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CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO III: CINEMATICA DE LOS FLUIDOS
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CAPITULO III
CINEMATICA DE LOS FLUIDOS
3.1 INTRODUCCION.
La cinemtica de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de
las partculas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actan durante el
movimiento. Para el estudio de este comportamiento de las partculas fluidas
durante su movimiento lo haremos sobre la base del conocimiento de las
magnitudes fsicas ya vistas en la fsica bsica y con los campos respectivos
relacionados al movimiento; stas magnitudes pueden ser escalares, vectoriales
o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro
del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier regin en el espacio donde hay
un fluido en movimiento, con la condicin de que el fluido ocupe la regin.
Esta parte de la mecnica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta
los motivos por los que se produjo est, los trminos de las magnitudes fsicas para
el anlisis son de velocidad, aceleracin y desplazamiento.
3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJOS DE FLUIDOS.
Para entender mejor este movimiento de las partculas (cinemtica), se deben
tomar en cuenta varios conceptos, as como los diferentes tipos de flujo como el
Flujo Newtoniano y No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales
respectivamente. Adems de estos es necesario definir algunos otros que son de
importancia para nuestro estudio, de manera de no extenderse en otro tema que
no sea la cinemtica de los fluidos presentaremos distintos conceptos de manera
concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales como ser
en laboratorios de experimentacin.
TIPOS DE FLUJOS:
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Flujo real. Es aquel en que para un pequeo esfuerzo cortante, la partcula
fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestacin de la
viscosidad.
Fuljo ideal. Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de
rozamiento.
Flujo adiabtico. Es aquel flujo en el que dentro de los lmites de su contorno
no entra, ni sale calor.
Flujo laminar. Es aquel flujo donde las partculas del fluido se mueven a lo
largo de trayectorias lisas en capas o lminas paralelas (Fig3-1), deslizndose
una capa sobre otra adyacente.
Flujo turbulento. Es aquel en que las partculas del fluido se mueven siguiendo
trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de
movimiento de una porcin del fluido a otra (Fig. 3.1). Es el caso de flujo ms
frecuente en aplicaciones prcticas.
Flujo transicional de laminar a turbulento. Es el flujo comprendido entre el
flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo turbulento.
(Fig. 3.1).
Fig. 3.1 Tipos de Flujos
Flujo permanente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del
fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el
tiempo. (Fig3.2a). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de
presin, la masa volumtrica y la temperatura en cada punto, no dependen del
tiempo. Las componentes u, v, w son entonces nicamente funcin de x, y, y z.
0000
t
T ,
t
P ,
t
,
t
V
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(a) (b)
Fig. 3.2 Flujo permanente (a) y no permanente (b)
Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presin, masa
volumtrica, y temperatura varan con el tiempo (Fig. 3.2b).
0000
t
T ,
t
P ,
t
,
t
V
Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del
conducto son idnticas y la velocidad media en cada seccin recta es la misma
en un instante dado (Fig. 3.4a). Por esto deber cumplirse que:
0
s
V
Flujo variable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son
diferentes y la velocidad media vara en cada seccin recta (Fig. 3.4b). Por esto
deber cumplirse que:
0
s
V
(b) (b)
Fig. 3.3 Flujo uniforme (a) y variable (a)
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Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de
velocidad, presin, etc., transversales a la direccin principal del flujo.
Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partculas siguen
trayectorias idnticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en
el flujo normal a dichos planos.
Flujo compresible y flujo incompresible.-
En el rgimen de flujo incompresible se supone que la densidad del
fluido es constante, independiente de las coordenadas espaciales y del
tiempo, simplificndose as extraordinariamente el anlisis del movimiento. En
caso contrario, el flujo es compresible. Ordinariamente, podemos considerar
que los lquidos presentan regmenes de flujo incompresibles; slo en
situaciones tales como la propagacin del sonido en lquidos es necesario
tener en cuenta la compresibilidad de stos. Pero hasta los gases, que son
altamente compresibles, pueden experimentar cambios tan poco importantes
en su densidad que su flujo pueda considerarse como incompresible; este es
el caso de la aerodinmica subsnica, donde el aire se considera incompresible.
Flujo irrotacional y flujo rotacional.-
Decimos que el flujo es irrotacional cuando cualquier partcula fluida no posee
velocidad angular neta respecto al punto en que se encuentra. En caso
contrario, el flujo es rotacional. Podemos tener una aproximacin intuitiva a
estos dos tipos de flujo imaginando una ruedecilla con paletas inmersa en el
fluido en movimiento. Si la ruedecilla tan slo se traslada, el flujo es
irrotacional (Fig. 3.4 a); si gira y se traslada (o slo gira), el flujo es
rotacional. El flujo rotacional incluye el movimiento de vrtice (remolinos)
(Fig. 3.4 b) y los flujos con gradiente transversal de velocidad (Fig. 5.4 izq.).
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Fig. 3.4 Flujo irrotacional (a) Flujo rotacional (b)
3.3 LOS CAMPOS DE UN FLUJO.
Un campo de flujo es cualquier regin en el espacio donde hay un fluido en
movimiento, a condicin de que la regin o sub regin del flujo quede ocupada por
el fluido.
En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de
magnitudes fsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su
vez campos independientes o dependientes dentro del flujo.
Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la
cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplos: presin, densidad y temperatura.
En un campo vectorial, adems de la magnitud, se necesita definir una
direccin y un sentido para la cantidad fsica a la que corresponde; esto es
tres valores escalares. La velocidad, la aceleracin y la rotacin son ejemplos
de campos vectoriales. Finalmente, para definir un campo tensorial se
requieren nueve o ms componentes escalares; ejemplos: esfuerzo,
deformacin unitaria y momento de inercia.
Las magnitudes fsicas de los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo
son en general funciones de punto y del tiempo, ya que su magnitud puede variar
no solo de un punto a otro sino (en un punto fijo) de un instante a otro.
3.4 LOS CAMPOS VECTORIALES DE VELOCIDAD, ACELERACION Y
ROTACIONAL.
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CAMPO DE VELOCIDADES.
El anlisis del movimiento de una partcula del fluido que recorre una curva se
puede hacer de dos maneras distintas:
a. Por el conocimiento del vector de posicin r, de la partcula como una funcin
vectorial del tiempo t (Fig. 3.5)
zkyjxitrr )( (Ec. 3.1)
Dnde: i, j, k representan los vectores unitarios segn tres ejes de coordenadas
ortogonales cualesquiera y (x, y, z) las proyecciones de r segn dichos ejes.
Estas proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo:
)();();( tzztyytxx (Ec. 3.2)
b. Por el conocimiento de la curva que recorre la partcula y la funcin camino
recorrido-tiempo. En este caso la posicin de la partcula se determina por la
longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen A).
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.5 Representacin del movimiento de una partcula segn la curva r = r(t)
Como una funcin escalar del tiempo (fig. 3.6); esto es:
)(tss (Ec. 3.3)
El vector velocidad de una partcula fluida se define como la rapidez temporal
del cambio en su posicin. Si la partcula Po de la Fig. 3.7 se desplaza
siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector de posicin de
la partcula r = xi + yj + zk, la velocidad queda definida por la expresin:
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dt
drv (Ec. 3.4)
Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva, que recorre la
partcula en el tiempo dt.
La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un flujo y al desplazarse
la partcula segn la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma
que, en general, depende de la posicin de la partcula y el tiempo:
trvv , (Ec. 3.5)
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.6 Representacin del movimiento de una partcula segn la curva s =s (t)
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.7 Posicin y velocidad de una partcula referidas a un sistema cartesiano
de coordenadas rectangulares.
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La velocidad, en trminos de sus componentes segn los tres ejes coordenados
elegidos, se puede escribir:
kvjvivvzyx
(Ec. 3.6)
Entonces, dichas componentes son funciones de la posicin de la partcula y
del tiempo a saber:
dt
dxtzyxvv xx ),,,( (Ec. 3.6a)
dt
dytzyxvv yy ),,,( (Ec. 3.6b)
dt
dztzyxvv zz ),,,( (Ec. 3.6c)
Puesto que la magnitud del vector dr es:
dsdtdt
rdrd
(Ec. 3.7)
Donde ds es el elemento diferencial de arco sobre la trayectoria, resulta que la
magnitud de la velocidad es:
222
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dsv (Ec. 3.8)
Si s representa un vector unitario, tangente en cada punto a la trayectoria de la
partcula y adems es funcin de s, la velocidad tambin se puede expresar as:
dt
sds
dt
dssvv
(Ec. 3.9)
Donde ds se conoce como vector diferencial de arco y vale d
s =ds.
s
CAMPO DE LAS ACELERACIONES:
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El campo de aceleraciones es derivado del de velocidades pues el vector
aceleracin de una partcula en un punto se define como la variacin temporal
de la velocidad en ese punto; esto es:
2
2
dt
sd
dt
vda
(Ec. 3.10)
La aceleracin no tiene una orientacin coincidente con la trayectoria de la
partcula, como resulta con la velocidad; de acuerdo con la definicin de
derivada total y en base a las Ec. 3.6 (a,b.c), sus componentes, segn los tres
ejes de coordenadas cartesianas, son:
)()(t
v
z
vv
y
vv
x
vv
dt
dva xxz
xy
xx
xx
(Ec.3.11a)
)()(t
v
z
vv
y
vv
x
vv
dt
dva
yy
z
y
y
y
x
y
y
(Ec.3.11b)
)()(t
v
z
vv
y
vv
x
vv
dt
dva zzz
zy
zx
zz
(Ec.3.11c)
Las cuales son funcin de punto y tiempo.
La aceleracin de las partculas del fluido se puede considerar como la
superposicin de dos efectos:
1. En el instante t se supone que el campo es independiente del tiempo; en
estas circunstancias la partcula cambiara de posicin en ese campo y su
velocidad sufrir variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta
aceleracin, debida a cambio de posicin en ese campo y su velocidad
sufrir variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleracin,
debida a cambio de posicin, se llama convectiva y est dada por las
expresiones contenidas en los primeros parntesis de las Ec.3.11a, Ec.
3.11b y Ec. 3.11c.
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2. El trmino de los segundos parntesis no proviene del cambio de posicin
de la partcula, sino de la variacin de la velocidad en la posicin ocupada
por la partcula al transcurrir el tiempo. Se llama aceleracin local.
3. Es interesante conocer tambin la magnitud de las componentes de la
aceleracin en cualquier punto de una trayectoria. La distancia s, medida
desde un origen arbitrario, siguiendo la trayectoria, corresponde a una
coordenada curvilnea local, a lo largo de la cual se pueden determinar las
propiedades del flujo. En cada punto de la trayectoria hay una direccin
local, que define la direccin de una coordenada independiente
llamada coordenada normal principal. Esta es colineal con el radio
instantneo de curvatura local de la trayectoria, cuya direccin positiva es
del centro de curvatura hacia el punto en consideracin. Una tercera
direccin de otra coordenada se define como la direccin binormal local (o
conormal) b, que es normal, tanto a s como a n. En relacin al sistema
cartesiano, estas tres coordenadas tambin se pueden representar por el
sistema de vectores unitarios ortogonales s, n, b; el primero tangencial a la
curva en cada punto; el segundo en la direccin de la normal principal local
de la trayectoria; y el tercero, segn la binormal de la misma (Fig. 3.8a).
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Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.8 a) Correspondencia entre el sistema cartesiano de coordenadas y el
sistema de vectores unitarios; distribucin y gradiente de velocidades sobre la
normal principal. b) Cambio en el s al producirse el recorrido s.
De este modo, los vectores unitarios s, n y b definen un diedro regular en cada
punto de la trayectoria; y cualquier vector asociado a un punto de la curva
puede referirse a este sistema local de coordenadas curvilneas, escribindolo
como una combinacin lineal de los tres vectores unitarios. Los tres planos
fundamentales (definidos por el diedro) se conocen como: plano osculador
(aquel cuyo normal es b), plano normal (cuya normal es s) y plano
rectificador (cuya normal es n).
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Los vectores s y n se encuentran en el plano osculador, el cual contiene
tambin al radio de curvatura. Esto significa que el movimiento en el punto
considerado esta en dicho plano y, adems, el radio de curvatura en la
direccin de b es infinito.
La velocidad expresada en trminos de s a travs de la Ec. 3.9 es funcin de la
distancia recorrida s y del tiempo t; la aceleracin entonces es:
)()(dt
ds
ds
sdvs
dt
dvsv
dt
d
dt
vda
(Ec. 3.12)
ds
sdvs
dt
dva
2 (Ec 3.13)
Al pasar de un punto P a otro P (Fig. 3.8 b), el vector unitario s ser s+s;
conserva su magnitud, pero modifica su direccin.
En el intervalo t la partcula habr recorrido la distancia s sobre la curva. La
variacin de s a lo largo de S es:
S
s
dS
ds
s
0lim (Ec 3.14)
De donde resulta que, en el lmite, s (y tambin s/S) queda dirigido segn
la normal principal de la curva y hacia el interior de la misma. Por tanto, los
vectores ds/dS y v2ds/dS tendrn idntica direccin, pero sentido contrario al
considerado positivo para n. Resulta entonces:
ndS
dsv
dS
dsv 22 (Ec 3.15)
Por lo que respecta a dS
dv (Fig. 3.8 b) con 1s , resulta tambin:
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s
sen
s
sens
S
s
dS
dv
ssss
0000lim.
2
2lim22
limlim (Ec 3.16)
En el lmite, sen (/2)/ (/2)=1; entonces:
ds
d
sdS
ds
s
0lim (Ec 3.17)
Adems, siendo ds = r d, donde r es el radio de curvatura en el punto P, se
tiene que:
rdS
ds 1 (Ec 3.18)
La Ec. 3.13 se convierte entonces en:
nr
vs
dt
dvaaa ns
2
(Ec 3.19)
Esto muestra que el vector aceleracin se encuentra en el plano osculador y
solo tiene componentes en las direcciones tangencial y normal.
La magnitud de la componente de la aceleracin tangencial es entonces:
t
vv
s
v
t
v
dt
ds
s
v
dt
dvas
(Ec 3.20a)
O bien, con
t
vv
v
s
)
2(
2
La componente tangencial resulta:
st
vv
sas
)
2(
2
(Ec 3.20b)
y la componente normal:
nr
van
2
(Ec 3.20c)
El signo menos para la componente normal de la Ec. 3.20c significa que dicha
componente tiene sentido contrario al considerado como positivo para n. El
planteamiento de muchos problemas en la prctica se hace suponiendo el flujo
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como unidimensional, para el cual es muy conveniente el empleo del sistema
de coordenadas y de componentes de la aceleracin aqu planteada.
Finalmente, la componente en la direccin de la binormal es:
0na (Ec. 3.20d)
CAMPO ROTACIONAL.
Est es otro campo derivado de el de las velocidades, y evala la rotacin local
de una partcula fluida y se define matemticamente por el producto vectorial
del operador nabla nabla , por el vector velocidad (V). O sea que:
Vrot , que en forma matemtica es el determinante siguiente:
zyx vvv
zyx
kji
Vrot (Ec. 3.21)
Desarrollando se tiene:
ky
v
x
vj
x
v
z
vi
z
v
y
vrotV x
yzxyz
(Ec. 3.22)
Que tambin es funcin, tanto de punto como de tiempo y es una medida
de rotacin o vorticidad de la partcula dentro del flujo; por esta razn se
le conoce tambin como campo vorticoso.
La rotacin pura se puede estudiar localmente prescindiendo de la traslacin a
travs del movimiento de giro alrededor de un eje instantneo que pasa por el
centro de gravedad de la partcula y con base en el movimiento de dos lneas
ortogonales en forma de cruz, definidas por los puntos PQRS que giran como
un cuerpo rgido. El punto Po se localiza mediante el vector de posicin ro
referido a un sistema de coordenadas con cualquier orientacin, pero cuyo
origen por comodidad se encuentra en el eje instantneo de rotacin. El punto
P se halla en el extremo de uno de los brazos de la cruz y en la infinita vecindad
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de Po y se localiza mediante el vector de posicin r, de tal manera que el vector
que los une es (r-ro)=dr.
La velocidad v, tangencial a la trayectoria circular que siguen los extremos de
esas lneas ortogonales (y, por consiguiente, en el punto P), corresponde a la
traslacin propia de ese punto; y en general, es distinta de la corresponde a Po.
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.9 Rotacin de una partcula
Al producirse la rotacin el vector v se puede calcular en trminos de la
velocidad angular =d/dt (variacin del ngulo de rotacin con el tiempo) y
de un vector unitario w paralelo al eje instantneo de rotacin con el sentido
indicado en la fig. 3.9 (de acuerdo a la convencin normal para la variacin de
), como el producto vectorial; a saber:
xdrwxdrv (Ec. 3.23)
Donde w se conoce como vector torbellino.
Por tanto resulta que:
xdrrotvrot .. (Ec. 3.24)
Cuyo desarrollo conduce a:
dzdydx
kji
Vrot zyx (Ec. 3.25)
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kdxdyjdxdzidydzVrot yxzxzy (Ec. 3.26)
De ah que, de acuerdo con su definicin rot v es igual al determinante:
)()()(
dxdydxdzdydz
zyx
kji
Vrot
yxzxzy
(Ec. 3.27)
Desarrollando el determinante en la misma forma y, tomando en cuenta que
es independiente de dr, al desarrollar las derivadas parciales indicadas se
obtiene que:
2)222(. iiivrot zyx (Ec. 3.28)
Esto es, el vector rot v es paralelo a y perpendicular en cada punto a v.
Con referencia al sistema de coordenadas ortogonales s, n, b, el movimiento se
produce sobre el plano que contiene a s y n; y la velocidad v se distribuye a lo
largo de n de acuerdo con un movimiento instantneo de rotacin, segn la ley:
rv . (Ec. 3.29)
El vector rotacional se obtendra a partir del determinante:
brn
rbns
bns
vrot )(
00
(Ec. 3.30)
Donde 0
b
v, puesto que no hay variacin de v a lo largo de b. Desarrollando
la derivada y tomando en cuenta que: r
v y 1
n
r
Resulta:
bn
v
r
vb
nr
n
rrotv
(Ec. 3.31)
Esto significa que el vector rot v tiene una sola componente en la direccin de la
binormal; adems, el producto vectorial rot v x v es:
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)
00
(00 n
v
vr
vbns
vvrot (Ec. 3.32)
nn
v
r
vvvvrot
(Ec. 3.33)
Por tanto la aceleracin tambin podemos determinar en la forma:
t
vvrotv
vgrada
)
2(
2
(Ec. 3.34)
La aceleracin en un punto est formada por la componente grad (v2/2) que
corresponde al movimiento de traslacin pura; la componente rot v x v que
equivale al movimiento de rotacin (llamada aceleracin de Coriolis); y la
componente v/t que corresponde a la aceleracin local.
3.5 METODOS PARA DESCRIBIR UN FLUJO.
Con el fin de obtener la representacin completa de un flujo, es necesario
determinar la posicin de cada partcula en cada instante y despus encontrar la
velocidad en cada posicin, a medida que el tiempo transcurre.
Es posible estudiar el movimiento de las partculas mediante dos mtodos: el
Euleriano o local y el Lagrangiano o molecular.
METODO EULERIANO.
Consiste en determinar las caractersticas cinemticas en cada punto de un flujo y
en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partcula individual.
Elegida la posicin de una partcula en el espacio, sus caractersticas cinemticas
son funciones del tiempo, a saber:
),( trvv (Ec. 3.35)
METODO LAGRANGIANO.
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Consiste en determinar las caractersticas cinemticas del movimiento de cada
partcula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partcula por su
posicin inicial ro (xo, yo, zo), en el instante t=to, en otro instante cualquiera t, la
misma partcula se encuentra en la posicin r (x, y, z). Entonces la posicin de la
partcula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posicin r se
determina como funcin del tiempo t y la posicin inicial ro; o sea:
),( 0 trrr (Ec. 3.36)
Aparentemente el mtodo Lagrangiano, tiene aspectos muy convenientes; sin
embargo, las ecuaciones generales del movimiento, deducidas con este mtodo,
son difciles, es pues ms sencillo utilizar el mtodo Euleriano.
3.6 LINEA DE CORRIENTE, TRAYECTORIA Y TUBO DE FLUJO.
Se supone que en un instante to se conoce el campo de velocidades v, de un flujo.
Se define como lnea de flujo o corriente toda lnea trazada idealmente en el
interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus
puntos proporcione la direccin del vector velocidad correspondiente al punto
mismo (Fig. 3.10). Con la excepcin de eventuales puntos singulares, no existe
posibilidad de que dos lneas de corriente se intersequen, pues ello significara que
en el punto de interseccin existieran dos vectores y distintos.
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FUENTE: HIDRULICA GENERAL. SOTELO VILA G.
Fig. 3.10 Concepto de lnea de corriente y trayectoria.
De la definicin de lnea de corriente, el vector diferencial del arco ds y el vector
velocidad son paralelos, de manera que de la Ec. 3.10 se puede escribir:
vdtds (Ec. 3.37)
Que representa la ecuacin diferencial de la lnea de corriente. Esta ecuacin en
trminos de sus componentes, es:
dtvdz
dtvdy
dtvdx
z
y
x
(Ec. 3.38)
O bien, para el instante to considerado, se pueden escribir de la manera siguiente:
),,,(),,,(),,,( ozoyox tzyxv
dz
tzyxv
dy
tzyxv
dx (Ec. 3.39)
Que forman un sistema de ecuaciones diferenciales.
Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. 3.11 (que no
sea lnea de corriente) y las lneas de corriente que pasan por cada punto de esa
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curva. La totalidad de estas lneas estn contenidas en una superficie que se
denomina superficie de flujo o de corriente.
Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada adquiere el nombre de
tubo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de vena fluida.
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.11 Concepto de tubo de flujo.
La trayectoria de una partcula es la lnea que une los puntos de posicin
sucesivamente ocupados por dicha partcula en el transcurrir del tiempo (Fig. 3.10).
Las ecuaciones diferenciales de la trayectoria son:
),,,(),,,(),,,( tzyxv
dz
tzyxv
dy
tzyxv
dx
zyx
(Ec. 3.40)
Este concepto corresponde al tratamiento bajo el punto de vista Lagrangiano; si el
flujo es permanente, las lneas de corriente coinciden con las trayectorias.
3.7 CONCEPTO DE GASTO O CAUDAL.
En la Fig. 3.12 un elemento dA, de la superficie S (limitada por una curva C) y que
contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencias de
superficie:
ndAdA . (Ec. 3.41)
Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P,
cuyo sentido positivo se establece por convencin.
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Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.12 Concepto de gasto
La velocidad v que corresponde al punto P tiene en general una direccin
distinta a la de dA.
En el intervalo dt, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie
dA queda determinado por el producto escalar de los vectores; el diferencial del
arco ds sobre la lnea de corriente que pasa por P y el vector diferencial de
superficie dA.
Entonces, considerando que ds= vdt, el volumen del fluido que pasa a travs
del elemento dA vale:
dAdtvdAdsdv .. (Ec. 3.41)
El flujo de volumen a travs de toda la superficie S queda definido por la
ecuacin:
A dAvdtdv
Q . (Ec. 3.42)
Cuyas dimensiones son [L3T-1]. Este flujo de volumen se conoce como gasto o
caudal.
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Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las lneas de corriente
sean normales a ella en cada punto, de la Ec. 3.42 el gasto se puede calcular
de la manera siguiente:
AvdAQ (Ec. 3.43)
Se llama velocidad media, a travs de la superficie S de rea A, al promedio
calculado as:
A
Q
A
dAvV A
. (Ec. 3.44)
y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda
la superficie, con un valor constante V y en direccin perpendicular a la misma.
3.8 FUNCION DE CORRIENTE.
Se considera, en un instante determinado, un flujo no permanente, tridimensional
incomprensible, viscoso o no viscoso, rotacional o irrotacional; asimismo, un tubo
de flujo formado por dos sistemas diferentes de superficies de flujo cuyas
intersecciones coinciden obviamente con lneas de corriente, como se muestra en
la Fig. 3.13. Evidentemente esta misma consideracin es vlida para un flujo
permanente en cualquier instante.
La solucin de las ecuaciones diferenciales (Ec. 3.39) de las lneas de corriente,
permite determinar la geometra de estas y se puede expresar a travs de dos
relaciones independientes de la forma:
Fzyx ),,( (Ec. 3.45)
Gzyx ),,( (Ec. 3.46)
En que F y G representan dos funciones diferentes que adquieren un valor
constante cuando se desea definir la geometra de una lnea de corriente en
particular. Estas dos ecuaciones definen una doble familia de superficies de flujo a
travs de la funciones y , llamadas de corriente, escogidas de tal manera que
sean mutuamente ortogonales. En el punto P de la Fig. 3.13, sobre una lnea de
corriente, los vectores grad y grad son normales a las superficies =constante,
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= constante, respectivamente. Puesto que v es tangente a ambas superficies en P
y, por lo mismo perpendicular a ambos vectores, se debe satisfacer que
gradxgradv .. (Ec. 3.46)
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.13 Superficies de corriente
O bien por definicin de gradiente y de producto vectorial.
yzzyvx
(Ec. 3.47a)
zxxzv y
(Ec. 3.47b)
xyyxvz
(Ec. 3.47c)
La substitucin de estas componentes en las ecuaciones diferenciales de la lnea
de corriente (3.39) y las superficies de frontera, permiten determinar las funciones
y para cada flujo.
En el caso de un flujo bidimensional, la familia de los planos paralelos (sobre los
cuales la configuracin del flujo es idntica) se hace coincidir con el sistema de
superficies = constante, donde el eje z es perpendicular a dicha familia. Con esta
disposicin, el vector grad es el mismo vector unitario k y la Ec. 3.46 seria:
kgradv . (Ec. 3.48)
Cuyas componentes son:
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yvx
(Ec. 3.49a)
xv y
(Ec. 3.49a)
Y en coordenadas polares (Fig. 3.14)
rvr
1 (Ec. 3.50a)
rv
(Ec. 3.50b)
Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.14 Componentes de la velocidad para un flujo plano en coordenadas
cartesianas y polares.
Para el flujo bidimensional la ecuacin diferencial de la lnea de corriente, segn el
sistema de las ecuaciones 3.39, es:
0 dxvdyv yx (Ec. 3.51)
Substituyendo las ecuaciones 3.49 en esta ecuacin se obtiene:
0
dy
ydx
xd
(Ec. 3.52)
0. dsgradd (Ec. 3.51)
As, obviamente, el vector diferencial de arco sobre una lnea de corriente es
perpendicular a grad y la ecuacin de la lnea ser (x,y)= constante, cuya
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representacin es una familia de lneas de corriente como se muestra en la figura
3.15.
Cada lnea de corriente no es ms que la interseccin de la superficie que
corresponde con el plano coordenado x-y.
Por otra parte, si n es un vector unitario en la direccin normal a las lneas de
corriente, por definicin de derivada direccional se tiene que:
nngrad
. (Ec. 3.52)
Pero, toda vez que en grad y n son paralelos, grad .n es igual al mdulo de
grad ; el cual, de acuerdo con las ecuaciones 3.49 vale:
vvvyx
grad yx
22
22
(Ec. 3.53)
Entonces:
vn
(Ec. 3.54)
Sin embargo, de esta ecuacin, vdn es el gasto que pasa entre dos lneas de
corriente y + d (fig.3.15) por unidad de ancho normal al plano del flujo; esto
es:
vdnddQ (Ec. 3.55)
Por lo cual el gasto entre dos lneas de corriente 1 y 2 es:
122
1 q (Ec. 3.56)
La Ec. 3.56 indica que el gasto entre dos lneas de corriente es igual a la diferencia
de los valores que adquiere la funcin de corriente en esas lneas.
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Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.
Fig. 3.15 Familia de lneas de corriente.
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