Download - Cap 1 Vectori Recap
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
1/12
1. VECTORI(RECAPITULARE)
1.1. VECTORI. EGALITATEA A DOI VECTORI.
ADUNAREA A DOI VECTORI
Segmentul orientat AB este segmentul [AB] pentru careA este origine iBeste vrf (extremitate).
Definiia 1. Mulimea tuturor segmentelor orientate care au aceeai lungime,aceeai direcie i acelai sens cu ale unui segment orientat se numetevector. Lungimea segmentului [
AB] se numete lungimea sau modulul
vectorului AB i se noteaz || AB ||; || AB || =AB.
Doi vectori u i v se numesc egali dac au aceeai lungime, direciei acelai sens i se noteaz u = v .
DreaptaAB numit dreapta suport, sau orice dreapt paralel cu dreapta
AB, definete direcia vectorului AB .
Sensul vectorului este indicat printr-o sgeat la unul dintre capetelesegmentului [AB].
Un vector este nul dac modulul su este nul i scriem:v = 0 || v || = v = 0.
Definiia 2. Doi vectori se numesc egali, dac au acelai modul, aceeaidirecie i acelai sens.
Orice vector i de modul 1 este unitar. Vectorul i de aceeai direcie
i acelai sens cu axa xx' constituie un vector unitar al acestei axe(fig. 1).
Definiia 3. Fie doi vectori. Numim sum a vectorilor a i b un vector
notat a +b , obinut astfel: A fiind un punct oarecare din spaiu se
construiesc vectorii AB = a i BC = b . Vectorul sum este vectorul
AC (fig. 2).
5
x xO
fig. 1
A
+
fig. 2B
C
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
2/12
Relaia lui Chasles. Pentru orice puncteA, M, B are loc relaia:
AM + MB = AB . Proprietile adunrii. Adunarea vectorilor are urmtoarele proprieti:1. Asociativitatea: pentru orice vectori u , v , w avem:
(u + v )+ w = u +( v + w ).2. Vectorul nul este element neutru pentru adunarea cu orice vector : u
u + 0 = 0 +u = u .
3. Orice vector nul u admite un opus unic notat u astfel nct:
u + ( u ) = (u ) + u = 0 .
4. Comutativitatea: pentru orice vectori u , v avem:u + v = v + u .
Mulimea vectorilor liberi are o structur de grup abelian mpreun cuadunarea vectorilor.
Raportul a doi vectori de aceeai direcie AB i CD este numrulreal k a crui valoare absolut este raportul modulelorAB i CD i alcrui semn este + sau dup cum AB i CD sunt de acelai sens saunu.
Raportul dintre un vector AB i un vector unitar u al unei axe deaceeai direcie xx' , reprezint msura algebric AB a vectorului
AB pe axa xx' .
Raportul a doi vectori paraleli este egal cu raportul msurilor loralgebrice pe orice ax de aceeai direcie.
Msura algebric a unui vector pe o ax este egal cu abscisa extremitiiminus abscisa originii sale.
Fiind dat vectorul AB i numrul real k 1, este un unic punct Mal
drepteiAB care mparte vectorul AB n raportul k, adic:
kMB
MA= MBkMA =
k
kba
k
kOBOAOM
=
=
11.
6
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
3/12
1.2. NMULIREA VECTORILOR CU UN SCALAR.DIVIZIUNE ARMONIC
Definiie. Vectorul u , unde R, este vectorul care are: modulul | | || u ||; aceeai direcie cu vectorul u ; sensul lui u , cnd > 0 i sens contrar lui u , cnd < 0.
Operaia care asociaz oricrui vector i oricrui numr real produsul lorse numete nmulirea vectorilor cu scalari.
Produsul u = 0, dac i numai dac = 0 sau a = 0 .nmulirea vectorilor cu scalari are urmtoarele proprieti:1. 0 = 0 i 0 u = 0 , (),R, () u .2. ( u ) = ( u ) = ( ) u , (),R, ()u .3. ( + ) u = u + u , (),R, ()u .4. (u + v ) = u + v , ()R, ()u , v .
Doi vectori care au aceeai direcie, fr a avea neaprat acelai modul iacelai sens, se numesc vectori coliniari.
Doi vectori u , v sunt coliniari dac i numai dac exist ,Rastfel nct u = v sau v = u .
Doi vectori care au aceeai direcie, spunem, c sunt necoliniari.Fie punctele oarecareA, B i C.1. DacA, B, Csunt coliniare, atunci vectorii AB i AC sunt coliniari.
2. Dac vectorii AB i AC sunt coliniari, atunci punctele A, B i Csunt coliniare.
3. PuncteleA, B, Csunt coliniare dac exist Rastfel nct AC =
AB .FieA, B, C, D patru puncte distincte:1. Dac dreptele AB i CD sunt paralele, atunci vectorii AB i CD
sunt coliniari.2. Dac vectorii AB i DC sunt coliniari, atunci dreptele AB i DC
sunt paralele.
7
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
4/12
Fie segmentul [AB] iMun punct pe acest segment pentru care kMB
AM= ,
adic: MBkAM = . De aici deducem:
+
+=
+
+=
k
kyyy
k
kxxx
BAM
BAM
1
1
1.4. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Definiie. Se numete produs scalar a doi vectori u , v numrul real dat deprodusul modulelor (lungimilor) celor doi vectori prin cosinusul unghiului pecare l formeaz.
Produsul scalar se noteaz prin: u v i avem:u v = ||u || || v || cos .
Produsul scalar al vectorului u prin el nsui este ptratul scalar u 2,deci u 2 = u u = u2, unde u = ||u ||.
n particular, ptratul scalar al unui vector unitar este egal cu 1:
|| i || = 1 i 2 = 1.
Produsul scalar a doi vectori unitari este egal cu cosinusul unghiului lor.
|| i || = 1 i || j || = 1 i j = cos .
Pentru ca doi vectori nenuli s aib produsul scalar nul, este necesar isuficient ca aceti vectori s fie ortogonali.
Teorem. Produsul scalar a doi vectori este egal cu produsul msuriloralgebrice ale unuia din vectori prin proiecia ortogonal a celuilalt pe el.
Dac nlocuim unul din vectori prin proiecia sa ortogonal pe suportulceluilalt, nu se schimb produsul scalar.
Msura algebric a proieciei ortogonale a unui vector pe o ax esteprodusul scalar dintre acest vector i vectorul unitar al axei.
Proprietile produsului scalar:
8
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
5/12
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
6/12
Rezolvare. Se tie c cele dou triunghiuri ABCiDEFau acelai centru degreutate. Fie acesta punctul G. Deci, avem: MCMBMA ++ = 3 MG , MFMEMD ++ = 3 MG ,
de unde rezult egalitatea cerut.2. Fie segmentul [AB] i pe el un punct M care-l mparte n raportul
kMB
AM= . Considernd un punct arbitrarO, s se arate c:
( )OBkOAk
OM ++
=
1
1.
Soluie. Avem relaiile:
AMOAOM += (1)
MBkAM = (2)
OMOBMB = (3)
Deci: MBkOAOM += = ( )OMOBkOA +
OBkOAkOM +=+ )1( ( )OBkOAk
OM ++
=
1
1.
3. Fiind dat un triunghi oarecare ABCn care notm cu O centrul cercului
circumscris i cu H ortocentrul su, s se arate c: OA+OB +OC =OH .
Rezolvare. FieD mijlocul laturile [BC] i Osimetricul lui O fa deBC. Se observ c:
OB +OC = 'OO = 2OD .
DarOD =2
1AH , deci 'OO = AH , adic
OAHOeste un paralelogram. De aici rezult c:
OA+ 'OO =OH sau innd seama c'OO =OB +OC rezult c OA+OB +OC =OH .
4. Fiind dat triunghiul ABC, condiia necesar i suficient ca G s fiecentrul de greutate al triunghiului este ca 0=++ GCGBGA . (1)
Rezolvare. Cum G este centrul de greutate, atunci:
0=++ GCGBGA , GPGBGA 2=+ i
=+=++ GCGPGCGBGA 2
10
A
fig. 5
M
O
B
B
fig. 7
A
C
G
NP
M
B
OC
O
D
H
A
fig. 6
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
7/12
= =++ GCGBGA )(2
12 0=+ GCGC .
Avem 0=++ GCGBGA i CGGBGA =+ . Dar GPGBGA 2=+
, prin urmare CG este coliniar cu GP , adic G este situat pe medianaCP. Analog se arat c G este pe mediana AM, deci G este punctul deconcuren al medianelor.
5. Fie ABC un paralelogram, M un punct pe (AB) distinct de A i B, Nproiecia lui Mpe (BC) paralel cu (AC),Pproiecia lui Npe (CD) paralelcu (BD) i Q proiecia luiPpe (DA) paralel cu (AC).
Care este proiecia lui Q pe (AB) paralel cu (BD)?Presupunei un rezultat i-l demonstrai.
Rezolvare. S presupunem c proiecia lui Qpe (AB) paralel cu (BD) esteMi s demon-strm aceast afirmaie. Pentru aceasta estesuficient s demonstrm c: (MQ) || (BD) sau
AD
AQ
AB
AM= ,MA iMB, deciMN,NP,
PQ, QM. Aadar, drepteleMN, NP, PQ, QM
sunt definite. CB
CN
AB
AM=
conform teoremei lui Thales,cci MN || AC. Dar, deoarece NP || BD, conform teoremei lui Thales avem
CD
CP
CB
CN= . Pe de alt parte PQ || AC, deci conform teoremei lui Thales
avemAD
AQ
CD
CP= . Prin urmare MQ || BD conform teoremei lui Thales i
deci proiecia lui Q peAB paralel cuBD esteM. Rezult cMNPQ este un
paralelogram.6. Dac G este centrul de greutate al triunghiului ABCiMeste un punctoarecare al planului triunghiului, s se demonstreze c
MA + MB + MC = 3 MG .
Rezolvare. Avem MA = MG+GA , MB = MG+GB
i MC = MG+GC . Adunnd aceste relaii membru
cu membru, obinem c MA + MB + MC =
11
fig. 8
NP
Q M
B
A
D
C
Bfig. 9
AM
C
G
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
8/12
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
9/12
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
10/12
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
11/12
-
7/28/2019 Cap 1 Vectori Recap
12/12
1. Care este condiia necesar i suficient pentru ca trei vectori a , b , c s formeze un triunghi?
2. PuncteleA(1, 2),B(2, 0), C(0, 1) sunt mijloacele laturilor unui triunghi.S se gseasc coordonatele vrfurilor.
3. Se d un paralelogramABCD i un punctMoarecare n spaiu. S se aflesuma MDMCMBMAs +++= .
4. Fiind dai vectorii a , b liniar independeni, care este condiia necesar
i suficient pentru ca vectorii u = a + b , v = a + b s fiecoliniari.
5. Fie urmtorii vectori din R3:1v (1, 0), 2v (0, 1), 3v (4, 2). S se
determine i astfel nct 3v = 1v + 2v .
16