Sciences Industrielles pour l’Ingénieur MPSI - PCSI
Vecteur vitesse ; accélération ; composition, torseur cinématique 1
CINÉMATIQUE du point. CINÉMATIQUE du solide indéfor mable. Cours précédent : CINE_01 : Sommaire : I. BUT DE LA CINEMATIQUE. II.NOTION DE REFERENCE . II.1. Solide / repère de référence. II.2. Système de référence ou référentiel. III. TRAJECTOIRES . POSITION, PARAMETRAGE
III.1. TRAJECTOIRE III.2. POSITION, PARAMETRAGE d’un solide
Hélice moderne contra-rotative SNECMA
IV. LIAISON ENTRE DEUX SOLIDES. LES LIAISONS SIMPLES. Surfaces élémentaires de liaison. Mouvements permis. Paramétrage.
V. CHAINE DE SOLIDES. MECANISME. SCHEMATISATION V.1. Types de chaînes de solides : V.2. Loi entrée/sortie géométrique. Bouclage géométr ique. Bouclage angulaire.
Cours CINE_02 : Sommaire :
I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS. III. POSITION ANGULAIRE. VITESSE ET ACCÉLÉRATION AN GULAIRE. IV. CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR AC CELERATION.
IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B 0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la bas e B 0 IV-2) Dérivation dans une base B 0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans u ne base B 1
mobile. V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION. VI- HYPOTHESE D’UN SOLIDE INDEFORMABLE VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOL IDE.
VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse. X-2) Equiprojectivité . VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs
vitesses d'un solide) X-4) Propriété de l’outil torseur . VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’ UN SOLIDE. IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATI ONS.
IX-1) Composition des vecteurs vitesses IX-2) Comp osition des vecteurs accélérations
I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. Exemple en imagerie médicale : performances de préc ision de positionnement, vitesses, accélérations et lois de mouvements maitrisés dans des mouvements composés.
Lire Concours Centrale - Supélec 2009, SII – MP : Angiographie « bi-plan » :
fig.1 : Système biplan Innova. General Electric
Healthcare Axes de prise de vue : L : latéral, F : frontal.
fig.2 : Mouvements de l’armature latérale R : axes de rotation, et
T : direction de la translation
L
F
R3
R2
T1
x y
z
TF
DF
TL
DL
DL
HF
RP
CA
TL
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II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS.
II.1. VITESSE. On appelle vitesse d’un point M,
à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O),
la dérivée du vecteur position OM par rapport au
temps dans le repère R .
(((( ))))R
dtOMd
R/SMV
====∈∈∈∈ en m/s
Exemple :
(((( ))))0
33 03
RdtOOd
/OV
====∈∈∈∈
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire du point O3,
à l’instant t.
Rappel : Solide i = repère i
S3= R 3 et S0 = R 0
II.2. ACCÉLÉRATION.
On appelle accélération d’un point M, à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O), la dérivée du vecteur vitesse
( )R/SMV ∈ par rapport au temps dans le repère R.
(((( )))) (((( ))))R
dtR/SMVd
R/SM
∈∈∈∈====∈∈∈∈ΓΓΓΓ en m/s2
III- VECTEUR VITESSE DE ROTATION. VECTEUR ACCELERAT ION ANGULAIRE.
Le vecteur (((( ))))12 R/RΩΩΩΩ est un vecteur libre qui mesure la vitesse angulaire de changement d’orientation de la base de R2 par rapport à la base de R1, autour de l’axe de rotation.
Exemple : (((( )))) (((( ))))1212 y,yz,zrrrr ========αααα
(((( ))))12 R/RΩΩΩΩ a pour direction 1xr
et sa mesure
algébrique sur 1xr
est égale à la vitesse angulaire αααα&
(((( )))) 121112 x.xR/Rrr
& ωωωω====⋅⋅⋅⋅αααα====ΩΩΩΩ Unités : radians/seconde (rad/s).
Autres appellations :
(((( ))))12 R/RΩΩΩΩr
est appelé vecteur rotation (ou taux de rotation) du repère R2 par rapport à R1.
1xr
= 2xr
12/ΩΩΩΩ
αααα
αααα y2
y1
z2 z1
x2 = x1
3OO
)/O(V 033∈∈∈∈
Carlingue 1 (fixe ici avec le sol)
Hélice 2 (liaison pivot/carlingue 1)
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Accélération angulaire :
(((( ))))12 R/Rdtd ΩΩΩΩ
rest appelé vecteur accélération angulaire du repère R2 par rapport à R1.
1xr
= 2xr
12/ΩΩΩΩ selon 1xr
12 /dtd ΩΩΩΩ
rselon 1x
r
Comme (((( )))) 112 xR/Rr
& ⋅⋅⋅⋅αααα====ΩΩΩΩ est un produit de deux termes, attention à l’expression de la dérivée. Mais dans l’exemple simple ci-dessus comme
1xr
est fixe, on a simplement :
(((( )))) 121
112 x.dt
dx.R/R
dtd rr
&&r ωωωω====αααα====ΩΩΩΩ
notations :
2121
2
2
ωωωω====ωωωω====αααα====
αααα&&&
dtd
dt
)t(d
unité : [rd/s2] IV- CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR ACCELERATION.
IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la base B0
(((( ))))0000 z,y,xBBaserrr
On pose (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 000 ztZytYxtXtUrrrr
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 000
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 000000B
ztZytYxtXzdt
tZdy
dttYd
xdt
tXddtUd r
&r
&r
&rrr
r
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
000
000
0
IV-2) Dérivation dans une base B0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans une base B1 mobile.
(((( )))) (((( ))))00001111 z,y,xBBase,z,y,xBBaserrrrrr
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 111 ztZytYxtXtUrrrr
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 111
(((( )))) UR/RdtUd
dtUd
BB
∧∧∧∧ΩΩΩΩ++++
====
01
10
rr
Ex: (((( )))) (((( ))))0101 y,yx,xrrrr ========αααα donc (((( )))) 10 z.z.R/R
r&
r& αααα====αααα====ΩΩΩΩ 01
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) )ztZytYxtX(z.ztZytYxtXdtUd
1111111B
rrrr&
r&
r&
r&
r
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅∧∧∧∧αααα++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
111111
0
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 11111B
ytXxtYztZytYxtXdtUd r
&r
&r
&r
&r
&
r
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅αααα++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅αααα−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
11111
0
αααα
αααα
x1
x0
y1 y0
z1 = z0
Carlingue 1 (fixe ici avec le sol)
Hélice 2 (liaison pivot/carlingue 1)
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V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION.
Application aux angles d’Euler : La base B3 a pivotée autour des axes de B0 . Dans
l’espace on a au plus 3 rotations indépendantes. Donc, pour repérer B3 dans B0 , il
nous faut au plus 3 paramètres (angles) indépendants. Habituellement, on utilise les angles d’Euler (φ, θ, ψ). Exemple :
( ) ( ) ( ) ( )0000111122223333 z,y,xBBasez,y,xBBasez,y,xBBasez,y,xBBaserrrrrrrrrrrr
⇒⇒⇒
( ) ( ) ( ) ( )01122303 R/RR/RR/RR/R Ω+Ω+Ω=Ω
(((( )))) 012 z.x.y.R/Rr&r&r
& φφφφ++++θθθθ++++ψψψψ====ΩΩΩΩ 03
Autre exemple : Manège Magic Arm :
Vitesse angulaire Nacelle 3/ Bras 2 :
(((( )))) 332 z./r&θθθθ====ΩΩΩΩ 23
Vitesse angulaire Bras 2/ Bras 1 :
(((( )))) 12 x.x./r&r&
212112 θθθθ====θθθθ====ΩΩΩΩ
Vitesse angulaire Bras 1/ Embase 0 :
(((( )))) 01 x.x./r&r&
101001 θθθθ====θθθθ====ΩΩΩΩ
Composition des vitesses angulaires :
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))01122303 //// ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ
(((( )))) 11332 x.x.z./r&r&r&
102103 θθθθ++++θθθθ++++θθθθ====ΩΩΩΩ
(((( )))) 1332 x).(z./r&&r&
102103 θθθθ++++θθθθ++++θθθθ====ΩΩΩΩ
φφφφ
φφφφ
X1
X0
Y1 Y0
θθθθ
θθθθ
Y2
Z2
Y1
Z1
ψψψψ
ψψψψ
Z3
X3
Z2
X2
Z1 = Z0 Y3 = Y2 X2 = X1
Nacelle 3
(liaison pivot 3/2, angle θθθθ32
autour de 3zr
) Bras 2
(liaison pivot 2/1, angle θθθθ21
autour de 2xr
= 1xr
)
3zr
1xr
Bras 1 (liaison pivot 1/0, angle
θθθθ10 autour de 1xr
)
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VI- HYPOTHÈSE D’UN SOLIDE INDÉFORMABLE. On appelle solide indéformable (S1) un ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariantes dans le temps. ∀ A ∈ S1, ∀ B ∈ S1 : AB = constante
On attache au solide S1 un repère
R 1 )z ,y ,x ,(O 1111
rrr (appelé repère propre).
Le solide S1 est mobile par rapport à R 0.
L’étude du mouvement de S1/R 0 revient à
celle du mouvement de R 1/R 0.
Pour connaître la position d’un solide, il suffit de connaître les coordonnées de trois de
ses points. En l’absence de toutes contraintes extérieures, le mouvement de R 1/R 0
dépend de six paramètres indépendants (6 degrés de liberté). Remarque : si on met à part les composants dont la déformabilité est fonctionnelle (ressorts, rondelles, joints, etc....) les pièces d’un mécanisme peuvent en première approximation, être modélisées par des solides indéformables afin d’étudier leurs mouvements relatifs ; en revanche, les phénomènes mettant en jeu la déformabilité des solides (vibrations par exemple) ne peuvent être appréhendés avec un tel modèle. VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOLIDE.
VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse.
Soit un solide S1 en mouvement par rapport à un repère R 0 .
Considérons deux points A et B de ce solide, on sait, d’après le cours précédent que :
AB)R/S(dt
ABd
dt
ABd01
RR 10
∧Ω+
=
or 0dt
ABd
1R
=
car solide indéformable ; et
0101
00
R/SAR/SB
RR
VVdt
)OAOB(d
dt
ABd∈∈ −=
−=
rr
donc AB)R/S(VV 01R/SAR/SB 0101∧Ω=− ∈∈
rr
Finalement : )R/S(ABVV 01R/SBR/SA 0101Ω∧+= ∈∈
rr
Les vecteurs vitesses des points d’un solide vérifient donc bien la relation de changement de point d’un torseur. Ce qui valide l'écriture d'un torseur cinématique
du solide S1 en mouvement par rapport à R 0 .
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Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de rotation : Dessiner sur la figure ci-dessous, les vecteurs vitesses des points A, B, C. Représenter le champ des vitesses le long des rayons OA, OB, OC.
Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de translation :
01/CV ∈∈∈∈ = 01/IV ∈∈∈∈ = 01/KV ∈∈∈∈ = 01/JV ∈∈∈∈ =… car mouvement de translation donc 001r
====ΩΩΩΩ / Composition des vitesses au point C de l’hélice : (à construire sur la vue de dessus)
Voir explications générales en page 9 suivante.
0/11/20/2 ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈ ++++==== CCC VVV
Sol 0
Carlingue 1
Hélice 2
Hélice 2 (liaison pivot/carlingue 1)
Carlingue 1
C
B
12/AV ∈∈∈∈
12/BV ∈∈∈∈
12/CV ∈∈∈∈
A
Carlingue 1
Sol 0
01/CV ∈∈∈∈
01/IV ∈∈∈∈ 01/JV ∈∈∈∈
01/KV ∈∈∈∈
0/1∈∈∈∈OV
C
C 0/1∈∈∈∈CV
0/2∈∈∈∈CV
1/2∈∈∈∈CV
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VII-2) Equiprojectivité.
0Yo
Zo
Ro
S
A
B
V(B∈S/Ro)
V(A∈S/Ro)
X0
définition d'un solide : te2
CAB = ∀A et ∀B ∈S donc en dérivant par rapport au temps :
0dt
ABd.AB.2
dt
ABd
00RR
2r
=
=
00
00
R/SAR/SB
RR
VVdt
)OAOB(d
dt
ABd∈∈ −=
−=
rr
en remplaçant ci-dessus , on obtient : 00 R/SAR/SB V.ABV.AB ∈∈ =
rr ou
AB.VB∈S/Ro. cosθB = AB. VA∈S/Ro.cosθA (θB et θA sont les angles de direction des vitesses par rapport à la droiteAB)
Le champ des vecteurs vitesses d’un solide indéformable est équiprojectif.
A une date t donnée, les projections orthogonales des vecteurs
( ) ( )Ro/SBVetRo/SAV ∈∈rr
sur la droite (AB) sont égales.
Remarque : Les projections orthogonales de vecteurs sur un axe sont des nombres algébriques ; il faut donc faire attention à construire ces projections du même coté par rapport respectivement aux points A et B (voir figure précédente). VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs vitesses d'un solide)
Le torseur cinématique au point A, ( ou torseur distributeur des vitesses) d’un solide S en
mouvement par rapport à un repère R, noté AR/Sϑ , est l’ensemble définit par :
un vecteur
z
y
x
R/S
ω
ωω
=Ω appelé
vecteur vitesse de rotation du solide S en
mouvement par rapport à un repère R
un champ de vecteurs Az
Ay
Ax
V
V
V
)R/SA(V ====∈∈∈∈ appelé vecteur vitesse de déplacement
du point A du solide S en mouvement par rapport à un repère R tel que pour tout
autre point B du solide S, on ait )R/S(BA)R/SA(V)R/SB(V Ω∧+∈=∈
Formule de changement de point ou de réduction en un autre point (Formule dite de Varignon ou formule « BABAR »)
Le torseur cinématique ϑS R A/ , réduit au
point A, du solide S dans son mouvement
par rapport à RRRR s’écrit donc de la façon
suivante :
)z,y,x(,AAzz
Ayy
Axx
AR/S
V
V
V
rrr
ωωωωωωωωωωωω
====ϑϑϑϑ
En doc annexe, tableau des liaisons avec leur torseur cinématique.
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VII-4) Propriété de l’outil torseur.
• Egalité : Deux torseurs sont égaux si, lorsqu’ils sont réduit au même point, leurs composantes sont égales .
• Addition : L’addition de deux torseurs se fait en un même point.
• Torseur "couple" : (⇒ mouvement de translation)
( ) ( ) ( ) SN,M,0Ro/SNVRo/SMVavecRo/SMV
0
M
MR/S ∈∀∀≠∈=∈
∈=ϑ
r
• Torseur glisseur : (⇒ mouvement de rotation autour d'un axe (pivot) ou d'un point (rotule))
( )A
AR/S0
Ro/S
Ω=ϑ Le point A est un point de l’axe central ∆ de ce torseur.
• Axe central : On appelle axe central la droite formée par tous les points M du
torseur où la vitesse S/Ro)V(M, a même direction que ( )Ro/SΩ .
( ) ( ) 0R/SMVR/Sr
=∈∧Ω
( )( )
O
OR/SR/SOV
R/S
∈Ω=ϑ ( ) ( )
( ) ∆∈Ω
∈∧Ω=⇒ HetR/S²
R/SOVR/SOH
VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’UN SOLIDE.
Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère R 0 . Considérons deux points
A et B de ce solide, on sait, d’après les paragraphes précédents que :
)R/S(AB)R/SB(V)R/SA(V 000 Ω∧+∈=∈ dérivons cette relation par
rapport au temps : ( ) ( )
Ro
0
RoRodt
))R/S(AB(d
dt
Ro/SBVd
dt
Ro/SAVd
Ω∧+
∈=
∈
)R/S(dt
)AB(d
dt
)R/S(dAB)R/SB()R/SA( 0
RoRo
000 Ω∧
+
Ω∧+∈Γ=∈Γ
or )R/SA(V)R/SB(Vdt
)AB(d00
Ro
∈−∈=
et en remplaçant avec la relation sur
les vitesses : )R/S(ABdt
)AB(d0
Ro
Ω∧−=
Finalement :
))R/S(AB()R/S(dt
)R/S(dAB)R/SB()R/SA( 00
Ro
000 Ω∧∧Ω+
Ω∧+∈Γ=∈Γ
Conclusion : Le champ des vecteurs accélérations d'un solide ne vérifie pas la
propriété de changement de point du "moment" d'un torseur
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IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATIONS. Soit un solide S en mouvement par rapport à deux repères )z ,y ,x ,(OR 11111
rrret
)z ,y ,x ,(OR 00000
rrr eux mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Soit P un point du solide S. Ici S est l'hélice de l'avion P est le point extrémité d'une pale de l'hélice R0 est lié au sol R1 est lié à l'avion
IX-1) Composition des vecteurs vitesses
Cherchons la relation liant ( ) ( )10 R/SPVetR/SPV ∈∈ .
Par définition ( )Ro
0
dt
POdRo/SPV
=∈ Or POOOPO 1100 += donc
( ) ( )Ro
111
Ro
110
dt
POdRo/ROV
dt
)POOO(dRo/SPV
+∈=
+=∈
D'après la formule de dérivation vectorielle :
( ) POR/Rdt
POd
dt
POd101
R
1
Ro
1
1
∧Ω+
=
avec :
( )1
R
1 R/SPVdt
POd
1
∈=
alors : ( ) ( ) ( ) ( ) POR/RRo/ROVR/SPVRo/SPV 101111 ∧Ω+∈+∈=∈
dans cette relation, les deux derniers termes vérifient la propriété de changement de point du torseur cinématique du
mouvement de R1 par rapport à R0 : donc ( ) ( ) ( )Ro/RPVPOR/RRo/ROV 110111 ∈=∧Ω+∈ . C'est la vitesse du
point P considéré comme appartenant à R1 (point coïncidant P fixe dans R1 ) dans le mouvement de R1 par rapport à R0
Finalement : ( ) ( ) ( )0110 R/RPVR/SPVR/SPV ∈+∈=∈
Définitions : S'il n'y a pas d'ambiguïté possible, dans certaines applications concrètes ,
on peut nommer : ( )0R/SPV ∈ = vitesse absolue ( )1R/SPV ∈ = vitesse relative
( )01 R/RPV ∈ = vitesse d'entraînement
Voir exemple illustré page 6 précédente
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IX-2) Composition des vecteurs accélérations
Cherchons la relation liant ( ) ( )10 R/SPetR/SP ∈Γ∈Γ . Nous avons écrit ci-dessus que :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) POR/RR/ROVR/SPVR/RPVR/SPVR/SPV 10101110110 ∧Ω+∈+∈=∈+∈=∈
en dérivant par rapport au temps …
On obtient finalement :
( ) ( ) ( ) ( ) )R/SP(VR/R.2R/RPR/SPR/SP 1010110 ∈∧Ω+∈Γ+∈Γ=∈Γ
Cette formule étant difficile à mémoriser, on a le plus souvent intérêt à calculer
( )0R/SP∈Γ en dérivant ( )0R/SPV ∈
Définitions : S'il n'y a pas d'ambiguïté possible, dans certaines applications concrètes, on peut nommer :
( )0R/SP∈Γ accélération absolue
( )1R/SP∈Γ accélération relative
( )01 R/RP∈Γ accélération d'entraînement
( ) =∈∧Ω )R/SP(VR/R.2 101 accélération de Coriolis
**********************
******