Academia UniversitariaGui l lermo Soler
- Ingeniería e Idiomas -
Cinemática
y Dinámica
Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
8 609.478.523 609.478.523 1
1. Movimiento Rectilíneo.
Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).
Movimiento rectilíneo uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)
3. Método de Superposición (traslación más rotación).
a = dvdt
= d2xdt 2
= v dvdx
v = dxdt
x = x0 +vt
v = v0 + at
x = x0 +v0t +12at 2
v 2 = v02 + 2a(x − x0)
O P
x
a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr
an =ω 2r
⎧⎨⎪
⎩⎪v =ω × r
ω = dθdt
α = d2θdt 2
= dωdt
=ω dωdθ
x
y
at
an
αωx
y
ω
r
v
vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A
VA
VBA ω
VA
VBVB/A
AB
Posición de una partícula en mov. rectilíneo.
CinemáticaMomentos de inercia de masas.
Barra Ligera
Cilindro rectangular
Disco delgado
Esfera
Prisma rectangular
Cono circular
Placa rectangular
delgada
x
y
z
x
y
z
x
y
zL
x
y
z
L
x
y
za
b
c
x
y
z h
x
y
z
cb
Iy = Iz =112mL2
Ix =12mr 2
Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)
Ix =12mr 2
Iy = Iz =14mr 2
Ix = Iy = Iz =25mr 2
Ix =112m(b2 + c2)
Iy =112m(c2 + a2)
Iz =112m(a2 + b2)
Ix =310mr 2
Iy = Iz =35m
14r 2 + h2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Ix =112m(b2 + c2)
Iy =112mc2
Iz =112mb2
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7
z’
r=rer
4. Centros Instantáneos de Rotación.
5. Movimiento Relativo.
Vabs= velocidad absoluta.
Varr = velocidad arrastre.
Vrel = velocidad relativa.
6. Coordenadas Polares.
ω =vAAC
ω =vBBC
VA
VA
VBVB
AA
B
C
C
B
v = ( !r ) er+ (r !θ) e
θ = (vr ) er + (rω ) e
θ = (vr ) er + (vθ ) e
θ
a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e
θ= (at − rω
2) er+ (rα + 2vrω ) e
θ
Per
eθ
θO
vabs = varr +vrel
aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)
AO
rP
rA
rP/A
y
xz
x’
y’
z’
Apéndice1. Trigonometría.
- Razones Trigonométricas
- Teorema del Seno:
- Teorema del Coseno:
2. Álgebra Vectorial.
- Vector Unitario:
- Producto Vectorial:
- Producto Escalar:
λOE = OE! "!!
OE= cosθx i
!+ cosθy j
!+ cosθzk
!
V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz
P iQ = PQcosθ
i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0
i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0
Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE
sinα = ac
cosα = bc
tanα = ab
ca
bα
asinα
= bsinβ
= csinγ
c
a
bα
β γ
c2 = a2 + b2 − 2abcosγc
ab γ
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3
CinéticaVibraciones
1. Segunda ley de Newton.
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.
definiendo fuerza como
La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:
Fuerza de rozamiento:
Equilibrio dinámico se define como:
2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.
Intrínsecas.
Polares.
Cartesianas
3. Cantidad de movimiento.
La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.
Cantidad de movimiento angular:
4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.
F∑ =ma
Fr = µma
F =ma =mdvdt
F = !mv = dmdtv
F −ma = 0∑
Ft =mdvdt∑ Fn =m
v 2
r∑
Fθ =maθ∑Fr =mar∑
(Fx!i + Fy
!j + Fz
!k ) =m(ax
!i + ay
!j + az
!k )∑
∑Ft∑Fn
∑Fr∑Fθ
rθ
F =ma =mdvdt
= ddt
(mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑
Ho = r ×mvH0
rmv
MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑
F1 F2
F3
ma
IαG
1. Vibración Libre.
2. Vibración Forzada.
3. Vibración amortiguadas.
4. Vibraciones forzadas amortiguadas.
El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:
La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:
md 2xdt 2
+ c dxdt
+ kx = Pm sinω f t
xpart = xm sin(ω f t −ϕ)
Frecuencia Circular Forzada =ω f
Desplazamiento = δ = kδm sinω f t
Factor de Amplificación =xmPm / k
=xmδm
= 11− (ω f /ωn)
2
Ec. Diferencial⇒ md 2xdt 2
+ kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m
d 2xdt 2
+ kx = kδm sinω f t
Periodo = τ n =2πωn
Frecuencia = f = 1τ n
Ec. Diferencial⇒ md 2xdt 2
+ kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =
km
Nos da⎯ →⎯⎯ d 2xdt 2
+ωn2x = 0
Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud
⎧⎨⎩⎪
Velocidad ⇒ vm = xmωn
Aceleración ⇒ am = xmωn2
x
-xm
xm
0Equilibrio
Coeficiente de amortiguamiento = c
Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc
Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn
Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2
+ c dxdt
+ kx = 0
k c
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- Ingeniería e Idiomas -
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5
5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.
El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.
También se puede expresar como promedio.
6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.
Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.
7.Impactos.
La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.
Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:
8.Impactos centrales.
- Central directo:
- Central oblicuo:
F dt∑ =mv2 −mv1t1
t2∫
(t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑
v =mAvA +mBvBmA +mB
mvA +mvB = cte.
A
BFAB
FBA
mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB
'
e =vB' −vA
'
vA −vB
e =(vB
' )x − (vA' )x
(vA)x − (vB )x
mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB
' )x
VA VB V’BV’A
A BImpacto
*(y,z no varían con el impacto) VA
V’BV’A
VB
9. Trabajo y potencia.
- Trabajo de una Fuerza:
- Trabajo de un momento par:
- Potencia:
- Potencia de un par:
- Rendimiento / Eficiencia:
10. Energía cinética.
- Energía cinética de una partícula:
- Energía cinética en movimiento plano:
11. Energía potencial.
- Energía potencial de una partícula:
- Energía potencial de un muelle:
12. Conservación de la Energía.
Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.
EC1 +EP1 = EC2 +Ep2
dU = F ds ⇒ U = F dss0
s1∫U = Mdθ
θ0
θ1∫Pot.= P = dU
dt= F·drdt
= Fv P = E / t
P = Mdθdt
=Mω
η = SalidaEntrada
EPm =V = 12k(x − xo )
2
EP =V =mg(hf − ho )h0hf
x0
x
EC =T = 12mv 2
EC =T = 12mv 2 + 1
2Iω 2
ω
v
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5
5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.
El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.
También se puede expresar como promedio.
6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.
Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.
7.Impactos.
La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.
Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:
8.Impactos centrales.
- Central directo:
- Central oblicuo:
F dt∑ =mv2 −mv1t1
t2∫
(t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑
v =mAvA +mBvBmA +mB
mvA +mvB = cte.
A
BFAB
FBA
mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB
'
e =vB' −vA
'
vA −vB
e =(vB
' )x − (vA' )x
(vA)x − (vB )x
mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB
' )x
VA VB V’BV’A
A BImpacto
*(y,z no varían con el impacto) VA
V’BV’A
VB
9. Trabajo y potencia.
- Trabajo de una Fuerza:
- Trabajo de un momento par:
- Potencia:
- Potencia de un par:
- Rendimiento / Eficiencia:
10. Energía cinética.
- Energía cinética de una partícula:
- Energía cinética en movimiento plano:
11. Energía potencial.
- Energía potencial de una partícula:
- Energía potencial de un muelle:
12. Conservación de la Energía.
Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.
EC1 +EP1 = EC2 +Ep2
dU = F ds ⇒ U = F dss0
s1∫U = Mdθ
θ0
θ1∫Pot.= P = dU
dt= F·drdt
= Fv P = E / t
P = Mdθdt
=Mω
η = SalidaEntrada
EPm =V = 12k(x − xo )
2
EP =V =mg(hf − ho )h0hf
x0
x
EC =T = 12mv 2
EC =T = 12mv 2 + 1
2Iω 2
ω
v
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3
CinéticaVibraciones
1. Segunda ley de Newton.
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.
definiendo fuerza como
La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:
Fuerza de rozamiento:
Equilibrio dinámico se define como:
2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.
Intrínsecas.
Polares.
Cartesianas
3. Cantidad de movimiento.
La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.
Cantidad de movimiento angular:
4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.
F∑ =ma
Fr = µma
F =ma =mdvdt
F = !mv = dmdtv
F −ma = 0∑
Ft =mdvdt∑ Fn =m
v 2
r∑
Fθ =maθ∑Fr =mar∑
(Fx!i + Fy
!j + Fz
!k ) =m(ax
!i + ay
!j + az
!k )∑
∑Ft∑Fn
∑Fr∑Fθ
rθ
F =ma =mdvdt
= ddt
(mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑
Ho = r ×mvH0
rmv
MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑
F1 F2
F3
ma
IαG
1. Vibración Libre.
2. Vibración Forzada.
3. Vibración amortiguadas.
4. Vibraciones forzadas amortiguadas.
El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:
La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:
md 2xdt 2
+ c dxdt
+ kx = Pm sinω f t
xpart = xm sin(ω f t −ϕ)
Frecuencia Circular Forzada =ω f
Desplazamiento = δ = kδm sinω f t
Factor de Amplificación =xmPm / k
=xmδm
= 11− (ω f /ωn)
2
Ec. Diferencial⇒ md 2xdt 2
+ kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m
d 2xdt 2
+ kx = kδm sinω f t
Periodo = τ n =2πωn
Frecuencia = f = 1τ n
Ec. Diferencial⇒ md 2xdt 2
+ kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =
km
Nos da⎯ →⎯⎯ d 2xdt 2
+ωn2x = 0
Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud
⎧⎨⎩⎪
Velocidad ⇒ vm = xmωn
Aceleración ⇒ am = xmωn2
x
-xm
xm
0Equilibrio
Coeficiente de amortiguamiento = c
Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc
Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn
Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2
+ c dxdt
+ kx = 0
k c
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7
z’
r=rer
4. Centros Instantáneos de Rotación.
5. Movimiento Relativo.
Vabs= velocidad absoluta.
Varr = velocidad arrastre.
Vrel = velocidad relativa.
6. Coordenadas Polares.
ω =vAAC
ω =vBBC
VA
VA
VBVB
AA
B
C
C
B
v = ( !r ) er+ (r !θ) e
θ = (vr ) er + (rω ) e
θ = (vr ) er + (vθ ) e
θ
a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e
θ= (at − rω
2) er+ (rα + 2vrω ) e
θ
Per
eθ
θO
vabs = varr +vrel
aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)
AO
rP
rA
rP/A
y
xz
x’
y’
z’
Apéndice1. Trigonometría.
- Razones Trigonométricas
- Teorema del Seno:
- Teorema del Coseno:
2. Álgebra Vectorial.
- Vector Unitario:
- Producto Vectorial:
- Producto Escalar:
λOE = OE! "!!
OE= cosθx i
!+ cosθy j
!+ cosθzk
!
V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz
P iQ = PQcosθ
i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0
i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0
Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE
sinα = ac
cosα = bc
tanα = ab
ca
bα
asinα
= bsinβ
= csinγ
c
a
bα
β γ
c2 = a2 + b2 − 2abcosγc
ab γ
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Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica
8 609.478.523 609.478.523 1
1. Movimiento Rectilíneo.
Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).
Movimiento rectilíneo uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)
3. Método de Superposición (traslación más rotación).
a = dvdt
= d2xdt 2
= v dvdx
v = dxdt
x = x0 +vt
v = v0 + at
x = x0 +v0t +12at 2
v 2 = v02 + 2a(x − x0)
O P
x
a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr
an =ω2r
⎧⎨⎪
⎩⎪v =ω × r
ω = dθdt
α = d2θdt 2
= dωdt
=ω dωdθ
x
y
at
an
αωx
y
ω
r
v
vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A
VA
VBA ω
VA
VBVB/A
AB
Posición de una partícula en mov. rectilíneo.
CinemáticaMomentos de inercia de masas.
Barra Ligera
Cilindro rectangular
Disco delgado
Esfera
Prisma rectangular
Cono circular
Placa rectangular
delgada
x
y
z
x
y
z
x
y
zL
x
y
z
L
x
y
za
b
c
x
y
z h
x
y
z
cb
Iy = Iz =112mL2
Ix =12mr 2
Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)
Ix =12mr 2
Iy = Iz =14mr 2
Ix = Iy = Iz =25mr 2
Ix =112m(b2 + c2)
Iy =112m(c2 + a2)
Iz =112m(a2 + b2)
Ix =310mr 2
Iy = Iz =35m
14r 2 + h2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Ix =112m(b2 + c2)
Iy =112mc2
Iz =112mb2
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Cinemática
y Dinámica
G.Soler
C/ Hermanos Pinzón Núm. 1, 1º Izq - Jaén
Tel. 609 47 85 23
e-mail: [email protected] www.academiaguillermosoler.es
Academia
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