Download - Circuitos Elétricos III - UFMG
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Circuitos Elétricos III
Prof. Danilo Melges
Depto. de Eng. Elétrica
Universidade Federal de Minas Gerais
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Séries de Fourier
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Série de Fourier
� Qualquer função periódica f(t) pode ser representada por uma soma infinita de senos e cossenos:
� av, a
n, b
nsão os coeficientes de Fourier
� ωo=2*pi/T é a freqüência fundamental da função.
� 2ωo é o segundo harmônico, 3ωo é o terceiro, etc...
� O período de qualquer termo da série é um múltiplo inteiro de T.
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Condições de Dirichlet
Condições que f(t) deve satisfazer para que possa ser expressa por meio da série de Fourier:
� f(t) deve ser unívoca (p/ cada elemento do domínio corresponde um único elemento do contra-domínio);
� Deve ter número de descontinuidades finito no intervalo T;
� Deve ter número de máximos e mínimos finito no intervalo T;
� A integral deve existir∫to
t o+T
∣ f (t)∣dt
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Condições de Dirichlet
� Funções periódicas geradas por fontes fisicamente realizáveis satisfazem estas condições.
� Estas condições são suficientes, mas não necessárias: mesmo que uma função não as satisfaça, ainda pode ser possível expressá-la por Série de Fourier.
� Aplicação a circuitos → calcula-se a resposta a cada sinal senoidal e soma-se as respostas (superposição).
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Coeficientes de Fourier
� Podemos calcular os coeficientes da Série de Fourier por:
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Coeficientes de Fourier
� av
corresponde ao valor médio de f(t):
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫t o
to+T
cosm ωo t cos nωo t dt=∫to
to+T 1
2[cos(m+n)ωot+cos (mn)ωo t ] dt=0
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫t o
to+T
cos2mωo t dt=∫
to
to+T (1+cos2m ωo t)
2dt=
1
2(t o+Tt o)
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫t o
to+T
cosm ωo t sennωo t dt=∫t o
to+T 1
2[sen (m+n)ωotsen (mn)ωo t ]dt =0
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
0
0
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫to
t o+T
f ( t)sen k ωot dt=∫to
t o+T
av sen k ωot dt
∑n=1
∞
∫to
t o+T
(an cosnωot sen k ωot+bn sennωot senk ωo t)dt
+
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫to
t o+T
f ( t)sen k ωot dt=∫to
t o+T
av sen k ωot dt
∑n=1
∞
∫to
t o+T
(an cosnωot sen k ωot+bn sennωot senk ωo t)dt
+
∫t o
to+T
cosm ωo t sennωo t dt=∫t o
to+T 1
2[sen (m+n)ωotsen (mn)ωo t ]dt =0
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Coeficientes de Fourier
� Demonstração:
Mas:
∫t o
to+T
sen2m ωo t dt=∫
t o
to+T (1cos2mωo t)
2dt=
1
2(t o+T t o)
∫to
t o+T
f ( t)sen k ωot dt=∫to
t o+T
av sen k ωot dt
∑n=1
∞
∫to
t o+T
(an cosnωot sen k ωot+bn sennωot senk ωo t)dt
+
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Simplificação dos cálculos dos Coeficientes de Fourier
O cálculo dos coeficientes de Fourier (CF) pode ser simplificadopelas seguintes simetria:
� Simetria das funções pares;
� Simetria das funções ímpares;
� Simetria de meia-onda;
� Simetria de quarto de onda;
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Simetria das funções pares
� Definição de função par:
� Para funções pares, as equações para os CF reduz-se a:
bk=0
Série de Fourier p/ f(t) qualquer:
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Simetria das funções pares
� Demonstração:
� Mas:
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Simetria das funções pares
� Demonstração:
� Mas:
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Simetria das funções pares
� Demonstração:
� Mas:
bk=2
T∫T /2
0
f (t )sen k ωot dt+2
T∫
0
T /2
f (t) senk ωo t dt
bk=0
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Simetria das funções ímpares
� Demonstração:
� Para funções ímpares, as equações para os CF reduz-se a:
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Simetria das funções ímpares
� Pode-se aplicar um deslocamento para obter simetria par ou ímpar:
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Simetria de meia onda
� Definição: uma função periódica possui simetria de meia onda se
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Simetria de meia onda
� Definição: uma função periódica possui simetria de meia onda se:
Com simetria de meia-onda
Sem simetria de meia-onda
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Simetria de meia onda
Para funções com simetria de meia-onda, os CF podem ser dados por:
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Simetria de meia onda
� Demonstração:
� Mas:
(1)
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Simetria de meia onda
� Demonstração:
� Mas:
(1)
(2)
cos k ωo(xT / 2)=cos(k ωo xk π)=cos k π cos k ωo xsen k π senk ωo
0
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Simetria de meia onda
� Demonstração:
(1)
� Substituindo (2) em (1):
(2)
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Simetria de meia onda
� Demonstração:
Mas coskπ=1, para k par
coskπ=-1, para k ímpar
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Simetria de quarto de onda
� Simetria de quarto de onda: funções com simetria de meia onda e também simetria em relação aos pontos médios dos semi-ciclos positivos e negativos:
Com simetria de quarto de onda Simetria de meia onda, sem simetria de quarto de onda
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Simetria de quarto de onda
Funções com simetria de quarto de onda podem ser transformadas em par ou ímpar.
ímpar
f(t)par
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Simetria de quarto de onda
Se a função for transformada em par:
f(t)par
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Simetria de quarto de onda
Se a função for transformada em ímpar:
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Forma trigonométrica da série de Fourier
A Série de Fourier pode ser representada alternativamente por:
Usando fasores, temos:
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Forma trigonométrica da série de Fourier
A Série de Fourier pode ser representada alternativamente por:
Onde An e θn são dados por:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Vg possui simetria ímpar, de meia onda e de quarto de onda, logo:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Expandindo a série:
Vg equivale a uma infinidade de fontes em série com amplitudes e freqüências distintas.
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Expandindo a série:
Para cada componente de entrada, a tensão de saída pode ser dada pela seguinte expressão fasorial:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Tensão de saída em função da fundamental:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Ou, na forma polar:
onde
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
No domínio do tempo, temos:
![Page 42: Circuitos Elétricos III - UFMG](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012410/616a55de11a7b741a3516009/html5/thumbnails/42.jpg)
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Para a componente do 3o harmônico, temos:
onde
Cuja expressão no tempo é:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Então, a expressão para o k-ésimo harmônico pode ser dada por:
onde
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Por superposição, a expressão da tensão de saída pode ser dada por:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Para valores elevados de C:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
A amplitude dos harmônicos decresce com um fator de 1/n2:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Quando C tem valor muito elevado, a tensão de saída pode ser aproximada por somente alguns harmônicos:
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Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Quando C → 0:
vo=vg
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Cálculo de potência média de funções periódicas
Pode-se expressar a potência média de um circuito em função das tensões e correntes harmônicas:
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Para o produto de cossenos, os únicos termos que são não nulos, correspondem a produtos de tensão e corrente de mesma frequencia.
pois:
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Cálculo de potência média de funções periódicas
Usando a identidade trigonométrica:
cos αcosβ=1
2cos(αβ)+
1
2cos(α+β)
temos:
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Cálculo de potência média de funções periódicas
0
A potência média total é a soma das potências médias de cada harmônico separadamente (mais a potência devido aos offsets).
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Valor eficaz de uma função periódica
O valor eficaz de uma função periódica pode ser dado em função dos coeficientes de Fourier:
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Valor eficaz de uma função periódica
(
Lembrando que:
Temos:
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Valor eficaz de uma função periódica
O valor eficaz de uma função periódica é a raiz quadrada da soma do quadrado do valor eficaz de cada harmônico e do quadrado do valor DC:
(
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Forma exponencial da Série de Fourier
Partindo da Série de Fourier:
E substituindo:
Obtemos:
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Forma exponencial da Série de Fourier
Definindo:
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Forma exponencial da Série de Fourier
Definindo:
Pela definição:
E sabendo que:
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Forma exponencial da Série de Fourier
De:
temos:
e:
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Forma exponencial da Série de Fourier
Substituindo:
Em:
Temos:
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Forma exponencial da Série de Fourier
Mas:
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Forma exponencial da Série de Fourier
Trata-se de uma representação alternativa e mais concisa:
onde
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Forma exponencial da Série de Fourier
Pode-se expressar o valor eficaz em função dos coeficientes complexos de Fourier:
Mas:
Logo: