Download - Ch1 logique propositionnel
LOGIQUE
INFORMATIQUE
OLFA MOUELHI
MOHAMED HENY SELMI
ECOLE SUPÉRIEURE PR IVÉE D'INGÉNIERIE ET DE TECHNOLOGIES
ORGANISATION DU
MODULE
Enseignement
• Cours/TD 80%
• TP sur machine 20%
Langage support PROLOG
Évaluations
• Evaluation (TD noté) 20%
• TP noté en fin de module 20%
• Examen final 60%
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
INTRODUCTION
PLAN DU COURS
Logique formelle (Bases théoriques )
• Calcul propositionnel
• Calcul des prédicats
Le langage PROLOG
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
DOMAINES D’APPLICATION
Intelligence Artificielle : une nouvelle façon de programmer
Systèmes Experts, Systèmes d’Aides à la Décision
Programmation des Jeux
Techniques de Représentation de Connaissances
Traduction formelle et Interprétation des langages naturel
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
HISTORIQUE
1930 Calcul des prédicats (J. Herbrand)
1965 Principe de résolution (J. A. Robinson)
1970 Utiliser la logique comme langage de
programmation
clauses de Horn R. Kowalski
Q-systèmes A. Colmerauer
1972 Premier interpréteur PROLOG (A. Colmerauer et P.
Roussel)
Université d’Aix-Marseille
1977 Premier compilateur PROLOG (D. H. D. Warren)
Université d’Édimbourg
1990 PROLOG évolue vers la Programmation par Contraintes
>1990 Programmation des Systèmes Experts
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
EN TP, VOUS
APPRENDREZ À ...
Utiliser PROLOG
Résoudre automatiquement des énigmes logiques exprimées en
langage naturel
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS
(LOGIQUE D’ORDRE 0)
2. LOGIQUE DES PREDICATS
(LOGIQUE D’ORDRE 1)
3. PROGRAMMATION LOGIQUE
PROLOG
QU’EST-CE QU’UNE PROPOSITION ?
Une connaissance qui est vraie ou fausse!
Exemple :
- il pleut p1
- il fait beau p2
- après le repas, je tonds la pelouse p3
- Il y a un bon film à la télévision ce soir p4
Chacun de ces énoncés est représenté une proposition.
On nomme chaque proposition élémentaire.
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
Construire de nouvelles propositions à partir de
celles qui existent en ajoutant des connecteurs :
-Il pleut et il y a un bon film à la télévision ce soir:
-Je ne tonds pas la pelouse après le repas:
-Il pleut si et seulement si il ne fait pas beau:
p1 ^ p4
¬p3
p1 ¬p2
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
DÉFINITION
Etude scientifique des conditions de vérités de proposition.
Manière basique et simple de raisonner.
Enchainement cohérent d’idées.
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
OBJECTIFS
Comment écrire les formules ?
• Aspects syntaxiques
Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ?
• Aspects sémantiques
Comment démontrer de nouveaux résultats ?
• Aspects déductifs
modéliser
interpréter
Raisonner
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
SYNTAXE DU LANGAGE
Vocabulaire
• un ensemble de variables propositionnelles(atomes)
{ p, q, r, … } énoncés élémentaires
• un ensemble de connecteurs
{ , , , , }
• Ensemble de délimiteurs
{(,)}
Formules bien formée (fbf)
• p est une fbf
• (H) est une formule si H est une fbf
• (H K), (H K), (H K) et (H K) sont des fbf si H et K sont
des fbf
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
PRIORITÉ DES CONNECTEURS
ET PARENTHÈSES
On utilise les parenthèses pour éviter les ambigüités de lecture.
Priorité décroissante des connecteurs dans l’ordre:
Quand il y’a un seul connecteur l’association se fait de gauche à droite
Exemples:
1) P Q R (P (( Q) (R)))
2) P Q R (P (Q R ))
3) P QR S (((P Q)R) S)
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
SÉMANTIQUE D’UNE FORMULE
Logique bi-valuée
• fausse (F)
• vraie (V)
Notion d’interprétation
• donner une valeur de vérité à une variable
• Pour n atomes 2n interprétations
1,,)( OouFVp
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
TABLES DE VÉRITÉ :
OPÉRATEURS
V
F F F
F V
F V
V V
V V
F V
V F
F V
p p
F
V
F V
F
V
F V
F
V
F V
F
V
F V
F
V
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMULES
PARTICULIÈRES
Tautologie (valide) : formule toujours vraie
• Toutes les interprétations ne contiennent que des V
• exemple : p p
p ( p) (p p)
F
V
V
F
V
V
F V
V V
F V
F
V
toutes les interprétations
sont évaluées à VRAIE
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
)()(: qpqpA
p q ¬ p ¬ q p q ¬ ( p q ) (¬ p ¬ q) A
F F
F V
V F
V V
V
V
F
F
V
F
V
F
F F
F V
F V
F
V
F V
V
V
F
F V
V V
F V
F
V
V F
F
V V
V
V F
F V
F V
F
V
V
V
V
V F
Calcul propositionnel
est-elle valide?
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
VALIDE, INVALIDE, INCONSISTANTE,
CONSISTANTE ???
F V
V
V
V
V
F
F
F
F
F V
V F
V
F
V
V
F
F
V
F
F V V F
VALIDE INCONSISTANTE
CONSISTANTE INVALIDE INVALIDE
et CONSISTANTE
V
V
F
F
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMULES ÉQUIVALENTES
Formules tautologiquement équivalentes
• les tables de vérité sont les mêmes
• Condition nécessaire et suffisante :
(A) (B) est une tautologie
)()(, BA
Calcul propositionnel
A B V V
V V
F F
V V
F F
F F
F F
EQUIVALENTES
A B V V
V F
F F
V V
F F
F F
F F
EQUIVALENTES
AB V
V
V
V
V
V
V
EQUIVALENTES
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMULES
ÉQUIVALENTES UTILES
AA= V (loi du tiers exclu)
A A=F
A F=A
A V=A
A V=V
A F=F
A A (double négation)
A B A B
A B (A B) (B A)
AA AA A (idempotence)
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
Lois de Morgan :
(AB) A B
(AB) A B
FORMULES
PARTICULIÈRES
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
EXERCICE
D’APPLICATION :
Développer la négation en appliquant les lois de Morgan:
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMES NORMALES
But:
avoir une représentation uniforme des formules du calcul
propositionnel
limiter le nombre de connecteurs différents utilisés
FORMES NORMALES
FN CONJONCTIVES
FN DISJONCTIVES
(, ¬) (, ¬) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
FORMES NORMALES
Une formule F est dite sous Forme Normale Disjonctive ssi F est une disjonction de conjonctions de variables propositionnelles et de leur négation
Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale disjonctive
Une formule F est dite sous Forme Normale Conjonctive ssi F est une conjonction de disjonctions de variables propositionnelles et de leur négation
Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale conjonctive
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
ALGORITHME DE
NORMALISATION
Début
Elimination des connecteurs et
Remplacer A B par A B
A B par (A B) (B A)
Application des lois de Morgan
Remplacer (AB) par A B
(AB) par A B
Elimination des doubles négations A par A
Application des règles de distributivité
A (B C) par (A B) (AC)
(A B) C par (AC) (BC)
Fin
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
ASPECTS
DÉDUCTIFS
n NOTION DE CONSÉQUENCE LOGIQUE
n NOTION DE RAISONNEMENT
CONSÉQUENCE
LOGIQUE / SÉMANTIQUE
F1, F2 ,…, Fn n formules bien formées : hypothèses
G une formule bien formée : conclusion
? Peut on déduire G à partir des hypothèses F1, F2 ,…, Fn
G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi
(F1 … Fn) G est une tautologie
OU G est une conséquence logique de F1, F2 ,…, Fn ssi
(F1 … Fn) G est inconsistante
Notion de réfutation : démonstration par l’absurde
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
EXERCICE
D’APPLICATION:
Considérons les arguments suivants:
« Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou
dépourvu de principes. Didier n’est ni stupide ni dépourvu de
principes. Donc Didier n’est pas l’auteur de ce bruit. »
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
H1 : « Si Didier est l’auteur de ce bruit, il est stupide ou dépourvu de
principes »
(D → (S ∨ P))
H2 : « Didier n’est pas stupide »
¬S
H3 : « Didier n’est pas dépourvu de principes »
¬P
C : « Didier n’est pas l’auteur de ce bruit »
¬D
D : « Didier est l’auteur de ce bruit » S : « Didier est stupide » P : « Didier est dépourvu de principes »
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
La table de vérité nous permet de vérifier aisément l’assertion:
Vérifier si ?
C est une conséquence logique de H1, H2 et H3
Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI