Download - Circulo e cincunferencia
![Page 1: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/1.jpg)
Aulão de GeometriaCirculo e Circunferência
Prof. Pedro Valentim
![Page 2: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/2.jpg)
Circunferência
Definição: Infinitos ponto equidistantes de um único ponto chamado de centro
Mas, o que é CIRCUNFERÊNCIA?
.O
. . .
..
..
..
...
.
..
.
. .
.
.
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 3: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/3.jpg)
Raio
Definição: Segmento de reta que une o centro a qualquer dos pontos da circunferência
..
Nota: como existem infinitos pontos na circunferência é possível obter
também infinitos RAIOS
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 4: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/4.jpg)
Corda
Definição: Segmento de reta que une qualquer ponto da circunferência a outro e não passa pelo centro
..
Quando passa pelo centro a CORDA passa a ser chamada de Diâmetro que é a maior corda de uma circunferência
.
.
Corda
Diâmetro
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 5: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/5.jpg)
Diâmetro
Definição: é a maior das cordas e é o dobro do raio
..
Nota: como existem infinitos RAIOS na circunferência é possível obter
também infinitos DIÂMENTROS
.
Diâmetro
Observe também que o diâmetro é o dobro do
raio
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 6: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/6.jpg)
Flecha
Definição: Segmento de reta que une o ponto médio da corda com um dos pontos da circunferência formando um ângulo de 90º
..
.
Ponto médio da corda
.
.
Ponto qualquer da circunferência
FlechaÂngulo de 90º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 7: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/7.jpg)
Círculo
Definição: é a região plana limitada por uma circunferência
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 8: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/8.jpg)
Circunferência e ângulo central
Definição: o ângulo central em uma circunferência é todo ângulo que tem como vértice o centro dessa circunferência
.
Ângulo CentralCentro e vértice
do ângulo central
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 9: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/9.jpg)
Círculo e setor circular
Definição: é qualquer parte do circulo determinada por um ângulo central
ângulo central
..
.Setor circular
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 10: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/10.jpg)
Ângulo central
Definição: A soma de todos os ângulos centrais de uma circunferência mede 360º
.
d
cb
aa + b + c + d = 360º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 11: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/11.jpg)
Gráfico de SetoresDefinição: é um gráfico cujo a representação é uma circunferência
DIAS LIVROS GRAUS
SEGUNDA 25 25:5.9 = 45º
TERÇA 20 20:5.9=36º
QUARTA 35 35:5.9=63º
QUINTA 25 25:5.9=45
SEXTA 45 45:5.9=81º
SABADO 50 50:5.9=90º
TOTAL 200 360
200 LIVROS – 360º100 – 180º50 – 90º25 – 45º5 - 9º
Fator de Proporcionalidade
25
20
35
25
45
50
90º
81º63º
36º
45º
45º
:2:2:2
:2 ambos os membros
![Page 12: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/12.jpg)
Divisão da circunferência de partes iguaisVamos dividir a circunferência em 5 partes iguais
Primeiro divide-se 360: 5 = 72º
72º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 13: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/13.jpg)
Construção de polígonos RegularesVamos construir um PETÁNGONO
Primeiro divide-se 360: 5 = 72º
CADA PONTO DA DIVISÃO É UM VERTICE DO POLIGONO REGULAR
.
. .
.
.
.72º P
rof. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 14: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/14.jpg)
Posições relativas de uma reta e de uma circunferência
Reta TANGENTE
. .Raioc
t
A reta t é tangente a circunferência quando tem apenas um ponto em comum com a
circunferência
odd = raio
d = distancia entre o centro e um ponto na reta
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 15: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/15.jpg)
Posições relativas de uma reta e de uma circunferência
Reta Secante
.
.Raio
A
A reta t é secante a circunferência quando tem dois pontos em comum com a circunferência
o dd < raio .B
.
t
c
Raio Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 16: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/16.jpg)
Posições relativas de uma reta e de uma circunferência
Reta Externa
. Raio
A reta t é externa a circunferência quando não há ponto em comum com a circunferência
odd > raio
..c p
t
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 17: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/17.jpg)
Circunferência Inscrita e Circunscrita
Circunferência inscrita no quadrado Circunferência circunscrita no quadrado
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 18: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/18.jpg)
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
.o
.p
O ponto p pertence à circunferência
dd = raio
Raio
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 19: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/19.jpg)
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
.o
.p
O ponto p é interno à circunferência
dd < raio
.
Rai
o
e
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 20: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/20.jpg)
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
.o
. p
O ponto p é externo à circunferência
d
d > raio .eRaio
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 21: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/21.jpg)
Posições relativas entre duas circunferência
.o1
Circunferências tangentes Externas d = r1 + r2
. .o2
A
d
r2r1
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 22: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/22.jpg)
Posições relativas entre duas circunferência
.o1
Circunferências tangentes Internas d = r1 - r2
. .o2
A
dr2
r1
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 23: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/23.jpg)
Posições relativas entre duas circunferência
.
Circunferências Secantes r1 - r2 < d < r1 + r2
.
. .
A
B
o1 o2
r1 r2
d
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 24: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/24.jpg)
.
Circunferências Concêntricas d = 0
.
e
o1
o2r1
r2
d
Posições relativas entre duas circunferência
. d
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 25: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/25.jpg)
.
Circunferências Externas d > r1 + r2
.e
o1
r1
d
Posições relativas entre duas circunferência
o2
r2 ..f
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 26: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/26.jpg)
.
Circunferências Internas d < r1 – r2
.o1 o2
r1 r2
d
Posições relativas entre duas circunferência
..
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 27: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/27.jpg)
Definição: é o ângulo cujo o vértice pertence a circunferência
.o
Ângulo Inscrito
.Centro
O ponto p pertence a
circunferência
p Ângulo Inscrito
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 28: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/28.jpg)
Definição: se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito
.o
Relação entre Ângulo Central e Ângulo Inscrito
.
Vamos considerar a situação em que um dos lados do ângulo inscrito determina um diâmetro da circunferência
a
Ângulo Inscrito
c.
b.
Ângulo Central
yx
Assim:
CÔB é um ângulo central de arco BC e medida xCÂB é um ângulo inscrito também de arco BC e medida yAC é um diâmetro da circunferência O ∆AOB é isósceles, pois OA ≌ OB (raios), ABO também mede y Como CÔB é um ângulo externo do ∆ AOB, sua medida x é igual a somada das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (x +y)
Logo, x = y + y ou x = 2y c.q.d.
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 29: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/29.jpg)
.o
Relação entre Ângulo Central e Ângulo Inscrito
.a
Ângulo Inscrito
c.
b.
Ângulo Central
30º 60º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 30: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/30.jpg)
.o
Relação entre Ângulo Central e Ângulo Inscrito
.a
c.
b.
x 120º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
Qual o valor de x?
![Page 31: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/31.jpg)
.o
Relação entre Ângulo Central e Ângulo Inscrito
.a
c.
b.
x 120º
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 32: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/32.jpg)
.o
Ângulo de Segmento
.b .
c.
Um ângulo com o vértice na circunferência, um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinado uma corda
a
Os matemáticos já provaram que um ângulo de segmento e um ângulo
inscrito tem medidas iguais quando os arco
correspondente é o mesmo Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m
![Page 33: Circulo e cincunferencia](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102611/55831464d8b42a9f3d8b4936/html5/thumbnails/33.jpg)
.o
Ângulo de Segmento
.b .
c.
a
. d
x
2x
x
Ângulo Inscrito
Ângulo Central
Ângulo de Segmento
Pro
f. P
ed
ro
Vale
nti
m