — ©m©©T—04TOT— — corOjtJtro
mommNO— m om — ©© N N— « dNOOO © ©oooO O d
©ONNm d © nm d d n©OddNOO©omm —o n o md d d o— ommo d d m
ooo— d ommoo o œo m nd o mooo
OOONrOO — NPONdNomo© — mNOmoNdo©raoodminNora — mNNOoindooroNro — — t—mdmod©om©—©dom©m — OON©oopooponnn —NooodNomomo«d — ONdm©m
d ©o dn md oo ©o Jt
— NO No d
i d d> d or N o
N m —© m —© n md NNmmoOONJttOt-N © dmNONOO
n m nd o raONOO — N— — t-o O om œ raJtCOt-N « —o m n
d o m n — dd n n œ o dO N d — N Oo — m o m o—Nmmmom « o m m nm m n o m nm d « o — od « « m m om d m m n o
m m m œ o — dJt 04 Jt Jt Jt 04 Oœ œ m m m m —m m « o d n —n m — o d m no « n o m — on « m © m n —m m o m © — n« d o o « d no m « m o « «
« dd n« mN ©— od ©o od O© d
N d — o mm © © o ©CO « « N No — n — mm o n m œn « o « do o o n raro m d « —m m m n nO — O N O
N NN —O JtN —— OO ©© m© —
© mo ©o mo orot-eo N— NN N— NN N
o © d o oOONONo m — — oO O O N ON m d o n— m o n do d © m oN © O — Nm d o o ©O O N © O
ro — tnNmot— rotoTO Jt04oooNmoNNN— — ©O — —©NO
ooœNOddOo — orONmoNNNOOdNN—NNNOO — m —doo — om©ot- 04 t—t- ao t-t— —om©NNm©dddmo — minmONO — d — ONNoooraoN—
NOdN — — 03N — ON««oodmmomNoNo©in© — om —©N©om — d o © —N«00©d©NO—N«©o — oo«md— NdfOin — dinmdCONGO — — NmNOdONN©NNiOOO©OOONONd — ©©
d o ©dNO— Nmomdo — ranonœ n n04Jt —m m nONN
ra o o o d — rad n o m o — d— ra n o o o rao n n m o d mm o o n n o mm n o © © o rao n n n m — No d — — o d mn — m d m — mo m n o © n —
m no Nn m© —m d© ©n mo o— «N N
N OO ©N dO ©m mm mm œo —d dm m
o o dON«© O O©mm— o mn m nmmon m d— o «— — CM
O Nm oN do mo —o m— oo rao rao o
o m m — d— mmoo— n ra n om o « o rammom©m d o m mo m « « n— ©mmon « n œ m— n m o N
n mN ©d do o« «N —m «m N« oo ©
— N d oN O © Nn N « mo © — od « m «n d n mn d o doom«— d « N©©NO
d©mddPONN — N«NOdmœmoNro— o d o d m — o — «om — oo — — — moOOONON©ONNmo©ONdmdooNPONN — dPOOdOO©©ONP0P0d©NONO — NN — NONN©inmoroN©roin
inOPO©NNNPONNd«P0Nd«o««mOPON — N PO O N d OONin«o — ONomm — rot-^jttojtoroOOdd©dOd n —n« — m — o©oœ«NNNfOONNin« —ONm — d © O N N NjT o — Nm«©«© —
m ©« ooom mm «© oN dJt Nm mo m
o m ©d « ©© N NtO N No d «« « —o m «« œ nooo» © —
o d d — Njt « jt o œ« n n d md m n — «d n o N Nd o n o md d m o mo œ n « mm « © m mm N N N o
Nm — ONmm — Ndt-t-04t0-tOjtJt — ro©mNOmomœmd— n — o©modmo«©« — m — mN«NNO«raN00G0d — «om — — mo«o«NomodraNdN— mdNrOOOPO — CD jt t-omom — — oodo
n o —ooo04O Jt© n mo « od « «omdo — ©n œ ©« — m
N — Jt Jt o© d m o oo n o N dn © n m dN N N d Nd — m o —d © o m oo o n m omomo —m o n — o
o oo —© ©m œo dN dN O— Oco o— m
n mo Nd oN —N OO NO NO N
n m© NO Om o© dm oo od o
— ON©mo — d— ©orONO — N— dmomNdOm — romcodONm — N PO O N N NoomoNomoo©ooo — oooo — pon — moo n ra n — moodroraooN©N
m d oo n —— m oON©Nmod o mo m ©o m n©mmNOO
co ro ro Jt mm m o d dn — m d No o — œ oo n o N No n m o ot tn Jt ao Jtœ o n o od n d m mm d d m o
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF X TO 100,000 DECIMALS 95
m n d « dra d — o Nm « d — nn m « o —o m m ooo © — © Ncm o m © œn d « o N— jt t— — Jt— N d — «
ooo««O O « o dm « m m ©n N o d ©N d o « m©oom«t— to r—t-T-« m — m —— œ o m otot- — d «
m oood mn mN ©d «N «« d« mm N
— mn oN «N Om oo mm om n
d « NN d oo © œo m —© « NoooONNo œ od o —œ o m
— n «momdNONNNN « ©« d O— « om d od n mOdN
o — — m — ONOmoCOONOON— O©©ON©Nmd — dOmrONNininNOd«nn — ©momdoonnngonnon- m©mm«mm — nnpoo©domomoodNin»«in©m — — —dN — œ — o o d d —
m © m no d o No n d dn n © m© o © —O © N Nd — n md © © om — n ©d N O N
œ — oœ © njt Jtt-tO Jt toNNNm m njt r— t-O d —— ONN d O
ooo— JT NCO — Oo © m— © oO d «d ra Noomn m mNmo
m r— d— Nco oO do —d —— O— NN d
— mN Nn m
o mra ora od d— dN d— O— ON dN O
N N00 Nœ œN NN Om oœ mra o
N N
N Nm NOO© mo mn d© oo mm mo œ
— mn mra no md nN Nra ©œ mn mn —
ra n m d
m d o o — —m d n œ n mo jt jt — « mco o ra m o nm — — d o —o œ N d N NO d — O — «m d d — n «œ m m n ra dN n o n n —
m — œo « mON«Nmoo ra coNNNm — ooNmon œ —ra o o
m m oom o —o n coN d NN — No — omomONOoommom
œ m œomm— N «d o œoooOddm o —NNO— m oo n ro
o o —© m om n njt — rooood CO Njt o m— NO— Jt CDm o N
n roO JtJt om oN do oo o
o ©m oœ —m md œd O
O N© NN —o oo mn mn oœ d
o d o m
o m ra on o o Nm ra o m©momm n d od n © oo n o oo m o dn n m ©cm o o o
o © n —n m — o© œ m mo — n oO N O Ommm©© — mm— NONm n m jtm n m ©
Nomjt — ^NomONNoooOONm © mdNO© o oo œ d
mNOm d dm m ©mooNOOm d om m do n —00 Jt t-N O O
ONNo m —— NOn m mm — o— NOONNm o drO in mJt Jt —
— o oo d oNOOoomoomm ra mn m nn m mra d om — m
o d © m
œ n m m— n m mm . ■ com o — oO NN No o — m© © — dd oo o
œ no —ra —n mN ON mo mn œ© ©o m
m n© Nd oo ©© oo om n© «— Nn d
mom© n mOdNn « m© m œor- Jt« N Nn o —d — ooom
m o nd m nN d NN — —mooN m no N dd o mdm©o « —
roinN — jt jt — NOdN«00»-dNN — —ON©P0NN« — 04 Jt— o — ©moo©N©COCO — dOOcON« — «m — ra — «PONdcoinmoNONO — ONmommm — dN«o —NO«0 — «NC0O«ommm — raoNOo
NOCONN — «ONdo — mœ« — NN«dmo — — — dPONPOONd«o — NOdininramN — «m«m»domoNNdOONddm — «dooo««oNONCONOOOmd— O — NNPOPO — NOoraœmm — onpo»
d d— om mm nm mN Nm no Nm no o
o —m coo Nm oo dm om —
o d o© œ od n moommm©oood m mm o —— — o© © N
t— ̂ t-© d ©© — m© N N© o d— N NON«jt œ nmNO— ^t-
« m m nN O PO N— O O o« © © ©•otor—jtm n n mo — o m— o « œo ra o om o n o
n m ro —d co O dn m N OO — O Nm o d o© o — ©d m © md O N oO O N No o © —
ra mN —o mo Nd on mra mra oo mo m
mNroNdmoomoommcoNN — n — — oOd — Ncoomdo —NNmNdO — in n mONOONd — ©omONONoom©mNmNcoœmoommoONONdPO — ONO— O — 0©N — Jt — O— ©mmoo — NNN
dOdN — Nm — m©— NNNOdONOmmNONNNNŒOmPONNOin — ©NlON— — omodNdPomo — m©œ©o — mddN — omo — om©dNONN — dNomdmONOjT©ONOmm — ©ddinoœd
mooo- moooNinoramoraoraoNmmraoroooo — onoooommod-o«do — dm — raoooG0OONNON««No — moom — ooo— moraocomra — —inNOd — NooradminNcoN — omd —
OOOOONONPON«mNm«dNN — ndroNo — NinomodinNoroNommoNodo«m — — NGO«« — NmoNooddOOOONN — NOoooraNNdNdmNo«mNinroNd —pON©NNm — omo
o o dd © «— cm —— d Ooomd m noood o o— oram n m
o — oN — —n o mON —NOOOOONmoO CONmoooom
d o codNOra m nmoooraocm d —oomd d m— m —ooo
o o n m— ora —d N N NN o » mmomod — o N— o m ©n m o m© — ON©mm©
o om mn om mn —o —m do rao rao d
n d — m no m m o mo N o ra mO N O N O^ ro o r— t—o o m o nm — o co mn d d œ raO N ©N O— n o d d
o oo mn o© o© ©— «« ©œ nm o— «
n m ra« « Nmomo m ©n « mo « ©ra co ©m d om r CM«mm
— o — o mn d o o mm d o oo dm m ra co oco o d « mo © d m mco o — — mm o co m mœ « n — oo m o o o
dONioN — oorocoOOddNNNinONNNNOomOdOONCOiONO — N — NONoodooommNd —mm« — ooomo«ONin«N«m« — n— oooodcocoomn — ommo — eoNin«Nmdmmd — om
Nooo — om — ONOOC0N©ONdNinnn — NdNmoin©PONOOOinoœdOnopojtn-on m —ONN — NmO — NN© — dNO — OON —droN — © — dNNddNinNinomd««©NdroNNroNind
n mO dœ œN N
— Nm oo mm ora œ
ONmd m radNO— o —00 N Odmdmoooradro ro t—— N m
omdd o oCO — N00 O OoooNmo— NO— NO© — mo © ra
n mO No mra nra on dm om dm n
» o o m om d d ra rad m jt o NO « N « O— d o o on — m m om o m o om o m n mo n — o Nm N N o o
— m o co mo m — o mdN N N —corot-otJtO O O N Nn n o m do « œ o mn n m — œo n n m Nn o m o o
mNroN«o — conoddinomN«©No©NNONmo — mmmoo«N©«o««— — œ©mœ«NON— ©oooddmoo— Nd©mmmmoNdroo — o o m n — mNd — rOONPO — ooommmdommom
o n n n © mn m d o o do o m m o od m o — o —m n o o N Nd o o m o oN N N O N Nn m — n — mm m o n o od n o — ra N
o oO NO dO Nm do oN Nd OO N
N O— mo oN —
o —m —NNo d
mOON©NO©N©o — no«« — œo —m — oo — oooooomm — mdNN©Nd — omdNdOd©©omo — mmd — o— OdmNONO — oon — mm©NN — œNOOmO — dNONOdOONNOd«m
N — dNrooNPO«inNinodNONNOinOON«N©NNincONOrON«Nd00 — —mo — omdrooN«œommom — o — œ© O- N O N m — NNOom©ooomo — —oNtnodONinoœmmoooN — Nmo
© —— oO d© do o© œjt —jt œN O
d d NNo o m o— ONOo m n m04 t- Jt —©omoœ n © —o o o o— o m œ©OON
O O O O© d — —o o o dmmom© « o mn n d mo m n dNOOOo — — dm — m m
n od od —« No d— ©N dO o© NO ©
m mm mm mo mN «œ ©n mo N— od m
— ONNmoo m «N m m— d «omdo o d— o oo m nNom
m m m o mm n o n md © o o oN NN « No « — d m— — — N NN « d O Om N O N NJT » — « N— m o m n
o m m « mo © n m oNON — —© o « m mo m m m mo — m o —o d on od n œ n oO O d © NN m o d —
N N mo © moo-omoON —m — md n mo o œN Jtt-— t— m
m m o © m —© m o n n mJtt-COO't-Jto — o o ro dO N O O O O« m — « © mm n « o œ mm m o — m ran m n o o ooo n — m n m
m m m raNOONo n n oo— d Nm . • No d N dN d m mra ra n œ— œ n ©n — o m
— o© oo oN N— m© mn œo od omm
— m© —m nN N— mo m— N— OO O© m
ON©moot- — jtjt roto© o o© m od m oNmoO OdNNN
n m o m dm d © o mo m m o mo m m n oot otto to Jto m o o do o n o —m o d m mo m m m d© — d o m
— ©NroommoONmraoNNom — ommdONOOONONCOmo— d — Ninmo —oPONNOomm— CDNON — dcoraoo — — — m —mdNNONinœ— moNNmmm
m — o mo m n mm © o nm o o n— o d m— ooom — o on d d oN o o mt- 04 — tO
œoo —o o © dn o m nœ © m nm m d od o m no m m dn © o —O « O —O O O N
m o —co o —OddN d OOM tO 04mmoNONd m nN m «OON
— mm— n mm œ n— jt O© n dm o ©n © ot—r-on — m© œ n
ro ot jtt— n d— mm© N ©d © ©— © No — mm n ©mNOoom
ONN— O —moraONOOdN— n ra« d ora n om d oooo
omdoooNdd — d«0 — ro ro— mN — «d©moomdo — — —NNOOd — mNN — dNN«POdoomd© — doNom — «NdmNœommNO—o — dOind — m
OddNmo^ — roJt Jt 04m o n© n mmoon — oNOdm o ©
o d n d —o n m — om d d n oONON©o d d d on m o d oo — — œ nN o d d mra o © o œo d m n —
m mN Nm oO Nm m© m— ©d om —
n oo mo o© N— md dONm oON— o
m nd —— mn mdmo©o md ©« od n
© N— ©o mro-
odm oo Nmm
ommnonm o nJt Jt coœ © —o © on © oao ot Jtoomo o d
© o m n om d m © on do mod © o œ o— o d d oTO 04 — — Jtn m o — mo o n o dm — n o om o o n m
mommmddOo©nn — m — oN — OOdNCOPO»n Ot N O — « N «mo — m — œo —©d©NO-ooNinrONPONN©mommo — ooNd — omoomNNNinNfOdm
dtn©mooo«o © m o œ — — mddo©oN — ««Nmo — n©oœo«oodmmœ — t— co co ot — —dN«mmm«mrot— — m©moN04 00 r- t— 04*- — ©o©d«od©m
« m— m«No mo m© oONo omN«N
omœmNNd« — m— jt o d n » — ©©oNinœdoinmmNOoo — N©om — mNOOOrOONN — ONNoom — o n m d md«©œ©dommNoNdN — Nmomo— ommdNO — dmœmN — int- jt t- — as
œmcodd — nnoo04 — oœoooœœm— NNmmdmommm — dmmNNdmomdooNNindtnon — NinmooNOdNOONOdd — ©oœ — n t-t-r>-1- ro co otod — owmmdONONNmmmoNoo
mNNNomoooomd — roNN — oo —omoNO — on — ot— — omN — nooorOONNin — NNON©NNO©NrOdinoooooo droroœo©ONNO©N««N— ddONOd©N —inœœdNdNOo —
jTONrodN«d— — NoominjTtno«omNdONoooomdrod— NNNdmo —ram«omommm—-Nm«moo«Od«Nmd«oNNmmmd«m — m o o m —
NmmNmNNmNomraoomNdinNdoo — n« « N N m N — mocoNN — raramraommooddroNN — momraON«dmdo—NONOdinN«omNm — ONN
N —— on ran mo mn raNN
O NN ON 00m mn raN N— N« Nm —
— — ONOdOdO«ddOO« — JTdON«mm — « — — ONmo — mm — «oomdN« — ddON©«o«ooo©moNNOmONONd — 04 — ONon — — d o m m « oomoNmmNd — dONommœœmm—
« n n mo « m o« o — m— « — Nommon o n mdco — NjT — N ON — O O— n m »
m n n n œ oJt Jt Jt 04 Ot Jt— N N 00 O Nm d N o o —ra — — m n no o m n o raO N N N O Om n o o n mn o m ra o dm n n m o o
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
96 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
©o —— ©
o Jt œo œ com m —d o o— o ©n © om œ od — œmooooo
m o nO No om mo oO NCO o
m n m mn d — N04 Jt 04\T\— oomœ m o on — — om d © om 04 ^ t—momon d — —
o om no No md nm do oN N
m —m on od NN Nd dm m
t- Jt 04t— coo d co m oo o o ra n— — cm Odm o « m «o o » m mo n m m do n « — mm o — N No œ o o m
> m n o n m «i m n n — « m) o m n d « n* — m m o n m» ra m o « m —r n n m o n m» m — n o — o) o m o Jt ra d• d o o o ro —» d m — o — o
o d mn œ oOONo d oO o dNmo— N —d m —momd o ra
m n œ nmmomm d n oo o o on m — œto — t- rom o n oœ m m œNONOd O N N
©do modra —to —Odœ œON— m»
© m œ — o om m o © — oo — n — m nn o n o — om œ o o m oo d no — oo o N © d —m o n — o no o o m N No o m — o n
moNmo — omONomo — m —om©dommddodooNindNN©mNP0OO— to Jt f— jt to — toNdo —o — — mNdomNmoNmod — ooo —rONPOd»NN»
ONNNO»» —OO O dOONm œ ©d m nmmmt- ro Jt
m
o d o — n d m© d n n o m m— — d m o o œm o © — o m oœ o n Jt m n ©œ n n o o œ no m m — n m dN m m o d o m— n d o — o œo — m o m d o
dinmroN©inm©mmNmmNNmoN©tnONiONrOOOONN — o©rodNO©tn©Nromoooo — omoNodoooNroNONmN — Nmoo««Nmm — — t- Jt cono. m — ooo — moJt CO — WdNOOOjT
mo©«o — domo«NN© — ©NN«N— «moNN — oomNdmomomNdor— — — m « o o cm d mNminoNNPO©«m0©0 — NNNONNNOOONOdmmdN N m d N — 00 N.— —inramNNinœœo —
d N « — O— mmo©dN© o «n m n n —mo d — don o o ©o o œ m oro m — n mo o o m roo — d o ©
d œ n o —m « — n o«m n m œn o « N No do Jt Jto o m m o04 tot- cooto m o n —N N N N Oro Jt Jt ro Jt
n—do — © — œo — mooNomom©inrodO©roOdOd — mojtr-jt — noo —raoooddroNNcoœmmoodramo — NNNOdmod — d —œomooNONO
ra on mooo rad oNO
o om o— om do No oo mo —m m© —
o o —d o ora o om — œmomo m —m œ om o dCO 04 Jtn — o
© o o — oo m o d mm N N N NO N N N Nm ra n d —oooooo œ o — mommo —m n œ o n— o N Jt —
OONn — —— m nn m raNNNmommooOi Jt JtJt 04 Od o o
m m nro Jt ro— N No © NmNO— o mo — —co t- t-oooo m ©
œ md —d om o
m nm mo —o mra o— o— d— Om on —
N NN —O N— Ot—t-m mo —o m
OdN mm nON
— mrootn o— oNO
NNNNNPONOOinO— ON — OO00OOt—t— — Nom — orao«mNN«oora—draomNood«oœdNlONNdfOrOOdomraœooddino0»-N —NONOON«Jt — N — «OdOOjTmo — «N«modco
— NONrooommo— mmmood©dd«n œrommNN omOmCMJT — ©COCMrOjTNdo — — o m in d —oro co Jt — ©mo — oONONOONOOmoo — omo«««mON— O N O © N O <-o«modinroN — —
mmramdNmNooram — o«NNinrorojTNmm«dmrao — n«NNdPOrain« — d«m — — »NNNinocoomN — Npomcoinod — œmmdNOmdOOd—NWddOpONdON« — m— oONP0ooo«inora
mmNmoNoodo — Nm« — NGO— d«d«NrONo© — — dmminON«NOiON —NN«oinroNdmmoN — omd— N — O — ONOCM — N — ©O — OONm©NP0NN
m — oNd© — m— d — miON d©ONO — NOdOdONNo — dm— — NOdOOdmodinoœ — mn — omoo©©minuto- ©ommropONNOONNmm — ñoco —
— o moomo m —moom n ndNOmoom m nommm n ra
00 00 N n mœ m m d —m o o o mtot—jt — om n d m dm m — n om — n Jt oN « O « 00O d O NOo Jtro Jt Jt
œ nm nN —m nraoo oo m00 «n mm m
ONOm o no — rad m oomdnooo « —toro jtra — om d n
n — — m — o— co o m o —m o m n © mco cd t- ao jt rod — mdN om m m n « on m o © n om m n o n nJt O N © — —m d N N — O
N O©dN O
m —ra —d mON
m nd N— mcm —m mo oo —
t- t- Jtn m dd O Om o —m d d« m —mooo m nra n —o o —
n œ — nm n o NNNNOd CO O No o m on n m «t- 0404 Jt©ONmm o o m© « — «
o — — «m n o Nm n n mm o jt on n o —N N d Oo « o mN — © —n m « rara « o m
m d © ram d m mm d N dm — « «o d m mo o o o— m m dm o n dN N O O— N — m
n ra d rao o m nm o — dO N d NO O O Nm d « m— omot- Jt tO CDt- TOTO Jtm N N O
O O O NO « N Nm m m dn — o mm « © om o o mo m © n© d O Nt— to 00 oONN —
m d ra moood œ mn d oo œ nmomNOdONNomd— — m
d m« Nn d« m— md ram om ©— —m o
d om n— h-m oo Nn »N Nm od —O o
— NNNN OO On mo o
m dœ nN Od nm od d— Nm mœ o
m d d oNciNindNO«m m n ©cm — m o— omoN — o oN O — N— m o ©o © m d
n n m N NO N O © Nm œ © o nn n m o ©n m n m nN © O N —«NNNO— n œ m œn d o m do n o m m
m d — —d d œ jtm o n —n o m mm o N Njt m n «n m d m« n © Nn © © do ^ — Jt
ONO©— «ONm n œ om o m mm © o nd n m om m m om n m —m — o ocm n © —
o m o do © m dm m o dN n n mo o o o— ommm© « —m n d ot— ao o m— t- a 04
« « d « N —d o o o œ on n m m n mjt o — o — mn o o m © mn o n o m «© o — o m œm d d o m mo n « o d —« « œ m — —
n n o — œm « m d m© d N O O« d n m nm n © n m— ©oomo o N d —o n m n dN © m o mm o m d o
jt rot- ot o —œ o © œ — mo d n o o No o o © m m© O — O O NN N o m — —— o © © o mo œ o o N Nao — ott— ^ od — — o o m
n — o o d— m d o NN d PON —œ o — o md m n m œNmoo©o œ n o ©do m •- —on m jt o© m n — o
O — dN — OONNO©NNinooœdONdromNdNdPONNo — — mooNNmoNNOm — ©NON©mo —m — mmdNON©OdNP0N — N©dmNoœ — dN — doœoNNmmo — oomm — «ocoNdN
d NNON —N O œra n «omoJt CD —— m nONmm n nooo
« n n mO N O Od — — —o o o oN N — ON N O On m œ mO O O Nm n œ oCM O N N
N O —O © —« d No m «œ n m© — Nomdtot-t—N N «roto Jt
«N«mNdN©©N«omooNOdœo— dddNNd — ponm m n m © — — ©momm — — NOd — onmN — d©o«d©dNOoNm©m — ©mo œ o — NOO — N —O — NNOOONNdo — dd«o«omm
© oo od o— om m« —d OO Nm nœ o
œ o ro o lm o <m d »d nd œn mO NO Oo o
m n noraod ra md m nJt — 00d — rao — m— m dm jt 04Jt d N
m m raO — Nd o mo d oONO— Jt JtONNOOOm n rod O ©
d © m o oN O O O Om m œ n oN N O © Oo d — N do m o n —— o o m jto n d o mN — o n mN d m n m
m no oo on œO NO N
— œN OO Oœ mo ©n «« Nm œo —o d
m o ra oro Jt — ott— O T— Oo d o mm m ra on ra m no m o mco n ra mommmo m o —
m o— No oo dd œco œm o
N O N N Nœ œ — o om — n m oo n m n m— — œ jt —m o m o on œ d m mm — m n od — m o oN o — d d
oomo — NinoroNomoNdoœ — onmoo — NNdm — nœodNOdm — onœ — mdmœmœo —m — mm«o — dodto o — © m o n m m moNœmmooNm©mœcoNONONmo— codo« — rao — —
©in n dd m n mo m o n— NNO— NNOm n n mm œ n oo © m m« o d «•-mora
m œd Nd O© Nn dN mN mm d© oo —
N o d momm«N —— mm n m m« m o œ«NNOn © m nn o œ «n m n ©d œ œ m
mNOro « com — oOdNra o nNNOm — jtœ n nd m om — m
n ra md n ra© — mO « Nm o no — om m d— o oO © 00— mm
©oooN JT Jtf—— N « N« d — o— NO«O N O Om m n m© o © ©O d o NOONO
— ©dN©moomNroto — mmjT©ONdd©Nom — o — — mœmommoNmramommooodomd— — ONOOOONNomd — NindmoNo — OO — NNdOm©O — ©flOPON — OON©OmOdd — ©N
o mo œo o— do m© od —d md no o
NOOO Jt Jtn Nmoro Jtomoom —« d n•— m o« omod-
om nNNNm o —n m nd — Jt.o « «NOdNdoNmon œ «
N N— oN Oo m— NN —m nN Ora «œ o
NmmramraooNooOONOOGONOOdNomœo«mN«oNmd«m« — o « —m — NNmommmm©© — d© — mmmoin«NNm«orodNooNdm — no — dmomooœoNooromo — r- m « n cm cm
N — ro jt ro — o © o momoNoœd — œoommoommomN— odo — — oooœdNmœommoœmONNNNœœmoœm — ommommNmomoNdmommd— Ndm — od — Odo — ©o — — — mNO
o N© oo N— oo ©m dn o
N d oCM O —d m o« N —ra n od o m— r- nd o —© m ©ONm
o o ©o m —o m ©o m no — o© N mn œ m— N NONmmoo
d oo mJt Nm no mœ oo Nra dd Nm m
o m jtoomo oo coN © NOdNo — oN — O— d Omm©o o ©
n — mn m no m ra— raran N raO <D romdmO N —P- 00 ©m o n
o o m nJt — o oo o o mCO 04 *— T—m © o md o — ©O N © OOONON N d Ocm in o —
o mo do mN —m od ©m ©m ©o nn ra
o mn dn mm do ©O N© No dd o— ©
N dm —d oo ra— o— mN Nn mn m
o m o —ONO©n m — mo n ra mn n m on o o md d— oN — O —o •- m ora o o o
m n n oONONO d O Od n — raao m ot —— oomn o ra od o — oCM O O OO N O O
n m — d m —o m œ m o om m — — © mco o © o ra no o o o © mn o o d © —d o n m n om m ra m o —N — m m o oœ o d d tnm
m om o« N— Nd od —oom mN O
O ©o om om on ra— om rao mo —
m doraN O— COoo —m mO NO ©
O do œd od NO No md oo do ra
o mO NN Oo m— oO No oN Nœ mo N
oraod m nTO O 04— CO CMNNOomod m m— m o©mmo © m
m œ n oo n m œOONOaor- — t-Jt 041- <DO d m nO O © No d d dd n o oON d N
ON —ONNoom00 - Nd m raNOOo ra noddO N —mora
mramoNomo-mNPOinraœo — ood— — N —mdN — doooooiAOdmomropON©m©N — Nmmmm©omomd—ON©—NNO — NOONO©NONPONino©©m — ommoo©oo — mdinmdo
m©ONm — — dm©ooœ — morod — ooooNmomo — ommNO«NOooin©ONoomommodN — — in o m o m nPOddNN — NPOON— — ooom — ooNoo©dom — NooraJt — O — rONinNPON
inocoœONNNOooooNra«N«o — ©mmdN moNdfo©NdmNO — NinNo— d©OOOdNOONNNNNOm — O —oooommNNcoNdPoraooN — mmoinNOd — oom — — raramcom — no — mo
o n n m o om o m n n oo o d o o oo o ra — m mm m o co n —m n — n o oo d o o « Njt n — ra — dn m n n m nm n o d « «
m o n o— o « oo — o oO O O JTo m ra md n m o
o ra o do m o do n © m
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 7T TO 100,000 DECIMALS 97
— tnoNtnoooom mNroodoooom odNdN — oo©m mmmoNoooNO to Jt co — NooomoocMmNmcMOdON moo — mmoNOOo N — mNONNmmm — 04 to jt — dN — do dOON — ooommo — ONNN — ocoo omoommN — on ooNNNNd — Nm n ro Jt r- o to 04 r— ©— o©N©oommNmo — — d©dOomo mNomomœNN— notno — do — ©o omN — o — nooo o — — o — moNN —r— — mo© — o — om ramo — ©dom — jt o — mN©NOoom mdOdommN — o o©NmmNNNomNmodd —— NNN ro N d d © N in n m © do — n m « n — «d d o « n « o d 00 d — NOdONOO — «om — NdONN — mm d«mmomom — m Nmdm — NOd«— mo©NNNm©m« «00 — «oNOd«©cocM — oodNinod no — ooNNmmo oom — mdramom NomooommON mo — Odm — m — mcom — nojt©- — m moomoNdNdN dmoNmNmoNo NmNdOOO — n© modddONONmr-cMN — ONmomm o© — o — ooomo NON©co©«NmN ©Noood — o©n n-Nmd«domN
mooocoNrommNO o — radmdmddo omNNm — — rONtn moooooNmN© N©©d — mdONmjf N- dNNro©oo ONm — dcoommo ^ to r— modoomm — — NramoNNrON mooomNmNOdjrmmooONO«d— no — dN — mN©« dmNN«©m— on dOdNO— ramNo momeo — m o m co ooomdNdNN — Jt mmoNmommrara om — NomNtndro ONOONNmNNm m«o«N-raora —rr> t- ro o co Jt — mdm NNN — momoom —Nm — mNmmNN — «mNmd — mN© roNONN«o©moo —— d —mmddo 000« — — n —o« Od —o© —©NdN © — © © o m n n n in m « d N 00 m o o « «omraoooNNom NNdOONOomo omoo© — non© n-oodNNmON ooONOom — mocMNNOON©dmo ON'mNmmmooo oo©dmddmm© NONOdm — no© mdmoom — m — dororoNroNod — n 00 — mmdmNmd m©d — Odd — ©m mmoodNinoN.* mN — NNOd — Nut— — NNO — m — Jt t- odNONrodO — o NNNod —oomo mmNm«©domd omorod©Nomm
NmodN©N — — o m — mdoooNNm non — ©ommdN NNOoommoom moooNmoNO©r^-coNomNdomo o — ONdONmom ©- ©Nmm©o©ra to co — — © — o — — m mN©o©dNomddo — noo — mdN m©ooddNN©N Ndo©mN — mmo omdNo — — noo — ©NmooomoNOON — œ — omo© omœoNmo- — o Nomoommdmo omommoNOON NNomNNmoomooomoodomm o — ©ooonopon moo — ©om©œo mo — n-ddomm oooddoomom
dN — NOOd^N©NooooommmdCO Jt Jt CO — N — — OOœ © ra — roNooooNOmomNdmNm
o — dNdNroN — ojt — ocoon — mpONjT — NCOdOGONOOocoommmomjTcomNmoN — om — nrONNOOOOffl© —omN — — mNooo— oo© — m©momONNODNinoONdCM O © — O — O O d O
n© — NONomo© o — m — 00 — doo — on»— om© — mm omomora©-m© — dNOoroNO — —NinNNoo — mom m — Noœommmd o»— — NmmN — do oNoœomo-om oœmoooN-«m— — œoooNooNNo o«©NNdN — n— ©oo-mœ«œNo oommodooœm — n — no«»— «mon m n d n n n m m o o — do©N©oo© © — n m o N o m N m NmoNNroNom© dNOOONO —o©— o © n n o m — om d © o © o d — — Nm ©d««mmNNON —N©dd««o — n oNN«mo — — — mmmN©Nooo«m «N«mNN««dm Jt t— md — o — Nmo nnoooo — mmo ©©NddOootM —raraoononmon —nm©ononmm mmmo©ono©o o — ma — ommoœ odNOddoo — d— oraNNNroN — — no — dNmo«ON rao — — ©NOm©m Nwmomoo- — m ooNm©mdmmNomm — NNcoo — ra mNOdmoraoo— n m — jt o Jt t- too 04 — — modom^-Nm n d d m — — no — oono©—«œ«—n ONOON©©©mo ONOo—ooood ©nmoommoon raon—raram©nm
t— ro — — ONo©Nro m^--o — NNddd omo — omNNmm m — Nom©moo— ©od — odo— omm o o d œ — n © o n mommodmmmm OdOONOd©mœ m ra — n n — o o o d domoN — odcoo©momo — mONO o m cm m œ o jt co o m in n ra N N 00 d N m mN — nn©©ooo mdONo©modNoomONm — 00N n — oooNmoNm ooNmmodO — o Nmoo — ©o — om dOd — omNmNNOdONmNorOdN Jt otro — o n n o © m ©moooodNON OddN — o — o œ o ddONmooNO©NNooNOdo — m d©dPOdomdOin NmœmmNNoom oomNo — onoo ooraommm-dNoNOd©NooNNm inco — oraoN-NN« odm©N — m — — m © — opoonooo— NOO©omdN©m— ©odm — o© — d ©o©oooNdtno o©m©dNmNOd d©d©mo — Nmm NœNmNom© — oramodooN — mN dNmomNdO — m —00 — mmmraram m o con — dmoN© raNNmNmdomNdOdNoodO©— o — o — NNONdo o — oo©mmNd© dO©mommooN oNœmmoodm—
— ramddNcooram ddNNmd©©oo onionnopopo- © oomra — ramocoN omoddNm — omco««NNomdmo t— — noo — © d m o o »NmooomNdN »Odo — — omdo NoomodooooCMO — oN©ooom Odm — m©Noo— mNNomdommo ©Ndomoomod «n — onn mNN t—oomNN — m m n d o t- m o m d d n m m — d d o o o 00 o d m ommd —ommom n m n m © — ooddmommoNNmm© nn- ««n o jt t— min o«inin«NOroNro dONNO — nono o — mmoddooo©NoodooNoo oraoompodoom n«oo — t— 04 o Jt o Jt ddom«d«mmo —Od — ddooNo-— NinroNflOoo — m oomNdON — ©d ONONONdomo o©ONOOdNmN oooooococomjTNdoomdN©Nmm © — - nnn©ooo dNd«om — — Nm ooNdmmNNNm co m o ra n m o d o ncm n o — œ o n © n o dONNOmo© —— — o n m n o m n o © n © o n m — — n«n Nd©o —— momoinNNdN©mNm— mooN©momd© ddomNN — mmm od — ooraramoo © n n n — on- © —
coNmmrammdcod dodomoddmo m — NoœdNoœœ mœoNNom©©m — NNdommraooooNm — mNmN— Od©NO©mo — o odm©om©omo ©dONdN-o — — —odmN — — nnnd©mdN — NdON mmNdN — — o©n omNœdmNodo ooodœoNoœNin t- o* — d o m n © o mdomomom — mo ooorao — 000m mm©mN n NmON mdommd — NmN — m o o n n o — ro 04ommNtnoN — no ddmm — mmodo d©m — — o©oom mNNOON© — ©m NoraNoomNNmtnNd — mommom on — o — mmmmo NmN — odNNOO« omoodNONOdO — moraoNdNmNdNmdddmmoN ooo»m — ©mm» dN© — N — momo N©NNom©moN momoood — — oo©Nd©mmNod mN« — OdN©d© «© — — nono©— mmNmo»dm — © —md — dommmoin n d d n o o o œ — Nomo©ommod ra d m m o o oo © © n d o o o n n m m n o m o o © d o © o m o©OdPONNNONO do«d —— m« —o — © o d m o — ©©n d —— — Nm —no« ro o m o n o o m n o
o m o n — n m o o doooraNOONmomraoNooraooomNmm — — oNdNONGOONOOraOdNoraooN — NONm— NmooNO» — —oooNm»dNdOo — — — m n m n o noomd»dOoo—
o —m» —dNNON d © o m m n n o d o — oo©NdONNo dmm©Odm©NO n n m d o m n © ra jtt- 01 o ro — eoNmmo NNNmoœ — m — — dONmNCONONO — morood — omm dmoooomraoommmNomooo— m n n o n » — mNO mNdmNON« — n m — ram©NNomN — mmNONmmm —NOdmNdœo tM»co NjTN©dmmd — d m — mooNinoo© mNO — œmNm — m NdmoNoommomommNNdocoN — ddomNmNmra NNmmradmoo— o — n©onocon— NmdraNmNONNcodNmdo — dmo ©©ommmmNN— — n — n o o o o n m Nm — o — d © © n d Od — o n d n o o n— no — odo — Od dmNoONdomo oom — nnnoo© odoodom — o© Noooraommommodmra- — omd NdNOmm — — ©— ©noo — o — — 00 o d © n — ̂ t— d — n cm ra o o m m m o m —oinmrON«raoNO ood«mNrammm Noommoomdo jt«n — o«rammm ©mo — ra m n o m oNONommœmdO ONOooomoo© nooo — ono — © omo» — Odomo oomoœoNOdN
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
98 DANIEL SHANKS AND JOHN W. WRENCH, JR.
dmN — dNO©od mddmmmoom— mm — ©Nommrao ©dmommmddd NommmNdmommmomoomooo oon — md — Nmm ©oomomoooo o — ommomoNN moNomd — omdOd — indNPO — od « — dONdNœoo m©N»o«dONN «omomNNmN© moNON — omNO— NN»mNO — »N »— N«N«OP0d« «OmOO«N«©m ONONmNNO©N œ««m©NNm«o© d — » d n « N ra o o — N n « o n oo m m o n N tn o n — NOd t—t-o4t-otoaojtt-co d o o n m o d n n n
o mo« — Jt ro O t— Jt *■* o — ra«ONmN — n «doON — omrao Ncoomrommdm© «n© — NNN««do — N«dtnmNd — — dNNOOom«NN NdNONroNomro Nom©«mr-moN oNmmo — om — oo N©N«©ooNmm —omm — mN — o© N©od««Nm«- ©oonnooonn —mNNN«©omdo dmœmmmd — «n do«NNNdON.o mmmoNNO«mm momoNNONN« o — mmœmmoNdm N©moodOdoo- NdOONOONm— oomo — cmcooon m — NNcomodom oraoNdmraœdoo
Nom — NOONNN NN©NroNoinN— OdmNo — oo — — d©NOd — o — mN NoomcoN — omo —roNdomminmo© mdOdONOood dooojrmoomm mdmmNoomm© — inp-ONinN©mo
Ö ©NœdooNNmd oomooNOONm ONmmmraoNcoo dNmNomommd odoommrammNH n d oo N — o m co o n — o o N « m n — « N m m n — n m ra « m d d — oddd — Jt Jt t— NNdmd — mddm
om«« —NONOo o««ommoo©d ooomNmodNO odmmom — dNrn n « n — — ra n n n oo © d « d in « n n o n mo« — n n in œ — d o © n o m n ra n n m m o m n d m o n o o n œ n ra o o n — n ©•- mœmmomN«oœ m — NmdNodmo dN«m^o©««N ©m«œmœmo«N no«©o-«NmNo OddNinin«© — — odm — dNmdNO NooœmNdN©— m©NoroN«dON ©m©NNN«ommo o — o©œmdmmN mN«N — mo«NN dON©©commp»-ra mo — omNdmm— t— — dNomNNOoo dinm — raooo — o «romNON nono «modmmomdN om«ONNcomo— NdNmNdm — mdo
ooNmmoodood moNomN —©mo mmoo — od©œ— dONNomodom m © — o o m — m — raom©dooommm oNoroNOOdNO raœdONoœ — — o o — orodrooroN— coNOdmmm — no
x n — oNONdorao mNmomoo©NO rojtroott—Jtot— — o pononnionoo— dOmoNONroœ —o d©Od©NNmdm mœ — o .m o » m m n o — m©od.— mm© mmoNNoœmdo dcomdONm — mcoce inroNmooNNind m — dON — on — o ONOOommraom oo©ddmNmoo doœooNNdmjru. oœmoNNmmoo © — Nm©om — mm dmo — oommoo no — mm — mmmd no — ommmNON
omdON»mmdN NomodmNomm om — o — d in o d n o r- — t— n o m œ n © m N m m r- jt o n o oNdroNdOOooN om —o©oono.o —mNmmmd-nn moodNONmm— mooNN©NdOdo© — dN©Noom œommoNoomoN om — nn — doom nnnnnnn — m— omooom — odNm©©dm—«odm —©mdN«N««N oN«moNoo«N non——moom© n—««Nom«No
dNNNNd — « — o NNdNONOdom moood — o—«© Nd — ONinoNN— m©«mNN — «mNo — dmoo — — t-^jt mN©mroN©«NO o©Ndoom©mo NoNN©momora ONomo — o — — oodœdoommom moœmm — oomo ©nn©n-n©on m — ommoNOdm moodNmoNONo n N d no © — d o œminooNdPOind d©mdNm — mo© ©oommraoooœ moooNmraomo— d t—t- o jt — d on ©rodOo»NOOd ooo»NOd —mm No»d —nooon — co t^- — o ott- — Jt roddinNo»mdm— m — »o — mo — om ommd — oo»o© NdmmdœmoNN m©oN©NONomooooooNdNO — N«mNONrnoN mo©©mmNd«m ©m«odmoNON no — «jrmracoomoodC0jTNO«NN « — oo — o«mNN o«mNN«omNm œmmdmom — no m — moo — mmmooo©n — «nono ©dd«o©dmNo « — «mmmmNdm d — o — nœnncoo mmNd«ommooNmdOomd — om Nom«NOOdmo dcodddm«©œd drnincoNinracoNO t—t— — jtt—otooocsi
N«dNdN©o©N Nmo©rararara«œ m — mo«dco«©N NmœmddNd — « Nd© — dmN©©ddmN©ONOdom modPON© — — nn «n — o Jt to t- ot 04 o* mm — oommNm© NNinmcodO««Nm«mNOdNN — o o — oœoooN©N dNomoNN©oo o — o — — odmm« ootoromt—r—jttot—Nm — — — ©dm — d ©«m — «OdmNm ©m©N — œmomœ co t— — œd — — omo mmommmmNmojt n N d n — « N © « NmodONOd- n no© —no©o©n m ra — m d m ra o ra d NNdN©©©Nd©— m — œmodOON o — m — dooNom o — o«roN©mdm dNONtno©N — d mN — ON©mo© —n — N««©mNNO ©dNmN«md — m moNmoNo©dN —dm©m©NNmN —m — N«doom««mdmoodmNm — o d d n o d « — o m d o m o o n m o « aojtot- « — m n © — œ oo n — d o o œ d ooommmoo — Odd racomomNoooom OdNNNO — d — m dmmmmoNNNm NNmo — ommooNoramdo — NOdm — to Jt Jt t— o — ©no mo — d co n o « © o ooœm«oo©N— ©«o©o«mmmd
no — NNom«N© NN«NOdOom© «««mo©oNO— ONd«0©dN«0 — moNorodNrooom© — © m n o © d NN««mmN« — © m — dN©« — Nmm «o©©«omo«N ocooram — dNN —oo — NoomdNo oomœoNdNoo ra — mmmN o jt t— n — oorammoo — ra œ — ©NmoN — mmNNomœomoom m n n in © n d — nn n n n m o ro m ra — — o o N d n œ m — Jt t— oNNONOooodm — m — mo — ddm mmd»NNoomeo odNdONomNm mN©dNdON©N NtndONPomd — oro — œ — ra œ ra ra o n —momNNmoom o d ra o o d n o o o t-— NNNNONNd nnooon — n — n— n — o m n o n ra — t- co jt ot 04 co — to Jt r- oooononoo— oommd© —mom o in n m n n d n n nn. cd o — m d o d — œ mN —NoooNNm dNONo —Noom o d n d d o n m m n — onn — m o d œ mra©mmo©ddN— NNmmdONOmN NNOd — omm — d omoNOdOooo mNmooN©ddNono — OdN — n— ooNmNmoNmm mm — ONm — moo oooNramoNNmm NONmN on onn
o —— © —— nn —o noo — — odmdo o n in n d œ o n n**- ©Nmmmmmmoo ooNmooo-dNdmoNomraoN©— ooomNNmom© mdN©mooom— oNmNOdmmNm ooomco«NmoooNONco«moNm dm«d«mo«Nm t— — © — ©OdNN d ommoN — omod Ndoo©©ooooO CM m CM o d CO O O ro m — Jt O CD O — NNN O N N N O d PO N O N dO©NN —NO«0 O d d N PO © N N © momooNN — coNmN ©NmNON — mœm o — o — moodONN n — noco — NNmm mraoNmNom — otoro — mraoNNOO dNmooooNNN o — n » d »m.o m jt «©NOd — mddo NOdmN jt t— x ot JtNoomN«m©Nd m©odm — o o n m —nono — — oœm — t- Jt — on- ©Nm o — omoo©©dNm © n o m © m m m o ooooooooon o n o © d o o m in o ono — œ d d m n n — o n o o o © © m dNNro©© — o © m o — n d m m o m m m o o œ © o d o n m d n NNNdd© — œo— m dN co d o o o m ooo©dN©©©dO —omdom«mm— «««m — d « o cm © dmNONOdm©© o©oNmm — n©n
NNNNœooN —d mdNomoœodN o o m m in © m d m o mmNo©©dd«o oNNd«©N«moco — «NœoNNom —n«-n — Ndoo « — dOodONOm oinNcorom — — mo — « — ©m — ono©oNNmoNin«NN ©m — mm©mNmm NoomoNdoœ« — Nmomm«mNo —«Ndmdmo — —— n n © m « ro o « œ NNd©©«Nmo— ©Ndommoœoo NommdmNœoN d©d©ONNmd«©dm —Nm«omo — o«NNdroNOd ©©m« —— o© —n omm — — © ra o in d «nonnooonon » m » o n m n « d mod»mœ —œ«œ «000 — «npono o«d«om — — ©— o«o — on© — — mmmmmoroNdinm n —mmommomm ©©odmjrooNd NNmoomoNN© — NOdro©d —nnom©NN — mom— ONm — ©Nom — n Nom«omNoom — dOmNmdmo© mmNrooœoNdmdmoNONOoœm dmmo—noo«o mdmom«—omd mN—modooom ©dnnm©mdnno o in œ m m d d o « No©d« — mmNo dN© — n m o d © n o«NNNdOo —œ oto — — © n m n o m
ommN«oœoN— «©dddON««N «do —momN«o — o d o o m d m d — ©oo«opon — d©ddo©©dmdmm o«d«mNo«m— No«ommNdNO mmoNOo©NNo ©moNmommNO— œœdmoNON© m« — oomooœm 000.0 d n n o m n d©o — dmmNoo œmNœ — — no«po©in — dNino—o — ONmodom©do dNdoooo — d — 00 — ddN — N — o dooo — N©«m«««NNdd©mod oodNdNœd — — mN©o — mo — od œoo — 00 — jt ro ro n — om — œœooNoœ©m — momoo — t— — — drooNdO œ — ooo©mdom Nmm — ro o co ro Jt Jt d — mocMo©Nd —ooNmN©oddm —oNd — oomNO modooodoo— mdm®mœom©o mo©NmommoNdmmomm — mom oNNoom — noo ooœo — ooNd« dd©Nmmw«m© dom©mmNomraoONcommom — n OddommraomN mooo — — n — — œ d©N — o — n — o© mNOoooo — © — noNmd©omom© o — mNmoNmNO momo — omoom ooNomoNdo- omdo — oomoN
o — oono — o — © ©dm©OdNOO© mm©m — oddNO oom©dmmomo mmdONomdorara — NdNcoNomm mmNNONNNmo ONinoNNrorocoin NNOdd — NOdN moNOodinNdr-dNmœmcoNmdm oNOONNNomœ NONONinramdN mdOdddOdOd coNraooN —000omoommodNO domommmdoo ora — Nmomomo NmœoroœNdNO no — dcomoodmoraora — o — NNd — — oodddoom om — momommm Nm 00 NNmmd— m — 000 — moom— — d — N d o o m N —oomdroNddm dNN — — roodom œomNdmNOPON omd- — o — n — raodmNd©—omm ono—oomno— —onmnmmnno ©NNomœodOo dm——od©Nmoomd-d — mmdo -oddONmmœm odOd — 0000m oo©mNO — o©d NmmoNm — moraomNOdooNNm — o — 0000 — — d coooo©nnono ©o©ramooooo ommoom — ro Jt co— mooN — rodNo o — ©n — raoomN racoNoocoNooN dNoroNmdoram ooroNONom — —
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use
CALCULATION OF 1T TO 100,000 DECIMALS 99
N N O OO « O —o d o om n n monn —n m « «m m — djtrot-t—n m m mn n o ra
Jt — 00roomomm© « Nd otro« m dpon N04— Om « oN « N
N d ommmd n —o m —m m coNO«o d oNONo m œNmm
— m oo o
o ra —t- o m
N No mm— Jt 04o o oo raom ra mo
m nO N
X OOO ——ce toroIL N —
œ n— oN Oo d
m ©d oNmœ oN Nm Nm oœ o— mo m
o mjtr-m oo om m
m —o o— oO Jt
O Jto om on —m nm mN N© —o —m m
d m m o o ©m m o o m o— o o o o mcm n o o d mn m m m o d— — Jtt-tO —— d N œ m oo — n d — od n jt œ Jt ooo « m o n n
o m — —oom©o o « dm ra o «o n o om o — mo — o oo o ra œo jt m mm — o o
N nN Nm oN Nd ©N Oo dm o
d œ m œn mœ n— œm ©o —QOd
i N ©> m d>n ra■ oo o■ m ra) N N• N Oi o œ
— d O ON N œ OO O O Oommo— O O d— oomNNNOO d O dm m n —m ra o m
«o©NO©dNro —m© — ommœoNNdNro — roNN© — NoommomNNOo©NdN — oo©oœo — NdOOooNmomeo — ra — ooœ —— doNdom©oo— n — m©oodN©mNONNin— NNN
o dm mo d*- oNOm Nn mo mm oON
O — Oo m -rod —NONONOd œ mooora o o— Odra m n
n o m o m mra d © ra n on o m n o N— N « © N CDCD « © m N —N m © — o om m m o n oo m © © — mo m n m — m— o m d o o
O NN OO ON dN dm ©O NO do oo —
ooo— rot-in o mn n «N « O© N Nd o m— to Jto « dd- o
t—t- — com m © ©nn d oon mNd n m m— NNOOON —o m N Nm m — dn m d m
œ mm oco No —— dO N— N© Oo mm©
NNOo d —m o —d o Nt— co rommmm o nno©jt — jtmmm
m m m — m— oomod d o co Nm d o o odNN© —m N o d mn d o m mn m m o —n m m — nCM O O O N
OiJtt-— N OPO O —O N dmood d oodm04 Jt OONmmom
o oo «d O« o© N©mON
d o m « mn o « d dm — d « mn m œ © dm — Jt © «m o © o —N N N N —© d tM d —— — oddm n o d —
N © — m —ro © o o oO o n n md m n n no o m m ©N N O N —d O d O —m © d N or» N-N N do mm n d
m — n œ mo o m n om m m n —m m o o nm « © o od © œ n m— n n o mn m o m mn o n mNO N N N —
o«Ncomdinoœino«ONcod«dmNm©om© — o m n omdPOOdONOdo— dd — omoraoNONNO — — doraojt ot — rONOinroNdO — omoCONONNmoNOO — mdN©mm — oroodoo —
o dN mra oo ora nd raN Oo om «d m
n m_- «n «o mo do CDn oo dCD 00N O
m om rao dm oo rao oo No N— oo œ
m o dm o ©NOOm n nO — N© m n— eoom m nomNdNN
omoNmoo m œ— o od ro oco © doo —t- — 04o m ©d — «
— moon n o ram n — nO — O N— mooo œ m nra d o dn n œ om N N No — m n
ra n o mo — m co— ON©o n m N© m m n00 O © NO CO N Nd œ o mroom©o m n o
ro mO NO Od —N NO Om oœ dd om o
m m— mo oo mN ON —O NJt 04N OO —
jt <o roo o rod o oO O jT— — rooooœ m nroomo n coooo
Nomm o —omoo ra nœ ra oCO ̂ 04to — —nn m— mmoom
N Ora md Nm od nN NO N
d N m nm N œ Jt— œooo m d oOONO— o o dd m m doomom m œ oN — O O
m mn ©m ram om ©N Nn mo mo Nd o
— m« dN «m m© md ©œ mm mo mo n
o « n œ Nn m d — «o « d © œjt tnto jt t-o — m pi no d n o dm o m n n© o n m mo m d n —jt m o — m
m O N N N— œ — œ ©o o m n mm ra n ra —o œ d œ ocm n © — mo Nmo mo m n m oo o o o «CO — « O N
m «d nn œm mO NCO —« dn md —— o
d dœ oo oO Nt-^m oo N© oo mn d
d o momNm © œNNOa> Jt Jtm o nm n —momd o mm — m
d nNdn o
o o© oo d
O N— NOd— mm ©œ om©œ ©m n
d ©d mo oO NO Om om nm on mN O
N o m Nn — m mcm o o mm m d mo o m mO N d O© d m mONNOo m — mo n o d
o —o m© oNN— N— mo ©n dd ©© d
tOt—t—JtN N O Od œ o nm d © No ro m nm m © no n o dd m n ©— m o nm o n o
N O © —N © O NN N — Nt—t- Jt —Odo —N N o mo o o oNOON— N — Oo ra o ra
— © m doomo— omm©NOOod o oo o — on o œ mo o o N©Nmom m n d
— — o d ©o m o n ©d © n m oœ d o œ —n m — d on n © m mm n n m œjt co — o ©o n o o m©©omo
m m n oro n m racm o — Nn o m Nm o m raomooOONON — N Om n o o— — o œ
m om nN Oo mo m— oN Nm nO NO N
m od mra od Nm —o mn mo oN —o m
oo m m on m œ oOONOra o m nO — N Nm n — do œ © dn m n do œ o dm n m n
o «m oo N
o oN NNOd Nn m© œ
m dn on dn do ra— md mo m— Nd m
o © m mo o — ommooo d m om n — nOONOd — — mn d n m— NOO— d m m
m co o oONONm n m coo m d mcm o — om n m om d o dro — o œ— o m —o n © N
m oN NN O— oN dm nN No oo oN O
d O — O Nm o n m ©— d m o ro— ro o ro no o © n mn m © — mo ro m m no — m m nm n © d on n — — —
Odmn m œœ m o— o oo œ mmooJt Jt 04m co œN © «m « d
m n N oomoojt o n dmmoom m m mO N O Oo d m nr— « m om n m «m m — n
n m m — —— n o m Nn n o o «o m — n —mN — œ no œ m m m— n œ m oo ro m o nm n — o om d n m o
o mO Nn mœ mo oo mN OJtf-d o— m
NOOm t- tnm — œ— m oomdmm«co ro tnmNOo n ro— jt m
o o —Nmom o nm n md d Nn n mm m —i— 04 cod o mo — m
N © mo n rod o mmoo— ramo — oro ro com — md m mooo
m o ra o o— o — o o— m d d do o n o mo o o o mN O O O —— N C0d —n o o — ram d m m d— n n o N
040 jt O Jtcm m o — dn d œ — oO — O N dCO © O N NO 00 N O No m © m ©m œ m — no N n d NN d o m d
© o ©ra m —m m —o jt ©N d oo o —OONO N dm o nm © o
— N Nm d —m m domoN « md m m— n mNOOON —n o m
© m m dm ra n oONNONOONommom jt m —m d o —o n ra NO O O CDo o m n
d©N« — ©«m — —œmN«NNdm — —N — N©«m«ONNdN — m — oodNmomoodo«N — o«inNN — indcoN —moNmoroNOd«— — N«OdNramraco — ooNdmomo»ooo — n — — NO —
n ro ro n mn m N N NN d © O Od m o m nn d d o «m o o n on n m © oo o — o do o o m md © moN
NONo d oONmm o nco 00 oo © ©NOO— 04I0mooooo
© —o mo mO Nm mn mo oNmro oO N
d o n o œo m o m oO © N N —— o o o m© o m n mo n n © m— ONNOm ra © m ©n m o m n— m œ o m
n o m o oo o o ra oo — o m oo o o m oo ra — o —m m n — mn m m © nO d O © No n © m —o d o m m
d o© oO N© ©
œ —o ra— oN O— O
oraomoot- to Jtm ro mONNm o nm o n— ONNO©— © m
© mn oo om no m— on om oo Nro m
O N O O — O© m m m n oro ro m — o dn n o n o o— n n ra N 00© œ œ n m —d d m m — —o — © o m md m œ o o on m m ra d d
m Jt o o — n md m o m d o om m n o © © —jt n ro o oo m Nm n d o m d nmN m d n — —© o o o n œ m— m o m n n œo n o co n o —ro o m m m — m
N Od N00 ON ON —N OONo mm do m
m o o m n om o ro — ro —n ra o m œ nm n — oo m nd œ o n m —O N d O — ON N N d N Om n ra ra — oo n d m n nro n o œ o m
m dœ on —d mn —d o— od dm mn d
o m œ œd d o —o d m oo d n dm o oo oNmooro o © d— n n mO m d —© o o ©
o mm oo om oo No —m o
o NO No —m on oN do —m odo© o
O N— NO Om nO NO No do mm mm n
d om no rom rad mN mco —o ©o NN N
O — N Nd © o dm o — ncm œ o ©o m © oo n n mn — m n— d o œjt o o raœ d o d
N dœ —m mo ©m oo ©o om om do —
o od om n— d— Nm om ©— mœ ©N N
ra œo mra do mn oN NO OO Om oo m
o — on — mNmon — mON©o m nNOO— 04 Jt— m od m m
m — o oNONON n m Nm © m mo n n mo m N Nm m o nd o n oJt — Jt CDo n o m
N m O N— o ro roN O O do o m do m © dN O d No n m rad m © no o — ra•—ooo
d m n nomooo d o N— oraoo — o oO — N Ot— CD CO Jtjt o jt œomo©© o© N
© N d©NOro — OOONm œ jtoooo m —NOONmNN © O
OOm — NNN — o —oo — odmdooradNCOinNNCO — NOdm»N — o d © m d— O©NNl0ONdNNdPONN© — OO —t-t-jtr-o404r—coaotoœ — — roNNcocoom©dOdooNd — œmmmmo — Ndm —
N — NmN — d©ooNmo — OdNON —orONNtnmoN© —ooœmNmmN©—N©NdNNOON©OdO©Nin — n©o©NNœmomoomo — oœooœomdoommNmmoNcoNOOrOdNiOdNO
roNONinmoNNini— dinN — dONcoN— — odom — t— co t—mroNNoœNNoin©NmmN — — odm«N — d — n-dOdNNWdOdOPOd —ddomdN©©m©mmo — oddooNo — o n m n o — mo
m nJt ©o mN No ©m mm n© oN OO O
m oo om jtco od oo— NO NN OO Om —
ONN© — oO © N— n œNO©— o ooooONON — OONO
m mn oN Nm om md no md —œ nm œ
ooo — Nmoo— N©om — 04 JttnoNcodmoo— N — OONNdN — mNinNNNoœommd — ommNoommmmomoNNNOdomNNinodmmoooomm
cm m o ©o m m d— omoNmoom o m mm m n oNOONCM O « O•—mmmcm m « «
— — « mcm o « «N N œ mN O — ON N ra 00momo— t- t- 04ra o œ do o ra Nd o « «
o ©« —m mm dn dm nN OO NO Nm o
O O O d N© n n œ mœ ro n d —m ro m m om n ro n on n m ra oOONONd O N O N
m N Jt — N
m nd dN NO dO Oo mN NO ©O dN m
«ooo04 Jt O COm « m oo o — oN O © Od m — No n m d©ooo— o d o« œ — n
N m— mm od ©o mn «© ©m n«N
« — moomd o dN © œooom n dNmoœ o mooomoo
o mo r-m om no dd —o o— o— No o
— © n n m— n d o mcm o o o oo o n d œn œ o m nm d o o oo o o o mONNO —n œ m o oo o d m n
o No on mœ mm dœ dn mn ©o om n
o o— o© N© Oœ nn m— d— o— m© o
© .œ om oO NO Om mr— mo «m om m
m œd —o dn —œ oONO No mm od ©
— jt m cot—o d o N Nn o o m N— o m ro —N o d d dN N r- N oN N © N ©m m m m nO O O d o© O N N N
m o o nd n o mO N — Od d noo œ o oN O N N— mNO— — m oNOONN N o m
Jt Jt JtONOd d COd dmm n nm r ©— NOJt CO Jtœoon n m
md — mNdœoNm— ©Nomœo — — —©mmmoNommoNdO — NN — OO —NOd — OONdNO0©mdOO — NNOm — odroœooinoOdOdNdONNdmmoooo — NNO— ooooomoom
o©mœmmmNNmt- Jt Jt o cot— Jt Jt Jt t—— NO — dONN©N— — mdOddNNO©oood — oomd-N — N — «—ONO —mm«oooooomN«omoNroNin —inomN — m — om —Nmod«rOd«od
m o m n m n m— n n © o d œN m o m d m œm n n n œ m nCO t- Ot— — Jt roo o n œ m m mn m — d n « —« d m m o — om n m œ n oo dJt 04 Jt — *-t— o
o — mœood o mdm«d « —o d ooom— ON— Nmro ra ra
License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use