ALGEBRA LINEALGRUPO 2
CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS
EJEMPLO:
POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ
Sea A ϵ Mnxn , p(λ) es la ecuación característica de A si y solo si:
P(λ)= det(λI-A) = det(A-λI)
Si A ϵ M2x2 → p(λ) = λ2 – tr (A)λ + det A
Si A ϵ M3x3 → p(λ) = λ3 – tr (A)t λ2 + (P11 + P22 + P33 ) λ - det A
CALCULO DEL POLINOMIO CARACTERISTICO
Se menciona la ley:
Si A ϵ Mnxn → p(λ) = (-λ)n – (-λ)n-1 tr (A)t + (-λ)n-2 tr2 (A) + (-λ)n-3 tr3 (A) + ……. λ0 det A
siendo tri (A) la suma de todos los menores de orden i que contienen en su diagonal principal, i elementos de la diagonal principal de A
GENERALIZANDO
POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ
ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ
DETERMINAR EL POLINOMIO Y LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA SIGUIENTE MATRIZ:
El polinomio característico viene dado por la expresión
Entonces, el polinomio característico viene dado por el determinante:
El cual es:
El polinomio característico es:
La ecuación característica es:
MULTIPLICIDAD
Si es el polinomio característico de grado n de la matriz A de orden n. El polinomio tiene n raíces (no necesariamente distintas), entonces se escribe:
1. Se llama multiplicidad algebraica del valor propio al número 2. Se llama multiplicidad geométrica del valor propio a la dimensión del
s.e.v.
Sea A una matriz simétrica Si u y v son vectores propios asociados al valor propio λ de A, si u+v es distinto a 0v entonces u+v es un vector propio asociado con λ
Si u es un vector propio asociado con el valor propio λ de A, ku, k distinto de 0 ku es un vector propio asociado a λ
A y At tienen los mismos valores propios Los vectores propios asociados a valores propios distintos de A son ortogonales
PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMETRICA RELACIONADO A VALORES Y VECTORES PROPIOS
Matrices semejantes tienen los mismos valores propios
A no es invertible si y solo si 0 es valor propio de A
A es diagonalizable su y solo si A tiene n vectores propios LI
Si A tiene n valores propios distintos A es diagonalizable