![Page 1: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/1.jpg)
CF355
Física Moderna
Prof. Dante Mosca
Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355
Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica.
![Page 2: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/2.jpg)
PROGRAMA
EMENTA
Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos
atômicos. Equação de Schrödinger.
PROGRAMA DE ENSINO
O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos.
O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton.
Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.
![Page 3: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/3.jpg)
Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo.
Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade.
Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos.
Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência.
Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan.
Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares.
Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza.
Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio.
Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador
![Page 4: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/4.jpg)
Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas)
1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13
2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data 13/11/13
3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data 13/12/13
Exame Final: sobre todo o conteúdo das unidades : Dia 181213
![Page 5: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/5.jpg)
O Núcleo AtômicoO Núcleo Atômico
O Modelo de ThomsonO Modelo de Thomson
Experimento de Rutherford/Geiger-Experimento de Rutherford/Geiger-MarsdenMarsden
Espalhamento de RutherfordEspalhamento de Rutherford
RBS, Quarks, Hadrons ... RBS, Quarks, Hadrons ...
![Page 6: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/6.jpg)
““Pudim de ameixas” de Pudim de ameixas” de ThomsonThomson
![Page 7: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/7.jpg)
Ernest Rutherford (1871-Ernest Rutherford (1871-1937)1937)
![Page 8: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/8.jpg)
Geiger e RutherfordGeiger e Rutherford
![Page 9: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/9.jpg)
Geiger e MarsdenGeiger e Marsden
![Page 10: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/10.jpg)
O que são partículas O que são partículas ? ?
![Page 11: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/11.jpg)
O experimento ...O experimento ...
![Page 12: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/12.jpg)
Detecção de partículas Detecção de partículas ? ?
![Page 13: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/13.jpg)
Qual seria o resultado Qual seria o resultado esperado?esperado?
![Page 14: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/14.jpg)
Proposta de Rutherford ...Proposta de Rutherford ...
![Page 15: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/15.jpg)
Definindo o parâmetro de Definindo o parâmetro de impactoimpacto
![Page 16: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/16.jpg)
O cálculo de Rutherford O cálculo de Rutherford para a relação entre b e para a relação entre b e
2cot
.4
..2
0
221
ovm
eZZb
![Page 17: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/17.jpg)
Estime a distância mínima Estime a distância mínima entre entre e núcleo e núcleo
Dados:Dados:
EEcc=5 MeV=5 MeV
ZZ11=2=2
ZZ22=79=79
=45=45oo
ee22/4/400=1,440 =1,440 eV.nmeV.nm
![Page 18: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/18.jpg)
Secção de choque totalSecção de choque total
tneNN
dtnNdN..
0
...
![Page 19: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/19.jpg)
O que Geiger & Marsden medem O que Geiger & Marsden medem não é a secção de choque total !não é a secção de choque total !
![Page 20: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/20.jpg)
Cada parâmetro de impacto Cada parâmetro de impacto corresponde uma secção de choque corresponde uma secção de choque
diferentediferente
![Page 21: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/21.jpg)
Um anel de área 2Um anel de área 2b.db b.db espalha partículas sobre uma espalha partículas sobre uma “cinta” entre “cinta” entre e e -d-d com com
simetria axial.simetria axial.
![Page 22: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/22.jpg)
Secção de choque Secção de choque diferencialdiferencial
O número de partículas espalhadas que chega ao detector depende: do número de partículas do feixe, do número de espalhadores no alvo, do volume irradiado, da secção de choque diferencial e da área do detector (ângulo sólido!)
d
dtNnN
d
dnV
A
NN
![Page 23: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/23.jpg)
O cálculo ...O cálculo ...
![Page 24: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/24.jpg)
O resultado de Rutherford O resultado de Rutherford para a secção de choque para a secção de choque
diferencialdiferencial
mMmMm
Mm
verdadeNa
vm
ZZ
d
d
.
:
2sen
1
4
.
4
1
4
2
200
21
![Page 25: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/25.jpg)
Resultados experimentaisResultados experimentais
![Page 26: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/26.jpg)
Desvio do resultado de Desvio do resultado de Rutherford para Rutherford para ´́s de de
alta energiaalta energia
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/rutsca3.html#c4
![Page 27: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/27.jpg)
Eisberg, R. M. and Porter, C. E., Rev. Mod. Phys. 33, 190 (1961)
![Page 28: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/28.jpg)
Aplicação moderna:Aplicação moderna:Rutherford Backscattering - RBSRutherford Backscattering - RBS
![Page 29: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/29.jpg)
Um problema ...A Eletrodinâmica prevê irradiação da energia e colapso do átomo !!!!
![Page 30: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/30.jpg)
Núcleo atômicoNúcleo atômicoO “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919O “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930
O neutrino, W. Pauli, 1931O neutrino, W. Pauli, 1931O neutron, J. Chadwick, 1932O neutron, J. Chadwick, 1932
Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch, Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch,
19381938A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942
A Física de Partículas ... A Física de Partículas ...
![Page 31: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/31.jpg)
J. Chadwick, 1932
O Neutron
![Page 32: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/32.jpg)
Quarksparticulas de matéria fundamentais constituintes de prótons e neutrons e outros hadrons
![Page 33: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/33.jpg)
Hadrons n
![Page 34: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/34.jpg)
léptons (elementares)
partículas mésons hádrons (quarks) bárions
Categorias de Partículas
0, 1, 2, 3, … (bósons) s = 1/2, 3/2, 5/2, ... (férmions)
(spin)
L = s h
![Page 35: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/35.jpg)
6 leptons:
* electron, electron neutrino
* muon, muon neutrino
* tau, tau neutrino
6 quarks:
* d (down), u (up)
* s (strange), c (charm)
* b (bottom), t (top)
4 intermediate vector bosons: * gluon (nuclear force)
* photon (electromagnetic force)
* W and Z bosons (weak force)
bóson Higgs
![Page 36: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/36.jpg)
O Átomo de Hidrogênio
N. Bohr
(nm)
![Page 37: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/37.jpg)
Ef - Ei = hf Ei - Ef = hf
![Page 38: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/38.jpg)
Teoria Clássica do Bohr:
Postulado:
ou
Raio de Bohr
![Page 39: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/39.jpg)
Fórmula de Rydberg
Lei de Moseley
efeito de blindagem
constante de Rydberg:
![Page 40: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/40.jpg)
Fórmula de Balmer:
Espectro de átomo de Hidrogênio
![Page 41: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/41.jpg)
Teoria de Schrödinger da
Mecânica Quântica
Partículas elementares agem como se certos
aspectos de seu comportamento fossem
governados por uma onda de de Broglie ou
função de onda.
Schrödinger, 1925
![Page 42: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/42.jpg)
1933 Nobel Laureates in Physics
Erwin Schrödinger
1887-1961
Paul A. M. Dirac 1902-1984
![Page 43: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/43.jpg)
Equação de Schrödinger :
equação que controla o comportamento da função de
onda e a relação entre esse comportamento e o
comportamento da partícula.
![Page 44: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/44.jpg)
Construção heurística:
- definição clássica para a energia total, i. e., E = p2/2m + V
- hipóteses de de Broglie são verdadeiras:
= h/p e = E/h ( K = 2/ e = 2)
- a função de onda tem a forma:
(x,t) = (Kx - t)
tal que x e t são finitas e continuas.
![Page 45: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/45.jpg)
Caso de uma partícula livre num espaço unidimensional: sendo p = ħK e E = ħ então ħ 2 K2/2m + V(x,t) = ħ logo 2x2 + V = t
tal que ħ2/2m e i ħ
![Page 46: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/46.jpg)
Postulando operadores:
p - i ħ
E i ħ t a validade dessas associações não tem restrição !
![Page 47: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/47.jpg)
Equação da função de onda
ħ2/2m) 2x2 + V = i ħ t
mas qual a interpretação para a função de onda uma vez que inclusive é complexa ?
![Page 48: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/48.jpg)
Max Born, 1926
P(x,t) = (x,t) (x,t)
1882 -1970
é a densidade de probabilidade de que a partícula seja encontrada próxima a coordenada x no instante t.
![Page 49: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/49.jpg)
Portanto
P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx
é a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.
![Page 50: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/50.jpg)
Filosofia :
Previsões da Mecânica Quântica são intrinsecamente estatísticas e
a Física é por natureza indeterminada.
![Page 51: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/51.jpg)
Cabe-nos obter valores esperados
Se f(r,p,t) é uma grandeza dinâmica de uma partícula
associada a função de onda (r,t), então o seu valor esperado f é dado por:
f = (r,t) fop(r, -i ħ r, t) (r,t) d3r
onde fop é um operador obtido por substituição em f da
relação p -i ħ r.
![Page 52: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/52.jpg)
O átomo de Hidrogênio
• Proposição do problema• Solucionando a Equação de
Schrödinger• Funções de onda• Probabilidades• Números quânticos• Níveis de energia
![Page 53: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/53.jpg)
Proposição do problema
Não há modo de separar as
variáveis utilizando
coordenadas cartesianas!!
21
222
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
zyx
Ze
zyxm
centralpotencialr
ZerV
rrrVrm
ħ2
ħ2
![Page 54: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/54.jpg)
Coordenadas esféricas polares
cos
sensen
cossen
rz
ry
rx
![Page 55: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/55.jpg)
Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio
em coordenadas esféricas polares
Sempre que o potencial V é função apenas de r, é possível separar as variáveis e a Equação de Schrödinger em três equações diferenciais
ordinárias !
simétriconteesfericamecentralpotencialrRr
rrr
Zer
r
r
rr
rr
rrm
,,
,,,,,,
sen
1,,sen
sen
1,,1
2
2
2
2
2222
2
2ħ2
![Page 56: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/56.jpg)
Rearranjando a Equação de Schrödinger
A separação de variáveis leva à primeira separação da equação!
rVrm
d
d
d
d
dr
rdRr
dr
d
rRd
d
rrr
Zer
r
r
rr
rr
rrm
222
22
2
2
2
2
2
2222
2
2
sen2
sensensen1
,,,,,,
sen
1,,sen
sen
1,,1
2
ħ2
ħ2
![Page 57: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/57.jpg)
A equação azimutal
Espertamente se propõe que a constante de separação seja igual a m2
o que leva a :
22
22
2
21m
d
dm
d
d
![Page 58: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/58.jpg)
solucionando...
Nasce o primeiro número quântico do átomo de hidrogênio (Qualquer potencial central tem esta característica!!)
da equação azimutal:
m : o número quântico magnético
,....3,2,1,0
2020
m
ee
e
imim
im
![Page 59: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/59.jpg)
voltando à equação em r e ...
Temos agora duas equações separadas para r e : a equação radial e a equação da
colatitude (também chamada de polar !!)
22
22
2
2
2
2
2
22
21
sensen
sen
1
:
sensen
1
sen
21
r
rRrRrV
m
dr
rdRr
dr
d
r
e
m
d
d
d
d
Logo
d
d
d
dmrV
mr
dr
rdRr
dr
d
rR
ħ2
ħ2
![Page 60: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/60.jpg)
Fica para a Quântica I a solução desta equação
Surge da equação em o segundo número quântico do átomo de hidrogênio(novamente, esta solução é válida para
qualquer potencial central):
l : o número quântico orbital !!
LegendredeassociadasFunções
mmmlll
ml
cos
,...2,1,1
,
![Page 61: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/61.jpg)
voltando à equação radial ...
Esta equação leva ao último número quântico do átomo de hidrogênio:
n = l+1, l+2,l+3,... o número quântico principal !!!
As soluções da autofunções radiais são as Funções associadas de Laguerre!
0211
:
21
222
2
222
2
rRrVm
r
ll
dr
rdRr
dr
d
r
Vem
r
rRrRrV
m
dr
rdRr
dr
d
r
ħ2
ħ2
![Page 62: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/62.jpg)
Resumindo...
• n o número quântico principal leva a:
• l, o número quântico orbital, tem valores:
• m, o número quântico magnético, por conseqüência, assume valores:
1,...3,2,1,0 nl
llllm ,1,...,0,...1,
,...4,3,2,12 22
42
nn
emZn 2ħ2
![Page 63: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/63.jpg)
Resumindo e reinterpretando
• Números quânticos: n,l,m
• níveis de energia
• momento angular: s,p,d,f,...
• componente z do L
,...4,3,2,12
1
0
22
2
n
a
eZ
nn
lmmLz ,...,2,1,0
,...4,3,2,1,01 22 lllL
ħ2
ħ
![Page 64: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/64.jpg)
Resumindo
iar
ar
ar
ar
eea
r
a
ea
r
a
ea
r
a
ea
rRmln
2
1sen
2
3
23
1112
2
1cos2
323
1012
2
1
2
12
2
1002
2
1
2
12001
0
0
0
0
2
023
0
2
023
0
2
023
0
23
0
![Page 65: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/65.jpg)
Qual será a probabilidade de encontrar um elétron dentro de uma casca esférica de raio r e espessura dr?
É a probabilidade por unidade de comprimento de observação do elétron a uma distância r da origem,
independente de e !!
radialdensidadefunçãoouradialãodistribuiçdefunçãorrrP
drrrdrrP
22
22
4
4
![Page 66: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/66.jpg)
Autofunções radiais: 1s, 2s, 3s
![Page 67: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/67.jpg)
Orbital 1s
![Page 68: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/68.jpg)
Autofunções radiais: 2p, 3p, 3d
![Page 69: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/69.jpg)
Orbitais 2s e 2p
![Page 70: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/70.jpg)
Orbitais 3d
Configurações : m = -2, -1, 0, 1, 2
![Page 71: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/71.jpg)
Orbitais 4f
Configurações : m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
![Page 72: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/72.jpg)
Funções complexas e funções reais
Funções reais: particularmente convenientes em aplicações químicas. Muito usadas!! Conseqüência do fato de que as
funções reais tem comportamento cartesiano, muito adequadas para descrever ligações químicas.
Funções complexas: importantes quando o elétron sofre a ação de campo magnético!
m
ou
m
ee
Fazemos
me
imim
im
sen
cos
:
,...2,1,0
![Page 73: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/73.jpg)
Densidade de probabilidade
para as autofunções
l = 2 e l = 6
![Page 74: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/74.jpg)
Comparando função,
densidade de probabilidade e densidade
de probabilidade
radial:
Estado 1s
![Page 75: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/75.jpg)
Isso não faz parecer o problema de um elétron numa caixa de potencial uma brincadeira !
E qual é afinal a contribuição das equações de Maxwell ?
![Page 76: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/76.jpg)
Visualizando os orbitais pela internet
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html - c2
![Page 77: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/77.jpg)
Partícula livre
ħ2/2m) 2 + V(r,t) = i ħ t
Sendo V(r,t) = 0 e adotando iħ t E
então ħ2/2m) 2 = E
(Kr - t) = ei(Kr - t) = e iKr e- it
ħ2/2m) 2 e iKr = E e iKr
![Page 78: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/78.jpg)
... solucionando para E
Auto-função :
(x) = A sen Kx + B cos Kx
A e B são contantes arbitrárias
Função de onda :
(x,t) = [A sen Kx + B cos Kx] e-iEt/ħ
![Page 79: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/79.jpg)
... solução mais geral
P(x,t) dx = (x,t)(x,t) dx = 1
... normalização
ondadeFunção
eDeCetx
Autofunção
DeCex
tiikxikx
ikxikx
,
ħ
![Page 80: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/80.jpg)
Porque alguém se preocuparia com poços de potencial na Física?
![Page 81: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/81.jpg)
MOTIVAÇÃO
![Page 82: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/82.jpg)
x
Poços e Barreiras
![Page 83: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/83.jpg)
Equação de Schrödinger
Um pouco de matemática ...
![Page 84: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/84.jpg)
Solução geral da equação de Schrödinger :
![Page 85: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/85.jpg)
Operador & autovalor :
=
Valor esperado :
=
=
=
a
![Page 86: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/86.jpg)
Ex.: Partícula numa caixa
0 ax
![Page 87: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/87.jpg)
Ex. : Degrau de potencial
![Page 88: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/88.jpg)
Caso 1
E
Para x < 0
![Page 89: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/89.jpg)
Para x > 0
Condições de contorno :
![Page 90: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/90.jpg)
Solução geral para E < Vo
x
![Page 91: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/91.jpg)
Caso 2 E > Vo
E
Para x < 0
Para x > 0
Condições de contorno :
![Page 92: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/92.jpg)
Para T ( coeficiente de Transmissão ) R ( coeficiente de Reflexão ) I (coeficiente do fluxo Incidente)
R + T = 1
x
![Page 93: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/93.jpg)
Ex. Oscilador harmônico simples
V(x)
x
=
=
![Page 94: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/94.jpg)
=
=
![Page 95: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/95.jpg)
Equação de Hermite
1a derivada 2a derivada
![Page 96: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/96.jpg)
Polinômios de Hermite :
Função Hipergeométrica confluente :
![Page 97: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/97.jpg)
=
=
Enfim, Solução final :
n = 0, 1, 2, 3, ...
![Page 98: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/98.jpg)
= 2f
Energia de ponto zero: Princípio de Incerteza
![Page 99: CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012817/552fc10b497959413d8c2913/html5/thumbnails/99.jpg)
FIM