Celton Ribeiro BarbosaProf. Gislan Silveira Santos
Apostila de Exercícios Resolvidos deCálculo
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia daBahia
Programa de Educação Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
© 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan SilveiraSantos & Instituto Federal de Educação Ciência e
Tecnologia da Bahia.Programa de Educação Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
Qualquer parte desta publicação pode serreproduzida, desde que citada a fonte.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação(CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil
Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel-ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. –Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.
Bibliografia.ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Matemática. 2. Cálculo 1.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2
CAPÍTULO 1
LIMITES E CONTINUIDADE
1. O ponto P (2, ln2) pertencente à curva y = ln x.
(a) Se Q é o ponto (x, ln x), use sua calculadora para determinar o coefi-ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais,para os seguintes valores de x:
(i) 1,5(ii) 1,9(iii) 1,99(iv) 1,999
(v) 2,5(vi) 2,1(vii) 2,01(viii) 2,001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da retatangente à curva no ponto P (2, ln2).
(c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da retatangente à curva em P (2, ln2).
(d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-gente.
Resolução:
(a) A equação da reta é dada por:
(y − y0) = m(x −x0)
onde m - coeficiente angular da reta.(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.
2
Limites e Continuidade
y0 = ln2 e x0 = 2
m = y − ln2
x −2= lnx − l n2
x −2= ln(x/2)
x −2
(i) x = 1,5
m = ln(1,5/2)
1,5−2= 0,575364
(ii) x = 1,9
m = ln(1,9/2)
1,9−2= 0,512933
Os demais itens ficam a cargo do leitor.
x m1,5 0,5753641,9 0,512933
1,99 0,5012541,999 0,500125
2,5 0,4462872,1 0,487902
2,01 0,4987542,001 0,499875
(b) Os valores se aproximão de 0,5.
(c)y − ln2 = 0,5(x −2)
y = 0,5x + ln2−1
2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suaspropriedades.
(a)limt→0
[√1+ 1
|t | −√
1
|t |
]Resolução:
|t | ={
t , se t > 0−t , se t < 0
Para t > 0:
limt→0
[√1+ 1
t−
√1
t
]·
√1+ 1
t+
√1
t√1+ 1
t+
√1
t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 3
Limites e Continuidade
= limt→0
1+ 1
t− 1
t√1+ 1
t+
√1
t
= limt→0
1√1+ 1
t+
√1
t
= 0
Para t < 0:
limt→0
[√1+ 1
−t−
√1
−t
]·
√1+ 1
−t+
√1
−t√1+ 1
−t+
√1
−t
= limt→0
1+ 1
−t− 1
−t√1+ 1
−t+
√1
−t
= limt→0
1√1+ 1
−t+
√1
−t
= 0
Como os limites laterais são iguais a resposta é 0.
(b)(1/
px)−1
1−xResolução:
limx→1
1−pxp
x
1−x= lim
x→1
(1−px)
(1−x)p
x· 1+p
x
1+px
limx→1
(1−x)
(1−x)p
x(1+px)
= limx→1
1px(1+p
x)= 1p
1(1+p1)
= 1
2
3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valoresde a para os quais lim
x→af (x) exista:
(a) f (x) =
1+x , se x <−1x2 , se −1 ≤ x < 1
2−x , se x ≥ 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 4
Limites e Continuidade
Resolução:
Figura 1.1: Gráfico de f(x)
4. Prove que o limx→0
|x|x
não existe.
Dicas:
• Os limite só existe se os limites laterais forem iguais.
• |x| ={
x , se x > 0−x , se x < 0
5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m = m0p1− v2/c2
, em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a
velocidade da luz. O que acontece se v → c−?
Resolução
limx→c−
m0p1− v2/c2
= m0p1−1
=∞
6. Considere a função f definida por:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 5
Limites e Continuidade
f (x) ={
0 , se x é racional1 , se x é irracional
Para todo a ∈R, limx→a
f (x) não existe. Por quê?
Resolução:
Suponha que a ∈Q, então f (a) = 0, logo limx→a
f (x) = 0
Por outro lado, a 3Q, então f (a) = 0, logo limx→a
f (x) = 1
Como a ∈ R , então 3 limx→a
f (x), pois os limites laterais dessa função são
diferentes.
7. Calcule, se possível, os seguintes limites:
(g) limx→0
px +1−p
1−x
3x
(l) limx→1
x3 −1
x2 −1
(o) limt→9
9− t
3−pt
(t) limx→2
x4 −16
8−x3
(w) limx→7
2−px −3
x2 −49
Resolução:(a)
limx→0
px +1−p
1−x
3x·p
x +1+p1−xp
x +1+p1−x
limx→0
(x +1)− (1−x)
3x(p
x +1+p1−x)
limx→0
2x
3x(p
x +1+p1−x)
= 2
3(p
x +1+p1−x)
limx→0
px +1−p
1−x
3x= 2
3 · (1+1)= 2
6= 1
3
(b)
limx→1
x3 −1
x2 −1= lim
x→1
(x −1)(x2 +x +1)
(x −1)(x +1)
limx→1
x2 +x +1
x +1= 12 +1+1
1+1= 3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 6
Limites e Continuidade
(c)
limt→9
9− t
3−pt· 3+p
t
3+pt
limt→9
(9− t )(3+pt )
9− t= 3+p
9 = 6
(d)
limx→2
x4 −16
8−x3= lim
x→2
(x2 +4)(x2 −4)
(x −2)(−x2 −2x −4)
limx→2
(x2 +4)(x +2)(x −2)
(x −2)(−x2 −2x −4)
limx→2
(x2 +4)(x +2)
(−x2 −2x −4)=−8
3
(e)
limx→7
2−px −3
x2 −49· 2+p
x −3
2+px −3
limx→7
4−x +3
(x +7)(x −7)(2+px −3)
= −(x −7)
(x +7)(x −7)(2+px −3)
limx→7
= −1
(x +7)(2+px −3)
=− 1
56
8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
(a) limx→a
px −p
apx2 −a2
com a > 0
(b) limx→a
px −p
a +px −ap
x2 −a2com a > 0
(c) limx→0
(p1+x2 +x
)m −(p
1+x2 −x)m
xResolução
(a)
limx→a
px −p
apx2 −a2
= limx→a
px −p
ap(x −a)(x +a)
px −p
apx −a
px +a
·p
x +pap
x +pa
x −apx −a ·px +a · (
px +p
a)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 7
Limites e Continuidade
px −ap
x +a · (p
x +pa)
= 0
2p
a ·p2a= 0
(b)
limx→a
px −p
a +px −ap
x2 −a2
limx→a
px −p
a +px −ap
x −ap
x +a
limx→a
px −p
apx −a ·px +a
+ limx→a
px −ap
x −a ·px +a
limx→a
1px +a
= 1p2a
(c)
limx→0
(p1+x2 +x
)m −(p
1+x2 −x)m
x
m = 1
limx→0
(p1+x2 +x
)−
(p1+x2 −x
)x
= 2
m = 2
limx→0
(p1+x2 +x
)2 −(p
1+x2 −x)m
2= lim
x→0
2 6 x(2p
1+x2)
6 x = 4
.
.
.
Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar oseguinte padrão: 2m
9. Mostre que o limx→0
x2 ·cos(20πx) = 0.
−1 ≤ cos(2πx) ≤ 1
−x2 ≤ x2 cos(2πx) ≤ x2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 8
Limites e Continuidade
Pelo teorema do confronto:
limx→0
−x2 = 0, limx→0
x2 = 0
limx→0
x2 cos(2πx) = 0
10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, limx→+∞(
px +1−p
x).
Resolução:
limx→+∞(
px +1−p
x) · (p
x +1+pxp
x +1+px
= limx→+∞
1px +1+p
xp
x +1 >px ⇒ p
x +1+px > 2
px
limx→+∞
1px +1+p
x< 1
2p
x
0 < limx→+∞
1px +1+p
x< 1
2p
x
limx→∞0 = lim
x→∞1
2p
x= 0
Logolim
x→+∞(p
x +1−px) = 0
11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn(x) =
−1 , se x < 00 , se x = 01 , se x > 0
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 9
Limites e Continuidade
Figura 1.2: Gráfico da função sinal
12. Considere a função f (x) = x2 −1
|x −1|Dica:
Figura 1.3: Gráfico da função f (x).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 10
Limites e Continuidade
13. Seja g (x) = x2 +x −6
|x −2| .
(a) Determine limx→2+
g (x) e limx→1−
g (x).
(b) Existe limx→1
g (x) ?
(c) Esboce o gráfico de g.
Dica:
Figura 1.4: Gráfico da função g (x).
14. Seja
h(x) =
x , se x < 0x2 , se 0 < x ≤ 2
8−x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.i. lim
x→0+h(x) ii. lim
x→0−h(x) iii. lim
x→0h(x) iv. lim
x→2−h(x) v. lim
x→2+h(x)
vi. limx→2
h(x)
(b) Esboce o gráfico da função h.
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 11
Limites e Continuidade
Figura 1.5: Gráfico da função h(x).
15. Determine os limites.
(a) limx→4
x −5
(x −4)2
Resolução:
limx→4
x −5 (Esse termo tende a -1)
(x −4)2 (Esse termo tende a 0)
y = (x −4)2
limy→0
−1
y=−∞
(b) limx→0
cos(x)
x · sen (x)Resolução:
limx→0
cos(x) (Esse termo tende a 1)
x · sen (x) (Esse termo tende a 0 )
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 12
Limites e Continuidade
y = x · sen x
limy→0
1
y=∞
16. Calcule os limites:
(a) limx→+∞
1+2+3+ . . .+x
x2
(b) limx→+∞
12 +22 + . . .+x2
x3
Sugestão: Para (a)x∑
k=1k = x(x +1)
2e para (b)
x∑k=1
k2 = x(x +1)(2x +1)
6.
Resolução:
(a) limx→+∞
x∑k=1
k
x2
limx→+∞
x(x +1)
2x2
limx→+∞
1+ 1x
2
(b) limx→+∞
x∑k=1
k2
x3
limx→+∞
x(x +1)(2x +1)
6x3
limx→+∞
2x3 +3x2 +x
6x3
limx→+∞
2+ 3x + 3
x2
6= 1
3
17. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) limx→+∞
3px3 +2x −1px2 +x +1
Resolução:
limx→+∞
3√
x3(1+ 1x2 − 1
x2 )√x2(1+ 1
x + 1x2 )
limx→+∞
√1+ 1
x2 − 1x2√
(1+ 1x + 1
x2 )= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 13
Limites e Continuidade
(b) limx→+∞
px4 +2
x3
Resolução:
limx→+∞
√x6( 1
x2 + 2x6 )
x3
limx→+∞
x3√
( 1x2 + 2
x6 )
x3= 0
(c) limx→−∞
x9 +1
x9 +x6 +x4 +1
limx→−∞
x9(1+ 1x9 )
x9(1+ 1x3 + 1
x5 + 1x9 )
= 1
18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira queo número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por:
N (t )1768
1+33e−10t
em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se:
(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?
(b) Determine limt→∞N (t ) e explique o seu resultado.
Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)
19. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 gde sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de25l/min.
(a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas porlitro) é
C (t ) = 30t
200+ t
(b) O que acontece com a concentração quando t →∞Resolução:
(a)30 g
6l ·25t · 6 l(5000+25t )l
= 750t
5000+25t= 30t
200+ t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 14
Limites e Continuidade
(b) limt→∞
30t
200= 30 6 t
( 200t +1) 6 t = lim
t→∞30
( 200t +1)
= 30g /l
onde t é o tempo.
20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguintefunção:
(a) f (x) = x2
x2 −1= x2
(x +1)(x −1)Resolução:
Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín-tonas verticais :
limx→−1
x2
x2 −1= x2
(x +1)(x −1)= lim
x→−1
1
1− 1x2
=∞
limx→−1
x2
x2 −1= lim
x→−1
1
1− 1x2
=∞
Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín-tonas horizontais:
limx→∞
x2
x2 −1= lim
x→∞1
1− 1x2
= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 15
Limites e Continuidade
Figura 1.6: Gráfico da função f (x).
21. Investigue a continuidade da função seguinte:
(a) f (x) ={ x
|x| , x 6= 0
−1, x = 0
Resolução:
|x| ={
x, x ≥ 0−x, x < 0
limx→0
x
|x|lim
x→0+x
x= 1
limx→0−
x
−x=−1
A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes.
22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 16
Limites e Continuidade
dado por:
φ(x) =
2πσ
(px2 +a2 −x
), se x ≥ 0
2πσ(p
x2 +a2 +x)
, se x < 0
com a > 0 e σ> 0. φ é contínua em 0? Justifique.
Resolução:
limx→0+
2πσ(√
x2 +a2 −x) = 2πσa
limx→0+
2πσ(√
x2 +a2 +x) = 2πσa
Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0;
23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
limh→0
f (a +h) = f (a)
Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí-nuas.
Resolução:
limx→0
sen (x +a) = sen a
24. Calcule:
(a) limx→0
sen 3x
xResolução:
limx→0
3 sen 3x
3xu = 3x
limu→0
3 sen u
u= 3
25. Calcular o valor de limx→0
tan x +x
x
limx→0
sen x
cos x+x
x= lim
x→0
sen x
x cos x+1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 17
Limites e Continuidade
limx→0
sen x
x· lim
x→0
1
cos x+1
limx→0
tan x +x
x= 2
26. Determine: limx→0
1−cos2 x
1−cos xResolução:
limx→0
1−cos2 x
1−cos x· 1+cos x
1+cos x
limx→0
(1−cos2 x)(1+cos x)
(1−cos2 x)
limx→0
1+cos x = 2
27. Sabendo que limx→0
sen x
x= 1, calcule lim
x→π4
cos x − sen x
cos2x
Resolução:
cos2x = cos(x +x) = cos x cos x − sen x sen x
cos2x = cos2 x − sen 2x
limx→π
4
cos x − sen x
cos2 x − sen 2x= lim
x→π4
cos x − sen x
(cos x − sen x)(cos x + sen x)
limx→π
4
1
cos x + sen x=
p2
2
28. Calcule os limites:
(a) limx→0
sen 3x
2x
(b) limx→0
1−cos x
x
(c) limx→0
p1+ sen x −p
1− sen x
x
Resolução:
(a) limx→0
sen 3x
2x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 18
Limites e Continuidade
u = 3x x = u
3limu→0
sen u2u3
3
2limu→0
sen u
u= 3
2
(b) limx→0
1−cos x
x
limx→0
1−cos x
x· 1+cos x
1+cos x= lim
x→0
1−cos2 x
x(1+cos x)
sen 2x +cos2 x = 1 ⇒ sen 2x = 1−cos2 x
limx→0
sen x
x· lim
x→0sen x · lim
x→0
1
1+cos x= 1 ·0 · 1
2= 0
(c) limx→0
p1+ sen x −p
1− sen x
x
limx→0
p1+ sen x −p
1− sen x
x·p
1+ sen x +p1− sen xp
1+ sen x +p1− sen x
limx→0
1+ sen x − (1− sen x)
x(p
1+ sen x +p1− sen x)
limx→0
2 sen x
x(p
1+ sen x +p1− sen x)
2 · limx→0
sen x
x· lim
x→0
1
x(p
1+ sen x +p1− sen x)
= 2 ·1 · 1
2= 1
29. Calcule os limites:
(a) limx→∞
(1− 3
x
)x
(b) limx→∞
(1− 4
x
)5x
(c) limx→∞
(x +1
x −1
)x
(d) limx→∞
(x +5
x
)2x+3
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 19
Limites e Continuidade
(a) limx→∞
(1− 3
x
)x
Limite fundamental: limx→∞
(1+ 1
x
)x
= e
1− 3
x= 1+ 1
y⇒ −3
x= 1
y
x =−3y
limy→∞
(1+ 1
y
)−3y
=(
limy→∞
(1+ 1
y
)y)−3
limx→∞
(1− 3
x
)x
= 1
e3
(b) limx→∞
(1− 4
x
)5x
1− 4
x= 1+ 1
y⇒ −4
x= 1
y
x =−4y
limx→∞
(1− 4
−4y
)−20y
=(
limy→∞
(1+ 1
y
)y)−20
= e−20
(c) limx→∞
(x +1
x −1
)x
x +1
x −1= 1+ 1
y
6 x +1 =6 x −1+ x −1
y
2y = x −1
x = 2y +1( 6 2y+ 6 26 2y
)2y+1
=
(y +1
y
)2y+1
=
(1+ 1
y
)2y
·(1+ 1
y
)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 20
Limites e Continuidade
(lim
y→∞
(1+ 1
y
)y)2
· limy→∞
(1+ 1
y
)y
= e2
(d) limx→∞
(x +5
x
)2x+3
x +5
x= 1+ 1
y
6 x +5 =6 x + x
y
5y = x( 6 5y+ 6 56 5y
)10y+3
=(1+ 1
y
)10y+3
limx→∞
(1+ 1
y
)10y+3
=(
limx→∞
(1+ 1
y
)y)10
·(
limx→∞
(1+ 1
y
))3
= e10
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 21
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 que é paralela àreta 8x − y +3 = 0.
Resolução:8x − y +3 = 0
y = 8x +3
y = 2x2 +3y ′ = 4x = 8x = 2
y(2) = 11
y −11 = 8(x −2)y −11 = 8x −16
y = 8x −5
2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadasnos pontos indicados:
f (x) = x2 −1, f ′(0) e f ′(1)
22
Derivadas
Resolução:
limh→0
(h +x)2 −1−x2 +1
h= lim
h→0
6 h2 +2 6 hx+ 6 x2− 6 1− 6 x2+ 6 16 h
= limh→0
h +2x = 2x
f ′(0) = 0 ; f ′(1) = 2
3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura(em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t −4,9t 2. Encontrea velocidade quando t = 2.
Resolução:
y(t ) = 10t −4.9t 2
v(t ) = y ′(t )
v(t ) = limh→0
10(h + t )−4,9(h + t )2 −10t +4,9t 2
h
v(t ) = limh→0
10h +10t −4,9(h2 +2ht + t 2)−10t +4,9t 2
h
v(t ) = limh→0
6 h(10−4,9h −9,8t )
6 h = 10−9,8t
v(2) =−9,6m/s
4. Determine se existir ou não f ′(0).
f (x) = x2 sen
1
x, se x 6= 0
0 , se x = 0
Resolução:
f ′(0) = limx→0
f (x)− f (0)
x −0= lim
x→0x sen (1/x) = 0
Logo o limite existe.
5. Seja f (x) = 3p
x.(a) Se a 6= 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f ′(a).(b) Mostre que f ′(0) não existe.(c) Mostre que y = 3
px tem uma reta tangente vertical em (0,0).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 23
Derivadas
Resolução:
(a)
f ′(a) = limh→0
f (a +h)− f (a)
h
= limh→0
3p
(a +h)− 3p
a
h
= limh→0
3p
(a +h)− 3p
a
h·
3√
(a +h)2 + 3p
(a +h)a + 3pa2
3√
(a +h)2 + 3p
(a +h)a + 3pa2
= limh→0
3√
(a +h)3 − 3pa3
h( 3√
(a +h)2 + 3p
(a +h)a + 3pa2)
= limh→0
6 a+ 6 h− 6 a6 h( 3
√(a +h)2 + 3
p(a +h)a + 3p
a2)
= limh→0
13√
(a +h)2 + 3p
(a +h)a + 3pa2
= limh→0
13p
a2 + 3pa2 + 3p
a2= 1
33p
a2
(b) f ′(0) = 1/0, que é indeterminação.(c) A função é contínua em x = 0 e a f ′(0) = +∞. Por isso, existe a retatangente vertical nesse ponto.
6. Mostre que a função f (x) = |x−6| não é diferenciavel em 6. Encontre umafórmula para f ′ e esboce seu gráfico.
Resolução:
Lembre-se:
|x| ={
x , x > 0−x , x < 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 24
Derivadas
Para x > 6
f ′(a) = limh→0
h+ 6 a− 6 6− 6 a+ 6 6h
= 1
Para x < 6
f ′(a) = limh→0
−h− 6 a+ 6 6+ 6 a− 6 6h
=−1
Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6.
f (x) ={ −1 , x < 6
1 , x > 6
Figura 2.1: Gráfico da função f (x).
7. Em que ponto da curva y = x2 +8 a inclinação da tangente é 16? Escrevaa equação dessa reta tangente.
Resolução:
f ′(a) = 16 f (x) = x2 +8
limh→0
(h +a)2 +8−a2 −8
h= lim
h→0
6 h2 +2 6 ha+ 6 a2+ 6 8− 6 a2− 6 86 h
= limh→0
h +2a = 2a
f ′(a) = 2a = 16, a = 8, y = 82 +8 = 72
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 25
Derivadas
Ponto (8,72)
Encontrando a reta tangente:
y −72 = 16(x −8)
y = 16x −56
8. Se f (x) = 2x2−x3, encontre f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) e f (4). Trace f , f ′, f ′′ e f ′′′
em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretaçõesgeométricas destas derivadas?
Resolução:
f ′(x) = 4x −3x2
f ′′(x) = 4−6xf ′′′(x) = 6f (4) = 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 26
Derivadas
Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x).
9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) paratodo x em seu domínio e, ímpar se f (−x) =− f (x) para cada um destes x.Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Resolução:
(a) Escolhendo a função cos(x) :
limh→0
cos(h +x)−cos x
h
limh→0
cosh cos x − sen x sen h −cos x
h
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 27
Derivadas
limh→0
cos x(cosh −1)
h− lim
h→0
sen x sen h
h− sen x Uma função ímpar
(b) Escolhendo a função sen (x) :
limh→0
sen (h +x)− sen x
h
limh→0
sen h cos x + sen x cosh − sen x
h
limh→0
cos xsen h
h+ lim
h→0sen x
(cosh −1)
hcos x uma função par
10. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x) = 3
2x+2x(
5px3)− 2p
x
(b) f (x) = t 3 −3t
t 5 −5t(t 2 −2t )
(c) f (x) = x2 sen (x)− ln(x)cos(x)
Resolução:
(a) f (x) = 3
2x+2x(
5px3)− 2p
x
f (x) = 3
2x−1 +2x · x3/5 −2x−1/2
f (x) = 3
2x−1 +2x8/5 −2x−1/2
f ′(x) = −3
2x−2 + 16
5x · x3/5 +x−3/2 = −3
2x2+ 16
55p
x3 + 13p
x2
(b) f (x) = t 3 −3t
t 5 −5t(t 2 −2t )
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 28
Derivadas
Utilizando a regra do quociente:
f ′(t ) = (t 5 −5t )(5t 4 −8t 3 −9t 2 +12t )− (t 5 −2t 4 −3t 3 +6t 2)(5t 4 −5)
(t 5 −5t )2
f ′(t ) = 2t 8 +6t 7 −18t 6 −20t 5 +30t 4 +30t 3 −30t 2
(t 5 −5t )2
(c) f (x) = x2 sen (x)− ln(x)cos(x)
Utilizando a regra do produto:
f ′(x) = 2x sen x +x2 cos x −(
1
xcos x + ln x ·− sen x
)f ′(x) = sen x(2x + ln x)+cos x(x2 −1/x)
11. Suponha que a curva y = x4+ax3+bx2+cx +d tenha uma reta tangentequando x = 0 com equação y = 2x +1 e, uma reta tangente quando x = 1com equação y = 2−3x. Encontre os valores de a,b,c ed .
Resolução:
f ′(0) = 2; f ′(1) =−3
f ′(x) = 4x3 +3ax2 +2bx + c
f ′(0) = c = 2
f ′(1) = 3a +2b =−9
f (0) = d = 1
f (1) = a +b =−5{3a +2b = −9a +b = −5
a = 1; b =−6
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 29
Derivadas
12. Se f (x) = ex · g (x), em que g (0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:
(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10
Resolução:
f ′(x) = ex g (x)+ex g ′(x); f ′(0) = e0g (0)+e0g ′(0)f ′(0) = 2+5 = 7Resposta: letra (a)
13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P ′(2) = 3 eP ′′(2) = 2.
Resolução:
P (x) = ax2 +bx + cP ′(x) = 2ax +bP ′′(x) = 2a
P (2) = 4a +2b + c = 5P ′(2) = 4a +b = 3P ′′(2) = 2a = 2a = 1
4+b = 3 ⇒ b =−1
4−2+ c = 5 ⇒ c = 3
14. Encontre as derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5 −1)10(2−x4)(b) f (s) = ln(e5s−3)
(c) f (θ) = 2cos2(θ) sen (θ)(d) f (x) = ln( sen 2(x))
Resolução:(a) f (x) = (3x5 −1)10(2−x4)
Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.
10(3x5 −1)9(15x4)(2−x4)+ (3x5 −1)10 ·−4x3
(b) f (s) = l n(e5s−3)5e5s−3
e5s−3= 5
(c) f (θ) = 2cos2(θ) sen (θ)
f ′(θ) = −4cos(θ) sen (θ) sen (θ)+2cos2(θ)cos(θ)= −4cos(θ) sen 2(θ)+2cos3(θ)
(d) f (x) = ln( sen 2(x))
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 30
Derivadas
1
sen 2(x)·2 sen (x)cos(x) = 2cos x
sen x= 2cot x
15. Usando a regra da cadeia, determine y ′, sendo:
(a) y = (3x +5)50
(b) y = 1
(x3 +3x2 −6x +4)
(c) y = sec2[(x3 −6)3]
(d) y = 1
x(x +1)Resolução:
(a) y = (3x +5)50
y ′ = 50(3x +5)49 ·3 = 150(3x +5)49
(b) y = 1
x3 +3x2 −6x +4= (x3 +3x2 −6x +4)−1
y ′ = −(x3 +3x2 −6x +4)−2 · (3x2 +6x −6) = −(3x3 +6x −6)
(x3 +3x2 −6x +4)2
(c) Derivada tabelada:d sec x
d x= sec x · tan x
y = sec2[(x3 −6)3]y ′ = 2sec[(x3 −6)3] · sec[(x3 −6)3] · tan[(x3 −6)3] ·3(x3 −6)2 ·3x2
y ′ = 18x2 sec2[(x3 −6)3] tan[(x3 −6)3](x3 −6)2
(d) y = 1
x(x +1)= [x(x +1)]−1
y ′ = −[x(x +1)]−2 · [(x +1)+x]
= −(2x +1)
[x(x +1)]2
16. Seja f uma função derivável e g (x) = ex f (3x +1). Cacule g ′(0) se f (1) = 2e f ′(1) = 3.
g (x) = ex f (3x +1)g ′(x) = ex f (3x +1)+ex f ′(3x +1) ·3g ′(0) = e0 f (1)+e0 f ′(1) ·3 = 2+9 = 11
17. A curva y = 1/(1+x2) é chamada bruxa de Maria Agnesi.
(a) Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta normapara essa curva no ponto (−1, 1
2 ).(b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes enormal no mesmo plano.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 31
Derivadas
Resolução:
y = (1+x2)−1
y ′ = −(1+x2)−2 ·2x = −2x
(1+x2)2
Encontrando a reta tangente no ponto (−1, 12 )
f ′(−1) = −2 ·−1
(1+ (−1)2)2= 1
2
y − 12 = 1
2 (x − (−1))
y − 12 = 1
2 x + 12
y = 12 x +1
Encontrando a reta normal no ponto (−1, 12 )
y − 1
2= −1
f ′(−1)(x +1)
y − 1
2= −2(x +1)
y − 1
2= −2x −2
y = −2x − 3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 32
Derivadas
Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normalno ponto (−1, 1
2 ).
18. Calcule a derivada de:
(a) y = 3p
3x −1(b) z(x) = ln(x2 −6)
Resolução:
(a) y = 3p
3x −1 = (3x −1)1/3
y ′ = 1
6 3(3x −1)−23 · 6 3
y ′ = 13√
(3x −1)2
(b) z(x) = ln(x2 −6)
z ′(x) = 1
x2 −6·2x = 2x
x2 −6
19. Calcule as derivadas das funções:
(a) y = 5x−1
(b) y = log5(x2)
(c) y = ln( x
x +1
)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 33
Derivadas
Resolução:
Dica:d(loga x)
d x= 1
x ln a
(a) y = 5(x−1)
ln y = ln5(x−1)
ln y = (x −1)ln51
y· y ′ = ln5
y ′ = y ln5y ′ = 5(x−1) · ln5
(b) y = log5(x2)
y ′ = 1
x2 ln5·2x = 2
x ln5
(c) y = ln( x
x +1
)= ln x − ln(x +1)
y ′ = 1
x− 1
x +1= 1
x2 +x
20. Calcule y ′ se:
(a)y =√
1− tan2(x)
(b)y = x cot(2x)
(c)y = tan(sec(x2))
Resolução:
Derivadas tabeladas:
d(tan x)
d x= sec2 x;
d(sec x)
d x= sec x · tan x
(a)y =√
1− tan2(x) = (1− tan2 x)12
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 34
Derivadas
y ′ = − 1
6 2(1− tan2 x)−12 · [ 6 2tan x · sec2 x]
y ′ = − tan x · sec2 xp1− tan2 x
(b)y = x cot(2x)
y ′ = cot(2x)−2cossec2(2x)
(c)y = tan(sec(x2))
y ′ = sec2[sec(x2)] · sec(x2) · tan(x2) ·2x
21. Encontre:d 99
d x99( sen x)
Resolução:
d
d xsen x = cos x
d 2
d x2sen x = − sen x
d 3
d x3sen x = −cos x
d 4
d x4sen x = sen x
d 5
d x5sen x = cos x
99 43 24
d 99
d x99( sen x) = d 3
d x3( sen x)
= −cos x
22. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x +B cos xsatisfaça a equação diferencial y ′′+ y ′−2y = sen x.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 35
Derivadas
y ′ = A cos x −B sen xy ′′ = −A sen x −B cos x
−A sen x −B cos x + A cos x −B sen x −2A sen x −2B cos x = sen x
(−3A−B) sen x + (A−3B)cos x = 1 sen x +0cos x
{ −3A−B = 1A−3B = 0
A = −3
10; B = −1
10
23. Ache∂y
∂xpor derivação implicita de x2 + y2 = 16
Resolução:
2x +2y · y ′ = 02y · y ′ = −2x
y ′ = − 6 2x
6 2y
y ′ = −x
y
24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4+y4 = 32 no ponto (1,2).
Resolução:
Derivando a curva:
64x3 +4y3 · y = 04y3 y ′ = −64x3
y ′ = −64x3
4y3=−16x3
y3
y ′(1,2) =−2
Equação da reta tangente:
y −2 = −2(x −1)y −2 = −2x +2
y = −2x +4
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 36
Derivadas
25. Ache uma equação da reta normal à curva x2+x y+ y2−3y = 10 no ponto(2,3).
Resolução:
2x + y +x y ′+2y y ′−3y ′ = 0(x +2y −3)y ′ = −2x − y
y ′ = −2x − y
x +2y −3
y ′(2,3) = −7
5
Equação da reta normal:
t − t0 =− 1
y ′ (x −x0)
t −3 = 5
7(x −2)
t −3 = 5
7x − 10
7
t = −5
7x−11
7
26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintesfunções:
(a) y = (2x +1)5(x4 −3)6
(b) y =√
x −1
x4 +1
(c) y = xx
(d) y = xcos x
Resolução:
(a)y = (2x +1)5(x4 −3)6
ln y = ln[(2x +1)5(x4 −3)6]ln y = ln(2x +1)5 + ln(x4 −3)6
ln y = 5ln(2x +1)+6ln(x4 −3)1
y· y ′ = 10
2x +1+ 24x3
x4 −3
y ′ = [(2x +1)5(x4 −3)6] ·[
10
2x +1+ 24x3
x4 −3
]
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 37
Derivadas
(b)y =√
x −1
x4 +1
ln y = ln
[(x −1
x4 +1
)1/2]
= 1
2ln
(x −1
x4 +1
)
= 1
2
[ln(x −1)− ln(x4 +1)
]1
y· y ′ = 1
2(x −1)− 4x3
2(x4 +1)
y ′ =√
x −1
x4 +1·[
1
2(x −1)− 4x3
2(x4 +1)
](c)y = xx
y = xx
ln y = ln xx
ln y = x ln x1
y· y ′ = ln x +x · 1
x
y ′ = y · [ln x +1]y ′ = xx · [ln x +1]
(d)y = xcos x
ln y = ln(xcos x)ln y = cos x · ln x1
y· y = − sen x · ln x + cos x
x
y ′ = xcos x[cos x
x− sen x · ln x
]27. Seja f (x) = a +b cos(2x)+ c cos(4x), onde a,b,c ∈ R. Sabendo que f ( π2) =
1, f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na formaf (x) = sen n(x),n ∈N, determine a,b,c en.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 38
Derivadas
f (x) = a +b cos(2x)+ c cos(4x)f ′(x) = −b2 sen (2x)−4c sen (4x)f ′′(x) = −4b cos(2x)−16c cos(4x)
f (3)(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)
f ′′(0) = −4b −16c = 0f (0) = a +b = c = 0
f (π/2) = a −b + c = 1
Resolvendo o sistema acima:
a = 3
8; b = −1
2; c = 1
8
f (x) = 3
8− 1
2cos(2x)+ 1
8cos(4x)
= 3
8− 1
2(cos2 x − sen 2x)+ 1
8cos(4x)
= 3
8− 4
8(1−2 sen 2x)+ 1
8cos(4x)
= −1
8+ sen 2x + 1
8cos(4x)
1
8cos4x = 1
8[cos(2x)cos(2x)− sen (2x) sen (2x)]
= 1
8[cos2(2x)− sen 2(2x)]
= 1
8(1−2 sen 2(2x))
f (x) = −1
8+ sen 2(x)+ 1
8− 2
8sen 2(2x)
= sen 2x − 2
8sen 2(2x)
sen 2(2x) = ( sen x cos x + sen x cos x)2
= (2 sen x cos x)2
= 4 sen 2x cos2 x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 39
Derivadas
f (x) = sen 2x − 2
8(4 sen 2x cos2 x)
= sen 2x − sen 2x cos2 x= sen 2x(− 6 1+ 6 1+ sen 2x)= sen 2x · sen 2x = sen 4x
n = 4
28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin
(x −1
2
)no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Resolução:
Valor tabelado :d
d xarcsin x = 1p
1−x2
Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:
arcsin
(x −1
2
)= 0
x −1
2= 0 ⇒ x = 1
Ponto : (1,0)
y ′ = 1√1−
(x −1
2
)2· 1
2
y ′ = 1
2
Reta tangente:
y −0 = 1
2(x −1)
y = 1
2x − 1
2
Reta normal:
y −0 =− 1
1/2(x −1)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 40