確率変数の特性関数戸瀬 信之
確率変数の特性関数 – p.1/11
復習–特性関数とは
� 復習 確率変数�の特性関数とは
���� �� �������
確率変数の特性関数 – p.2/11
復習–特性関数とは
� 復習 確率変数�の特性関数とは
���� �� �������
� �の確率密度が確率密度関数 ����を持つ場合
���� � ����� �� ��
��
����������
確率変数の特性関数 – p.2/11
独立な確率変数の和の特性関数
� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �
� � ���� � � ����
のとき � � � � の確率密度関数
��� �� ��
��
��� � ��������
確率変数の特性関数 – p.3/11
独立な確率変数の和の特性関数
� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �
� � ���� � � ����
のとき � � � � の確率密度関数
��� �� ��
��
��� � ��������
� の特性関数����
�の特性関数�����、� の特性関数�����
� ���� � ����� � �����
確率変数の特性関数 – p.3/11
証明
� その証明
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
�� ��
��
������ ��
��
������� � �����
��
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
�� ��
��
������ ��
��
������� � �����
��
�� ��
��
������ ��
��
��������� � ������� � �����
��
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
�� ��
��
������ ��
��
������� � �����
��
�� ��
��
������ ��
��
��������� � ������� � �����
��
�� ��
��
���������� ��
��
������������ � �����
��
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
�� ��
��
������ ��
��
������� � �����
��
�� ��
��
������ ��
��
��������� � ������� � �����
��
�� ��
��
���������� ��
��
������������ � �����
��
�� ��
��
���������� ��
��
������������
��
確率変数の特性関数 – p.4/11
証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
�� ��
��
������ ��
��
��� � ���������
��
�� ��
��
������ ��
��
������� � �����
��
�� ��
��
������ ��
��
��������� � ������� � �����
��
�� ��
��
���������� ��
��
������������ � �����
��
�� ��
��
���������� ��
��
������������
��
�� ��
��
��������������
��� � ����������
確率変数の特性関数 – p.4/11
一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
確率変数の特性関数 – p.5/11
一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
� ��の特性関数 �����
確率変数の特性関数 – p.5/11
一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
� ��の特性関数 �����
� �� � � � ����の特性関数
���� � ����� � � ������
確率変数の特性関数 – p.5/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は
���� � ����� � � ������ ��� � ����
��
確率変数の特性関数 – p.6/11
応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は
���� � ����� � � ������ ��� � ����
��
� ��の分布をベルヌーイ分布と呼ぶ確率変数の特性関数 – p.6/11
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
確率変数の特性関数 – p.7/11
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
確率変数の特性関数 – p.7/11
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
確率変数の特性関数 – p.7/11
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
� もし微分と無限和が交換可能ならば
����� ����
�����������
確率変数の特性関数 – p.7/11
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
� もし微分と無限和が交換可能ならば
����� ����
�����������
����� ������
�� �� �������
確率変数の特性関数 – p.7/11
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
確率変数の特性関数 – p.8/11
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
確率変数の特性関数 – p.8/11
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
������� ����
��������� �
����������
確率変数の特性関数 – p.8/11
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
������� ����
��������� �
����������
� 無限和と微分の交換のための十分条件���
������ � � ��
確率変数の特性関数 – p.8/11
解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
確率変数の特性関数 – p.9/11
解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
�����
������ � ��
かつ
�����
� ���� � ��
確率変数の特性関数 – p.9/11
解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
�����
������ � ��
かつ
�����
� ���� � ��
�
���
�����
����� ����
��� �����
確率変数の特性関数 – p.9/11
具体例
� 幾何分布 ��
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� 幾何分布 ��
� �� � �� � ��� �� � � � � � �
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� 幾何分布 ��
� �� � �� � ��� �� � � � � � �
� 特性関数 ���� ����
��������� � �
�����
�����
��
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� 幾何分布 ��
� �� � �� � ��� �� � � � � � �
� 特性関数 ���� ����
��������� � �
�����
�����
��
�
�
� ����
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� 幾何分布 ��
� �� � �� � ��� �� � � � � � �
� 特性関数 ���� ����
��������� � �
�����
�����
��
�
�
� ��������� �
�����
�� ������� ��
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� 幾何分布 ��
� �� � �� � ��� �� � � � � � �
� 特性関数 ���� ����
��������� � �
�����
�����
��
�
�
� ��������� �
�����
�� ������� ��
����� �
��
�� ���� �� �
��
�� �������
確率変数の特性関数 – p.10/11
具体例
� ������ ���� � ���� ���
��
�� ������
������
�����
�� ������
確率変数の特性関数 – p.11/11
具体例
� ������ ���� � ���� ���
��
�� ������
������
�����
�� ������
������ ���� � ���
��
�� ���
�
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確率変数の特性関数 – p.11/11
具体例
� ������ ���� � ���� ���
��
�� ������
������
�����
�� ������
������ ���� � ���
��
�� ���
�
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���� � ��
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確率変数の特性関数 – p.11/11
具体例
� ������ ���� � ���� ���
��
�� ������
������
�����
�� ������
������ ���� � ���
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���� � ��
��
� 次のモーメント����� ��� � ��
��
確率変数の特性関数 – p.11/11
具体例
� ������ ���� � ���� ���
��
�� ������
������
�����
�� ������
������ ���� � ���
��
�� ���
�
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� 次のモーメント����� ��� � ��
��
確率変数の特性関数 – p.11/11