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Campo de un dipolo eléctrico
Determina (a) el campo eléctrico sobre el eje de x en un punto arbitrario x > a. (b) Calcula el límite del campo para x >> a.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]
( )
22
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 42 2 22
2
ˆ ˆ ˆ( ) ( )
2 2ˆ
ˆ2 24 4ˆ ˆ
1
kq kq x a x aE i i kqix a x a x a x a
x ax a x ax akqix a x a
kx qa iax axkqi kqixx a ax
x
⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥= − + = ⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦− + − + + +=
+ −
= = ≈⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎟⎣ ⎦ ⎜⎢ ⎥− ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜⎝ ⎠⎣ ⎦
( )3
ˆ22x
iqakE ≈
( )entonces
iaLdondeLqiaqiqapSea ,ˆ2,ˆ2ˆ2 ====
axparax
pkE 3
2≈
El vector p se conoce como momento dipolar eléctrico.
2 ˆdqE k rr
= ∫2 ˆdqdE k rr
=
Carga en una línea:
ddqddq λλ =∴=
Carga en una superficie:
dAdqdAdq σσ =∴=
Carga en un volumen:
dVdqdVdq ρρ =∴=
Campo eléctrico E sobre el eje de una varilla recta de largo L y carga lineal uniforme Q
x 0r x x= −
Campo eléctrico E en el eje de una carga anular (anillo)
( )
2 2 22
2 2
, ,dqdE k dq ds r z RrdsdE k
z R
= = λ = +
λ=+
Por simetría, los componentes perpendiculares cancelan.
dE⊥
dE
( ) ( )
( )
( )
1/22 2 2 2
2
3/22 2 0
3/22 2
cos
R
dE dE
ds zdE kz R z R
kzE dsz R
kzqEz R
π
= θ
λ=+ +λ=
+
=+
∫
i
Por simetría, los componentes en y cancelan.
2 , ,dqdE k dq ds ds rdr
= = λ = θ
2
3 3
33
cos
cos
cos sin
32 32
x
x
x
x
dE dE
rddE kr
k kE dr r
k kEr r
π π
ππ −−
= θ
λ θ= ⋅ θ
λ λ= θ θ = θ
⎛ ⎞λ λ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∫
Usamos ahora0
1,2 43
Qk
r
−λ = =π πε
2 2 20 0 0 0
1 1 1 3 0.83 0.83 ˆ3 2 24 4 4 43 3
xQ Q Q QdE E i
r r r rr
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⋅ = = ∴ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟π ππε πε πε πε⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Cuando el dipolo gira un ángulo dϑ, el campo realiza trabajo:
dUdpEddW −=−=−= θθθτ sinEl trabajo se almacena en forma de energía potencial:
0cossin UpEUdpEdU +−=∴+= θθθSi usamos U=0 para ϑ=90°, entonces U0=0 y
EppEU ⋅−=−= θcos