Download - Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 1/60
MATERI PERKULIAHAN
Dosen Pengampu : Drs. Sri Mulyana, M.Kom
Editor:
MULYANTO
PROGRAM PASCA SARJANA ILMU KOMPUTERFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA
2012
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 2/60
1
Pertemuan 2
12/9/2012
Bentuk lain inferensi
p v q
p .
q
Cerita: Ada fakta-fakta:
Telah terjadi pembunuhan
-
Terdapat banyak jejak di seluruh ruang
-
Tidak ada barang yang hilang
Apa motif pembunuhan ? (Politik, pencurian, other)
Asumsi:
p : motif politik
q : motif pencurian
r : other motif
s : ada barang hilangt : pembunuh segera pergi
u : banyak jejak kaki
Rule:
1.
q s
2.
p t
3.
t u
Inferensi
1.
p v q v r (kesimpulan)
2. q ss q (MP) p v r
q
r
3. t u
(u) t (MT) p
t
p t
Himpunan Klasik & Himpunan Fuzzy
Himpunan: kmpulan obyek dengan syarat keanggotaan tertentu.
Penyajian:-
list A = {a, b, c, d, e}
-
Syarat A = {x | x 5 abjad pertama}
Disimbolkan: x A x anggota A
Y A y bukan anggota A
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 3/60
2
Universe (Semesta pembicaraan) , dilambangkan dengan V atau X : himpunan yang memuat semua
obyek yang dibicarakan.
Operasi Dasar Himpunan: A & B himpunan dalam semesta X
1.
Union : A B = {x X | x A atau x B}
2.
Irisan: A
B = {x
X | x
A dan x
B}
3.
Complemen : Ac = {{x| x X dan x A} - Ac = X – A
4.
Differensi: A | B atau A – B = {x | x A dan x B}
5.
Selisih simetri: A B = (A B) – (A B) atau
A B = (A – B) (B – A)
Derajat Keanggotaan A (x) {1, 0}
Dimana: A (x) = 1, x A
0, x A
Sifat-sifat operasi himpunan setara dengan logika
^
v
C
deMorgan
(p ^ q) = p vq not(A B) = not(A) not(B)
(p v q) = p ^q (AB)c = Ac Bc
p ^ p = 0 A Ac = Ø
p v p = 1 A Ac = X(S) tidak berlaku di fuzzy
Pembuktian A B
A B = (A B) – (A B)
= (A B) (A B)c
= (A B) (Ac Bc)
= {(A B) Ac} {(A B) Bc}
= {(A Ac) (B Ac) } {(A Bc) (B Bc)}
= (B Ac) (A Bc)
= (B – A) (A – B)
= (A – B) (B – A)
Gambar himpunan keanggotaan
1 , a x b
A (x) =
0, x < a atau x > b
A (x) : fungsi keanggotaan x pada himpunan A (membership function)
Contoh:
1.
X = {1, …, 8}
1
a b
x
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 4/60
3
A = {x | x 4} {1, 2, 3, 4} = 1
1+
1
2+
1
3+
1
4+
0
5+
0
6+
0
7+
0
8
B = {x | x genap} {2, 4, 6, 8} = 0
1+
1
2+
0
3+
1
4+
0
5+
1
6+
0
7+
1
8
A B = 1
1+
1
2+
1
3+
1
4+
0
5+
1
6+
0
7+
1
8
Himpunan FuzzyX = semesta pembicaraan
Himpunan fuzzy A (A), suatu himpunan dengan A (x) [0, 1]
Contoh:
2 4 6 80
1
A
Penyajian:
1.
A =
1
1 +
2
2 +⋯ = diskritKalo pak Yoyo nulisnya: A = {(x1, A (x1)), (x2, A (x2)), … }
Kalo kontinu : A = ∫ ()
Fungsi keanggotaan yang biasa dipakai:
0, x < a
A (x) =−− a x < b
1, x b
1, x < a
A (x) =−− a x < b
0, x b
1
1
Inti dari membership function nilai maksimum 1, nilai minimum 0.
Di Buku Wang ada membershift function “number close to zero” gaussion function
a b
1
a b
1
0
= e-x2
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 5/60
4
0 , x <-1 atau x 1
A (x) = x + 1 , -1 x < 0
1 – x , 0 x < 1
Operasi Himpunan Fuzzy
Himpunan semesta X
Didefinisikan himpunan fuzzy A, B pada X.
1. A B (x) = A(x) B(x) = min( A(x), B(x))
2. AB (x) = A(x) B(x) = max( A(x), B(x))
3.
= 1 - A(x)
Grafiknya:
1 A B
1 A B
1 A A
Yang tidak berlaku Fuzzy, tapi berlaku di klasik.
A Ac
A Ac
Kalau pada klasik
A Ā = X
A Ā = Ø
Kalau pada Fuzzy
A Ac X
A AC Ø
Contoh:
x = {1, 2, 3, 4, 5}
Didefinisikan A = 1
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,2
5
B = 0,5
2+
0,7
3+
0,2
4+
0,4
5
Tentukan : , , AB, AB, A – B, B – A, AB, A , A , B , (A B)C, (A B)c
0-1 1
1
A B A B
1
1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 6/60
5
Jawab: = 1
1+
0
2+
0,5
3+
0,7
4+
0,8
5 = 1
1+
0,5
2+
0,3
3+
0,8
4+
0,6
5
AB = 0
1 +
0,5
2 +
0,5
3 +
0,2
4 +
0,2
5 bisa ditulis 0,5
2 +
0,5
3 +
0,2
4 +
0,2
5 AB = 1
2+
0,7
3+
0,3
4+
0,4
5 A – B = A Bc = 0,5
2+
0,3
3+
0,3
4+
0,2
5
B – A = B Ac = 0,5
2+
0,5
3+
0,2
4+
0,4
5
A B = (A – B) (B – A) = 0,5
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,4
5
A = 0,5
2+
0,3
3+
0,3
4+
0,2
5
A = 1
1+
1
2+
0,5
3+
0,8
4+
0,6
5
B
=
0,5
3+
0,2
4+
0,4
5
(A B)C
= 1 – 1
2 +0,7
3 +0,3
4 +0,4
5 = 1
1 +0
2 +0,3
3 +0,7
4 +0,6
5 = Ac Bc = 1
1+
0
2+
0,3
3+
0,7
4+
0,6
5 (prove)
(A B)c = 1 - 0
1+
0,5
2+
0,5
3+
0,2
4+
0,2
5 = 1
1+
0,5
2+
0,5
3+
0,8
4+
0,8
5
= Ac Bc =1
1+
0,5
2+
0,5
3+
0,8
4+
0,8
5
Pembuktian bahwa A Ac Ø
A Ac = 0,5
3+
0,3
4+
0,2
5 Ø
A Ac = 1
1+
1
2+
0,5
3+
0,7
4+
0,8
5 X = 1
1+
1
2+
1
3+
1
4+
1
5
Contoh untuk yang kontinu
1
10 15 45 50 60
anak muda tua
usia
1 , x < 10
A (x) =15−
5 , 10 x < 15
0 , x 15
0 , x < 10
(x) = −105
, 10 x < 15
1 , x 15
0 , x < 10 atau x 50 (x) =−10
5 , 10 x < 15
1 , 15 x < 4550−
5 , 45 x < 50
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 7/60
6
1 , x < 10 atau x 50 (x) =15−
5 , 10 x < 15
0 , 15 x < 45−45
5 , 45 x < 50
0 , x < 45
T (x) = −45
15 , 45 x < 60
1 , x 60
1 , x < 45 (x) =60−
15 , 45 x < 60
0 , x 60
0 , x < 10 atau x 15
AM (x) =−10
5 , 10 x < 12,5
15−5
, 12,5 x < 15
0 , x < 10
MT (x) =−10
5 , 10 x < 15
1 , 15 x < 4550−
5 , 45 x < 48,75−45
15 , 48,75 x < 60
1 , x 60
Fuzzy Relations
Relasi fuzzy melibatkan dua buah himpunan yang saling berelasi. Misal usia dengan kekuatan.
Konsep-konsep dasar himpunan Fuzzy
Support dari himpunan A adalah yang memiliki fungsi keanggotaan A (x) > 0.
Supp (A) = { x U | A (x) > 0 }
Contoh : (di Wang) several = 0,5
3+
0,8
4+
1
5+
1
6+
0,8
7+
0,5
8
Supp (several) = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Konsep lain: alpha cut (cut)
cut (A) = { x U | A (x) }
Misalnya: untuk = 0,7 maka several = {4, 5 , 6 ,7}
1
10 15 45 50 60
anak muda tua
usia
1
10 15 45 50 60
anak muda tua
usia
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 8/60
7
Pada fuzzy yang kontinu.
Jika = 0,1 maka A = [-0,9 ; 0,9]
Jika = 0,9 maka A = [-0,1 ; 0,1]
0-1 1
1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 9/60
8
Pertemuan 3 (19 September 2012)
Standard Zadeh
µAB (x) = max (µA (x), µB (x))
µAB (x) = min (µA (x), µB (x))
= 1 - µA (x)
Operator-operator yang lain:
Fuzzy Complement, yang penting memenuhi 2 syarat pokok. Fuzzy complement merupakan komplemen
jika memenuhi aksioma-aksioma:
i)
C(0) = 1 dan C(1) = 0 (boundary condition)
ii) a, b [0, 1] jika a ≤ b maka C(a) ≥ C(b) (non increasing condition)
Contoh:
µA (x1) = 0,5 , x2 < x1
µA (x2) = 0,2 2 > 1
1
= 0,5
2 = 0,8
Berdasarkan aksioma di atas, berikut termasuk complement:
1.
Sugeno Complement
C (a) =1−
1+ , (-1, )
Kalau: a = 0,2 =1−0,2
1+0,2
b = 0,4 =1−0,4
1+0,4
2.
C (a) =1−+1− , [0, 1]
Jika: a = 0
=
1−00+
1
−0
= = 1
a = 1 = 1−11+1−1 = 01 = 0
3.
Yager Complement
C(a) = (1 – a)1/ , (0, )
a = 0 = (1 – 0)1/ = 1
a = 1 = (1 – 1)1/ = 0
Contoh:
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 10/60
9
1.
x : {1, 2, 3, 4, 5}
A = 0
1+
1
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,2
5
B = 0
1+
0,5
2+
0,7
3+
0,2
4+
0,4
5
Tentukan A-B, B-A, dengan menggunakan C Sugeno = 2! (standard himpunan)
= (1−0)/(1+2.0)1
+ (1−1)/(1+2.1)2
+ (1−0,5)/(1+2.0,5)3
+ (1−0,3)/(1+2.0,3)4
+ (1−0,2)/(1+2.0,2)5 = 1
1+
0
2+
0,25
3+
0,44
4+
0,57
5
B = (1−0)/(1+2.0)
1+
(1−0,5)/(1+2.0,5)
2+
(1−0,7)/(1+2.0,7)
3+
(1−0,2)/(1+2.0,2)
4+
(1−0,4)/(1+2.0,4)
5
= 1
1+
0,25
2+
0,125
3+
0,57
4+
0,33
5
A – B = A Bc = min (0,1)
1+
min (1,0.25)
2+
min (0.5,0.125)
3+
min (0.3,0.57)
4+
min (0.2,0.33)
5
= 0
1+
0,25
2+
0,125
3+
0,3
4+
0,2
5
B – A = B Ac = min (0,1)
1+
min (0.5,0)
2+
min (0.7,0.25)
3+
min (0.2,0.44)
4+
min (0.4,0.57)
5
=
0
1 +
0
2 +
0,25
3 +
0,2
4 +
0,4
5
Untuk yang gabungan (union), misalkan akan diperiksa apakah hukum de Morgan berlaku jika
menggunakan Sugeno Complement dengan = 2?
Contoh:
(A B)c = Ac Bc
A = 0
1+
1
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,2
5
B = 0
1+
0,5
2+
0,7
3+
0,2
4+
0,4
5
Ac = 1
1+
0
2+
0,25
3+
0,44
4+
0,57
5
Bc =
1
1+
0,25
2+
0,125
3+
0,57
4+
0,33
5
(A B) = 0
1+
1
2+
0,7
3+
0,3
4+
0,4
5 (A B)c = (1−0)/(1+2.0)
1+
(1−1)/(1+2.1)
2+
(1−0,7)/(1+2.0,7)
3+
(1−0,3)/(1+2.0,3)
4+
(1−0,4)/(1+2.0,4)
5
= 1/1
1+
0/3
2+
0,3/2,4
3+
0,7/1,6
4+
0,6/1,8
5
= 1
1+
0
2+
0,125
3+
0,44
4+
0,33
5
Ac Bc = min (1,1)
1+
min (0,0.25)
2+
min (0.25,0.125)
3+
min (0.44,0.57)
4+
min (0.57,0.33)
5
= 1
1+
0
2+
0,125
3+
0,44
4+
0,33
5
Dengan menggunakan komplemen Sugeno dan union/intersection standard, hukum de Morgan tetap
berlaku.
(A B) = 0
1+
0,5
2+
0,5
3+
0,2
4+
0,2
5
(A B)c = (1−0)/(1+2.0)
1+
(1−0,5)/(1+2.0,5)
2+
(1−0,5)/(1+2.0,5)
3+
(1−0,2)/(1+2.0,2)
4+
(1−0,2)/(1+2.0,2)
5
= 1/1
1+
0,5/2
2+
0,5/2
3+
0,8/1,4
4+
0,8/1,4
5
= 1
1+
0,25
2+
0,25
3+
0,57
4+
0,57
5
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 11/60
10
Ac Bc = max (1,1)
1+
max (0,0.25)
2+
max (0.25,0.125)
3+
max (0.44,0.57)
4+
max (0.57,0.33)
5
= 1
1+
0,25
2+
0,25
3+
0,57
4+
0,57
5
Relasi / Fungsi
C : [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] complement
Union (S-Norm)
S : [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] [ 0, 1 ]
Union dari himpunan fuzzy dengan himpunan fuzzy menghasilkan sebuah himpunan fuzzy.
µA (x) dan µB (x) µAB (x)
Pemetaan fungsi keanggotaan himpunan A dan himpunan B ke fungsi keanggotaan A B dinyatakan:
S (µA (x), µB (x)) = µAB (x)
Suatu fungsi S merupakan fungsi union (S-norm) jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
1.
S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a (boundary condition)
2.
S(a, b) = S(b, a) (comutative condition)
3.
Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’ maka S(a, b) ≤ S(a’, b’) (non decreasing condition)4.
S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (assosiative condition)
Beberapa fungsi yang memenuhi S-Norm
1.
Dombi Class
S(a, b) =1
1+1−1−+1−1− −1 , [ 0, ]
2.
Dubois-Prade Class
S(a, b) =+−−min ( , ,1−)
max (1−,1−,) , [ 0, 1]
3.
Yager Class
S (a, b) = 1, + 1
, [ 0, ]
4.
Drastic Sum
a, jika b = 0
SDS (a, b) = b, jika a = 0
1, others
5.
Einstein Sum
SES (a, b) =+
1+
6.
Algebraic Sum
S AS (a, b) = a + b – ab
7.
Zadeh – Standard
S (a, b) = max (a, b)
Contoh:
x = {1, 2, 3, 4, 5}
A = 0
1+
1
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,2
5
B = 0
1+
0,5
2+
0,7
3+
0,2
4+
0,4
5
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 12/60
11
Drastic Sum
SDS (x) = 0
1+
1
2+
1
3+
1
4+
1
5
Algebraic Sum
SAS (x) =
0+0−(0∗0)
1+1+0,5−(1∗0,5)
2+0,5+0,7−(0,5∗0,7)
3+0,3+0,2−(0,3∗0,2)
4+0,2+0,4−(0,2∗0,4)
5
= 0
1 +
1
2 +
0,85
3 +
0,44
4 +
0,52
5 Pertemuan 4 (26 September 2012)
Untuk sembarang S-norm, berlaku:
max (a, b) ≤ S (a, b) ≤ SDS (a, b)
Pembuktian:
1.
Max (a, b) ≤ S (a, b)
Menurut aksioma 1 dan 3
S (a, b) ≥ S (a, 0) = a
Juga
S (a, b) = S (b, a) ≥ S (b, 0) = b
Dari (1) dan (2) diperoleh: S (a, b) ≥ max (a, b)
Atau max (a, b) ≤ S (a, b)
2.
Drastic Sum menyatakan a jika b = 0, b jika a = 0, 1 untuk yang lain.
S (a, b) ≤ SDS (a, b)
Di matematika, dikenal dengan pembuktian berdasarkan kasus:
o
Jika b = 0, S(a, b) = S (a, 0) = a, sehingga S(a, b) = SDS (a, b) = a
o
Jika a = 0, S(a, b) = S (0, b) = b, sehingga S(a, b) = SDS (a, b) = b
o
Jika a 0, b 0, sehingga SDS (a, b) = 1 ≥ S (a, b)
Dari ketiga kondisi di atas, diperoleh S (a, b) ≤ SDS (a, b)
Fuzzy Intersection (T-Norm)
t : [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] [ 0, 1 ]
Pemetaan fungsi keanggotaan fuzzy A dan B ke fungsi keanggotaan himpunan fuzzy A B
t (µA (x), µB (x)) = µAB (x)
Yang sudah dikenal sebelumnya (standard Zadeh)
µAB (x) = min (µA (x), µB (x))
Aksioma-aksioma pada t-norm
1.
t(0, 0) = 0, t(1, a) = t(a, 1) = a (boundary condition)
2.
t(a, b) = t(b, a) (comutative condition)
3.
Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’ maka t(a, b) ≤ t(a’, b’) (non decreasing condition)4.
t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c)) (assosiative condition)
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 13/60
12
Beberapa fungsi yang memenuhi t-norm
1.
Dombi Class
t(a, b) =1
1+1−1+1−1 1 , [ 0, ] pembuktian pake pendekatan limit
2.
Dubois-Prade Class
t(a, b) = .max ( , ,) , [ 0, 1]
3.
Yager Class
Tw (a, b) = 1−1, 1− + 1− 1/ , [ 0, ]
4.
Drastic Product
a, jika b = 1
tDS (a, b) = b, jika a = 1
0, others
5.
Einstein Product
tEP (a, b) = .2−(+− )
6.
Algebraic Product
tAP (a, b) = a.b
7.
Zadeh – Standard
t (a, b) = min (a, b)
Untuk sembarang t-norm, berlaku:
tDP (a, b) ≤ t (a, b) ≤ min (a, b)
Bukti:
1.
tDP (a, b) ≤ t (a, b)
Jika b = 1, t (a, b) = t (a, 1) = a sehingga t (a, b) = tDP (a, b) = a
Jika a = 1, t (a, b) = t (1, b) = b sehingga t (a, b) = tDP (a, b) = b
Jika a 1, b 1 sehingga tDS (a, b) = 0 ≤ t (a, b)
2.
t (a, b) ≤ min (a, b)
Menurut aksioma 1 dan 3
t (a, b) ≤ t (a, 1) = a (1)
Juga
t (a, b) = t (b, a) ≤ t (b, 1) = b (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh: t (a, b) ≤ min (a, b)
Atau min (a, b) ≥ t (a, b)
Contoh:
x = {1, 2, 3, 4, 5}
A = 0
1+
1
2+
0,5
3+
0,3
4+
0,2
5
B = 0
1+
0,5
2+
0,7
3+
0,2
4+
0,4
5
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 14/60
13
Standard Zadeh
µAB (x) = min (0,0)
1+
min (1,0.5)
2+
min (0.5,0.7)
3+
min (0.3,0.2)
4+
min (0.2,0.4)
5
= 0
1+
0,5
2+
0,5
3+
0,2
4+
0,2
5
Algebraic Product
µAB (x) = 0∗01 + (1∗0,5)2 + (0,5∗0,7)
3 + (0,3∗0,2)4 + (0,2∗0,4)
5 = 0
1+
0,5
2+
0,35
3+
0,06
4+
0,08
5
Drastic Product
µAB (x) = 0
1+
0,5
2+
0
3+
0
4+
0
5
Hukum de Morgan ∪ = ∩
Jika diterjemahkan dalam bentuk Fuzzy
,
=
,
Contoh: Buatlah , dengan Yager Class dan Algebraic Sum/Product menggunakan C Standar
Yager Class : Sw (a, b) = 1, + 1
tw (a, b) = 1 −1, 1− + 1− 1/ , = , = 1 – 1, + 1
Algebraic Sum : SAS (a, b) = a + b – ab
Product : tAP (a, b) = a.b
C(a) = 1 – a
C(b) = 1 – b
, = (1 – a) (1 – b) = 1 – a – b + ab, = 1 – (a + b – ab) = 1 – a – b + ab
Contoh:
Buatlah , = , dengan Algebraic Sum/Product menggunakan C Standard.
tAP (a, b) = a.b, = 1 – a.b
C(a) = 1 – a
C(b) = 1 – b
,
= (1 – a) + (1 – b) – (1 – a) * (1 – b)
= 2 – a – b – (1 – a – b + ab)= 1 – ab
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 15/60
14
Relasi Fuzzy
Relasi : cara mengkawankan
A B
Cartesian Product untuk dua himpunan A dan B
A x B = { (x, y) | x A, y B }
Pada keanggotaan biner, relasi dari A ke B = subset dari A x B
Misal: A = {1, 2}, B = {a, b}
A x B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b) } R = { (1, a), (2, b)
B x A = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) } S = { (a, 2), (b, 1)
A x A = A2 = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
Jika A B maka A x B B x A
Syarat keanggotaan klasik µR (x, y) { 0 , 1 }
Ditulis: 1 , (x, y) R
µR (x, y) =
0 , (x, y) R
Misal:
A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}
R = { (1, b), (3, b), (2, c) }
= 1
(1,)+
1
(3,)+
1
(2,)
Dalam bentuk gambar:
A B
1
2
a
b
c3
Kalau di Fuzzy µR (x, y) [ 0, 1 ]
Tidak hanya pada semesta yang diskrit, bisa juga didefinisikan pada semesta yang kontinu.
Sembarang relasi biner A ke A atau B ke B
UA = A x A (univers semesta pembicaraan)
IA = { (x, y) | x = y, x, y A } I : Identitas
Misal : A = {0, 1, 2}
UA = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) }
IA = { (0, 0), (1, 1), (2, 2) }
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 16/60
15
Misalkan suatu relasi : S = { (x, y) | y ≥ 2x, x, y R }
Semua sifat pada himpunan juga berlaku pada relasi.
Misalkan R dan S adalah relasi. Maka berlaku:
R S, R S, Rc, Sc
Sifat-sifat relasi:
Didefinisikan relasi R, S pada X, Y.
R X x Y (subset dari X x Y)
S X x Y (subset dari X x Y)
Maka:
R S µRS (x, y) = S (µR (x, y), µS (x, y)) = max (µR (x, y), µS (x, y)) (standard zadeh)
R S µRS (x, y) = t (µR (x, y), µS (x, y)) = min (µR (x, y), µS (x, y)) (standard zadeh)
Rc = ,= C (µR (x, y)) = 1 - µR (x, y) (standard zadeh)
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}
R = { (1, b), (3, b), (2, c) }
S = { (1, a), (2, b), (1, b), (3, e) }
R S = { (1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, b), (3, e) }
R S = { (1, b) } = semua anggota semesta yang bukan relasi R. (Semesta = U = A x B)
Komposisi Relasi
A B
1
2
a
b
c3
C
x
y
z
Relasi langsung dari A ke C T = R S
Misalkan kita mempunyai R : relasi dari semesta X ke Y dan
S : relasi dari semesta Y ke Z
Maka relasi T yang merealisasikan dari X ke Z disebut komposisi relasi.
Contoh :
R = { (x1, y1), (x1, y3), (x2, y4) }
S = { (y1, z2), (y3, z2) }
Apa relasi T dari X ke Z ?
T = R S
Kita bisa menggunakan 2 buah metode:
1.
Max-Min Komposisi relasi
2.
Max – Product komposisi relasiX Y
1
2
1
2
33
Z
1
2
4
R S
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 17/60
16
Jika digambarkan secara membership function1 2 3 4 1 2
R =
12
3
1 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
S =
123
4
0 1
0 0
0 1
0 0
T (x1, z1) =1 ,, , 1
= 1,0,0,0,1,0,0,0
= 0,0,0,0 = 0
T (x1, z2) =1 ,, , 2
= 1,1,0,0,1,1,0,0
= 1,0,1,0 = 1
Dan seterusnya, sehingga diperoleh:
1
2
T =123
0 10 0
0 0
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 18/60
17
Pertemuan 5 (3 Oktober 2012)
Pada logika Crisp
T = R S
µT (x, z) =
,
∧ ,
∈ max – min
µT (x, z) = , ∘ ,∈ max – product
Relasi Fuzzy
Relasi crisp tidak akan dapat merepresentasikan dengan baik untuk kasus sebagai berikut:
X = {SF, HK, TKY} , Y = { Boston, HK }
R : x R sangat jauh (very var)
Misal :
R =
0,3 0,9
1 00,95 0,1
Kalau di crisp relasi adalah subset dari A x BKalau di fuzzy relasi adalah A x B itu sendiri
Relasi Fuzzy: Q = { ((u1, u2, ..., un), µQ (u1, u2, ..., un)) | (u1, u2, ..., un) U1 x U2 x ... x Un }
Dimana µQ (u1, u2, ..., un) [0, 1]
Misal: A : himpunan fuzzy pada semesta X
B : himpunan fuzzy pada semesta Y
Jadi R : A B adalah A x B maknanya A x B = R (X x Y), dengan µR (x, y) = min (µA (x), µB (y))
Contoh:
X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2}
A =0,2
1
+0,5
2
+1
3
B =0,31
+0,92
1 2
R =
123
min (0.2,0.3) min (0.2,0.9)
min (0.5,0.3) min (0.5,0.9)
min( 1,0.3) min (1,0.9)
1 2
=
123
0,2 0,2
0,3 0,50,3 0,9
Relasi Fuzzy
Komposisi Relasi Fuzzy
Misal: diberikan 2 relasi S (x, y) dan T (y, z) maka komposisi relasi dinyatakan S T adalah relasi pada X x
Z dengan fungsi keanggotaan µST (x, z) = max t (µS (x, y), µT (y, z)), dimana t = t-norm.
Contoh:
X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2}, Z = { z1, z2 }
A =0,21
+0,52
+13
B =0,31
+0,92
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 19/60
18
C =11
+0,52
R1 : A B
R2 : B C1 2
R1 = 1
23
0,2 0,2
0,3 0,50,3 0,9 1 2
R2 =12
0,3 0,3
0,9 0,5
µR1R2 (x1, z1) = max (min (µR1 (x1, y1), µR2 (y1, z1) ), min (µR1 (x1, y2), µR2 (y2, z1) ))
R1 R2 = 0,2 0,2
0,3 0,5
0,3 0,9 0,3 0,3
0,9 0,5
= max
min
0.2,0.3
,min
0.2,0.9
max
min
0.2,0.3
,min
0.2,0.5
maxmin0.3,0.3,min0.5,0.9 maxmin0.3,0.3,min0.5,0.5maxmin0.3,0.3,min0.9,0.9 maxmin0.3,0.3,min0.9,0.5 = 0,2 0,2
0,5 0,5
0,9 0,5
Diketahui:
R : A A Tentukan R R
A =0,21
+0,52
+13
R R = 0,2 0,2 0,2
0,2 0,5 0,50,2 0,5 1 0,2 0,2 0,2
0,2 0,5 0,50,2 0,5 1 = 0,2 0,2 0,2
0,2 0,5 0,50,2 0,5 1 =
Contoh di Wang
P (very far) : U V
0,3 0,9
1 00,95 0,1
Q (very near) : V W
0,95 0,1
0,1 0,9
P Q = ? Max – Min 0.3,0.95,0.9,0.1 0.3,0.1,0.9,0.91,0.95,0,0.1 1,0.1,0,0.90.95,0.95,0.1,0.1 0.95,0.1,0.1,0.9
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 20/60
19
=
0,3 0,9
0,95 0,1
0,95 0,1
Max – Product
0.285,0.09 0.03,0.810.95,0 0.1,00.9025,0.01 0.095,0.09
=
0,285 0,81
0,95 0,1
0,9025 0,095
Sifat-Sifat Relasi pada Himpunan Crisp
Diberikan A : himpunan.
Didefinisikan Relasi R : A A (A2). Berikut sifat-sifat relasi:
1.
Reflektif, x A, x R x
a b c d
a 1
b 1
c 1
d 1
2.
Simetris, x, y A, jika x R y maka y R x
a b c da 1 1 1
b 1
c 1 1
d 1 1
3.
Transitif, x, y, z A, jika x R y dan y R z maka x R z
Jika hanya memenuhi (a) refleksif dan (b) simetris maka disebut relasi tolerans, sedangkan jika
ditambahkan (c) transitif maka disebut relasi ekuivalensi .
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 21/60
20
Relasi tolerans bisa diekuivalensikan dengan melakukan komposisi relasi terhadap dirinya sendiri
maksimum (n-1) kali. R1(n-1)
= R1 R1 ... R1 (sebanyak n-1 kali)
Contoh:1 2 3 4 5
R1 = 1
2
345
1 1 0 0 0
1 1 0 0 1
0 0 1 0 00 0 0 1 0
0 1 0 0 1
Sifat: reflektif, simetris, tetapi tidak transitif
(x1, x2) R dan (x2, x5) R tetapi (x1, x5) R tidak transitif
R1 R1 =
1 1 0 0 0
1 1 0 0 10 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
1 1 0 0 0
1 1 0 0 10 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
=
1 1 0 0 11 1 0 0 10 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 1 0 0 1 = R1
2 ekuivalens.
Bagaimana pada relasi fuzzy?
Relasi fuzzy merupakan relasi ekuivalensi jika:
1.
Reflektif : (xi, xi) R, µR (xi, xi) = 1
2.
Simetris : µR (xi, x j) = µR (x j, xi)
3.
Transitif : µR (xi, x j) = 1 dan µR (x j, xk) = 2 maka µR (xi, xk) = dengan ≥ min (1, 2)
Seperti pada relasi crisp, jika relasi fuzzy bersifat reflektif dan simetris (toleran), maka dapat dibawa ke
ekuivalensi :
R1(n-1) = R1 R1 ... R1
Contoh:
Diberikan R =
1 0,8 0 0,1 0,2
0,8 1 0,4 0 0,9
0 0,4 1 0 00,1 0 0 1 0,5
0,2 0,9 0 0,5 1
Refleksif & simetris tetapi tidak transitif.
µR (x1, x2) = 0,8
µR
(x2, x5) = 0,5µR
(x1, x5) = 0,2 ≥ min (0.8; 0.5) salah, tidak transitif.
R R =
1 0,8 0 0,1 0,2
0,8 1 0,4 0 0,9
0 0,4 1 0 00,1 0 0 1 0,5
0,2 0,9 0 0,5 1
1 0,8 0 0,1 0,2
0,8 1 0,4 0 0,9
0 0,4 1 0 00,1 0 0 1 0,5
0,2 0,9 0 0,5 1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 22/60
21
=
1 0,8 0,4 0,2 0,8
0,8 1 0,4 0,5 0,9
0,4 0,4 1 0 0,4
0,2 0,5 0 1 0,5
0,8 0,9 0,4 0,5 1
µR (x1, x2) = 0,8µR
(x2, x4) = 0,5
µR (x1, x4) = 0,2 ≥ min (0.8; 0.5) salah, tidak transitif.
R R =
1 0,8 0,4 0,2 0,8
0,8 1 0,4 0,5 0,9
0,4 0,4 1 0 0,4
0,2 0,5 0 1 0,5
0,8 0,9 0,4 0,5 1
1 0,8 0,4 0,2 0,8
0,8 1 0,4 0,5 0,9
0,4 0,4 1 0 0,4
0,2 0,5 0 1 0,5
0,8 0,9 0,4 0,5 1
= 1 0,8 0,4 0,5 0,8
0,8 1 0,4 0,5 0,9
0,4 0,4 1 0,4 0,40,5 0,5 0,4 1 0,5
0,8 0,9 0,4 0,5 1 µR
(x1, x2) = 0,8
µR (x2, x3) = 0,4
µR (x1, x3) = 0,4 ≥ min (0.8; 0.4) benar, transitif.
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 23/60
22
Pertemuan 6 (10 Oktober 2012)
VARIABEL LINGUISTIK DAN ATURAN FUZZY
Variabel Linguistik: variabel yang bisa dinyatakan dengan bahasa alami. Contoh: suhu, tekanan udara,
berat.
Variabel linguistik merupakan dasar representasi pengetahuan.
Zadeh : (X, T, U, M)
X : nama variabel linguistik
T : Himpunan Fuzzy linguistik
U : Domain variabel linguistik
M : Aturan bagi masing-masing fuzzy-nya (membership function untuk T )
Contoh:
X : kecepatan mobil
T : { lambat, sedang, cepat }
U : [ 0, Vmax] = [ 0, 120 ]
M : { µlambat (x), µsedang (x), µcepat (x) }
1 , x ≤ 40
µlambat (x) =60−
20 , 40 ≤ x ≤ 60
0 , x ≥ 60
0 , x ≤ 40 atau x ≥ 80
µsedang (x) =−40
20 , 40 ≤ x ≤ 60
80−20
, 60 ≤ x ≤ 80
0 , x ≤ 60
µcepat (x) =
−60
20 , 60 ≤ x ≤ 80
1 , x ≥ 80
Istilah-istilah pada variabel linguistik:
-
Primary term: lambat, sedang, cepat
-
Combination term: lambat dan sedang, lambat dan tidak cepat, sedang atau cepat
-
Hedges term (penyangatan): sangat (very), agak (rather)
Sangat/very (x) 2
Agak / rather Ada juga yang mendefinisikan fungsi tersendiri untuk ‘sangat’ dan ‘agak’.
40 60 80 120x
y
lambat cepat
Sangat
lambat
Sangat
cepat
40 60 80 120x
y
lambat sedang cepat
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 24/60
23
Kombinasi:
-
sangat lambat dan agak cepat 2,
-
Tidak sangat cepat
1 -
2
Contoh:
U = { 1, 2, 3, 4, 5 }
µkecil (x) = 1
1+
0,8
2+
0,6
3+
0,4
4+
0,2
5
µ agak kecil (x) = 1
1+
0,89
2+
0,77
3+
0,63
4+
0,45
5
µ tidak kecil (x) = 0
1+
0,2
2+
0,4
3+
0,6
4+
0,8
5
µsangat tidak kecil (x) = 0
1+
0,04
2+
0,16
3+
0,36
4+
0,64
5
Aturan Fuzzy
IF < proposisi fuzzy > THEN < proposisi fuzzy >
Proposisi fuzzy :
-
Atomic : bisa dieksekusi secara langsung dengan atomic function
X is A
µA (x) = ?
-
Compound/majemuk :
Jika pake AND (intersection) gunakan membership function t-norm
Jika pake OR (union) gunakan membership function s-norm
Jika pake NOT gunakan fuzzy complement
Untuk proposisi fuzzy yang compound bisa berasal dari linguistik / domain yang berbeda.
Misal: kecepatan angin + kelembaban udara curah hujan.Misalkan: x, y variabel linguistik pada V dan W
A, B himpunan fuzzy pada V dan W
AND : x is A and y is B A B
µAB (x, y) = t (µA (x), µB (y))
OR : x is A or y is B A B
µAB (x, y) = S (µA (x), µB (y))
NOT : , = 1 - µA (x, y)
Contoh:
µFP (x) = S 1− , , 1−
µFP (x) = S 1− , 2 , 1− ℎ
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 25/60
24
µFP (x) = S 1− , 2 , 1− ℎ
µFP (x) = S
1
−
,
2
,
1
−
Interpretasi Sebuah Aturan Fuzzy IF-THEN
p q ∨
p q ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ 1 ∧ ∨ ∨
Beberapa interpretasi fuzzy IF – THEN (Bentuk umum: IF <FP1> THEN <FP2>
1.
Implikasi Dienes – Rescher, = 1 − 1, 2 2.
Implikasi Lukasiewicz
, = 1, 1− 1+ 2 3.
Implikasi Zadeh, = 1,2, 1− 1 4.
Implikasi Godel
1 , 1 ≤ 2 , = 2 , yang lain
5.
Implikasi Mamdani
Min, = 1,2
Product
, = 1 ∘ 2 Contoh:
U = {1, 2, 3, 4}
V = {1, 2, 3}
Large :0
1+
0,1
2+
0,5
3+
1
4 , pada U
Small :1
1+
0,4
2+
0,2
3 , pada V
Rule : IF x is Large THEN y is ‘agak not small’
Tentukan µQ (x, y) dengan metode Dienes – Rescher dan Zadeh
Jawab:
Not Small :0
1
+0,6
2
+0,8
3
Agak not small :0
1+
0,77
2+
0,89
3
Metode Dienes – Rescher
R :Agak not
small
Large
1 2 3
0 0,77 0,89
1 0 1 1 1
2 0,1 0,9 0,9 0,9
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 26/60
25
3 0,5 0,5 0,77 0,89
4 1 0 0,77 0,89
µQD (x, y) =11,1 +
11,2 +11,3 +
0,92,1 +0,92,2 +
0,92,3 +0,53,1 +
0,773,2 +0,893,3 +
04,1 +0,774,2 +
0,894,3 Metode Zadeh
R :Agak not
small
Large
1 2 3
0 0,77 0,89
1 0 1 1 1
2 0,1 0,9 0,9 0,9
3 0,5 0,5 0,5 0,5
4 1 0 0,77 0,89
µQD (x, y) =11,1 +
11,2 +11,3 +
0,92,1 +0,92,2 +
0,92,3 +0,53,1 +
0,53,2 +0,53,3 +
04,1 +0,774,2 +
0,894,3 Contoh 2:
U = {1, 2, 3, 4}V = {1, 2, 3}
W = {1, 2, 3, 4}
Large :0
1+
0,1
2+
0,5
3+
1
4 , pada U
Small :1
1+
0,4
2+
0,2
3 , pada V
Middle :0,2
1+
0,8
2+
0,8
3+
0,2
4 , pada W
Rule : IF x is large AND x is middle THEN y is tidak kecil.
Tentukan µQ (x, y) dengan metode Dienes – Rescher
Jawab:
Tahap penyelesaian: Selesaikan dulu FP1 compound
x is large AND x is middle t-Norm
Misalkan digunakan t-Norm standard Zadeh
FP1 :min (0,0.2)
1+
min (0.1,0.8)
2+
min (0.5,0.8)
3+
min (1,0.2)
4 =
0
1+
0,1
2+
0,5
3+
0,2
4
FP2 :1−1
1+
1−0,4
2+
1−0,2
3 =
0
1+
0,6
2+
0,8
3
FP2
FP1 1 2 3
0 0,6 0,8
1 0 1 1 1
2 0,1 0,9 0,9 0,9
3 0,5 0,5 0,6 0,8
4 0,2 0,8 0,8 0,8
µQD (x, y) =11,1 +
11,2 +11,3 +
0,92,1 +0,92,2 +
0,92,3 +0,53,1 +
0,63,2 +0,83,3 +
0,84,1 +0,84,2 +
0,84,3 Contoh untuk fungsi kontinu
Misalkan:
x1 : kecepatan [0, 100]
x2 : akselerasi [0, 30]
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 27/60
26
y : kekuatan akselerator [0, 3]
Rule: IF x1 is slow AND x2 is small THEN y is large
35 55
slow
x1
1
10
small
x2
1
3
large
y
1
1 2
1 , x1 ≤ 35
µslow (x1) =55−1
20 , 35 ≤ x1 ≤ 55
0 , x1 ≥ 55
µsmall (x2) =10−2
10 , x2 ≤ 10
0 , x2 ≥ 10
0 , y ≤ 1
µlarge (y) = − 1 , 1 ≤ y ≤ 2 1 , y ≥ 2
Tentukan µQ (x1, x2, y), dimana intersection (AND) menggunakan aljabar product, dan IF-THEN
menggunakan Dienes-Rescher?
Jawab
FD1 = µslowsmall (x1, x2) menggunakan algebraic product
0 , x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10
FD1 = µslowsmall (x1, x2) =55−1
20
∗10−2
10, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10
10−2
10, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10
Implikasi Dienes – Rescher, = 1− 1,2 1 , x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10
1− 1, = 1− 55−110−2200
, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10
1 -10
−2
10
=
2
10
, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10
35 55
slow
10
x1
x2
small
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 28/60
27
(x1, x2)
1
y
2
3
1
1
111
x1 ≥ 55 or
x2 ≥ 10
35 ≤ x1 ≤
55 and
x2 ≤ 10
x1 ≤ 35
and
x2 ≤ 10
1 , x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10 or y ≥ 2
1− 55−110−2200
, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10 and y ≤ 1, = 2
10, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10 and y ≤ 1
max 1− 55−110−2200
, − 1 , 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10 and 1 ≤ y ≤ 2
max 2
10 , − 1, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10 and 1 ≤ y ≤ 2
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 29/60
28
Latihan Soal:
Untuk semua soal menggunakan operator = 1− , µAB (x) = ,,µAB (x) = , 1.
Diketahui himpunan semesta U = {1, 2, 3} dan V = {a, b, c, d}
R1 =0,1
1,
+
0,3
1,
+
0,6
1,
+
0,8
1,
+
0,1
2,
+
0
2,
+
0,1
2,
+
0,5
2,
+
1
3,
+
0,8
3,
+
0,5
3,
+
0,1
3,
R2 = 0,1 ,1 + 0,8 ,2 + 0,4 ,3 + 0,2 ,1 + 0 ,2 + 0,4 ,3 + 0,1 ,1 + 0,3 ,2 + 0,5 ,3 + 0,6 ,1 + 0,2 ,2 + 0 ,3 Dengan menggunakan max-product tuliskan himpunan:
a.
R1 R2c
b.
R2 R1c
Jawab:
R1 =1
2
3
0,1 0,3 0,6 0,8
0,1 0 0,1 0,51 0,8 0,5 0,1
R1c = 0,9 0,7 0,4 0,2
0,9 1 0,9 0,50 0,2 0,5 0,9
1 2 3
R2 = 0,1 0,8 0,4
0,2 0 0,40,1 0,3 0,5
0,6 0,2 0 R2
c = 0,9 0,2 0,6
0,8 1 0,60,9 0,7 0,5
0,4 0,8 1
Relasi Fuzzy menggunakan max-product
a.
R1 R2c = 0,1 0,3 0,6 0,8
0,1 0 0,1 0,5
1 0,8 0,5 0,1 ° 0,9 0,2 0,6
0,8 1 0,60,9 0,7 0,5
0,4 0,8 1
1 2 3
=1
2
3 0,54 0,64 0,8
0,2 0,4 0,5
0,9 0,8 0,6
b.
R2 R1c = 0,1 0,8 0,4
0,2 0 0,4
0,1 0,3 0,5
0,6 0,2 0
° 0,9 0,7 0,4 0,2
0,9 1 0,9 0,50 0,2 0,5 0,9
=
0,72 0,8 0,72 0,4
0,18 0,14 0,2 0,36
0,27 0,3 0,27 0,45
0,54 0,42 0,24 0,12
2.
Sebuah variabel linguistik ‘Kecepatan’ mempunyai fungsi keanggotaan sebagai berikut:
Tentukan fungsi keanggotaan dari proposisi
berikut serta gambarkan grafiknya!
a.
P1 = ( x is S or x is Not F ) and x is M, dan
tentukan P1(70)
b.
P2 = ( x is M and x is not F ) or x is S dan
tentukan P2 (42)35 55 75 Vmax
1Slow (S) Fast (F)Medium (M)
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 30/60
29
Jawab:
1 , x ≤ 35
µs (x) =55−
20 , 35 ≤ x ≤ 55
0 , x ≥ 55
0 , x ≤ 35 or x ≥ 75
µm (x) =−35
20 , 35 ≤ x ≤ 55
75−20
, 55 ≤ x ≤ 75
0 , x ≤ 55
µf (x) =−55
20 , 55 ≤ x ≤ 75
1 , x ≥ 75
x is Not F
1 , x ≤ 55
=
75
−20
, 55 ≤ x ≤ 75
0 , x ≥ 75
x is S or x is Not F
35 55 75 Vmax
1Slow (S) Not F
0,1
, x ≤ 35 1 , x ≤ 55
∪ = 55−20 , 1 , 35 ≤ x ≤ 55 75−20 , 55 ≤ x ≤ 75 0,75−
20 , 55 ≤ x ≤ 75 0, x ≥ 75 0,0, x ≥ 75
( x is S or x is Not F ) and x is M
0
, x ≤ 35 or x ≥ 75 −35
20 , 35 ≤ x ≤ 55
75−20
, 55 ≤ x ≤ 75
P1 (70) =75
−70
20 = 0,25
x is M and x is not F ( x is M and x is not F ) or x is S
35 55 75 Vmax
1
35 55 75 Vmax
1
35 55 75 Vmax
1
35 55 75 Vmax
1 ∪∩ =
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 31/60
30
Menentukan titik potong 35 ≤ x ≤ 55 55−
20 =−35
20 55 – x = x – 35
2x = 90
x = 45
1 , x ≤ 35 55−20
, 35 ≤ x ≤ 45 ∩∪ = −35
20 , 45 ≤ x ≤ 55
75−20
, 55 ≤ x ≤ 75
0 , x ≥ 75
P2 (42) =55−
20 =
55−42
20 =
13
20 = 0,65
3.
Diberikan himpunan U = {1, 2, 3, 4}, V = {a, b, c} dan W = {#, *}. Untuk sembarang x U, y V, z W
diberikan aturan Fuzzy sebagai berikut:
Q = IF x is A and Y is not B THEN z is very C . Masing-masing himpunan fuzzy didefinisikan sebagai
berikut: A =0,3
1 +0,5
2 +0,7
3 +1
4, B =1
+0,4
+0,1
, dan C =0,75
# +0,25
∗ a.
Tentukan µQD (x, y, z) Implikasi Fuzzy Dienes-Rescher
b.
Tentukan µQZ (x, y, z) Implikasi Fuzzy Zadeh
Jawab:
FP1 = x is A and Y is not B t-Norm
Not B =0 +
0,6 +0,9
Y is not B
x is A a b c
0 0,6 0,9
1 0,3 0 0,3 0,3
2 0,5 0 0,5 0,53 0,7 0 0,6 0,7
4 1 0 0,6 0,9
µFD1 (x, y) =01, +
0,31, +0,31, +
02, +0,52, +
0,52, +03, +
0,63, +0,73, +
04, +0,64, +
0,94, FP2 = z is very C ..... hedges
C =0,75
#+
0,25∗
Very C =0,5625
#+
0,0625
∗
Implikasi Fuzzy Dienes-RescherFP2
FP1 # *
0,5625 0,0625
(1,a) 0 1 1
(1,b) 0,3 0,7 0,7
(1,c) 0,3 0,7 0,7
(2,a) 0 1 1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 32/60
31
(2,b) 0,5 0,5625 0,5
(2,c) 0,5 0,5625 0,5
(3,a) 0 1 1
(3,b) 0,6 0,5625 0,4
(3,c) 0,7 0,5625 0,3
(4,a) 0 1 1(4,b) 0,6 0,5625 0,4
(4,c) 0,9 0,5625 0,1
µQD (x, y, z) =11, ,# +
11, ,∗ +0,71, ,# +
0,71, ,∗ +0,771, ,# +
0,71, ,∗ +12, ,# +
12, ,∗ +0,56252, ,# +
0,52,,∗ +0,56252,,# +
0,52,,∗ +13, ,# +
13, ,∗ +0,56253, ,# +
0,43,,∗ +0,56253, ,# +
0,33, ,∗ +14, ,# +
14, ,∗ +0,56254, ,# +
0,44, ,∗ +
0,56254, ,# +0,14,,∗
Implikasi Fuzzy Zadeh
FP2FP1 # *
0,5625 0,0625
(1,a) 0 1 1
(1,b) 0,3 0,7 0,7
(1,c) 0,3 0,7 0,7
(2,a) 0 1 1
(2,b) 0,5 0,5 0,5
(2,c) 0,5 0,5 0,5
(3,a) 0 1 1
(3,b) 0,6 0,5625 0,4
(3,c) 0,7 0,5625 0,3
(4,a) 0 1 1
(4,b) 0,6 0,5625 0,4
(4,c) 0,9 0,5625 0,1
µQZ (x, y, z) =11, ,# +
11, ,∗ +0,71,,# +
0,71, ,∗ +0,71, ,# +
0,71, ,∗ +12, ,# +
12, ,∗ +0,52, ,# +
0,52, ,∗ +0,52, ,# +
0,52,,∗ +13, ,# +
13, ,∗ +0,56253, ,# +
0,43,,∗ +0,56253, ,# +
0,33, ,∗ +14, ,# +
14, ,∗ +0,56254, ,# +
0,44, ,∗ +
0,56254, ,# +0,14,,∗
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 33/60
32
Pertemuan 8 (7/11/2012)
FORMULA LOGIKA (Logic Formula)
Logika: studi tentang metode/prinsip penalaran.
Penalaran: bisa menemukan proposisi baru dari proposisi-proposisi yang sudah ada.
Rule formula logika:
1. Nilai kebenaran [0, 1] adalah logic formula
2. Jika p = proposisi, maka p dan logic formula
3. Jika p, q = proposisi, maka ∧ dan ∨ juga logic formula.
4.
Logic formula hanya dinyatakan dengan 1, 2, atau 3.
Inferensi hakikatnya menggunakan bentuk-bentuk tautologi (selalu benar).
Contoh-contoh tautologi:
1. ⇢ ⟺ ∨ 2.
⇢ ⟺ ∧ ∨
Semua bentuk tautologi, dapat digunakan untuk inferensi deduktif biasa dikenal: inference rule.
Ada tiga aturan yang sering dikenal:
1.
Modus Ponens (MP)
∧ → →
Dapat ditulis:
Premis 1 : x is A
Premis 2 : IF x is A THEN y is B
Conclusion : y is B
2.
Modus Tollens (MT)
∧ → → Dapat ditulis:
Premis 1 : y is not B
Premis 2 : IF x is A THEN y is B
Conclusion : x is not B
3. Hypothetical Syllogism (HS)
→ ∧ → ⟺ → Dapat ditulis:
Premis 1 : IF x is A THEN y is B
Premis 2 : IF y is B THEN z is C Conclusion : IF x is A THEN z is C
Prinsip dasar inferensi pada logika Fuzzy
Dikenal: GMP (Generalized Modus Ponens)
GMT (Generalized Modus Tollens)
GHS (Generalized Hypothetical Syllogism)
1. GMP
Premis 1 : x is A’
Premis 2 : IF x is A THEN y is B
Conclusion : y is B’
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 34/60
33
Kriteria x is A’ (premis 1) y is B’ (conclusion)
P1 x is A y is B
P2 x is very A y is very B
P3 x is very A y is B
P4 x is agak A y is agak B
P5 x is agak A y is BP6 x is not A Tidak tahu / unknown
P7 x is not A y is not B
2.
GMT
Premis 1 : y is B’
Premis 2 : IF x is A THEN y is B
Conclusion : x is A’
Kriteria y is B’ (premis 1) x is A’ (conclusion)
t1 y is not B y is not A
t2 y is not very B y is not very At3 y is not more or less B x is not more or less A
t4 y is B Tidak tahu / unknown
t5 y is B x is A
3.
GHS
Premis 1 : IF x is A THEN y is B
Premis 2 : IF y is B’ THEN z is C
Conclusion : IF x is A THEN y is C’
GMP
Diberikan himpunan fuzzy A’ dalam U (untuk x is A’ )
Aturan fuzzy : IF x is A THEN y is B
Relasi fuzzy A B dalam U x V
Suatu himpunan Fuzzy B’ dalam V didefinisikan: ′ = ∈ ′ , →,
→, : sembarang interpretasi fuzzy IF-THEN
t : sembarang t-Norm
Contoh: U = {x1, x2, x3), V = {y1, y2}
Didefinisikan aturan fuzzy: IF x is A THEN y is B
Dengan: A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.6/x3 dan
B = 1/y1 + 0.4/y2
Diberikan fakta: 0.6/x1 + 0.9/x2 + 0.7/x3
Tentukan: B’ a. Implikasi Dienes Rescher dan t min
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 35/60
34
, = 1 − ,
y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 1 0.5
x2 = 1.0 1 0.4
x3 = 0.6 1 0.4
Untuk y1 µB’ (y1) = Sup (min(0.6; 1), min(0.9;1), min(0.7;1))
= Sup (0.6; 0.9; 0.7)
= 0.9
Untuk y2 µB’ (y2) = Sup (min(0.6; 0.5), min(0.9;0.4), min(0.7;0.4))
= Sup (0.5; 0.4; 0.4)
= 0.5
B’ = 0.9/y1 + 0.5/y2
b.
Implikasi Mamdani Product dan t Aljabar Product
, = 1 ∙ 2 y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 0.5 0.2
x2 = 1.0 1.0 0.4
x3 = 0.6 0.6 0.24
Untuk y1 µB’ (y1) = Sup (0.6 0.5, 0.9 1, 0.7 0.6)
= Sup (0.3; 0.9; 0.42)
= 0.9
Untuk y2 µB’ (y2) = Sup (0.6 0.2, 0.9 0.4, 0.7 0.24)
= Sup (0.12; 0.36; 0.168)= 0.36
B’ = 0.9/y1 + 0.36/y2
Misal diberikan fakta :
1.
A’= A
2. A’ = Sangat A
3. A’ = Agak A
Dicoba dengan :
a. Implikasi Zadeh dan t Einstein Product
b. Implikasi Mamdani min dan Drastic Product
Jawab.1.
A’ = A
Implikasi Zadeh dan t Einstein Product
µQZ (x, y) = 1,2, 1 − 1 y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 0.5 0.5
x2 = 1.0 1.0 0.4
x3 = 0.6 0.6 0.4
tEP (a, b) = .
2−+−
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.5; 0.5, 1.0; 1.0, 0.6; 0.6
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 36/60
35
= 0.2; 1; 0.31 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.5; 0.5, 1.0; 0.4, 0.6; 0.4 = 0.25; 0.4; 0.19 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
Implikasi Mamdani min dan t - Drastic Product
µQM (x, y) = 1,2
y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 0.5 0.4
x2 = 1.0 1.0 0.4
x3 = 0.6 0.6 0.4
a, jika b = 1
tDP (a, b) = b, jika a = 10, others
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.5; 0.5, 1.0; 1.0, 0.6; 0.6 = 0;1;0 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.5; 0.4, 1.0; 0.4, 0.6; 0.4 = 0;0.4;0 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
2.
A’ = sangat A = 0.25/x1 + 1/x2 + 0.36/x3 Implikasi Zadeh dan t Einstein Product
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.25; 0.5, 1.0; 1.0, 0.36; 0.6 = 0.09; 1; 0.17 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.25; 0.5, 1.0; 0.4, 0.36; 0.4 = 0.09; 0.4; 0.10 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
Implikasi Mamdani min dan t - Drastic Product
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.25; 0.5, 1.0; 1.0, 0.36; 0.6 = 0;1;0 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.25; 0.4, 1.0; 0.4, 0.36; 0.4 = 0;0.4;0 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
3. A’ = agak A = 0.71/x1 + 1/x2 + 0.77/x3
Implikasi Zadeh dan t Einstein Product
Untuk y1 µB’ (y1) =
0.71; 0.5
,
1.0; 1.0
,
0.77; 0.6
= 0.31; 1; 0.42 = 1.0
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 37/60
36
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.71; 0.5, 1.0; 0.4, 0.77; 0.4 = 0.31; 0.4; 0.27 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
Implikasi Mamdani min dan t - Drastic ProductUntuk y1 µB’ (y1) = 0.71; 0.5, 1.0; 1.0, 0.77; 0.6
= 0;1;0 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.71; 0.4, 1.0; 0.4, 0.77; 0.4 = 0;0.4;0 = 0.4
B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 38/60
37
Pertemuan 9 (14/11/2012)
GMT
Didefinisikan himpunan fuzzy B’ (untuk y is B’ ) dan relasi A B dalam U x V (untuk representasi)
Aturan fuzzy : IF x is A THEN y is B
Maka himpunan fuzzy A’ dalam U didefinisikan: ′ = ∈ ′ , →,
Sembarang tautologi bisa digunakan untuk inferensi deduktif.
Contoh:
U ={x1, x2, x3}, V = {y1, y2}
Fuzzy IF-THEN
IF x is A THEN y is Bi
Dengan A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.1/x3
B = 1/y1 + 0.4/y2
Jika faktanya diberikan:B’ = 0.1/y1 + 0.7/y2
Tentukan A’ = ?
Gunakan:
a.
t Norm standard dan implikasi Dienes Rescher
y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 1 0.5
x2 = 1.0 1 0.4
x3 = 0.1 1 0.9
µA’ (x1) = ∈ ′ 1, → 1,1 ,′ 2, → 1,2
= 0.1, 1,0.7, 0.5
= Sup (0.1, 0.5)
= 0.5
µA’ (x2) = ∈ ′ 1, → 2,1 ,′ 2, → 2 ,2
= 0.1, 1,0.7, 0.4
= Sup (0.1, 0.4)
= 0.4
µA’ (x3) = ∈ ′ 1, → 3,1 ,′ 2, → 3 ,2
= 0.1, 1,0.7, 0.9
= Sup (0.1, 0.7)
= 0.7
A’ = 0.5/x1 + 0.4/x2 + 0.7/x3
b.
t Norm Algebra Product dan implikasi Mamdani - Min
y1
1
y2
0.4
x1 = 0.5 0.5 0.4
x2 = 1.0 1 0.4
x3 = 0.1 0.1 0.1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 39/60
38
µA’ (x1) = 0.1 × 0.5 , 0.7 × 0.4 = Sup (0.05, 0.28)
= 0.28
µA’ (x1) = 0.1 × 1 , 0.7 × 0.4 = Sup (0.1, 0.28)
= 0.28
µA’ (x1) = 0.1 × 0.1 , 0.7 × 0.1 = Sup (0.01, 0.07)
= 0.07
A’ = 0.28/x1 + 0.28/x2 + 0.07/x3
GHS
Diberikan relasi fuzzy A B (IF x is A THEN y is B) dalam U x V
Dan relasi fuzzy B’ C (IF y is B’ THEN z is C ) dalam V x W
Didefinisikan:
→ ′ , = ∈ →,,′→ ,
Contoh:
Diberikan U = {x1, x2, x3}, V = {y1, y2}, W = {z1, z2, z3}
Diketahui himpunan fuzzy A pada U dengan:
A = 0.2/x1 + 0.5/x2 + 0.8/x3
Didefinisikan himpunan fuzzy B pada V dengan:
B = 0.9/y1 + 0.4/y2
Dan C pada W dengan:
C = 0.9/z1 + 0.6/z2 + 0.3/z3
Jika diketahui fakta B’ = 0.8/y1 + 0.5/y
2
Tentukan: → ′ , !Aturan: t standard Zadeh dan implikasi Dienes Rescher
A By1
0.9
y2
0.4
x1 = 0.2 0.9 0.8
x2 = 0.5 0.9 0.5
x3 = 0.8 0.9 0.4
B’ Cz1
0.9
z2
0.6
z3
0.3
y1 = 0.8 0.9 0.6 0.3
y2 = 0.5 0.9 0.6 0.5
µAC’ (x1, z1) = 0.9, 0.9,0.8, 0.9 = Sup (0.9, 0.8) = 0.9
µAC’ (x2, z1) = 0.9, 0.9,0.5, 0.9 = Sup (0.9, 0.5) = 0.9
µAC’ (x3, z1) = 0.9, 0.9,0.4, 0.9 = Sup (0.9, 0.4) = 0.9
µAC’ (x1, z2) = 0.9, 0.6,0.8, 0.6 = Sup (0.6, 0.6) = 0.6
µAC’ (x2, z2) = 0.9, 0.6,0.5, 0.6 = Sup (0.6, 0.5) = 0.6
µAC’ (x3, z2) = 0.9, 0.6,0.4, 0.6 = Sup (0.6, 0.4) = 0.6
µAC’ (x1, z3) =
0.9, 0.3
,
0.8, 0.5
= Sup (0.3, 0.5) = 0.5
µAC’ (x2, z3) = 0.9, 0.3,0.5, 0.5 = Sup (0.3, 0.5) = 0.5
µAC’ (x3, z3) = 0.9, 0.3,0.4, 0.5 = Sup (0.3, 0.4) = 0.4
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 40/60
39
A C’ z1
0.9
z2
0.6
z3
0.3
x1 = 0.2 0.9 0.6 0.5
x2 = 0.5 0.9 0.6 0.5
x3 = 0.8 0.9 0.6 0.4
Jika A’ = Sangat A, tentukan µC’ (z) !
A = 0.2/x1 + 0.5/x2 + 0.8/x3
Sangat A = 0.04/x1 + 0.25/x2 + 0.64/x3
µC’ (z1) = ∈ 0.04,0.9,0.25,0.9,0.64,0.9
= sup (0.04, 0.25, 0.64)
= 0.64
µC’ (z2) = ∈ 0.04,0.6,0.25,0.6,0.64,0.6
= sup (0.04, 0.25, 0.6)
= 0.6µC’ (z3) = ∈ 0.04,0.5,0.25,0.5,0.64,0.4
= sup (0.04, 0.25, 0.4)
= 0.4
Jadi C’ = 0.64/z1 + 0.6/z2 + 0.4/z3
Kalo pake Modus Tollens, bisa ditanyakan:
Jika C’ = sangat C, tentukan µA’ (x) !
C = 0.9/z1 + 0.6/z2 + 0.3/z3
Sangat C = 0.81/z1 + 0.36/z2 + 0.09/z3
µA’ (x1) = ∈ 0.81,0.9,0.36,0.9,0.09,0.9 = sup (0.81, 0.36, 0.09)
= 0.81
µA’ (x2) = ∈ 0.81,0.6,0.36,0.6,0.09,0.6
= sup (0.6, 0.36, 0.09)
= 0.6
µA’ (x3) = ∈ 0.81,0.5,0.36,0.5,0.09,0.4
= sup (0.5, 0.36, 0.09)
= 0.5
A’ = 0.81/x1 + 0.6/x2 + 0.5/x3
Sifat-sifat Khusus
Akan dilihat nilai µA’(x), µB’(y), µAC’ (x, z) dengan berbagai variasi A’ dan B’.
1. GMP
Dipilih t-Norm : min dan implikasi: Mamdani Product
A : normal (ada nilai x yang membershift function = 1, ∈ = 1)
Beberapa tipe A:
a.
A’ = A (seperti pada konvensional)
µB’ (y) = ∈
,
∙
= Sup (µA (x), µB(y)) karena ∈ = 1
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 41/60
40
= µB (y)
b. A’ = very A
µB’ (y) =
∈ 2
, ∙
jika > = Sup (µA (x), µB(y))
= µB (y)
Contoh:
A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.4/x3
B = 1/y1 + 0.5/y2
A’ = A
A By1
1.0
y2
0.5
x1 = 0.5 0.5 0.25
x2 = 1.0 1.0 0.5
x3 = 0.4 0.4 0.2
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.5,0.5,1.0,1.0,0.4,0.4 = 0.5,1.0,0.4 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.5,0.25,1.0,0.5,0.4,0.2 = 0.25,0.5,0.2 = 0.5
B’ = B = 1/y1 + 0.5/y2
A’ = very A = 0.25/x1 + 1/x2 + 0.16/x3
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.25,0.5,1.0,1.0,0.16,0.4 = 0.25,1.0,0.16 = 1.0
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.25,0.25,1.0,0.5,0.16,0.2 = 0.25,0.5,0.16 = 0.5
B’ = B = 1/y1 + 0.5/y2
c. A’ = more or less A
µB’ (y) = ∈ , ∙ ∙ Jadi:
µB’ (y) = sup ∙ = µB (y)
d.
A’ = not A = 0.5/x1+ 0/x2 + 0.6/x3
Untuk y1 µB’ (y1) = 0.5,0.5,0,1.0,0.6,0.4 = 0.5,0.0,0.4 = 0.5
Untuk y2 µB’ (y2) = 0.5,0.25,0,0.5,0.6,0.2 = 0.25,0,0.2 = 0.25
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 42/60
41
B’ = B = 0.5/y1 + 0.25/y2
∈ terjadi apabial 1 - µA (x) = µA (x) . µB (y)
µA (x) . µB (y) + µA (x) = 1
µA (x) (µB (y) + 1) = 1
µA (x) =1
+1
=1 −
′ = +1
(titik potong)
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 43/60
42
Pertemuan 10 (21/11/2012)
1. GMP
Syarat:
- T Norm = min
-
µAB (x, y) = mamdani productJika:
a. A’ = A
b.
A’ = very A µB’ (y) = µB (y)
c.
A’ = more or less A
Contoh: fungsi kontinu
Misal: kita punya rule: if x is A then y is B
Contoh: jika harga tinggi maka stock rendah.
25 50 75Harga
1
100
Harga tinggi
5 10 15
Stock
1
20
Stock rendah
0 , x 50 1 , y 5
µA (x) =−50
25 , 50 x 75 µB (y) =
15−10
, 5 y 15
1 , 75 x 100 0 , 15 y 20
Buat µAB (x, y) dengan mamdani product.
50
75
100
0
0
0
00
5 15 20
1
m A(x)
mB(y)
m A(x)
.
mB(y)
0 , x 50 atau 15 y 20−50
25
, 50 x 75 dan y 5
µAB (x, y) =15−
10 , 75 x 100 dan 5 y 15
−50
25 15−
10 , 50 x 75 dan 5 y 15
1 , 75 x 100 dan y 5
Misalkan diberikan A’ sbb:
0 , x 25
µA’ (x) =−25
50 , 25 x 75
1 , 75 x 100
Harus fuzzy bukan crisp
25 50 75
1
100
A’
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 44/60
43
µB’ (y) = ∈ ′ , →,
1. y 5 µB’ (y) = ′ , 0, ′ , , ′ , 1
0 x 50 50 x 75 75 x 100
= 0, , 1 = 1
2. 5 y 15
µB’ (y) = ′, 0, ′, . ,1,
x 50 50 x 75 75 x 100
= 0, ., =
3.
15 y 20
µB’ (y) = ′, 0, ′, 0, ′, 0
0 x 50 50 x 75 75 x 100
= 0,0,0 = 0
1 , 0 y 5
µB’ (y) =15−
10 , 5 y 15
0 , 15 y 20
2. GMT
Fakta: IF x is A THEN y is B
y is B’
x is A
Syarat:
-
T Norm = min
-
µAB (x, y) = mamdani product-
Sup µB (y) = 1
µA’ (y) = ∈ ′ , →,
Misalkan: Diberikan B’ =
µA’ (y) = ∈ 1 − , .
Nilai ∈ minimum terjadi di y0 V, dimana:
1 − = .
.
+
= 1
+ 1 = 1
=1
1 + mA’ (x) = 1 - mB (y) = mA (x) . mB (y)
= mA (x) .1
1+ m B (y) substitusi dari hasil yg diperoleh sebelumnya
=
1+
Contoh 2:
Misalkan: Diberikan B’ = B
µA’ (x) = ∈ , .
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 45/60
44
= ∈ , .
= ∈ . µB(y) maksimal bernilai 1 sesuai dengan asumsi
= µA(x)
Contoh: fungsi kontinu di GMP1. B’ = B
50
75
100
0
0
0
00
5 15 20
1
m A(x)
mB(y)
m A(x)
.
mB(y)
Diberikan B’ = B
5 10 15Stock
1
20
Stock rendah
µA’ (x) = ∈ , →,
a. 0 x 50
µA’ (x) = 1,0,, 0,0,0 0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 0,0,0 = 0
b. 50 x 75
µA’ (x) = 1, ,, .,0,0
0 y 5 5 y 15 15 y 20
= , ., 0 =
c.
75 x 100
µA’ (x) = 1,1,,,0,0 0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 1,, 0 = 1
0 , 0 x 50
µA’ (x) = µA (x) =−50
25 , 50 x 75
1 , 75 x 100
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 46/60
45
2. B’ =
50
75
100
0
0
0
00
5 15 20
1
m A(x)
mB(y)
m A(x)
.mB(y)
Diberikan B’ =
0 , 0 y 5
µB’ (y) =−5
10 , 5 y 15
1 , 15 y 20
µA’ (x) = ∈ ′, →,
a. 0 x 50
µA’ (x) = 0,0,′ , 0,1,0 0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 0,0,0 = 0
b. 50 x 75
µA’
(x) =
0,
,
′ ,
.
,
1,0
0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 0,−5
10,−50
25×
15−10
, 0
= −5
10,−50
25×
15−10
=−50−25
Nilai Supy V min dicapai ketika:′ = . −5
10 =
−50
25×
15−10
− 5 =−5015−
25
25
−5
15− = − 50 25 (y – 5) = (x – 50) (15 – y)
25y – 125 = 15x – 750 – xy + 50y
-25y = 15x – xy – 625
xy – 25y = 15x – 625
y(x – 25) = 15x – 625
y =15−625
−25
µA’ (x) = ′ =
−5
10
=
15−625
−25−5
10
=15−625−5+125
10−25 =
10−500
10−25 =
10−5010−25
=−50−25
Atau bisa juga menggunakan rumus [Wang, 1997, p.84]:
5 10 15
1
20
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 47/60
46
mA’ (x) =
1+ =−50
25
1+−50
25
=
−50
2525+−50
25
=−50
−25
c.
75 x 100
µA’ (x) =
0,1,
′
,,
1,0
0 y 5 5 y 15 15 y 20 = 0,′ , , 0 = ′,
Sup minimum terjadi pada ′ = − 5
10=
15 − 10
y – 5 = 15 – y
2y = 20
y = 10
µA’ (x) = ′10 = 10−5
10 =
5
10 = 0.5
0 , 0 x 50
µA’ (x) = −50−25 , 50 x 75
0,5 , 75 x 100
3. B’ = not very B
50
75
100
0
0
0
00
5 15 20
1
m A(x)
mB(y)
m A(x)
.
mB(y)
Diberikan B’ = not very B
0 , 0 y 5
µB’ (y) = 1 − 15−10
2
, 5 y 15
1 , 15 y 20
µA’ (x) = ∈ ′, →, a. 0 x 50
µA’ (x) = 0,0,′, 0,1,0 0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 0,0,0 = 0
b. 50 x 75
µA’ (x) = 0, ,′, .,1,0
0 y 5 5 y 15 15 y 20
= 0,′, ., 0
= ′, .
5 10 15
1
20
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 48/60
47
Nilai Supy V min dicapai ketika:′ = . Dengan menggunakan rumus [Wang, 1997, p.84]
µA’ (x) = µA(x) . µB(y)
=
2 +4− 2 2
=
−50
25 −50
252
+4−−50
252
2
=−50
50 −50
252
+ 4 − 1
2−50
252
c.
75 x 100
µA’ (x) = 0,1,′ , ,1,0
0 y 5 5 y 15 15 y 20
=
0,
′
,
, 0
Sup minimum terjadi pada ′ = 1 − 15−10
2 =15−10
100−225+30− 2
100=
150−10100
y2 – 30y – 10y + 150 + 125 = 0
y2 – 40y + 275 = 0
y1,2 =−±2−4
2
=40± −402−4.1.275
2.1
=40± 500
2
=40±22,36
2
y1 =66,36
2 = 33,18 µA’ (x) =
15−33,18
10 = -1,818 (tidak memenuhi karena negatif)
y2 =17,64
2 = 8,82 µA’ (x) =
15−8,82
10 = 0,618
0 , 0 x 50
µA’ (x) =−50
50 −50
252
+ 4 − 1
2−50
252
, 50 x 75
0,618 , 75 x 100
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 49/60
48
Pertemuan 11
(28/11/2012)
FUZZY RULE BASED DAN FUZZY INFERENCE ENGINE
Fuzzy rule Based System Fuzzy Fuzzy Inference EngineArsitektur Sistem Fuzzy secara umum:
Fuzzifikasi:
1. Fuzzy singleton Tsukamoto ketika x=1
2.
Fuzzy Segitiga (triangular)3. Fuzzy Norm.
Yang kompleks:
U-nya banyak, misal:
U = U1 x U2 x ... x Un Rn
x = (x1, x2, ..., xn) Rn , y R multiple input, single output.
Struktur Basis Aturan Fuzzy
Secara umum bentuknya:
Rul : IF x1 is 1
and x2 is 2 and ... and xn is THEN y is B
l
dengan: dan Bl suatu himpunan fuzzy dalam U i R dan V R.
( x1 , x2 , ... , xn)T U = U1 U2 ... Un dan y V .
Misal:
- M : banyaknya aturan
- L = 1, 2, ..., M .
Aturan Fuzzy IF ... THEN dapat berbentuk:
a. Partial rules
IF x1 is 1 and ... and xm is THEN y is B
l , dimana m < n
Contoh:
Harga Stok Permintaan
Rendah Banyak Naik
Tinggi Sedikit Turun
Jika harga rendah dan stock banyak permintaan naik
Fuzzifier
Fuzzy
Inference Engine
DefuzzifierFuzzy Rule BasedInput
x U
(crisp)
Output
y V
(crisp)
Fuzzy set di U Fuzzy set di V
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 50/60
49
Kalo parsial:
Jika harga tinggi maka permintaan turun.
b. Formula OR
IF (x 1 is
1
and ... and x m is
) OR (x m+1 is
+1
and ... and x n is
) THEN y is Bl
c.
Pernyataan tunggal
y is Bl
d. Aturan Gradual
The smaller the x, the bigger the y
e. Aturan Non Fuzzy convensional production rules.
Properties Himpunan Rule
a.
Completeness (lengkap)
Suatu himpunan Fuzzy IF THEN disebut lengkap jika ada paling sedikit 1 aturan dari basis
aturan dimana () ≠ 0, untuk semua i = 1, 2, ..., n. Contoh Komplet:
U 1 U 2 V
Harga Stock Permintaan
Rendah Banyak Naik
Rendah Sedikit Turun
Tinggi Banyak Naik
Tinggi Sedikit Turun
IF x 1 is Rendah and x 2 is Banyak THEN y is B1
IF x 1 is Rendah and x 2 is Sedikit THEN y is B 2
IF x 1 is Tinggi and x 2 is Banyak THEN y is B3
IF x 1 is Tinggi and x 2 is Sedikit THEN y is B4
b. Consistent
Jika x-nya sama, maka y-nya tidak boleh beda.
FUZZY INFERENCE ENGINE
Rule based: himpunan m buah rule.
Prinsip: mengkombinasikan semua aturan/rule tersebut sehingga menjadi 1 rule dalam U V.
Yang perlu diketahui: intuitively antar rule bagaimana?
Misal:
IF X1 is A1 THEN y is B1
IF X2 is A2 THEN y is B2
IF X1 is A1 and X2 is A2 THEN y is B3 saling bergantungan
Mamdani saling independen pakai S-Norm
Godel saling bergantung pakai t-Norm
Apa makna dari aturan-aturan tersebut (secara intuitif)
1.
Aturan-aturan tersebut merupakan pernyataan kondisional yang independen.
union (s-norm) mamdani
2.
Semua aturan merupakan satu kesatuan (saling memberi dampak pada kesimpulan) interseksi (t-norm) godel
independen
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 51/60
50
Misal: Rnl relasi fuzzy pada U x V sebagai representasi fuzzy IF ... THEN (rule).
Rnl = 1 × 2
× ⋯× Bl
U = U1 U2 ... Un
Didefinisikan:
1 × 2 ×⋯× →1,2,⋯ , = 1 1
⋯
Dimana merepresentasikan sebarang operator t-norm.
Untuk sudut pandang Union, diperoleh relasi fuzzy QM dalam U V adalah:
=
=1
Kombinasi ini dikenal sebagai Kombinasi Mamdani, ditulis: , = 1,+ 2,+ ⋯+ , Dengan + sebarang s-norm.
Untuk sudut pandang irisan, diperoleh relasi fuzzy QG dalam U V adalah:
=
=1
Kombinasi ini dikenal sebagai Kombinasi Godel, ditulis: , = 1,2,⋯ , Dengan + sebarang t-norm.
Misal: A’ sebarang himpunan fuzzy dalam U (sebagai input)
′ = ∈ ′ ,, Union (Mamdani)
atau
′ = ∈ ′ ,, Irisan (Godel)
Contoh: A = { x1, x2, x3}B = { y1, y2}
Diberikan aturan:
IF x1 is A2 THEN y is B1
IF x2 is A1 THEN y is B2 Dengan : A1 = 0.6/ x1 + 1/ x2 + 0.4/ x3 B1 = 1/ y1 + 0.4/ y2
A2 = 0.4/ x1 + 0.8/ x2 + 0.7/ x3 B2 = 0.8/ y1 + 0.5/ y2 Jika A’ = 0.5/ x1 + 0.9/ x2 + 0.6/ x3 tentukan B’ ! Misal, dipakai: mamdani min, t-norm min, s-norm maxMetode: komposisional dan individual
Jawab:Individual rule based inference 2→1
, B1
R 1 y1 y2 1 0.4
x1 = 0.4 0.4 0.4A2 x2 = 0.8 0.8 0.4
x3 = 0.7 0.7 0.4
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 52/60
51
1→2,
B2
R 2 y1 y2
0.8 0.5
x1 = 0.6 0.6 0.5
A1 x2 = 1 0.8 0.5 x3 = 0.4 0.4 0.4
Untuk individual masing-masing rule akan diberikan input terhadap A’ akan didapat B1’ dan B2’. B’tinggal dipandang sebagai minimum/intersection.
1′ =
∈ ′ , 2→1,
1′ 1 =
∈ 0.5, 0.4,0.9, 0.8,0.6, 0.7 = 0.8
1′ 2 =
∈ 0.5, 0.4,0.9, 0.4,0.6, 0.4 = 0.4
1′ = 0.8/ y1 + 0.4/ y2
2′ = ∈ ′ , 1→2
, 2
′ 1 = ∈ 0.5, 0.6,0.9, 0.8,0.6, 0.4 = 0.8
2′ 2 =
∈ 0.5, 0.5,0.9, 0.5,0.6, 0.4 = 0.5
2′ = 0.8/ y1 + 0.5/ y2 = 0.8/1 + 0.5/2
′ = ?
= 0.8/1 + 0.4/2
Komposisional
, = 1,+ 2, Mamdani
, = 1,2, Godel
Mamdani y1 y2 R
x1 0.6 0.5 x2 0.8 0.5
x3 0.7 0.4
′1 = ∈ 0.5, 0.6,0.9, 0.8,0.6, 0.7 = 0.8
′2 = ∈ 0.5, 0.5,0.9, 0.5,0.6, 0.4 = 0.5
′ = 0.8/1 + 0.5/2
Godel y1 y2 R
x1 0.4 0.4 x2 0.8 0.4
x3 0.4 0.4
′1 = ∈ 0.5, 0.4,0.9, 0.8,0.6, 0.4 = 0.8
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 53/60
52
′2 = ∈ 0.5, 0.4,0.9, 0.4,0.6, 0.4 = 0.4
′ = 0.8/1 + 0.4/2
Hasilnya sama baik yang menggunakan metode individual maupun komposisional.
Beberapa fuzzy inference engine
1. Product Inference Engine
- Individual union
- Implikasi Mamdani product
- S-Norm max
- T-Norm algebraic product
2. Minimum Inference Engine
- Individual union
- Implikasi Mamdani min
- S-Norm max
-
T-Norm min
3. Lukasiewicz Inference Engine
- Individual intersection
- Implikasi Lukasiewicz
- T-Norm min
4. Zadeh Inference Engine
- Individual intersection
- Implikasi Zadeh
- T-Norm min
5. Dienes-Rescher Inference Engine
-
Individual intersection
- Implikasi Dienes-Rescher
- T-Norm min
Jika A’ adalah fungsi singleton, maka fuzzy inference engine diperoleh: 1. Product ′ = ∗. 2. Min ′ = min ∗, 3. Lukasiewicz
′
= min
1, 1
− ∗
+
4.
Zadeh
′ = min ∗, , 1 − ∗ 5. Dienes-Rescher ′ = max1 − ∗,
Catatan:
Fuzzy set A’ merupakan fuzzy singleton, apabila 1, jika x = x
* ′ =
0, selain itu
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 54/60
53
Contoh: diberikan ruleIF x1 is A1 and x2 is A2 and ... and xn is An THEN y is B
1 - | y | , -1 y 1Dimana B =
0, yang lain
Jika A’ merupakan fuzzy singleton, tentukan ′ ?Misal, diperoleh: µA ( x1, x2, ... , xn)
= min 11
∗, 22
∗,⋯ , ∗
= ∗
∗ = ∗
=1
Case 1 : ∗ ≥ 0,5
1
0 1-1y
mAp( x p*)
1
y
mA( x*)
Mamdani-Min Mamdani-Product
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
mA p( x p*)
Lukasiewicz Zadeh
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
Dienes-Rescher
Case 2 : ∗ < 0,5
1
0 1-1y
mAp( x p*)
1
0 1-1y
mAp( x p*)mA( x*)
Mamdani-Min Mamdani-Product
1
0 1-1y
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 55/60
54
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
Lukasiewicz Zadeh
1
0 1-1y
1-mAp( x p*)
Dienes-Rescher
Jika tidak singleton, maka pada product inference engine, rumusnya menjadi:
Bernilai 1 jika singleton
Pertemuan 12 (5/12/2012)
Pemetaan titik x* U ( x
* : bilangan real) ke suatu himpunan fuzzy A’ dalam U.
Beberapa yang dikenal:
1.
Singleton Fuzzifier
Yaitu memetakan x*
U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan nilai keanggotaan 1 pada x*
dan 0 untuk yang lain.
1, x = x*
µA’ ( x) =
0, yang lain
2. Gaussian Fuzzifier
Yaitu memetakan x* U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan fungsi keanggotaan sebagai
berikut:
′ = −1−1∗
12
⋯−−∗ 2
Dimana ai adalah parameter positif, dan t-norm
biasanya menggunakan algebraic productatau min.
3. Triangular Fuzzifier
Yaitu memetakan x* U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan fungsi keanggotaan
triangular sebagai berikut:
1 − 1−1∗
1⋯ 1 − −∗ 1
, jika − ∗ bi, i = 1, 2, ..., n
′ =
0, yang lain
Dimana bi adalah parameter positif, dan t-norm biasanya menggunakan algebraic product
atau min.
1
x*
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 56/60
55
Defuzzifier
Memetakan dari suatu himpunan fuzzy di dalam U sebagai output dari fuzzy inference engine ke
dalam sebuah titik y* dalam V dimana y adalah crisp.
Ada 4 cara untuk melakukan defuzzifier, yaitu:
1. Center of gravity defuzzifier (centroid) : biasanya untuk fungsi yang kontinu.
y*
adalah titik berat dari area yang dibatasi oleh fungsi-fungsi B.
∗ = ′. ′
2. Center average
∗ = . =1 =1
3. Maximum membership principal terlalu kasar, optimistik
µB’ ( y*) µB’ ( y), untuk semua y V.
y* = w1
4.
Min-Max membership (middle of maxima)
y* =
1+2
2
y1 y2
w1
w2
y1 y2
w1
w2
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 57/60
56
Contoh: Suatu survey memberikan 3 buah B’ (output)
Tentukan z * ?
a.
Center of average
y* =2,5 . 0,3 + 5 . 0,5 + 6,5 . 1
0,3+0,5+1 =
9,75
1,8 = 5,42
b. Middle of maxima
y* =6+7
2 =
13
2 = 6,5
c.
Centroid−3
2= 0,3 y = 3,6
− 5 = 0,5 y = 5,5
Pembilang = ′ .
= 0,3. + 0,3. 3,6
1+ −3
2. 4
3,6
1
0+ 0,5 . 5,5
4+
− 5 . 6
5,5+ 7
6+ 8 − . 8
7
= 1
3.0,33
0
1+ 1
2.0,32
1
3,6+ 1
63 − 3
42
3,6
4+ 1
42
4
5,5+ 1
33 − 5
22
5,5
6+
1
22
6
7+ 42 − 1
33
7
8
= 0,1 + 1,794 + 0,611 + 3,5625 + 2,167 + 6,5 + 3,667= 18,4005
Penyebut = ′
= 0,3 + 0,3 3,6
1+ −3
2 4
3,6
1
0+ 0,5 5,5
4+ − 5 6
5,5
+ 7
6+ 8 − 8
7
= 1
2.0,32
0
1+ 0,313,6
+ 1
42 − 3
2
3,6
4+ 1
2
4
5,5+ 1
22 − 5
5,5
6+ 67 +
8 − 1
22
7
8
= 0,15 + 0,78 + 0,16 + 0,75 + 0,375 + 1 + 0,5
= 3,715
y*= 18,4005
3,715=4,953
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 58/60
57
Contoh 2:
Diberikan sistem fuzzy 2 input 1 output. Didefinisikan aturan fuzzy:
IF x1 is A1 and x 2 is A2 THEN y is A1
IF x 1 is A2 and x 2 is A1 THEN y is A2
dengan A1 dan A2 = himpunan fuzzy dalam R dengan fungsi keanggotaan:
µA1 ( x) = 1 − ,−1 ≤ ≤ 10 , yang lain
µA2 ( x) = 1 − 1 − , 0 ≤ ≤ 2
0 , yang lain
Inputan : 1∗, 2
∗= (0.3, 0.6) dengan singleton fuzzifier.
Tentukan output sistem fuzzy, dengan: product inference engine dan center of average.′ = ∗. ′ = 1
1∗. 2
2∗. 1
, 21
∗. 12
∗. 2
= 10,3. 2
0,6. 1, 2
0,3. 10,6. 2
=
0,7.0,6.
1, 0,3.0,4.
2
= 0,42. 1, 0,12. 2
-1 1
1
0 2
1
0 1
A1 A2
0 2
1
1
0,42
0,12
-1
Center of average
y* =
0,42.0+0,12.1
0,42+0,12 =
0,12
0,54 = 0,222
Khusus untuk fungsi semacam ini: Center of average
y* = 2
1+2
Centroid
Penyebut = luas area = luas area 1 + luas area 2 + irisan
= w1 + w2 -1
2 1∙21+2
= 0,42 + 0,12 - 1
2 0,42 . 0,12
0,42+0,12
= 0,4933
Pembilang =
1
1 +
0
−1
+
1
1
−
11+2
0+
2
1 1
1+2
+
2
2
− 2
1
= −1
61+2+
16
1
3
1+22
= −1
60,42+0,12+
16
0,423
0,42+0,122
= 0,0923
y* =
0,0923
0,4933 = 0,1872
Bentuk-bentuk implementasi fuzzy logic
Inference engine yang sering dijumpai:
1.
Mamdani min singleton fuzzifier
2.
Sugeno (TSK)3. Tsukamoto
0 2
1
1
w1
-1
w2
w1
w1+w2
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 59/60
58
Mamdani Min
- Singleton fuzzifier
- µB’( y) = min (µA’ ( x) . µB ( y))
Karena singleton=1
µB’( y) = µB ( y)
x1
mA( x1)
x2
mA( x2) mA( x2)mB’( y)
Contoh:
Suatu perusahaan makanan kaleng akan memproduksi makanan jenis ABC. Dari data 1 bulan
terakhir, permintaan terbesar sehingga mencapai 5000 kemasan/hari, dan permintaan terkecil
sampai 1000 kemasan/hari. Persediaan barang di gudang terbanyak sampai 600 kemasan/hari, dan
terkecil pernah sampai 100 kemasan/hari. Dengan segala keterbatasannya, sampai saat ini,perusahaan baru mampu memproduksi barang maksimum 7000 kemasan/hari, serta demi efisiensi
mesin dan SDM tiap hari diharapkan perusahaan memproduksi paling tidak 2000 kemasan. Apabila
proses perusahaan tersebut menggunakan 4 aturan fuzzy.
[R1] IF Permintaan TURUN and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERKURANG.
[R2] IF Permintaan TURUN and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERKURANG.
[R3] IF Permintaan NAIK and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERTAMBAH.
[R4] IF Permintaan NAIK and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERTAMBAH.
Berapa kemasan makanan jenis ABC yang harus diproduksi, jika jumlah permintaan sebanyak 4000
kemasan dan persediaan di gudang masih 300 kemasan?
Jawab:Ada 3 variabel fuzzy yang akan dimodelkan: permintaan, persediaan dan produksi.
1000 50004000
0,25
0,75
1TURUN NAIK
100 600300
0,4
0,6
1SEDIKIT BANYAK
2000 7000
1BERKURANG BERTAMBAH
Permintaan Persediaan Produksi Barang
(kemasan/hari) (kemasan/hari) (kemasan/hari)
Input ( x1*, x2
*) = (permintaan, persediaan) = (4000, 300)
[R1] IF Permintaan TURUN and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERKURANG.
1000 50004000
0,25
1TURUN
100 600300
0,4
1BANYAK
2000 7000
1BERKURANG
m(x)
2000 7000
1BERKURANG
0,25
m(y) m(z)
7/21/2019 Catatan Kuliah Fuzzy.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-fuzzypdf 60/60
59
[R2] IF Permintaan TURUN and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERKURANG.
1000 50004000
0,25
1TURUN
100 600300
0,6
1SEDIKIT
2000 7000
1BERKURANG
m(x)
2000 7000
1BERKURANG
0,25
m(y) m(z)
[R3] IF Permintaan NAIK and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERTAMBAH.
1000 50004000
0,75
1NAIK
100 600300
0,4
1BANYAK
2000 7000
1
BERTAMBAH
m(x)
2000 7000
1
BERTAMBAH0,4
m(y) m(z)
[R4] IF Permintaan NAIK and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERTAMBAH.
1000 50004000
0,75
1NAIK
100 600300
0,6
1SEDIKIT
2000 7000
1
BERTAMBAH
m(x)
2000 7000
1
BERTAMBAH0,6
m(y) m(z)
Komposisi antar aturan
m(z)
1
0,25
0,6
A1 A2 A3
0 a1 a2
(a1 – 2000)/5000 = 0,25 a1 = 3.250
(a2 – 2000)/5000 = 0,60 a2 = 5.000
Dengan demikian, fungsi keanggotaan untuk hasil komposisi ini adalah:
0,25 ; z 3250
= ( z – 2000) / 5000 ; 3250 z 5000
0,6 ; z 5000
M1 = 0,25z dz3250
0= 0,125z203250 = 1320312,5
M2 = z−2000
5000z dz
5000
3250= 0,0002z2 − 0,4z dz
5000
3250= 0,000067z3 − 0,2z23250
5000 = 3187515,625
M3 = 0,6z dz
7000
5000 = 0,3z2
5000
7000
= 7200000
Luas setiap daerah:
A1 = 3250 * 0,25 = 812,5
A2 = (5000 – 3250) * (0,25 + 0,6) / 2 = 743,75
A3 = (7000 – 5000) * 0,6 = 1.200
Titik pusat dapat diperoleh