Capıtulo 2.
Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
Uno de los movimientos mas significativos de la fısica de los semiconductores
en los ultimos cuarenta anos, ha sido la progresiva miniaturizacion de los
dispositivos electronicos. Esto ha conducido a un crecimiento exponencial de
la tecnologıa de la computacion; por otro lado, la oportunidad de fabricar
dispositivos con dimensiones caracterısticas inferiores a 1 µm ha llevado a las
investigaciones de un gran rango de nuevos fenomenos fısicos. En realidad,
estos nuevos fenomenos fısicos prometen dar lugar a una nueva generacion de
dispositivos que trabajan sobre principios fısicos completamente diferentes a
sus predecesores.
La importancia general de los sistemas cuanticos confinados y de los mate-
riales nanoestructurados ha sido ampliamente sugerida como el proceso clave
en el futuro de la nanotecnologıa y en diversos campos de interes relacionados
con muchas ciencias, entre los que se pueden mencionar la la farmaceutica,
la fısica, la electronica, las comunicaciones, la cibernetica, la cosmografıa, la
genetica, la biotecnologıa, la biologıa molecular, entre muchas otras.
29
30 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
En el presente capıtulo se veran las definiciones de sistema cuantico con-
finado y de materiales nanoestructurados, ası como la clasificacion de los ma-
teriales nanoestructurados o nanoestructuras. Tambien se estudiaran breve-
mente los estados electronicos en algunos sistemas cuasi-dimensionales sim-
ples, ası como sus propiedades fundamentales.
Tambien se estudiaran las principales herramientas utilizadas para estu-
diar el movimiento de electrones en un campo periodico perturbado, y su
aplicacion a los sistemas nanoestructurados. Uno de los metodos mas cono-
cidos, y universalmente utilizados es la aproximacion de la masa efectiva,
tambien conocida como aproximacion de la funcion envolvente.
El fundamento fısico de esta teorıa radica en sustituir el efecto del campo
periodico cristalino por un tensor de masa efectiva, cuyos elementos son de-
terminados por la estructura de banda no perturbada. Los componentes del
tensor de masa efectiva son medibles experimentalmente, y precisamente en
esto radica la importancia y la fuerza del metodo.
2.1 Sistemas cuanticos confinados y materiales nanoestructurados
En el sentido amplio, un sistema cuantico confinado, tambien llamado sis-
tema de baja dimensionalidad, es cualquier sistema cuantico en el cual los
portadores son libres de moverse solamente en dos, una o ninguna de las
tres direcciones espaciales. Estos sistemas pueden ser reales o ideales, y en
la direccion del confinamiento las dimensiones espaciales son del orden de
la longitud de onda de De Broglie de los portadores, cuyo movimiento esta
2.1. Sistemas cuanticos confinados y materiales nanoestructurados 31
cuantizado; a estas dimensiones se les conoce como escala cuantica.
Existen diversos metodos experimentales para obtener los sistemas cuan-
ticos confinados, o sea, para la reduccion de alguna(s) de las direcciones
espaciales a escala cuantica. Estos estan relacionados con la aplicacion de
algun tipo de campos o por limitar fronteras en la sıntesis de los materiales.
Por otro lado, los materiales nanoestructurados o nanoestructuras, son
sistemas cuanticos confinados reales, creados con materiales como semicon-
ductores, metales, dielectricos, magneticos, etc., en los cuales los estados de
los portadores (electrones, atomos, excitones, etc.) se ven afectados por la
reduccion a escala cuantica de las dimensiones espaciales.
2.1.1 Clasificacion de los materiales nanoestructurados
De aquı en adelante, consideraremos equivalente el uso de los terminos ma-
terial nanoestructurado y nanoestructura. Existen diversas formas de clasifi-
cacion de las nanoestructuras; la mas universal es considerando el numero de
direcciones en las que las partıculas o portadores pueden moverse libremente
(ver Figs. 2.1-2.3).
El espectro de energıa en la direccion espacial del confinamiento es siem-
pre discreto si la partıcula permanece totalmente confinada (barrera infinita
de potencial) o discreto y continuo si la partıcula permanece parcialmente
confinada (barrera finita de potencial).
Los sistemas cuasi-bidimensionales fueron los primeros en ser estudiados
e investigados; fueron llamados inicialmente sistemas de capas, debido a que
32 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
Fig. 2.1: Sistema cuantico cuasi-bidimensional (Pozo cuantico simple).
Fig. 2.2: Sistema cuantico cuasi-unidimensional (Alambre cuantico cilındrico).
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 33
Fig. 2.3: Sistema cuantico cuasi-cerodimensional (Punto cuantico esferico).
son obtenidos en ocasiones por heteroestructuras entre distintos materiales
como semiconductores polares, por ejemplo.
2.2 Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal
Aclaramos que lo ideal solo radica en que no consideramos el cambio de la
masa de los portadores al pasar de un material a otro en la interfase o frontera
de la heteroestructura1 .
2.2.1 Heteroestructura simple
Una heteroestructura simple es la region obtenida como producto de una
interfase (intercara) entre dos tipos diferentes de materiales, por ejemplo
dos semiconductores (ver Fig. 2.4). Consideraremos el movimiento de una
1Ver aproximacion de la masa efectiva.
34 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
partıcula en la direccion ez cerca de la interfase con un potencial de confi-
namiento de forma triangular de barrera o altura infinita.
Fig. 2.4: Heteroestructura simple.
Para el potencial de confinamiento, tenemos:
Vb(z) =
!""#
""$
F0z z > 0
# z $ 0(2.1)
en donde F0 = cte.. La funcion de onda del portador o partıcula en la
direccion ez satisface la ecuacion de Schrodinger
'""l (z) +
2µ
h2 [(l ! Vb(z)]'l(z) = 0. (2.2)
Si introducimos b = (2µF0/h2) y hacemos el cambio de variables
) = b1/3%z ! (l
F0
&, (2.3)
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 35
entonces la ecuacion de Schrodinger se transforma en
'd2
d)2! )
(
'l()) = 0, (2.4)
la cual reconocemos como la ecuacion diferencial de Airy [14]. La solucion
de esta ecuacion que cumple la condicion ' " 0 cuando ) " # es
'l()) = BlAi()), (2.5)
donde Ai()) son las funciones de Airy y Bl constantes de normalizacion de
la funcion de onda.
Para z = 0, ) " )0 = !b1/3(l/F0 < 0 la funcion de Airy presenta
oscilaciones y tiene ceros. Denotemos por )0l, l = 1, 2, 3, · · · a los ceros de las
funciones Ai()); entonces, los niveles de energıa estan dados por
(l =F0
b|)0l|. (2.6)
Ademas, integrando
) #
0'$l (z)'l(z)dz =
B2l
b
) #
!|"0l|[Ai())]2d), (2.7)
usando la bien conocida formula
)[Ai())]2d) = )[Ai())]2 ! [Ai"())]2, (2.8)
36 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
obtenemos
B2l =
b
[Ai"()0l)]2. (2.9)
2.2.2 Heteroestructura doble o pozo cuantico simple
Consideremos el movimiento unidimensional de una partıcula de masa µ
sometida al potencial
Vb(z) =
!""#
""$
0 |z| % L/2
!V0 |z| < L/2(2.10)
donde L es el ancho del pozo (ver Fig. 2.5).
Fig. 2.5: Perfil del potencial para un pozo cuantico simple.
2.2.2.1 Movimiento ligado
Para energıas ( tales que !V0 $ ( < 0, las soluciones clasicas consisten del
movimiento de una partıcula ligada en la region determinada entre ±L/2.
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 37
La partıcula nunca penetra la barrera debido a que ( $ 0 y a |z| > L/2
le corresponderıa una velocidad imaginaria, lo cual es inadmisible desde el
punto de vista de la mecanica clasica.
En el interior del pozo, la velocidad del portador es constante, e igual a
vz = ±*2
µ((+ V0). (2.11)
En las fronteras del pozo, el portador es perfectamente reflejado y su ve-
locidad cambia instantaneamente de ±|vz| a &|vz|. El movimiento clasico es
entonces periodico en el tiempo, con periodo T = 2L/|vz|.
Cualquier energıa ( % !V0 es permitida, i.e. puede ser asociada con un
movimiento posible.
El movimiento mecanico cuantico de una partıcula es descrito por una
funcion de onda '(z, t), la cual es solucion a la ecuacion de Schrodinger
dependiente del tiempo
ih*'
*t= H
+
z, pz =h
i
*
*z
,
', (2.12)
donde H es el Hamiltoniano que caracteriza el movimiento de la partıcula:
H =p2z2µ
+ Vb(z); (2.13)
38 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
puesto que H no depende explıcitamente del tiempo t, podemos escribir
'(z, t) = +(z)e!i#t/h, (2.14)
en donde +(z) satisface el problema de autovalores
H(z, pz)+(z) = (+(z), (2.15)
o, de forma mas explıcita,
-
! h2
2µ
d2
dz2+ Vb(z)
.
+(z) = (+(z). (2.16)
La funcion +(z) debe cumplir con las siguientes condiciones de contorno y
propiedades:
a) +(z) es continua en cualquier punto z.
b) Por integracion de la ultima ecuacion alrededor de cualquier punto z0,
y para el potencial especıfico del pozo rectangular, d+/dz es continua
en cualquier lugar.
c) limz%# |+(z)|2 es finito.
Debido a que Vb(z) es constante por secciones, se puede encontrar una
solucion exacta a (2.16). Para |z| < L/2 y |z| > L/2, +(z) es la combinacion
de dos ondas planas con vector de onda opuesto. En el interior del pozo esas
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 39
ondas se propagan y los vectores de onda caracterısticos son ±kw, donde
kw =
*2µ
h2 ((+ V0). (2.17)
Las ondas decaen fuera del pozo cuantico y entonces, el modulo de los vectores
de onda imaginarios asociados con la onda evanescente son
kb =
*
!2µ(
h2 . (2.18)
Notemos que Vb(z) es par en z. Entonces, la funcion de onda +(z) debe ser
escogida par o impar segun z. Teniendo en cuenta esta simetrıa, se puede
escribir +(z) como
+(z) = A cos kwz; ( = !V0 +h2k2
w
2µ(estados pares)
+(z) = A sin kwz; ( = !V0 +h2k2
w
2µ(estados impares) (2.19)
en el interior del pozo. Fuera del pozo, la forma de la funcion de onda es
+(z) = B exp/!kb
%z ! L
2
&0+ C exp
/kb
%z ! L
2
&0z % L
2
+(z) = D exp/!kb
%z +
L
2
&0+ E exp
/kb
%z +
L
2
&0z $ L
2.(2.20)
Sin embargo, puesto que |+(z)| debe ser no divergente cuando z " ±#,
necesitamos forzosamente que C = D = 0. Ademas, para estados pares,
B = E y para estados impares B = !E. Si aplicamos las condiciones de
40 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
contorno en z = L/2, se encuentra la energıa como solucion de las ecuaciones
trascendentes
kw tankwL
2= kb, (2.21)
para estados pares, y
kw cotkwL
2= kb (2.22)
para estados impares. Estas ecuaciones son satisfechas solamente para valores
discretos de la energıa (. Ası, en contraste con el espectro clasico continuo,
el espectro mecanico cuantico (( < 0) es discreto.
Fig. 2.6: Numero de estados ligados de un pozo cuantico simple como funcion del anchoL para (a) V0 = 224 meV, m!
e = 0.067 m0, (b) V0 = 150 meV, m!e = 0.4 m0.
Las Ecs. (2.21) y (2.22) solamente pueden ser resueltas numericamente.
Sin embargo, es sencillo demostrar algebraicamente [15] que al menos existe
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 41
un estado ligado para cualquier L, y que el numero de raıces es tal que
n(L) = 1 +
1
2*2µV0L2
,2h2
3
4 , (2.23)
en donde [x] denota la parte entera de x (Ver Fig. 2.6). Si el pozo se hace
infinitamente profundo, el numero de niveles se hace infinito, y la solucion a
las Ecs. (2.21) y (2.22) es simplemente
kwL = p,, p = 1, 2, 3, · · · (2.24)
y ası, con el cero de energıa coincidiendo con el fondo del pozo
(p =h2,2
2µL2p2, p % 1. (2.25)
Las funciones de onda normalizadas pares e impares para el pozo cuantico
de son
+2p+1(z) =
*2
Lcos
/(2p+ 1)
,z
L
0; |z| $ L
2; p % 0
+2p+2(z) =
*2
Lsin
/(2p+ 2)
,z
L
0; |z| $ L
2; p % 0 (2.26)
2.2.2.2 Movimiento no ligado
Para energias positivas, el movimiento clasico es no ligado. Un portador que
se mueve de izquierda a derecha de la Fig. 2.5 tiene una velocidad constante
42 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
hkb/µ en el lado izquierdo de la barrera. En z = !L/2 es acelerado in-
stantaneamente y se mueve transversal al pozo con una velocidad constante
igual a hkw/µ hasta alcanzar la interfase z = L/2 donde se desacelera in-
stantaneamente y finalmente escapa a z = +# con la velocidad constante
hkb/µ.
Un segundo movimiento clasico ocurre para la misma energıa: el portador
viene del lado derecho de la barrera y finalmente se escapa a z = !#. En
este movimiento las velocidades son opuestas a aquellas encontradas en la
descripcion anterior.
El movimiento mecanico cuantico es caracterizado por un espectro con-
tinuo de estados de energıa permitidos. Cada autovalor ( es doblemente de-
generado debido a que el movimiento del portador puede ocurrir de izquierda
a derecha del pozo cuantico, o viceversa. Los vectores de onda del portador
en el pozo y en la barrera son reales, correspondiendo en ambos casos a los
estados de propagacion
kb =
*2µ(
h2 , kw =
*2µ
h2 ((+ V0). (2.27)
Un electron, el cual choca a partir de z = !# sobre el pozo cuantico es
parcialmente reflejado y transmitido en la interfase z = !L/2. En el interior
del pozo, el autoestado es una combinacion de ondas planas caracterizada por
los vectores de onda ±kw. La incidencia de una onda con vector de onda !kw
es reflejada parcialmente en la segunda interfase z = +L/2. Para z > L/2 el
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 43
portador tambien es transmitido parcialmente y escapa hasta z = +# con
vector de onda +kb. Entonces
+(z) =
!""""""#
""""""$
exp5ikb
6z + L
2
78+ r exp
5!ikb
6z + L
2
78z $ !L
2
- exp(ikwz) + . exp(!ikwz) |z| < L2
t exp5ikb
6z ! L
2
78z % L
2
(2.28)
Considerando la continuidad de +(z) y d+(z)/dz en ambas interfases, despues
de algunos calculos, se obtiene
t(() =
'
cos kwL! i
2
+
) +1
)
,
sin kwL
(!1
(2.29)
y
r(() =i
2
+
) ! 1
)
,
sin kwL
'
cos kwL! i
2
+
) +1
)
,
sin kwL
(!1
, (2.30)
en donde ) = kw/kb. Veamos que T (() = |t(()|2 y R(() = |r(()|2 denotan los
coeficientes de transmision y reflexion del pozo; tras un poco de algebra se
obtiene
T (() +R(() = 1 (2.31)
y
T (() =
1
21 +1
4
+
) +1
)
,2
sin2 kwL
3
4!1
. (2.32)
Estas dos ecuaciones nos parecen familiares. De hecho, se parecen a los coe-
44 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
ficientes de reflexion y transmision de Fabry-Perot en una placa dielectrica.
Esto no es accidental, pues existe una gran analogıa entre la ecuacion unidi-
mensional de Schrodinger y la ecuacion de propagacion de una onda electro-
magnetica en un medio caracterizado por un ındice de refraccion dependiente
de la posicion n(z).
2.2.3 Pozo cuantico doble simetrico. Acoplamiento tunel entre
pozos
Vamos a considerar dos pozos cuanticos unidimensionales equivalentes con
barrera de potencial V0, ancho L y separados una distancia h (Ver Fig. 2.7).
Fig. 2.7: Perfil del potencial para un pozo cuantico doble simetrico.
Cada uno de los pozos posee nmax % 1 estados ligados cuando estan
aislados, y una funcion de onda localizada es asociada con cada uno de los
estados ligados, y decae exponencialmente fuera de los pozos. Cuando la
separacion h " #, los estados ligados del espectro discreto son doblemente
degenerados: la partıcula puede estar en un pozo o en el otro.
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 45
Cuando h es finito, los autoestados para el pozo cuntico sencillo ya no
son autoestados del Hamiltoniano de los pozos acoplados
H =p2
2µ+ Vb(z ! z1) + Vb(z ! z2), (2.33)
donde z1, z2 son los centros de los pozos, y
Vb(z ! zi) =
!""#
""$
0 |z ! zi| % L2
!V0 |z ! zi| $ L2
i = 1, 2. (2.34)
Sea +1(z ! z2) la autofuncion del pozo aislado centrado en z = z2, a pesar
del decaimiento exponencial exhibido por +1(z ! z2), cuando z ! z2 % L/2,
+1(z ! z2) es diferente de cero. Entonces, H+1(z ! z2) no es proporcional
a +1(z ! z2). Sin embargo, si h es suficientemente grande, podemos esperar
que el acoplamiento entre los pozos (debido al efecto tunel en la barrera que
une a los pozos) sea suficientemente pequeno para admitir solamente aquellos
estados que son doblemente degenerados en h = # y no los estados base con
estados excitados.
A partir de la solucion general de la ecuacion de Schrodinger con Hamil-
toniano dado por (2.33)
'(z) =9
v
av+v(z ! z1) +9
v
bv+v(z ! z2), (2.35)
donde v corre sobre los espectros discreto y continuo, solo retendremos para
46 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
los estados mas bajos del doble pozo una combinacion lineal de los estados
base de los pozos aislados:
'(z) = -+1(z ! z1) + .+1(z ! z2); (2.36)
se obtiene 1
::2(1 + s! ( ((1 ! ()r + t
((1 ! ()r + t (1 + s! (
3
;;4
1
::2-
.
3
;;4 = 0, (2.37)
o
( = (1 &t
1& r+
s
1& r, (2.38)
donde (1 es el estado ligado base de los pozos cuando estan aislados, y
r = '+1(z ! z1)|+1(z ! z2)( = '+1(z ! z2)|+1(z ! z1)(
s = '+1(z ! z1|Vb(z ! z2)|+1(z ! z1)(
= '+1(z ! z2)|Vb(z ! z1)|+1(z ! z2)( (2.39)
t = '+1(z ! z1)|Vb(z ! z1)|+1(z ! z2)(
= '+1(z ! z2)|Vb(z ! z2)|+1(z ! z1)(.
Las cantidades r, s, t son llamadas integrales de traslape, cambio y trans-
ferencia, respectivamente. La integral de traslape tiene un valor positivo,
mientras que la de transferencia y la de cambio son negativas. Es usual des-
preciar r, aunque esta aproximacion no es cualitativamente muy buena. En
2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 47
este caso,
( = (1 & t+ s; (2.40)
s es entonces interpretado como el cambio del estado base de cada pozo
debido a la presencia del otro.
Fig. 2.8: Cambio y desdoblamiento del estado base doblemente degenerado de dos pozoscuanticos aislados.
Este cambio no rompe la doble degeneracion prevaleciente para h tendi-
endo a infinito (ver Fig. 2.8). Esta degeneracion se rompe debido al termino
de transferencia t. El estado base corresponde a a combinacion simetrica
(- = .) de funcion de onda de pozo cuantico aislado, mientras que el primer
estado excitado corresponde a - = !.. Los autoestados son las soluciones
de la ecuacion
2 cos kwL+
+
) +1
)
,
sin kwL± e!kbh sin kwL, (2.41)
donde
) =kbkw
, kb =
*!2µ(
h2 , kw =
*2µ
h2 ((+ V0). (2.42)
El signo menos (mas, respectivamente) en la Ec. (2.41) se refiere a los esta-
dos simetricos (antisimetricos, respectivamente) con respecto al centro de la
estructura. Esta ecuacion admite al menos una solucion para cualquier valor
48 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
de h (como ocurre en cualquier problema unidimensional con un potencial
atractivo y simetrico). Cuando h decrece a partir del infinito a cero, este
estado ligado, el cual es simetrico, evoluciona de un estado de un pozo de
ancho L al estado base de un pozo de ancho 2L.
Un estado antisimetrico permanece ligado para cualquier h en el pozo
cuantico de ancho 2L ligando por lo menos dos estados (i.e. si Lkw(( =
0) % ,. Si el pozo cuantico de ancho 2L solamente liga un estado, el estado
antisimetrico base del doble pozo, en el lımite de h muy grande, se convierte
en no acotado cuando h < hc, donde
2 cot[Lkw(( = 0) = hckw(( = 0)]. (2.43)
Como en el problema de un pozo cuantico simple, los estados ligados del
doble pozo se transforman en resonancia de transmision cuando su energıa
rebasa la cima de la barrera de confinamiento.
2.3 Estados de cuasi-partıculas en nanoestructuras
En semiconductores nanoestructurados, el concepto de cuasi-partıcula es
relacionado con electrones, huecos y excitones; la longitud caracterıstica que
define el grado de confinamiento es el radio efectivo de Bohr de los excitones,
a$B. Esta magnitud es considerada mucho mas grande que la constante de la
red, aL, por lo tanto, es posible crear estructuras mesoscopicas en las cuales
una, dos o las tres dimensiones sean comparables o menores que a$B, pero
2.3. Estados de cuasi-partıculas en nanoestructuras 49
mayores que aL. En estas estructuras, las excitaciones elementales experi-
mentaran un confinamiento cuantico, resultando un movimiento finito a lo
largo de la direccion de movimiento y un movimiento infinito en las otras
direcciones.
El grado de confinamiento de las cuasi-partıculas depende de la magnitud
de a$B y el tamano de confinamiento d. Dos regımenes pueden ser distingui-
dos: confinamiento debil y confinamiento fuerte. El regımen de confinamiento
debil corresponde al caso cuando el confinamiento d de la nanoestructura es
pequeno, pero mucho mayor que a$B, para los electrones, huecos y excitones.
En este caso, el electron y el hueco estan fuertemente correlacionados,
formando un exciton, el cual se mueve en el interior del pozo con un pequeno
incremento en su energıa debido al confinamiento debil. En este caso, el
modelo de barreras de potencial infinitas puede ser utilizado para dar una
descripcion razonable del corrimiento en la energıa del estado base del ex-
citon.
El regimen de confinamiento fuerte es cuando tenemos que a$B >> d; en
este caso el efecto del confinamiento es dominante sobre el potencial Coulom-
biano entre el electron y el hueco, y estos deben entonces ser considerados
como partıculas independientes, con sus estados base en su banda correspon-
diente, y teniendo solamente una pequena correlacion espacial entre ellos.
En este regimen no es ya posible usar el modelo de barreras infinitas para la
nanoestructura, y se requiere del uso de una barrera finita de potencial para
explicar los experimentos recientes en las propiedades opticas de pequenas
50 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
nanoestructuras.
Por lo general, las nanoestructuras son fabricadas usando dos materiales
semiconductores A y B con gaps de energıa (Ag y (Bg respectivamente. En
el proceso de crecimiento, uno de los materiales es depositado sobre el otro
y un potencial de barrera se forma en la interfase debido a la diferencia de
gaps. De acuerdo a la posicion y valor del gap, se pueden distinguir tres
tipos de nanoestructuras, y sus caracterısticas se pueden observar en la Fig.
2.9. En las nanoestructuras del tipo I, el material B es una barrera para
(a) (b) (c)
Fig. 2.9: Tipos de nanoestructuras: (a) Tipo I; (b) Tipo II; (c) Tipo III.
los electrones de conduccion y de valencia, los cuales estan localizados en
el mismo material A. Como ejemplos de nanoestructuras del tipo I tenemos
GaAs-Ga(Al)As, Ga0.47Al0.53As-InP, GaSb-AlSb, etc.
En una nanoestructura del tipo II, uno de los materiales actua como un
pozo para los electrones de conduccion y como una barrera para los electrones
de valencia. Ejemplos de nanoestructuras del tipo II son InP-Al0.53In0.47As
(en el cual los huecos estan en el semiconductor InP y los electrones en el
Al0.53In0.47As), InAs-GaSb (los huecos estan en el InAs y los electrones en el
GaSb), entre otros.
2.4. Aproximacion de la masa efectiva 51
En las de tipo III un material actua como un pozo para los electrones de
conduccion, mientras que los electrones de valencia son libres de moverse en
cualquier direccion.
2.4 Aproximacion de la masa efectiva
En esta seccion determinaremos los autoestados de los electrones en un sis-
tema nanoestructurado. Se hara enfasis en la descripcion de los estados de
energıa en nanoestructuras del tipo pozo cuantico.
Primeramente se presentaran las hipotesis usadas para derivar el esquema
de la funcion envolvente. Esta descripcion esta basada en las relaciones
de dispersion de los materiales masivos o volumetricos, tambien llamados
tridimensionales2.
Recordemos que el estado electronico en un campo periodico esta descrito
por una funcion de Bloch:
&kn(r) = eik·ruk(r), (2.44)
la cual es periodica en el espacio “k”,
&kn(r) = &k+g,n(r), (2.45)
donde g es un vector de la red recıproca y n es un ındice de banda. Por
2En ingles; bulk.
52 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
lo tanto, estas funciones pueden ser desarrolladas en series de Fourier en el
espacio recıproco:
&kn =1)N
9
l
an(r, l)eik·l, (2.46)
en donde l es un vector de la red directa. Los coeficientes del desarrollo,
an(r, l) =1)N
9
k
&kn(r)e!ik·l (2.47)
son denominados funciones de Wannier, y pueden escribirse como
an(r, l) =1)N
9
k
ukn(r)eik·(r!l), (2.48)
en donde N es el numero de posibles valores de k para la banda n-esima en
la primera zona de Brillouin.
Se puede apreciar que las funciones de Wannier no dependen del vector
de onda k, y poseen las siguientes propiedades:
1. Existen tantas funciones de Wannier como puntos en la red directa,
y por lo tanto como valores de k en la primera zona de Brillouin.
De hecho, en la Ec. (2.46) hay tantos terminos (y consecuentemente
muchos valores de an(r, l)) como valores de l (o sea, N).
2. Las funciones de Wannier estan localizadas en la proximidad de cada
nodo l de la red directa.
2.4. Aproximacion de la masa efectiva 53
3. Las funciones de Wannier cumplen tambien con
an(r, l) = an(r! l), (2.49)
lo cual es evidente si se tiene en cuenta la periodicidad de ukn(r) en la
Ec. (2.48).
4. Las funciones de Wannier satisfacen la relacion
an(r! s, l) = an(r, l+ s), (2.50)
la cual es obtenida directamente de la Ec. (2.49).
5. Las funciones de Wannier son ortonormalizadas:
)a$n!(r, l")an(r, l)dr = /nn!/ll!. (2.51)
Tenemos:
)a$n!(r, l")an(r, l)dr =
1
N
9
k!
9
k
e!i(k·l!k!·l!))&$k!n!(r)&kn(r)dr
=1
N/nn!
9
k
e!ik·(l!l!) = /nn!/ll! (2.52)
54 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
2.4.1 Hamiltoniano efectivo
Vamos a buscar la solucion a la ecuacion no estacionaria de Schrodinger para
un electron en un cristal, bajo un potencial externo, ie.,
5H + U
8'(r, t) = ih
*'(r, t)
*t, (2.53)
donde H es el Hamiltoniano del electron en el campo periodico del cristal,
y U es el potencial perturbador asociado al campo externo. Busquemos una
solucion de la forma
'(r, t) =9
n
9
l
fn(l, t)an(r, l), (2.54)
en donde fn(l, t) es denominada funcion envolvente de la n-esima banda.
Notese que la solucion involucra todas las bandas.
Sustituyendo la Ec. (2.54) en (2.53), multiplicando por a$n!(r! l") e inte-
grando, se obtiene
9
n
9
l
)a$n!(r! l")
5H + U
8an(r! l)fn(l, t)dr =
= ih9
n
9
l
*fn(l, t)
*t
)a$n!(r! l")an(r! l)dr; (2.55)
considerando la ortonormalidad de las funciones de Wannier, y realizando la
2.4. Aproximacion de la masa efectiva 55
suma del lado derecho, conseguimos
9
n
9
l
fn(l, t))a$n!(r! l")
5H + U
8an(r! ldr) = ih
*fn!(l", t)
*t. (2.56)
Recordando que para un electron no perturbado se tiene que
H&kn(r) = ((k)&kn(r), (2.57)
aplicamos el operador H a la funcion de Wannier (Ec. (2.47)) y tomando en
cuenta la Ec. (2.46) se consigue que
Han(r! l) =1)N
9
k
((k)
=1
N
9
k
((k)e!ik·l9
l!an(r! l")eik·l
!
=1
N
9
l!an(r! l")
9
k
((k)eik·(l!!l)
=9
l!(n,l!l!an(r! l"), (2.58)
en donde hemos introducido
(n,l!l! =1
N
9
k
((k)e!ik·(l!l!), (2.59)
que no es mas que la transformada de Fourier de la energıa en el espacio k,
y nos muestra la integral de traslape de H entre dos funciones de Wannier
56 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
en l y l" para la misma banda, esto es
)a$n!(r! l")Han(r! l)dr =
9
l!(n,l!l!
)a$n!(r! l")an(r! l)dr
=9
l!(n,l!l!/nn!/ll! = (n,0. (2.60)
Sustituyendo (2.60) en (2.56), obtenemos
9
n
9
l
{/nn!(n,l!l! + Unn!(l, l")} fn(l, t) = ih*fn(l, t)
*t, (2.61)
donde
Unn! =)a$n!(r! l")Uan(r! l)dr (2.62)
es el elemento de matriz del potencial de perturbacion. Considerando que la
serie de Fourier para la energıa en el espacio k es
(n(k) =9
l
(nleik·l, (2.63)
donde los coeficientes (nl estan dados por la Ec. (2.59), y considerando que
k " i*, (2.64)
podemos conseguir el siguiente producto:
(n(k)f(r) =9
l
(nlei(!i&)·lf(r) =
9
l
(nlel·&f(r). (2.65)
2.4. Aproximacion de la masa efectiva 57
Pero,
el·& = 1 + l ·*+1
2(l ·*)2 + · · · , (2.66)
entonces,
(n(!i*)f(r) =9
l
(nl
<f(r) + l ·*f(r) +
1
2l2*2f(r) + · · ·
=
=9
l
(nlf(r+ l) (2.67)
en donde tenemos en cuenta que el termino entre llaves es el desarrollo en
serie de Taylor de la funcion f(r+ l). Usando la Ec. (2.67), obtenemos
9
l
(n!,l!l!fn!(l, t) =9
l
(n!,l!l!fn!(l"+ l! l", t) = (n!(!i*)fn!(r, t)|r=l! ; (2.68)
podemos entonces escribir la Ec. (2.61) como
-
(n!(!i*)fn!(r, t)! ih*fn!(r, t)
*t
.
r=l!+9
n!
9
l
Unn!(l, l")fn(l, t) = 0. (2.69)
Esta es la expresion para la funcion envolvente, tambien llamada ecuacion
de Schrodinger en la representacion de Wannier.
Supongamos que el electron se mueve en una sola banda. Esto significa
que el potencial externo es tan debil como para no inducir transiciones in-
terbandas; por lo tanto,
Unn!(l, l") = /nn!Unn(l, l"). (2.70)
58 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
Tambien consideraremos que el potencial varıa lentamente con la posicion,
es decir
aL"U
U+ 1, (2.71)
siendo aL la constante de la red; entonces,
Unn(l, l") = U(r, t)/ll! (2.72)
donde tenemos en cuenta las Ecs. (2.51) y (2.62). Introduciendo
Unn(l", l") = U(r, t)|r=l! (2.73)
y sustituyendo (2.70) y (2.72) en (2.69), obtenemos
-
(n(!i*) + U(r, t)! ih*
*t
.
fn(r, t) = 0, (2.74)
donde esta claro que r = l". De acuerdo con la Ec. (2.71), fn(r, t) es formal-
mente tratada como una funcion que varıa lentamente alrededor de l".
De hecho, vamos a comparar la Ec. (2.54) con (2.46), tomando en cuenta
(2.49). Veamos:
Si un campo externo debil, el cual varıa lentamente en distancias del
orden de la constante de red, es aplicado, la funcion de onda del electron,
en una banda determinada, es expresada como sigue (de acuerdo con la Ec.
2.4. Aproximacion de la masa efectiva 59
(2.54)):
&k,n(r, t) =9
l
an(r! l)fn(l, t), (2.75)
donde fn(l, t) debe ser definida a partir de (2.74); se ha considerado que la
relacion
fn(r, t)|r=l = fn(l, t) (2.76)
debe ser satisfecha; aquı, formalmente hemos pasado de la variable discreta l
a la continua r, lo cual es aceptable si fn(l, t) varıa lentamente en distancias
del orden de la constante de red, alrededor del nodo l. En ausencia del campo
externo (U(r, t) = 0) se obtendrıa simplemente
f 0n(l, t) = exp
-
i
+
k · r! ((k)
ht
,.
, (2.77)
lo cual, si se sustituye en (2.75), conduce a la ecuacion de los estados esta-
cionarios.
Notese que en vez de la Ec. (2.53) original, ahora tenemos una ecuacion
de Schrodinger para la funcion envolvente, en la cual el Hamiltoniano H + U
ha sido sustituido por el Hamiltoniano efectivo
Hef = (n(!i*) + U (2.78)
que, como se puede apreciar, depende de la relacion de dispersion ((k). En-
tonces, la funcion envolvente puede entenderse como la funcion de onda efec-
tiva para el electron en el cristal, sometido a un potencial externo.
60 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
Afortunadamente, en muchos fenomenos fısicos que ocurren en semicon-
ductores y metales, los electrones que participan son aquellos situados en la
parte superior o inferior de las bandas (i.e., en sus extremos). Para estos elec-
trones, es conveniente introducir la masa efectiva y el Hamiltoniano efectivo,
el cual puede ser escrito como sigue:
Hef = !-h2
m$nx
*2
*x2+
h2
m$ny
*2
*y2+
h2
m$nz
*2
*z2
.
+ U . (2.79)
En el caso isotropico, las masas efectivas son iguales en cualquier direccion,
y la Ec. (2.79) se escribe
Hef = ! h2
2m$n
*2, (2.80)
donde m$n es la masa efectiva en la banda n. En este caso, podemos decir
que la banda es parabolica, ya que la relacion de dispersion esta dada por
(n(k) =hk2
2m$n
, (2.81)
la cual es, ademas, isotropica. Ası, para un potencial constante (en el
tiempo), podemos escribir la ecuacion efectiva de Schrodinger para estados
estacionarios como
'
! h
2
-1
m$nx
*2
*x2+
1
m$ny
*2
*y2+
1
m$nz
*2
*z2
.
+ U(r)
(
fn(r) = (fn(r), (2.82)
la cual es ampliamente usada. Cabe hacer la aclaracion de que el potencial
2.5. Estado de cuasi-partıculas en nanoestructuras 61
periodico de la red esta contenido implıcitamente en los componentes del
tensor de masa efectiva. Este metodo es conocido como aproximacion de la
masa efectiva (EMA).
2.5 Descripcion de la funcion envolvente de estado de cuasi-partıculas
para sistemas nanoestructurados
El modelo de la funcion envolvente es particularmente adecuado para estu-
diar propiedades de cuasi-partıculas en las estructuras semiconductoras de
baja dimensionalidad. Este constituye un metodo dinamico para la determi-
nacion de la banda de energıas de partıculas en la fısica del estado solido,
y las nanoestructuras son siempre consideradas sistemas dinamicos, puesto
que constantemente estan sometidas al menos a la accion del potencial de
barrera o interfase, caracterıstico de la nanoestructura. La aproximacion de
la funcion envolvente y de la masa efectiva fueron claramente discutidas en
pozos cuanticos por primera vez por G. Bastard [16, 17].
Otros enfoques de caracter microscopico para obtener los autoestados en
las nanoestructuras, con mayor fundamento fısico que el enfoque de la funcion
envolvente, pero muy complicados al realizar calculos, los cuales implican
calculos numericos con tecnicas de computo muy sofisticadas desde su inicio
son: El tight-binding (electron fuertemente ligado) es hoy en dıa ampliamente
usado, con buenos resultados obtenidos para nanoestructuras de cualquier
tamano o regimen de confinamiento, aunque presenta muchas dificultades en
los calculos auto-consistentes que tienen lugar cuando existen cargas en la
62 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
nanoestructura.
Otro metodo microscopico es el de seudo-potencial, el cual es muy exi-
toso para materiales volumetricos. La ventaja de estos enfoques o metodos
microscopicos es su capacidad para obtener con gran exactitud los niveles
energeticos de las partıculas en las nanoestructuras, i.e. aquellos que estan
cercanos o lejanos al borde #. Esto ocurre debido a que esos modelos repro-
ducen completamente las relaciones de dispersion del sistema volumetrico. La
aproximacion de la funcion envolvente no tiene tal generalidad. Basicamente,
esta restringida a la vecindad de puntos de alta simetrıa en los materiales
volumetricos en la zona de Brillouin (#, X, L) (Ver, por ejemplo, la Ref. [18]).
Sin embargo, creemos que la aproximacion de la funcion envolvente es
muy util debido a su simplicidad y versatilidad. A menudo conduce a re-
sultados analıticos, quedando el usuario satisfecho de los calculos que van
quedando atras de manera transparente, con muchas interpretaciones fısicas
en el desarrollo continuo de estos calculos. Ademas, muchos de los niveles de
energıa relevantes de las nanoestructuras en dispositivos reales estan relati-
vamente cerca de los puntos de alta simetrıa en la zona de Brillouin de los
materiales volumetricos.
En lo que sigue, asumiremos que A y B son materiales constituyentes
de la nanoestructura, son redes que empalman perfectamente y cristalizan
con la misma estructura cristalografica. Para aplicar el metodo de la funcion
envolvente tendremos en cuenta dos hipotesis fundamentales:
1) Dentro de cada material, la funcion de onda es desarrollada en funciones
2.5. Estado de cuasi-partıculas en nanoestructuras 63
de Wannier (con l = 0):
'(r) =9
n
fAn (r)u
An,k0
(r), (2.83)
si r corresponde a un material A, y
'(r) =9
n
fBn (r)uB
n,k0(r), (2.84)
si r corresponde a un material B, y donde k0 es un punto de la zona
de Brillouin alrededor del cual los estados de la nanoestructura son
construidos.
2) La parte periodica de las funciones de Bloch se asume la misma en cada
tipo de material que constituye la nanoestructura:
uAn,k0
(r) , uBn,k0
(r). (2.85)
Entonces, nuestras funciones de onda en la nanoestructura seran escritas
como:
'(r) =9
n
fA,Bn (r)un,k0(r) (2.86)
y nuestro objetivo sera determinar la funcion envolvente fA,Bn (r), la cual de-
pende del tipo de nanoestructura y la dimensionalidad del sistema. A contin-
uacion se presentara el formulismo aplicado a un sistema cuasi-bidimensional.
64 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras
2.5.1 Sistema cuasi-bidimensional
Los sistemas cuasi-bidimensionales son formados por multiples heteroestruc-
turas como los pozos cuanticos simples, los pozos cuanticos multiples y las
superredes. La funcion envolvente en este caso es
fA,Bn (r', z) =
1)Seik"·r"+A,B
n (z), (2.87)
donde S es el area de la muestra, y k' = (kx, ky) es el vector de onda
bidimensional, el cual es el mismo en las capas A y B para preservar la
invarianza traslacional en el plano (x, y).
Aunque k' podrıa expandirse teoricamente a toda la seccion plana de la
zona de Brillouin de un material volumetrico, en la practica es raramente
mayor que - 1/10 de su tamano. Tambien, asumiremos que para toda n, la
funcion +A,Bn (r) varıa lentamente en la escala de la celda unitaria de un ma-
terial volumetrico. Entonces, la funcion de onda '(r) de la heteroestructura
es una suma de productos de funciones de variacion rapida. El Hamiltoniano
de la heteroestructura puede ser escrito como:
H =p2x2m$
x
+p2y2m$
y
+p2z2m$
z
+ VA(r)YA + VB(r)YB, (2.88)
donde YA(YB) es la funcion escalon, la cual es unitaria si r corresponde a una
capa A (a una capa B), y VA(VB) es el potencial en la capa A(B).
La funcion envolvente en la direccion z es +n(z), de una capa A/B, y es
2.5. Estado de cuasi-partıculas en nanoestructuras 65
solucion de la siguiente ecuacion de Schrodinger
'
! h2
2m$nz
d2
dz2+ Vn(z)
(
+n(z) = (n+n(z), (2.89)
donde Vn(z) es el potencial de la heteroestructura por la discontinuidad de
la banda: m$nz , m$(z) = m$
n,A(m$n,B) y Vn(z) = 0 en la capa A(B).