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第五章 交流电路 1
第五章 交流电路 Chapter 5 Alternating Circuit (AC)
§5.1 导言 Introduction
§5.1.1 复习 交流电的产生 交流发电机原理 Generation of AC & the principle of generator
一 [交流电与简谐交流电的概念] Concept of AC and harmonic AC
交流发电机产生的感应电动势 inductive efm 和感应电流 inductive current 是随时间作周期性变化的 称为交流
电 并且符合余弦函数的振动规律 属于简谐振动 harmonic vibration 因而又称为简谐交流电
交流发电机原理 a 单线圈发电机 (b)线圈在某时刻的位置
图 1 交流发电机原理
2 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
二 [交流发电机原理]The principle of AC generator
交流发电机是根据电磁感应原理制成的 它是动生电动势的典型例子 图中 ABCD 是一个单线圈(coil) 可以绕固定
的转轴在 N.S磁极所激发的均匀磁场中转动 为避免线圈的两根引线在转动过程中扭绞 twist 起来 线圈两端分别接在
两个与线圈一起转动的铜环上 铜环通过两个带有弹性的金属触头与外电路接通 当线圈在原动机 如水轮机 带动下
在均匀磁场中匀速转动时 AB和 CD边切割磁力线 在线圈中产生感应电动势 r
∫ ∫ =+=•×=B
A
B
AAB vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(rr
∫ ∫ =−=•×=D
C
D
CCD vBldlvBldBv θθπξ cos)2/sin(rrr
所以 其中 l是 AB或 CD边的长度 θξξξ cos2vBCDABtotle =+=
因为 ωωθ2
, svt == 其中 s是 BC或 DA边的长度
所以 tBStBls ωωωωξ coscos2
2 == 其中 S = sl为线圈面积
这一结果也可从穿过线圈的磁通量的变化来考虑 当线圈处于图 1 b 位置时 磁通量为
tBSBSBS ωθπθ sinsin)2/cos( −=−=+=Φ
根据 Farady-lenz定律 dΦ tBSdt
ωωξ cos=−=
关于动生电动势的本质和详细讨论 见上一章
§5.1.2 本章需要学习和掌握的问题 The key points in this chapter
一 交流电 尤其是简谐交流电的概念与特性 concepts and characters of AC and harmonic AC
第五章 交流电路 3
二 交流电路与已学过的直流电路有什么异同点 交流电路的复数解法 Complex solution of AC
针对交流电路的特点 用复数定义不同元件的阻抗 resistor 以及电源电动势 emf of electrical source 电压
voltage 和电流 current 就可将交流电路的问题转化为直流电路(DC)的方式加以解决 这就是交流电路的复数解法 complex solution 是本章的重点
三 串联谐振与并联谐振 Resonance vibration of series circuit and parallel circuit 电阻 电感(inductor)和电容(capacitor)元件通过一定的形式串联或并联 当元件参数 elements parameters)满足某种条件时 就可以实现电路的简谐共振(harmonic resonance) 简称 谐振 当共振产生时 电路的阻抗 电流或
电压将取极值(minimax solution)
四 交流电的功率 power of AC
交流电的功率的概念比直流功率的概念丰富得多 这是因为 1 交流电是随时间作用作周期性变化的 因此就有瞬时功率和平均功率 (instantaneous power and average power)的概念
2 由于电感和电容是储能元件 energy storage elements 由于它们之间存在的位相差 phasic difference 以及
它们与电阻之间的位相差 因而有了无功功率(image power)与有功功率(real power)的的分别 视在功率(apparent output)是无功功率与有功功率迭加总和 而电路的品质因素 (quality factor)则是衡量电路的有功功率在视在功率中所占的比重的一个重要参数
3 采用一定的方法 可以提高电路的品质因素 从而提高有功功率的比重
五 变压器原理 principle of transformer
1 变压器 (transformer)的一个重要作用是将高压输送电转变为安全而便于使用的市电 长距离输送电需要采用
高压以降低输送电流 从而达到减少焦耳热损耗的目的 在总功率固定的情况下 由 P=IU知 U越大 I就越小 这样由于电流发热导致的欧姆损耗 (Ohmic loss)就会降低至很小 我国一般采用 33万伏, 22万伏和 11万伏高压长距离输电
2 变压器的线圈电路和变压比(transformer ratio)的概念 变压器是由铁磁芯 (ferromagnetic core)和初级线圈
4 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
(primary coil)与次级线圈(secondary coil)构成 变压比为 U1/U2 = N1/N2
图 2 一个带有变压器的输电线路图
§5.2 交流电概述 outline of alternating electricity
§5.2.1交流电的形式 (style)
一 简谐交流电 以正弦或余弦规律变化的有一定频率(frequency)和峰值(peak value)的简谐波(harmonic
wave) 我国工业和民用交流电的频率为 50Hz 美国为 60Hz
第五章 交流电路 5
二 其它形式的交流电
这些形式的交流电波形的共同特征是 1 具有固定的频率 或作周期性的变化 2 且都可以通过富里叶 Fourier 变换分解为多种不同频率的简谐成分的迭加
2 这些简谐成分在线性电路中彼此独立
a. 简谐波 b. 锯齿波 c. 矩形波
d. 尖脉冲 e. 调幅波 f. 调频波 图 3. 各种波形的交流电
§5.2.2 描述简谐交流电的特征量 characteristic variables of AC
函数表示式 电动势(emf) )cos()( 0 ett ϕωξξ +=
6 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
电 压(voltage) )cos()( 0 utUtU ϕω +=
电 流(current) )cos()( 0 itItI ϕω +=
其中ω为交流发电机转子角速度 它也等于交流电的角频率 angular frequency ω与频率 f的关系为 ω = 2πf 交 流 电
的周期 ωπ21
==f
T
一. 峰值(ξ0 U0和 I0), 峰-峰值(2ξ0 2U0和 2I0)与有效值 等于峰
值的 1/ 2
有效值与峰值关系的推导 evolution
由有效值的定义 交流量的方均根值就是有效值 而得电流的
有效值 ∫∫ +==T
i
TdttI
Tdti
TI
0
2200
2 )(cos11 ϕω
因为 2
]2
)(2sin[
21)](2cos1[
21)(cos 000
2 Tttdttdtt TiT
ii
T=
++=++=+ ∫∫ ω
ϕωϕωϕω
代入上式得 2
0II =
同理可求得 2
0UU =
通常所说的 相电压为 220V 即指 U = 220v 线电压为 380V
即指 U = 380V. 而相电压的峰值为 2202 × v = 311v 线电压的峰值为 3802 × v = 537v
第五章 交流电路 7
§5.3交流电路的复数解法 本章中我们先把电阻 电容和电感三种基本元件在交流电路中的作用讨论清楚 下面再研究它们的组合问题 对于每
种元件的特性的作用 都应注意 Z和ϕ两个方面
§5.3.1 交流电路中的基本元件 Basic elements in alternating circuit
一 概述 元件自身的特征是用阻抗和初位相(initial phase)描述的
(i)阻抗 Z = U0/I0 = U/I 欧姆定律
(ii)初位相 iuZ ϕϕϕ −= 是 u(t)与 i(t)之间的相位差
二 实验 交流电路中各种元件性能的演示
下图是交流电路中各种元件性能的演示实验装置 此装置中 是音频信号 20~20 104HZ 发生器 f 可调 频率
的高低可通过扬声器监听 电流的大小借助于小灯泡亮度来显示 于电容电感元件 u t 和 i t 之间的位相差 还
可在双踪示波器 b图 上观察 R K C L
音频 信号 发生 器
a 图 4. 交流电路中各种元件性能的演示
电源
对
双线示波器
(b)
8 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
三 电阻元件 u t 与 i t 具有相同的位相 所以
ZR = R, , 0=−= iu ϕϕϕ tIR
tURtuti ω
ωcos
cos)()( 00 === .
i(t)
i(t)
u(t) ξ R u 图 5 交流电路中电阻元件性能(试验中合上电键 K, 灯泡几乎同时发亮; 当调节 f时, 灯泡亮度亦不变. 这说明电阻是线性元件,不随 f变化).
a 电路模型 b 示波器显示 i t 和 u t 波形位相一致
四 电容元件 Capac
我们知道 电容器
容元件中 电路中的灯
明频率愈高的交流电愈
itor
具有隔直流的
泡亮了 喇叭
容易通过电
作用 因而稳恒的直流电是不能通过电容器的 但是图 4所示实验中交流电源加于电也响了 在维持电压不变的条件下 频率愈高 喇叭音调愈高 同时灯泡愈亮 这说
容 双踪示波器显示 i t 比 u t 在相位上超前 2π
第五章 交流电路 9
i(t)
i(t)
u(t)
ξ C uc +q
-q
图 6 交流电路中电容元件性能 a 电路模型 b i t 比 u t 在相位上超前π/2 下面推导电容器上电压和电容的关系
由 以及 (i) ),cos()(,cos)( 00 itItitQtq ϕωω +== )cos()( 0 utUtu ϕω +=
代入 dtdq
tqti
t=
∆∆
=→∆ 0
lim)( 和 u(t) = q / C , 得
以及 (ii) )2/cos(sin)( 00 πωωωω +=−= tQtQti CtQCqtu /cos/)( 0 ω==
将(ii)式与(i)相比较得 I0 = ωQ0, U0 = Q0 / C
CIUZC ω/1/ 00 ==→ 称为容抗(captance), 与ω成反比.
例 一
[解]
ϕϕ =− iu
这两
电容 C = 220V是 u
表示电容元件上 i2/π− t 比 u t 在相位上落后π / 2
点推导结论与实验结果完全一致 5×10-6 F 在 20V 50Hz电源作用下 求 I = 若 f变为 500HZ 则 I又为多少 t 的有效值 以下所求得的 I亦为有效值
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===== fCUCU
C
UZUI
C
πω
ω
21
由此可见电容对于高频是易通过的
1.57A, 当 f = 500Hz
0.157A, 当 f = 50Hz
(5)电感元件 inductor, reactor 当图 4所示的实验中交流电源加于电感元件时 就会观察到与电容元件相反的现象 即在维持电压不变的条件下 灯
泡的亮度随频率的增大而减弱 这表明电感元件的阻抗随频率的增加而增大 示波器波形表示 u t 超前于 i t i(t) A
i(t)
u(t) ξ L uAB
B
+
-
图 7. 交流电路中电感元件性能 a 电路模型 b u(t)比 i t 在相位上超前π/2 下面推导电感元件中电压与电流的关系
(i)自感电动势 (self-inductive efm) dtdiLL −=ξ 表明电感元件是一个交流电源 电感元件上的压降
dtdiLtu LAB =−= ξ)(
(ii)由 i(t) = I0cos(ωT+ϕi) ,
U0 = ωLI0 , ϕu = ϕI +感抗 ZL = U0 / I0 与频率成
例题 2 在一个 0.1H的电感元
u(t) =U0cos
π/2 正比, 其初
件上加 20
(ωT+ϕu) 与 )2/cos()sin()( 00 πϕωωϕωω ++=+−== iiAB tLItLIdtdiLtu 比较而得
因此得出结论 位相ϕ = ϕu -ϕI = π/2 表明电感元件上 u(t)超前于 i(t) π/2相位
V 50HZ的电源 求电流 当频率为 500HZ时 I又为多少
第五章 交流电路 11
[解] 20V是 u t 的有效值 以下所求 I亦为有效值
===fL
UZUI
L π2
由此可见电感对于低频率是易通过的
0.0637A, 当 f = 500 Hz
0.637A, 当 f = 50 Hz
§5.3.2 交流电路的复数解法
一 什么要用复数法求解交流电路
解说 求解交流电路 主要是解决同频简谐量迭加的问题 共有三种解法 1 三角函数法 运用三角函数的和差化积求解 运算复杂 工作量大 容易出错 不能解决较复杂电路的问题 2 矢量图解法 将各简谐量化为矢量 用矢量相加法则求解 此法比较直观 各物理量的大小和位相关系在图
上一目了然 但运算仍比较复杂 一般不易解决复杂电路问题 3 复数法 用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势,电压和电流 就可将交流电路问题转化为与直流电路
求解相似的方式加以解决. 简便扼要,可解决复杂电路问题 综上所述 复数法的优点较大 这是选择复数法的原因
二 复数法计算同频简谐量的迭加
欧拉公式是复数法的基础
欧拉定义 其中ϕϕϕ sincos je j += 1−=j
1
12 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
由于 ϕϕϕϕ sin)sin(,cos)cos( −=−=− ϕϕϕ sincos je j −=→ −
这样 )(21sin),(
21cos ϕϕϕϕ ϕϕ jjjj ee
jee −− −=+=
2 计算同频简谐量迭加的基本步骤如下 (i) 复数对应规则:将简谐量按下列法则和复数量对应起来
)(11111
1~)cos()( ϕωϕω +=⇔+= tjeAAtAta
)(22222
2~)cos()( ϕωϕω +=⇔+= tjeAAtAta
[注意]此处定义与欧拉定义有所不同 因为 多了一个虚部)]sin()[cos(~ )( ϕωϕωϕω +++== + tjtAAeA tj 但并不
影响最终结果 只需在最终结果中取其实部便可得到实际的模拟量
(ii)求 和 之和: . 其中 A为模, ϕ为辐角. 1~A 2
~A )(21
~~~ ϕω +=+= tjAeAAA
下面举例说明 尽管对于简谐量的定义与欧拉公式不一样 但在运算过程中 需要用欧拉公式
例 求 a1(t) = 3cosωt 和 a2(t) = 4cos(ωt+π/2) 之和
[解] , tjeA ω3~1 =
tjtjjtjjeeeeA ωω
ππω
444~ 2)
2(
2 ===+
注意此处用了欧拉公式 jjej
=+=2
sin2
cos2 πππ
所以 . 此复数的模为 tjejAAA ω)43(~~~21 +=+= ,543~ 22 =+== AA
第五章 交流电路 13
辐角为 '1 85334~arg otgA === −ϕ
取实部得 a(t) = 5cos(ωt+53o8’)
三 复电压 复电流和复阻抗的概念
根据复数对应规则和复数运算规则 可以得到如下的复电压 复电流和复阻抗的表达
电压 u(t) = U0 cos(ωt + ϕu) ⇔ 复电压 )(0
~utjeUU ϕω +=
电流 i(t) = I0 cos(ωt + ϕi) ⇔ 复电流 )(0
~itjeII ϕω +=
阻抗 Z(t) = U0 cos(ωt + ϕu)/ I0 cos(ωt + ϕi)
⇔ 复阻抗 )(
0
0~/~~iuje
IUIUZ ϕϕ −==
注意到在复阻抗表达中 最终表达式是一个简谐量 因为在运算中使用了复数相除的规则是辐角直接相减 所以十分
便利 这是三角法所没有的优点
我们已知道 对于电阻元件ϕu = ϕi, 所以电阻没有位相差 RZ R =~ .
对于电容元件ϕu - ϕi,= -π/2, 所以容抗为CjC
jeZZj
CC ωω
π 1~ 2 =−
==−
对于电感元件ϕu - ϕi,= π/2, 所以感抗为 LjeZZj
LL ωπ
== 2~
14 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
§5.4 两种谐振电路 学习了§5.3节 我们就可以利用复数法来解决 R.L.C各种元件的串联组合与并联组合电路问题 本节的标题的意义在
于 电阻电感和电容元件通过一定的形式构成串联或并联电路 当元件参数满足某种条件时 就可以实现电路的简谐共振
即谐振 当共振产生时 电路的阻抗 电流或电压都要取极值
例 收音机或电视机的选台即为简谐共振的例子 因此每个电台都要有不同的发射频率 否则就会串台
§5.4.1 RLC串联电路和谐振条件 resonance condition
(1) RLC串联电路的总电流.
如图所示 R.L.C串联在交流电路中 设电动势 e(t) = ξm cosωt, 其复数表示为 tjme ωξξ =
~我们的目的在于求电流 的
大小 I
I~
m以及电流与电源电动势的位相差 R L C ~ ~
设 , 又因 I~ I )( itjmeI ϕω += U
等效总阻抗为 zjmCLR eZ
CLjR
CjLjRZZZZ ϕ
ωω
ωω =−+=++=++= )1(1~~~~
其中 R
CL
tgC
LRZ mω
ωϕ
ωω
1
,)1( 122−
=++= −
故得电流为 )(
22 )1(~~~
z
z
tjmj
m
tjm e
CLR
eZe
ZI ϕω
ϕ
ω
ωω
ξξξ −
−+===
第五章 交流电路 15
取其实部得 )cos()1( 22
zm tLR
I ϕωω
ξ−
++=
Cω
, 其中R
CL
tg ωω
ϕ
11
+= − .
(2) 串联谐振的讨论. 在上面的表达式中 如若C
Lω
ω 1= 即
LC1
=ω 时 I可以取到极大值 因而通过 R.L.C上的电压都
取到了极大值 这种情况称为 RLC的串联谐振. 此时也有ϕ = 0 下面求各个元件上的电压:
电阻两端的电压为 RIZIU RR~~~~
== ,
取实部得谐振时电压
( )( ) tt
CLR
RU mm
R ωξφω
ωω
ξcoscos
1 22=−
−+=
电感的两端的电压为)
2(~~~~ π
φωξωω
+−===
tj
mLL eLILjZIU
取实部得谐振时电压( )( )
( )2/cos/1
2/cos22
πωξ
ωωω
πφωξω+=
−+
+−= t
RL
CLR
tLU mmL
电容两端的电压为
−−
=== 21~1~~~π
φωξωω
tj
m
mCC e
ZCI
CjZIU
取实部得谐振时电压( )( )
)2
cos(1
/1
2/cos22
πωξωωωω
πφωξ−=
−+
−−= t
CRCLRC
tU mm
C
注意到 Uc与 UL在位相上整整相差π弧度 所以对于 RLC谐振电路 在任何时刻 t 恒有 Uc与 UL相互抵消 电
阻两端的电压等于电源电动势
16 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
§5.4.2 RLC并联电路和谐振条件
一 求解 RL串联再与 C并联的电路
一般来说 R L C三种可以构成三种不同的并联电路 一是 RL与 C并 二是 RC与 L并 三是 CL串与 R并 由
于实际所用的电感元件自身有电阻存在 因而在实际应用中 取 RL串再与 C并联这一种方式 可以避免设计和计算上的
麻烦
设电源电动势为 tjmm et ωξωξξ == cos
而Cj
ZLjZRZ CLR ωω 1~,~,~ === 所以等效阻抗 Z为
+
−++
=+−
+=+
+=+
+= 222222 )()()(1111
LRLCj
LRR
LRCjRCj
LjRCj
ZZZZ LRC ωωω
ωωωω
ωω = . 即φjAe φje
AZ −=
1~ .
其中 212
22
2
22 ))()(
(
+
−+
+
=LR
LCLR
RAω
ωωω
[ ]{ }R
LLRCtg −+= −
221 )(ωωφ
总电流 )(~~
~~~ φωξξ +=== tj
m AeZZ
UI
实际电流取 I的实部 )cos()cos( φωφωξ +=+= tItAI mm
第五章 交流电路 17
二 并联共振
在上面的表达式中 当 22 )( LRLCω
ωω+
= 即L
CRLC
2
11−=ω 时 电路的阻抗达最大值
2
max
+=
RLRZ ω
回路总电
流达最小值 mLRRI ξω 22min )(+
= 由于一般情况下频率较高而电阻较小 因此有 R<<ωL, 这时可略去 CR2/L项 则
ω = ω0 = 1/ LC f 0= 2π ω0 = 2π / LC 称为共振频率 此时
Zmax = L / RC, Imin = Rξm / (ω0L)2 = RCξm / L = Zmax ξm 这种情况称为 CLR并联谐振 并联谐振具有如下特点
(i) 回路总阻抗达最大值, 当 R<<ωL时 共振频率 f 0 = 2π / LC
(ii)回路总电流达最小值 Imin = Rξm / (ω0L)2 = RCξm / L (iii)由于总电流和总电源电动势位相差为零 故总电压和总电源同位相 电路呈 纯电阻特性
(iv)两个分支电流 I1和 I2在数值上达最大 但 I1与 I2在位相上相差 1800 所以 并联共振又称为电流共振 下面证明之
mmmC
m QIIR
LIRLC
ZI ==== 0
20
01)( ωω
ωξ
式中R
LQ 0ω= 称为电路的品质因素 同样可证 mm
L
m
L
m QIIR
LZRZ
I ===+
= 02
ωξξ
18 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
思考题 为什么 I1m = I2m 且 I1与 I2相位差为 180o 但 I = I1 + I2却不为零呢
§5.5 交流电的功率
一 瞬时功率 稳恒电路中的功率在时间上也是稳恒的 这是因为 I t 和 U t 是稳恒值 但在交流电路中 I t 和
U t 一般存在位相差 所以功率 P t =I t U t 也随时间变化 P t 称为瞬时功率 注意当 P(t)>0 时 元件由电源获得能量 P(t)<0时 元件的能量回入电源
设 i(t) = I0cosωt, u(t) = U0cos(ωt+φ), 则 P(t) = U0 I0cosωtcos(ωt+φ) = 1/2U0I0[cosφ + 1/2U0I0cos(2ωt+φ)] 注意到 第一项是与时间无关的常数值 第二项时间的 2倍频项
二 平均功率与功率因素
瞬 时 功 率 在 一 个 周 期 内 的 平 均 值 称 为 平 均 功 率 记 为 P 它 是 电 路 实 际 消 耗 的 功 率
∫ ===T
ee IUIUdttPT
P0 00 coscos
21)(1 φφ
其中 00 21,
21 IIUU ee == 分别是电压和电流的有效值(effective value)
而 cosφ称为电路的功率因素 与时间无关 它反映了交流电路中不同性质元件上的变化规律 对于纯电阻 φ = 0,与稳恒电路的情况一致
对于纯电感和纯电容电路, φ 分别为 +π/2 和 - π/2 P恒为零
第五章 交流电路 19
可见 cosφ是影响平均功率的重要因素
三 有功电流与无功电流 有功功率与视在功率 以及它们与 cosφ的关系
1 有功电流与无功电流的矢量图示法 功率因素来源于电路 I t 与电压 U t 之间存在的位相差φ 如果将 I t
分解为平行与 U t 的分量 I 和垂直于 U t 的分量 I⊥ 见图 8 显然 I⊥对平均功率没有贡献 而有贡献的仅仅是 I =
Icosφ 所以 I⊥是无功电流 I 是有功电流 P = I U 为有功功率
I⊥ I
I U
图 8. 有功电流 I 与无功电流 I⊥
2 有功功率与视在功率 有功功率的物理含义是 电路在一周期内实际消耗的功率 与平均功率的概
念一致 而 P = IU 为机械设备的总功率容量 称为 视在功率 视在功率乘以 cosφ等于有功功率 例 1 某电站 装机容量为 x千伏安 指的是视在功率 而不是有功功率 例 2 日光灯为何要在镇流器上并联一个电容 答 镇流器为电感 它的功率因数 cos=0.4 若并联一个电容 就可以减少φ的值 使之→0 这时 cosφ→1 从而大大
提高有功功率分量 使有功功率接近于视在功率 例 3 计算 RC并联电路的电阻和电抗 证明电路电抗为容抗
20 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
解 2)(1)1(
11~
CRCRjR
CjR
Zωω
ω +−
=+
= 其实部 2)(1 CRjRZ R ω+
= 为有功电阻 虚部为电抗 2)(1 CRCRX
ωω
+−
= < 0, 即容抗
例 4 把复阻抗分为实虚部 有何物理意义 答 实部为电阻 ZR = Zcosφ; 虚部为电抗 X = Zsinφ
RZIUIP 2cos == φ 是有功功率 有功功率是从实部而来
P⊥ = UIsinφ = I2X是无功功率 无功功率由虚部而来 因此电抗是无功功率的来源
§5.6 变压器原理 在长距离输送电的过程中 由于电线存在着一定的电阻 因此就有焦耳热损耗 Ohmic loss: Q = 0.24I2Rt 式中 I为电流
R为电阻 t为时间 故而在电力系统功率 P=IU一定的情况下 尽量提高输送电压 U 可以大大降低 I 从而大大减低焦耳热损耗 但用户
一般用的是低压电 因此需要变压器 transformer将高压 high tension转换为低压 low tension 也有用户需要将低压电转换
为高压电 英文 transform有 传递 转换 之意
一 变压器和理想变压器介绍
1.变压器的定义 变压器是互感现象 mutual inductance为基础的电磁装置 electromagnetic apparatus 将初级线圈上的
电能通过铁芯耦合 coupling传递至次级线圈 2.理想变压器 符合以下三个条件的变压器称为理想变压器
1 无漏磁 即耦合过程不存在漏磁 magnetic leak 2 无铜损 即变压器材料不存在因电阻而产生的焦耳热损耗 3 无铁损 即铁芯中的涡流 voltex与磁滞损耗 hysteresis loss可忽略
第五章 交流电路 21
二 初级线圈 1和次级线圈 2之间的变比公式 理想变压器情形下
1 变压比的推导 通过初级线圈 1和次级线圈 2的磁通量 flux为Ψ1和Ψ2
图 9. (a) 一个带有初级与次级线圈的变压器 (b)标准变压器符号
221112111111~~~~~~ IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
112221222222~~~~~~ IMILN +=Ψ+Ψ==Ψ φ
其中Ψ21是次级对初级线圈通过互感而造成的磁通影响 Ψ12是初级对次级线圈通过互感而造成的磁通影响 L1和 L2
是初级和次级线圈的自感 M21是次级对初级线圈的互感 M12是初级对次级线圈的互感 这样初级线圈上的电动势为
22 电磁学网上课件 本章撰稿人 许小亮
)~~(~cos~~)2cos(~~
sin~~)~~(~~
2211111
111
11
1
IMILjjtSBjtSBN
tSBNdt
SBdNdt
dNdt
d
+−=Ψ−=−=+−=
−=•
−=−=Ψ
−=
ωωωωπωω
ωωφ
ξ
其中 N1,N2分别为初 次级线圈匝数 同理次级线圈上电动势为
)~~(~
112222
2 IMILjdt
d+−=
Ψ−= ωξ
因为是理想情形下 无损耗 故而φ1= φ2=φ ,
= jωN1φ~ , = jωN22~ ξ−=V 2φ~ 因此 理想变压比为
2
1
2
1~~
NN
VV
−= 或 2
1
2
1
NN
UU
= 11~ ξ−=V
2. 变流比 请自己推导 通过初级线圈和次级线圈的理想电流之比为
~
1
2
2
1~ NN
II
−= 或 1
2
2
1
NN
II
=
3.变阻比
变阻比可通过欧姆定律加变压比和变流比而得到
2
2
1
1
2~~
=
NN
ZZ
三 功率比 P1 = P2 不变